יום חמישי, 6 ביולי 2017

מאלקטרומגנטיות לטופולוגיה של לולאות א'. נוסחת ביו-סבאר

הקשר בין תופעות פיזיקליות לתוצאים מתמטיים טהורים תמיד שווה את ליבי. אחד היפים והפשוטים ביותר להבנה מגיע מהסקטור המגנטי של התורה האלקטרומגנטית, המצביע על אינווריאנטים טופולוגיים בתורת הקשרים (Knot Theory). כדי להבין את ההקשר אתחיל במשוואות שמקיים הפוטנציאל המגנטי הסטציונארי בכיול קולון, ואגזור מהן את הביטוי עבור העצמה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) כפונקציה של מקורותיה. הרשימה הזו תתמקד איפה בגזירתה של נוסחת ביו-סבאר.

שתי המשוואות הכלליות (חלקיות ומצומדות) עבור הפוטנציאל המגנטי \(\boldsymbol{A}\) והפוטנציאל החשמלי \(\phi\) פותחו ברשימה הזוג השני של משוואות מקסוול, ואני מניח אותם כאן במתכונתן הכללית ביותר:

\begin{aligned}\nabla^{2}\phi+\frac{\partial}{\partial{}t}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)&=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\\\nabla^{2}\boldsymbol{A}-\left(\mu_{0}\epsilon_{0}\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial{}t^{2}}-\nabla\left[\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)+\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial\phi}{\partial{}t}\right]&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\end{aligned}

היכן שהמשתנים  \(\rho\) ו- \(\boldsymbol{j}\) הם צפיפות המטען החשמלי וצפיפות הזרם החשמלי בהתאמה, ואילו הקבועים האוניברסליים \(\mu_{0}\) ו- \(\epsilon_{0}\) הם החדירות (permeability) וההרשאות (permittivity) של הואקום בהתאמה. המצב הסטציונארי מתאפיין בפוטנציאלים שאינם תלויים בזמן, וכיול קולון מוגדר להיות זה שעבורו \(\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0\); כידוע, בחירת הכיול אינה משנה כלל את הפיזיקה של המערכת הנידונה (על חופש הכיול תוכלו לקרוא כאן). כל זה משאיר אותנו עם שתי המשוואות החלקיות הלא מצומדות

\begin{align}\nabla^{2}\phi&=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\\\tag{a}\nabla^{2}\boldsymbol{A}&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\end{align}

המשוואה הראשונה מתארת את מבנה הפוטנציאל החשמלי בתנאים האמורים (ידועה גם כמשוואת פואסון), והשנייה את זה המגנטי. הואיל ובשדות מגנטיים עסקינן, אנו נמקד ענייננו במשוואה השניה, ומפתרונה הפורמלי נגזור את שדה העצמה המגנטית הנגרם בעטייו של שדה צפיפות הזרם \(\boldsymbol{j}\), ונחדד למקרה הפרטי של זרם חשמלי חד-מימדי \(i\).

ובכן, הפתרון הפורמלי של משוואה \((a)\) עבור הפוטנציאל המגנטי ניתן ע"י

\begin{align}\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{1}=\boldsymbol{A}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r'}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r'}}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\end{align}

באשר \(\Omega\) הוא התחום המרחבי בו קיימת צפיפות זרם כלשהי \(\boldsymbol{j}\) (תחום זה במרחב מכונה גם התומך של \(\boldsymbol{j}\)), ואילו \(\boldsymbol{A}_{0}\) היא החתיכה ההומוגנית של הפיתרון המקיימת \(\nabla^{2}\boldsymbol{A}_{0}\left(\boldsymbol{r}\right)\equiv\boldsymbol{0}\). בביטוי פורמלי זה \(r:=\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|\) הוא המרחק בין נקודת האינטגרציה \(\boldsymbol{r}'\) לבין המקום המיוחד \(\boldsymbol{r}\) בו אנו מודדים את ערך השדה הוקטורי \(\boldsymbol{A}\).

קל מאוד להראות את נכונותו וכלליותו של הפתרון הזה: שימו לב שאופרטור לפלאס פועל על כל מה שתלוי בקואורדינטה \(\boldsymbol{r}\) ובוודאי לא על משתנה האינטגרציה \(\boldsymbol{r}'\); לכן כל שעלינו לדעת הוא כיצד פועל זה על הפונקציה \(1/r\) המופיעה בתוך סימן האינטגרל. את הפיתוח המפורש תוכלו למצוא בחלק ב' של הרשימה פונקציית דלתא של דיראק כרגולטור של סינגולריות. התוצאה הסופית היא זו:

\begin{aligned}\nabla^{2}\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)=-4\pi\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)+4\pi\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\end{aligned}

