יום שבת, 29 ביולי 2017

מביו-סבאר ואמפר לאינווריאנטים טופולוגיים - שזרים ומספרי קשר

ברשימה הקודמת בנושא יצאנו מהמשוואה הכללית שמקיים הפוטנציאל המגנטי בנוכחות זרמים סטציונריים, וקיבלנו בסופו של יום את נוסחת ביו-סאבר לשדה העצמה המגנטית בכל המרחב \(\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\), הנגרם בעטיו של זרם חשמלי \(i\) הזורם במוליך קווי \(C\). מסיבות שתובנה בהמשך אנו נתמקד כאן במוליכים קוויים סגורים (היינו בלולאות נושאות זרם) ובמקרה זה,

\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\oint_{C}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\end{aligned}
מה לזה ולטופולוגיה? לאינווריאנטים טופולוגים? ובכן, קשר ישיר תרתי משמע. כפי שנראה מיד שילוב פשוט של נוסחת ביו-סבאר בחוק אמפר מוביל לתוצאה מפתיעה באמת מתחום תורת הקשרים, שלכאורה אין לה דבר וחצי דבר עם תופעות אלקטרומגנטיות... לפני שנראה זאת מפורשות, הנה כמה מינוחים חיוניים:

שֶׁזֶר מסוג \(\left(p,q\right)\) הוא מבנה של \(p\) לולאות חלקות (כלומר עקומותיהן גזירות) השזורות זו בזו כ"א \(q\) פעמים. הנה לדוגמא שזר מטיפוס \(\left(2,4\right)\) ובו שתי לולאות חלקות השזורות זו בזו כ"א ארבע פעמים:


זרם חשמלי יקרא חיובי אם לצופה יראה שהוא חוצה את הלולאה מלמטה למעלה, ושלילי אם לצופה יראה שהוא חוצה את הלולאה מלמעלה למטה. בשזר שבתרשים זורמים שני זרמים קוויים חיוביים, המשתזרים זה בזה ארבע פעמים. נסמן את הלולאה האדומה במספר \(1\), ואת הלולאה הכחולה במספר \(2\). בהתאם, וקטור המקום המכוון ללולאה מס' \(1\) יסומן ב- \(\boldsymbol{r}_{1}\) ווקטור המקום המכוון ללולאה מספר \(2\) יסומן ב- \(\boldsymbol{r}_{2}\). וקטור היוצא מהנקודה \(\boldsymbol{r}_{1}\) הנמצאת על לולאה מס' \(1\) ומסתיים על הנקודה \(\boldsymbol{r}_{2}\) הנמצאת על לולאה מס' \(2\) יסומן ב- \(\boldsymbol{r}_{12}=\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\), והמרחק בין שתי הנקודות הוא  \(r_{12}=\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|\).

נשתמש במינוחים ובסימונים הללו בחוק ביו סבאר ונקבל ביטוי עבור עצמת השדה המגנטי בכל נקודה על הלולאה הכחולה בשזר הנ"ל, הנגרמת בעטיו של הזרם החשמלי הזורם בלולאה האדומה:
\begin{aligned}\color{blue}{\boldsymbol{B}}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\oint_{\color{red}{\boldsymbol{C_{1}}}}\frac{{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{1}\times\boldsymbol{r}_{12}}{r_{12}^{3}}\end{aligned}

עתה נאסכם את שדה העצמה המגנטית הנגרם בעטיו של הזרם החשמלי הזורם בלולאה האדומה על כל היקף הלולאה הכחולה ונקבל:

\begin{align}\oint_{\color{blue}{C_{2}}}\color{blue}{\boldsymbol{B}}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\cdot{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{2}&=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\oint_{\boldsymbol{\color{blue}{C_{2}}}}\oint_{\color{red}{\boldsymbol{C_{1}}}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{1}\times\boldsymbol{r}_{12}\right)\cdot{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{2}}{r_{12}^{3}}\\\tag{1}&=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\oint_{\color{blue}{\boldsymbol{C_{2}}}}\oint_{\color{red}{\boldsymbol{C_{1}}}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{2}\times{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{1}\right)\cdot{\boldsymbol{r}_{12}}}{r_{12}^{3}}\end{align}

וברור שהתוצאה סימטרית תחת ההחלפה \(\color{red}{1}\leftrightarrow\color{blue}{2}\).

הבה ניזכר לרגע בחוק אמפר עבור זרמים סטציונריים. חוק אמפר במקרה זה מספר לנו שהאינטגרל המסילתי של שדה העצמה המגנטית על לולאה סגורה נגד כיוון השעון, מתכונתי לזרם הכולל העובר דרך הלולאה "מלמטה למעלה" (בורג יד ימין). ובפרט, עבור \(m\) זרמים קוויים שווים בגודלם החוצים את הלולאה מלמטה למעלה ו- \(n\) זרמים קוויים דומים החוצים את אותה לולאה מלמעלה למטה נקבל:
\begin{aligned}\oint_{C}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\mu_{0}\left(m-n\right)i\end{aligned}
במקרה הספציפי בו אנו דנים כרגע מדובר בשזר מסוג \(\left(2,4\right)\) ובו זורמים דרך כל אחת משתי הלולאות ארבעה זרמים חיוביים (ולכן \(q=m-n=4-0=4\)). נציג זאת אם-כן באגף השמאלי של משוואה \(\left(1\right)\) ונקבל את התוצאה הפנטסטית:

\begin{aligned}\frac{1}{4\pi}\oint_{\color{blue}{\boldsymbol{C_{2}}}}\oint_{\color{red}{\boldsymbol{C_{1}}}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{2}\times{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{1}\right)\cdot{\boldsymbol{r}_{12}}}{r_{12}^{3}}=\,4\end{aligned}

שימו לב: ערכו של האינטגרל המסילתי הכפול באגף שמאל דלעיל אינו תלוי כלל וכלל במבנה הלולאות, לא בעקמומיותן ולא באורכן, אלא אך-ורק במספר השיזורים! ומאידך, הסימן באגף ימין תלוי אך ורק בכיווני הזרימה, כלומר באופן השזירה. זהו אינווריאנט טופולוגי אשר אינו משתנה תחת עיוות הלולאות, והוא מכונה מספר הקשר של השזר (שם מתאים יותר לטעמי הוא אינדקס השזירה). הראשון לעלות על התגלית הזו היה גאוס והגילוי עצמו פתח ענף חדש לגמרי לחקירה אנליטית - תורת הקשרים.

הבה נרחיב מעט את התוצאה שקיבלנו לשזר כללי מסוג \(\left(p,q\right)\), כלומר ל-\(p\) לולאות נושאות זרם חיובי \(i\) השזורות זו בזו כ"א \(q\) פעמים; פירושו של דבר שכל לולאה נשזרת על-ידי כל אחת ואחת מ- \(p-1\) הלולאות האחרות בשזר בדיוק \(q\) פעמים, והזרמים חוצים תמיד מלמטה למעלה. על-פי עיקרון הסופרפוזציה באלקטרומגנטיות, השדה הכולל על הלולאה ה- \(1\leq{}k\leq{}p\) הנגרם בעטיים של \(p-1\) הזרמים הזורמים בלולאות האחרות השזורות בה, ניתן ע"י סכימה פשוטה של כל \(p-1\) התרומות:

\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}_{k}\right)=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\sum_{j\neq{}k}\oint_{C_{j}}\frac{{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{j}\times\boldsymbol{r}_{jk}}{r_{jk}^{3}}\end{aligned}

היכן ש- \(\boldsymbol{r}_{k}\) הוא וקטור המקום אל הלולאה ה- \(k\). הכלת חוק אמפר (עם \(q\) שזירות "חיוביות") על הלולאה ה-\(k\) תיתן עתה:  

\begin{aligned}\oint_{C_{k}}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}_{k}\right)\cdot{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{k}&=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\sum_{j\neq{}k}\oint_{C_{k}}\oint_{C_{j}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{j}\times\boldsymbol{r}_{jk}\right)\cdot{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{k}}{r_{jk}^{3}}\\&=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\sum_{j\neq{}k}\oint_{C_{k}}\oint_{C_{j}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{k}\times{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{j}\right)\cdot\boldsymbol{r}_{jk}}{r_{jk}^{3}}\\&\stackrel{\displaystyle\text{אמפר}\atop\downarrow}{=}\:\mu_{0}q\left(p-1\right){}i\,,\end{aligned}

זאת הואיל ו- \(p-1\) זרמים חיוביים חוצים את הלולאה ה- \(k\), כ"א מהם בדיוק \(q\) פעמים. מן הסתם, במקרה הכללי יותר של \(m\) זרמים חיוביים ו- \(n\) זרמים שליליים,  \(q=m-n\).

מתוך כך מתקבל מספר הקשר לשזר-\(\left(p,q\right)\):

\begin{align}\tag{2}\frac{1}{4\pi}\sum_{j\neq{}k}\oint_{C_{k}}\oint_{C_{j}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{k}\times{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{j}\right)\cdot\boldsymbol{r}_{jk}}{r_{jk}^{3}}\,=\,q\left(p-1\right)\in\mathbb{Z}\,.\end{align}

ובפרט, אין זה כלל משנה מי היא הלולאה ה- \(j\) אותה אנו מוציאים מן הסכימה ואין זה משנה מה צורתה המפורשת של כל לולאה; חוק אמפר ונוסחת ביו סבאר מבטיחים לנו שתמיד נקבל את אותה תוצאה, ותמיד היא תהיה מספר שלם.

תרגיל: מיצאו את סוג השזר וקבלו את מספר הקשר עבור שני השזרים מטה (האיור הימני נלקח מכאן, השמאלי מויקיפדיה):




הרשימה הבאה בנושא: אינטראקציות בין זרמים.




אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה