איחוי לא טריוויאלי של סימטריות כיול בכבידה ובתורת יאנג-מילס

בעבודה זו אנו מציגים ומפתחים מסגרת גיאומטרית חדשה בה הכבידה הרימנית ותורת השדה של יאנג ומילס מאוחים לכדי מארג מרחב-זמן אחד ויחיד. כמו כן אנו מציעים הכללה (ואידיאליזציה) של שיטת האיחוי לאלומת מכפלה עם מספר שרירותי של מבני כיול שונים, תוך התייחסות מפורטת לסימטריית-העל BRST המשויכת למבנה המאחה. הרעיונות המיושמים כאן מחדשים הן במשמעותן הפיזיקלית, והן מן ההיבט המתמטי, בהיותם מרחיבים את מושג הכיול המקומי ואת אופן איחויין של סימטריות שונות לתחומים וכיוונים חדשים. 


בפרק הראשון בעבודה זו אנו מראים שמרחב זמן עם פיתול ואל-מידה, המתקבל מעיוות מרחב-זמן רימני, תומך בסימטריית כיול מהאב-טיפוס של יאנג-מילס באופן כזה שהסימטרייה הפנימית מתקבלת כחלק אינטגרלי של המרחב-זמן עצמו. במיוחד, זהויות המבנה של המרחב-זמן, שעתה הן "מוכתמות" בדרגות חופש פנימיות, נשמרות תחת התמרות כיול במרחב הפנימי. בנייה זו צורפת את דרגות החופש הפנימיות אל תוך המרחב-זמן כך שהכיול המקומי של דרגות חופש אלו מתמזג עם הכיול הגיאומטרי של מערכות המסגרת המקומיות של המרחב-זמן. במרחב-זמן מסוג וייל-קרטן מקבלת התיאוריה את הגוון המקורי של משוואות איינשטיין בן מקורות חומר באגף ימין של המשוואות (שמקורן בשדות הכיול) קובעים באגף שמאל את גיאומטריית המרחב-זמן והשדות המושרים על ידה. במקרה של מרחב-זמן פוסט-רימני כללי מתקבלת עבור הסימטרייה הפנימית קישורת אפקטיבית תלויית סקלה. בחירת כיול מסוים מראה שנוכחותם של מרכיבים חלופיים בקישורת זו מייצרת תרומות חדשות בעלות עוצמה חלשה (חלשה אף מהעוצמה הכבידתית) באינטראקציה שבין שדות יאנג-מילס וכבידה. נציין שהטיעונים המוכרים של קולמן ומנדולה אינם כופים כל אילוץ על תורת המיזוג בין המרחב-זמן ודרגות החופש הפנימיות המוצעת כאן.

הפרק השני דן במבנה מתמטי המכליל את מושג אגד המכפלה (בעל גיאומטריה מתפצלת) למושג "האלומה העלוונית", בה משתזרים מספר כלשהו של מבני כיול זה בזה באופן לא טריוויאלי לכדי מיבנה אחיד בעל גיאומטריה לא מתפצלת. הרעיון מבוסס על חד-תבניות קישורת הלוקחות ערכים במרחב מכפלה של אלגברות לי  (במקום באלגברות לי יחידות). תשומת לב מיוחדת ניתנת למבנה הגיאומטרי של מגזר הרפאים, ולאלגברת-העל שהוא מקיים. הרפאים מופיעים כעיוותים תלויי מקום במגזר הכיול המקומי ואלגברת-העל מטיפוס  BRSTהקשורה בהן מתגשמת כאילוץ הנובע משימור העקמומיות תחת המעוות. באופן זה סימטריות הכיול המקומיות מיתרגמות לעל-סימטריות גלובליות. התמרת שניות מושלמת ממפה את הענף הרפאי (ואת הקוהומולוגיה המשויכת אליו) אל הענף האנטי-רפאי, ולהפך, כך ששני ענפים אלו, המרכיבים את אלגברת-העל, דומים זה לזה.

נספח המכיל נוסחאות אינטגרציה חדשות ומעניינות הקשורות במרחב-זמן המאוחה, וכן דיון בכמה היבטים טופולוגים, חותם חיבור זה. 


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה