יום שבת, 29 ביולי 2017

מביו-סבאר ואמפר לאינווריאנטים טופולוגיים - שזרים ומספרי קשר

ברשימה הקודמת בנושא יצאנו מהמשוואה הכללית שמקיים הפוטנציאל המגנטי בנוכחות זרמים סטציונריים, וקיבלנו בסופו של יום את נוסחת ביו-סאבר לשדה העצמה המגנטית בכל המרחב \(\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\), הנגרם בעטיו של זרם חשמלי \(i\) הזורם במוליך קווי \(C\). מסיבות שתובנה בהמשך אנו נתמקד כאן במוליכים קוויים סגורים (היינו בלולאות נושאות זרם) ובמקרה זה,

\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\oint_{C}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\end{aligned}
מה לזה ולטופולוגיה? לאינווריאנטים טופולוגים? ובכן, קשר ישיר תרתי משמע. כפי שנראה מיד שילוב פשוט של נוסחת ביו-סבאר בחוק אמפר מוביל לתוצאה מפתיעה באמת מתחום תורת הקשרים, שלכאורה אין לה דבר וחצי דבר עם תופעות אלקטרומגנטיות... לפני שנראה זאת מפורשות, הנה כמה מינוחים חיוניים:

שֶׁזֶר מסוג \(\left(p,q\right)\) הוא מבנה של \(p\) לולאות חלקות (כלומר עקומותיהן גזירות) השזורות זו בזו כ"א \(q\) פעמים. הנה לדוגמא שזר מטיפוס \(\left(2,4\right)\) ובו שתי לולאות חלקות השזורות זו בזו כ"א ארבע פעמים:


זרם חשמלי יקרא חיובי אם לצופה יראה שהוא חוצה את הלולאה מלמטה למעלה, ושלילי אם לצופה יראה שהוא חוצה את הלולאה מלמעלה למטה. בשזר שבתרשים זורמים שני זרמים קוויים חיוביים, המשתזרים זה בזה ארבע פעמים. נסמן את הלולאה האדומה במספר \(1\), ואת הלולאה הכחולה במספר \(2\). בהתאם, וקטור המקום המכוון ללולאה מס' \(1\) יסומן ב- \(\boldsymbol{r}_{1}\) ווקטור המקום המכוון ללולאה מספר \(2\) יסומן ב- \(\boldsymbol{r}_{2}\). וקטור היוצא מהנקודה \(\boldsymbol{r}_{1}\) הנמצאת על לולאה מס' \(1\) ומסתיים על הנקודה \(\boldsymbol{r}_{2}\) הנמצאת על לולאה מס' \(2\) יסומן ב- \(\boldsymbol{r}_{12}=\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\), והמרחק בין שתי הנקודות הוא  \(r_{12}=\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|\).

נשתמש במינוחים ובסימונים הללו בחוק ביו סבאר ונקבל ביטוי עבור עצמת השדה המגנטי בכל נקודה על הלולאה הכחולה בשזר הנ"ל, הנגרמת בעטיו של הזרם החשמלי הזורם בלולאה האדומה:
\begin{aligned}\color{blue}{\boldsymbol{B}}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\oint_{\color{red}{\boldsymbol{C_{1}}}}\frac{{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{1}\times\boldsymbol{r}_{12}}{r_{12}^{3}}\end{aligned}

עתה נאסכם את שדה העצמה המגנטית הנגרם בעטיו של הזרם החשמלי הזורם בלולאה האדומה על כל היקף הלולאה הכחולה ונקבל:

\begin{align}\oint_{\color{blue}{C_{2}}}\color{blue}{\boldsymbol{B}}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\cdot{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{2}&=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\oint_{\boldsymbol{\color{blue}{C_{2}}}}\oint_{\color{red}{\boldsymbol{C_{1}}}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{1}\times\boldsymbol{r}_{12}\right)\cdot{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{2}}{r_{12}^{3}}\\\tag{1}&=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\oint_{\color{blue}{\boldsymbol{C_{2}}}}\oint_{\color{red}{\boldsymbol{C_{1}}}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{2}\times{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{1}\right)\cdot{\boldsymbol{r}_{12}}}{r_{12}^{3}}\end{align}

וברור שהתוצאה סימטרית תחת ההחלפה \(\color{red}{1}\leftrightarrow\color{blue}{2}\).

הבה ניזכר לרגע בחוק אמפר עבור זרמים סטציונריים. חוק אמפר במקרה זה מספר לנו שהאינטגרל המסילתי של שדה העצמה המגנטית על לולאה סגורה נגד כיוון השעון, מתכונתי לזרם הכולל העובר דרך הלולאה "מלמטה למעלה" (בורג יד ימין). ובפרט, עבור \(m\) זרמים קוויים שווים בגודלם החוצים את הלולאה מלמטה למעלה ו- \(n\) זרמים קוויים דומים החוצים את אותה לולאה מלמעלה למטה נקבל:
\begin{aligned}\oint_{C}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\mu_{0}\left(m-n\right)i\end{aligned}
במקרה הספציפי בו אנו דנים כרגע מדובר בשזר מסוג \(\left(2,4\right)\) ובו זורמים דרך כל אחת משתי הלולאות ארבעה זרמים חיוביים (ולכן \(q=m-n=4-0=4\)). נציג זאת אם-כן באגף השמאלי של משוואה \(\left(1\right)\) ונקבל את התוצאה הפנטסטית:

\begin{aligned}\frac{1}{4\pi}\oint_{\color{blue}{\boldsymbol{C_{2}}}}\oint_{\color{red}{\boldsymbol{C_{1}}}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{2}\times{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{1}\right)\cdot{\boldsymbol{r}_{12}}}{r_{12}^{3}}=\,4\end{aligned}

שימו לב: ערכו של האינטגרל המסילתי הכפול באגף שמאל דלעיל אינו תלוי כלל וכלל במבנה הלולאות, לא בעקמומיותן ולא באורכן, אלא אך-ורק במספר השיזורים! ומאידך, הסימן באגף ימין תלוי אך ורק בכיווני הזרימה, כלומר באופן השזירה. זהו אינווריאנט טופולוגי אשר אינו משתנה תחת עיוות הלולאות, והוא מכונה מספר הקשר של השזר (שם מתאים יותר לטעמי הוא אינדקס השזירה). הראשון לעלות על התגלית הזו היה גאוס והגילוי עצמו פתח ענף חדש לגמרי לחקירה אנליטית - תורת הקשרים.

הבה נרחיב מעט את התוצאה שקיבלנו לשזר כללי מסוג \(\left(p,q\right)\), כלומר ל-\(p\) לולאות נושאות זרם חיובי \(i\) השזורות זו בזו כ"א \(q\) פעמים; פירושו של דבר שכל לולאה נשזרת על-ידי כל אחת ואחת מ- \(p-1\) הלולאות האחרות בשזר בדיוק \(q\) פעמים, והזרמים חוצים תמיד מלמטה למעלה. על-פי עיקרון הסופרפוזציה באלקטרומגנטיות, השדה הכולל על הלולאה ה- \(1\leq{}k\leq{}p\) הנגרם בעטיים של \(p-1\) הזרמים הזורמים בלולאות האחרות השזורות בה, ניתן ע"י סכימה פשוטה של כל \(p-1\) התרומות:

\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}_{k}\right)=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\sum_{j\neq{}k}\oint_{C_{j}}\frac{{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{j}\times\boldsymbol{r}_{jk}}{r_{jk}^{3}}\end{aligned}

היכן ש- \(\boldsymbol{r}_{k}\) הוא וקטור המקום אל הלולאה ה- \(k\). הכלת חוק אמפר (עם \(q\) שזירות "חיוביות") על הלולאה ה-\(k\) תיתן עתה:  

\begin{aligned}\oint_{C_{k}}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}_{k}\right)\cdot{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{k}&=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\sum_{j\neq{}k}\oint_{C_{k}}\oint_{C_{j}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{j}\times\boldsymbol{r}_{jk}\right)\cdot{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{k}}{r_{jk}^{3}}\\&=\frac{\mu_{0}i}{4\pi}\sum_{j\neq{}k}\oint_{C_{k}}\oint_{C_{j}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{k}\times{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{j}\right)\cdot\boldsymbol{r}_{jk}}{r_{jk}^{3}}\\&\stackrel{\displaystyle\text{אמפר}\atop\downarrow}{=}\:\mu_{0}q\left(p-1\right){}i\,,\end{aligned}

זאת הואיל ו- \(p-1\) זרמים חיוביים חוצים את הלולאה ה- \(k\), כ"א מהם בדיוק \(q\) פעמים. מן הסתם, במקרה הכללי יותר של \(m\) זרמים חיוביים ו- \(n\) זרמים שליליים,  \(q=m-n\).

מתוך כך מתקבל מספר הקשר לשזר-\(\left(p,q\right)\):

\begin{align}\tag{2}\frac{1}{4\pi}\sum_{j\neq{}k}\oint_{C_{k}}\oint_{C_{j}}\frac{\left({\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{k}\times{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{j}\right)\cdot\boldsymbol{r}_{jk}}{r_{jk}^{3}}\,=\,q\left(p-1\right)\in\mathbb{Z}\,.\end{align}

ובפרט, אין זה כלל משנה מי היא הלולאה ה- \(j\) אותה אנו מוציאים מן הסכימה ואין זה משנה מה צורתה המפורשת של כל לולאה; חוק אמפר ונוסחת ביו סבאר מבטיחים לנו שתמיד נקבל את אותה תוצאה, ותמיד היא תהיה מספר שלם.

תרגיל: מיצאו את סוג השזר וקבלו את מספר הקשר עבור שני השזרים מטה (האיור הימני נלקח מכאן, השמאלי מויקיפדיה):




הרשימה הבאה בנושא: אינטראקציות בין זרמים.




יום חמישי, 6 ביולי 2017

נוסחת ביו-סבאר

הקשר בין תופעות פיזיקליות לתוצאים מתמטיים טהורים תמיד שווה את ליבי. אחד היפים והפשוטים ביותר להבנה מגיע מהסקטור המגנטי של התורה האלקטרומגנטית, המצביע על אינווריאנטים טופולוגיים בתורת הקשרים (Knot Theory). כדי להבין את ההקשר אתחיל במשוואות שמקיים הפוטנציאל המגנטי הסטציונארי בכיול קולון, ואגזור מהן את הביטוי עבור העצמה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) כפונקציה של מקורותיה. הרשימה הזו תתמקד איפה בגזירתה של נוסחת ביו-סבאר.

שתי המשוואות הכלליות (חלקיות ומצומדות) עבור הפוטנציאל המגנטי \(\boldsymbol{A}\) והפוטנציאל החשמלי \(\phi\) פותחו ברשימה הזוג השני של משוואות מקסוול, ואני מניח אותם כאן במתכונתן הכללית ביותר:

\begin{aligned}\nabla^{2}\phi+\frac{\partial}{\partial{}t}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)&=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\\\nabla^{2}\boldsymbol{A}-\left(\mu_{0}\epsilon_{0}\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial{}t^{2}}-\nabla\left[\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)+\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial\phi}{\partial{}t}\right]&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\end{aligned}

היכן שהמשתנים  \(\rho\) ו- \(\boldsymbol{j}\) הם צפיפות המטען החשמלי וצפיפות הזרם החשמלי בהתאמה, ואילו הקבועים האוניברסליים \(\mu_{0}\) ו- \(\epsilon_{0}\) הם החדירות (permeability) וההרשאות (permittivity) של הואקום בהתאמה. המצב הסטציונארי מתאפיין בפוטנציאלים שאינם תלויים בזמן, וכיול קולון מוגדר להיות זה שעבורו \(\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0\); כידוע, בחירת הכיול אינה משנה כלל את הפיזיקה של המערכת הנידונה (על חופש הכיול תוכלו לקרוא כאן). כל זה משאיר אותנו עם שתי המשוואות החלקיות הלא מצומדות
\begin{align}\nabla^{2}\phi&=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\\\tag{a}\nabla^{2}\boldsymbol{A}&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\end{align}

המשוואה הראשונה מתארת את מבנה הפוטנציאל החשמלי בתנאים האמורים (ידועה גם כמשוואת פואסון), והשנייה את זה המגנטי. הואיל ובשדות מגנטיים עסקינן, אנו נמקד ענייננו במשוואה השניה, ומפתרונה הפורמלי נגזור את שדה העצמה המגנטית הנגרם בעטייו של שדה צפיפות הזרם \(\boldsymbol{j}\), ונחדד למקרה הפרטי של זרם חשמלי חד-מימדי \(i\).

ובכן, הפתרון הפורמלי של משוואה \((a)\) עבור הפוטנציאל המגנטי ניתן ע"י

\begin{align}\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{1}=\boldsymbol{A}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r'}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r'}}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\end{align}

באשר \(\Omega\) הוא התחום המרחבי בו קיימת צפיפות זרם כלשהי \(\boldsymbol{j}\) (תחום זה במרחב מכונה גם התומך של \(\boldsymbol{j}\)), ואילו \(\boldsymbol{A}_{0}\) היא החתיכה ההומוגנית של הפיתרון המקיימת \(\nabla^{2}\boldsymbol{A}_{0}\left(\boldsymbol{r}\right)\equiv\boldsymbol{0}\). בביטוי פורמלי זה \(r:=\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|\) הוא המרחק בין נקודת האינטגרציה \(\boldsymbol{r}'\) לבין המקום המיוחד \(\boldsymbol{r}\) בו אנו מודדים את ערך השדה הוקטורי \(\boldsymbol{A}\).

קל מאוד להראות את נכונותו וכלליותו של הפתרון הזה: שימו לב שאופרטור לפלאס פועל על כל מה שתלוי בקואורדינטה \(\boldsymbol{r}\) ובוודאי לא על משתנה האינטגרציה \(\boldsymbol{r}'\); לכן כל שעלינו לדעת הוא כיצד פועל זה על הפונקציה \(1/r\) המופיעה בתוך סימן האינטגרל. את הפיתוח המפורש תוכלו למצוא בחלק ב' של הרשימה פונקציית דלתא של דיראק כרגולטור של סינגולריות. התוצאה הסופית היא זו:

\begin{aligned}\nabla^{2}\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)=-4\pi\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)+4\pi\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\end{aligned}

באשר \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\) היא פונקציית דלתא המרחבית של דיראק. הבה נפעיל את אופרטור לפלאס על הפיתרון המוצע; ניעזר בתוצאה מלמעלה, נשתמש במשפט הדיברגנס (שימו לב שוב, \(\nabla\) פועל רק על מה שתלוי ב- \(\boldsymbol{r}\)) ונקבל:

\begin{aligned}\nabla^{2}\boldsymbol{A}&=\underbrace{\nabla^{2}\boldsymbol{A}_{0}}_{\equiv\;\boldsymbol{0}}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\nabla^{2}\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r'}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right]\\&=-\mu_{0}\int_{\Omega}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\left\{\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)-\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\right\}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)+\mu_{0}\int_{\Omega}\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\otimes\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)+\mu_{0}\underbrace{\int_{\partial\Omega}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\otimes\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}_{\text{מתאפס באופן זהותי}}\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)\end{aligned}

יפה; נוסחא \((1)\) היא אכן הפתרון הפורמלי למשוואה שמקיים הפוטנציאל המגנטי. הבו לי את התפלגות צפיפויות הזרם ובאמצעות אינטגרציה מרחבית אחשב את שדה הפוטנציאל. אבל כמובן כל עוד בפיזיקה קלאסית עסקינן, הרי שלא בפוטנציאל המגנטי אנו מעוניינים אלא בשדה העוצמה המגנטית.

את שדה העוצמה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) נקבל עתה מתוך הקשר \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\). ניעזר בזהות הוקטורית \(\nabla\times\left(\phi\boldsymbol{v}\right)=\left(\nabla\phi\right)\times\boldsymbol{v}+\phi\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)\) עבור \(\phi=1/r\) ו- \(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{j}\) ונקבל (מזכיר שוב, \(\boldsymbol{j}\) לא תלוי ב- \(\boldsymbol{r}\) אלא ב- \(\boldsymbol{r}'\), ואילו \(\nabla\) פועל לפי \(\boldsymbol{r}\)):

\begin{aligned}\boldsymbol{B}&=\nabla\times\boldsymbol{A}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\nabla\times\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right]\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=\boldsymbol{B}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\left\{\nabla\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\right\}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\end{aligned}
וכאן \(\boldsymbol{B}_{0}\) הוא שדה העצמה המגנטית הנגרם מהחתיכה ההומוגנית של וקטור הפוטנציאל, זו שאיננה ניזונה ממקורות זרם. ומהו הגרדיאנט של \(1/r\)? שוב אשלוף תוצאה מן המוכן,

\begin{aligned}\nabla\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)=-\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}+4\pi\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\end{aligned}
ואציגנה בפתרון הפורמלי עבור \(\boldsymbol{B}\):

\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)=\boldsymbol{B}_{0}&-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\\\phantom{=}&+\;\mu_{0}\underbrace{\int_{\Omega}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}_{\text{מתאפס באופן זהותי}}\end{aligned}

למען האמת, החתיכה ההומוגנית \(\boldsymbol{B}_{0}\) לא רולוונטית לענייננו היות והיא מייצגת שדה חיצוני שאינו ניזון כלל ממקורות הזרם סביבו; החתיכה הזו אמנם עשוייה להשפיע על מקורות הזרם אבל נקודת המוצא שלנו היא שצפיפות הזרם נתונה מלכתחילה כך שהשפעתו של השדה החיצוני כבר מוטמעת במבנה הנתון של צפיפות הזרם.

אם כך, נוכל לסכם:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{2}=&-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)^{3}}\end{align}

זוהי נוסחת ביו-סבאר לשדה העצמה המגנטית הנגרם בעטיו של שדה צפיפות הזרם. חשוב לציין שבמקרים רבים מדובר במשוואה אינטגרלית לגמרי לא טריוויאלית: צפיפות הזרם עצמה תלוייה בשדה המגנטי שמסביב וחוזר חלילה. ואולם במקרים בהם אין תלות כזו (למשל כשאנו מאלצים זרמים חשמליים במוליכים והשדה מסביב נגרם בעטיים) נוסחת ביו סבאר היא כלי שימושי ורב ערך. 

ומה קורה כאשר צפיפות הזרם מתמצאת בזרם קבוע \(i\) הזורם במוליך קווי? ובכן, במקרה זה תחום האינטגרציה \(\Omega\) מצטמצם לנפח התייל המוליך ואז \(\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\Rightarrow{}i\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\). מאחר והזרם הוא האינטגרל המשטחי של צפיפות הזרם על חתך המוליך אנו נותרים עם אינטגרציה לאורך המוליך \(C\), ונוסחת ביו-סבאר מצטמצמת לביטוי

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{3}=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\int_{C}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,.\end{align}


תרגיל קליל:

השתמשו בנוסחת ביו-סבאר כדי לחשב את השדה המגנטי סביב תיל ישר נושא זרם. הנחיה: בקואורדינטות גליליות, ובהתחשב בסימטריה של המערכת, \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)=\mathrm{d}z\,\widehat{\boldsymbol{z}}\times\left(\boldsymbol{r}-z\,\widehat{\boldsymbol{z}}\right)=\mathrm{d}z\,\widehat{\boldsymbol{z}}\times{}r\,\widehat{\boldsymbol{r}}=r\,\mathrm{d}z\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\).


תרגיל אקזוטי:

המונופול של דיראק הוא שדה עצמה מגנטית הקורן מנקודה כאילו היה בה "מטען מגנטי". קרינה מגנטית כזו מושרית מקונפיגורציית זרמים לא-ריאלית מהצורה של סלנואיד חצי אינסופי (מכונה גם "מיתר דיראק").

טענה: הפוטנציאל של המונופול של דיראק בקואורדינטות כדוריות נתון בביטוי 

\begin{aligned}\boldsymbol{A}\left(r,\theta,\varphi\right)\;=\;\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{A}_{-}=\displaystyle\frac{g}{4\pi}\left(\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{r{}\sin\theta}\right)\widehat{\boldsymbol{\varphi}}&&\theta\leq\pi/2\\\boldsymbol{A}_{+}=\displaystyle\frac{g}{4\pi}\left(\displaystyle\frac{-1-\cos\theta}{r{}\sin\theta}\right)\widehat{\boldsymbol{\varphi}}&&\theta>\pi/2\end{array}\right.\end{aligned}

היכן ש- \(g\) הוא עצמת המטען המגנטי האפקטיבי.

נחקור ונוכיח את הטענה בארבעה שלבים:
  1. היווכחו ש- \(\boldsymbol{A}_{-}\) סינגולרי על ציר \(z\) השלילי וש- \(\boldsymbol{A}_{+}\) סינגולרי על ציר \(z\) החיובי. ויחד עם זאת,
  2. הראו ש- \(\boldsymbol{A}_{-}=\boldsymbol{A}_{+}+\nabla\lambda\) ומיצאו את \(\lambda\). יוצא איפה ששני הפוטנציאלים על שתי ההימיספירות נבדלים זה מזה בטרנספורמציית כיול ולכן משלימים זה את זה על פני כל ההמיספרה. נובע מכך שהשדה המגנטי המושרה מהם מוגדר על פני כל המרחב המנוקב.
  3. הגדירו \(\boldsymbol{B}_{\pm}=\nabla\times\boldsymbol{A}_{\pm}\) והראו תוך שימוש בקואורדינטות כדוריות: \begin{aligned}(a)\quad&\boldsymbol{B}_{+}=\boldsymbol{B}_{-}={\left(g/4\pi\right)\boldsymbol{r}}/{r^{3}}\\(b)\quad&\nabla\cdot\boldsymbol{B}_{\pm}=0\;\;\text{for }\;\;r>0\\(c)\quad&\text{\(g\) השטף של \(\boldsymbol{B}_{\pm}\)  דרך מעטפת כדורית כלשהי שמרכזה בראשית הוא}\end{aligned} שימו לב ששלושת התכונות הללו מנפקות הקבלה מלאה לחוק גאוס החשמלי תחת ההחלפה \(g\Leftrightarrow{}q/\epsilon_{0}\).
  4. הראו שהשדה המונופולי הנ"ל קורן מקצהו החופשי של סלנואיד אידיאלי חצי אינסופי בו זורם זרם \(i\) ובטאו את "המטען המגנטי" במונחים של הזרם בסלנואיד. רמז: מיצאו הקבלה מתאימה בין הפוטנציאל המגנטי של סלנואיד לזה של המונופול של דיראק; עיבדו לנוחותכם בקואורדינטות גליליות.