באשר \(\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\) היא פונקציית דלתא המרחבית של דיראק. הבה נפעיל את אופרטור לפלאס על הפיתרון המוצע; ניעזר בתוצאה מלמעלה, נשתמש במשפט הדיברגנס (שימו לב שוב, \(\nabla\) פועל רק על מה שתלוי ב- \(\boldsymbol{r}\)) ונקבל:

\begin{aligned}\nabla^{2}\boldsymbol{A}&=\underbrace{\nabla^{2}\boldsymbol{A}_{0}}_{\equiv\;\boldsymbol{0}}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\nabla^{2}\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r'}\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right]\\&=-\mu_{0}\int_{\Omega}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\left\{\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)-\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\right\}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)+\mu_{0}\int_{\Omega}\nabla\cdot\Big[\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\otimes\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\Big]\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)+\mu_{0}\underbrace{\int_{\partial\Omega}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\otimes\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}_{\text{מתאפס באופן זהותי}}\\&=-\mu_{0}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)\end{aligned}

יפה; נוסחא \((1)\) היא אכן הפתרון הפורמלי למשוואה שמקיים הפוטנציאל המגנטי. הבו לי את התפלגות צפיפויות הזרם ובאמצעות אינטגרציה מרחבית אחשב את שדה הפוטנציאל. אבל כמובן כל עוד בפיזיקה קלאסית עסקינן, הרי שלא בפוטנציאל המגנטי אנו מעוניינים אלא בשדה העוצמה המגנטית.

את שדה העוצמה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) נקבל עתה מתוך הקשר \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\). ניעזר בזהות הוקטורית \(\nabla\times\left(\phi\boldsymbol{v}\right)=\left(\nabla\phi\right)\times\boldsymbol{v}+\phi\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)\) עבור \(\phi=1/r\) ו- \(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{j}\) ונקבל (מזכיר שוב, \(\boldsymbol{j}\) לא תלוי ב- \(\boldsymbol{r}\) אלא ב- \(\boldsymbol{r}'\), ואילו \(\nabla\) פועל לפי \(\boldsymbol{r}\)):

\begin{aligned}\boldsymbol{B}&=\nabla\times\boldsymbol{A}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\nabla\times\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right]\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\\&=\boldsymbol{B}_{0}+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\left\{\nabla\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\right\}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\end{aligned}
וכאן \(\boldsymbol{B}_{0}\) הוא שדה העצמה המגנטית הנגרם מהחתיכה ההומוגנית של וקטור הפוטנציאל, זו שאיננה ניזונה ממקורות זרם. ומהו הגרדיאנט של \(1/r\)? שוב אשלוף תוצאה מן המוכן,

\begin{aligned}\nabla\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|}\right)=-\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}+4\pi\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\end{aligned}
ואציגנה בפתרון הפורמלי עבור \(\boldsymbol{B}\):

\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)=\boldsymbol{B}_{0}&-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\\\phantom{=}&+\;\mu_{0}\underbrace{\int_{\Omega}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}_{\text{מתאפס באופן זהותי}}\end{aligned}

למען האמת, החתיכה ההומוגנית \(\boldsymbol{B}_{0}\) לא רולוונטית לענייננו היות והיא מייצגת שדה חיצוני שאינו ניזון כלל ממקורות הזרם סביבו; החתיכה הזו אמנם עשוייה להשפיע על מקורות הזרם אבל נקודת המוצא שלנו היא שצפיפות הזרם נתונה מלכתחילה כך שהשפעתו של השדה החיצוני כבר מוטמעת במבנה הנתון של צפיפות הזרם.

אם כך, נוכל לסכם:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{2}=&-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\times\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'}{\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)^{3}}\end{align}

זוהי נוסחת ביו-סבאר לשדה העצמה המגנטית הנגרם בעטיו של שדה צפיפות הזרם. חשוב לציין שבמקרים רבים מדובר במשוואה אינטגרלית לגמרי לא טריוויאלית: צפיפות הזרם עצמה תלוייה בשדה המגנטי שמסביב וחוזר חלילה. ואולם במקרים בהם אין תלות כזו (למשל כשאנו מאלצים זרמים חשמליים במוליכים והשדה מסביב נגרם בעטיים) נוסחת ביו סבאר היא כלי שימושי ורב ערך. 

ומה קורה כאשר צפיפות הזרם מתמצאת בזרם קבוע \(i\) הזורם במוליך קווי? ובכן, במקרה זה תחום האינטגרציה \(\Omega\) מצטמצם לנפח התייל המוליך ואז \(\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\Rightarrow{}i\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\). מאחר והזרם הוא האינטגרל המשטחי של צפיפות הזרם על חתך המוליך אנו נותרים עם אינטגרציה לאורך המוליך \(C\), ונוסחת ביו-סבאר מצטמצמת לביטוי

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\tag{3}=\left(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\right)i\int_{C}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}'\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,.\end{align}

תרגיל:

המונופול של דיראק הוא שדה עצמה מגנטית הקורן מנקודה כאילו היה בה "מטען מגנטי". קרינה מגנטית כזו מושרית מקונפיגורציית זרמים לא-ריאלית מהצורה של סלנואיד חצי אינסופי (מכונה גם "מיתר דיראק").

טענה: הפוטנציאל של המונופול של דיראק בקואורדינטות כדוריות נתון בביטוי 

\begin{aligned}\boldsymbol{A}\left(r,\theta,\varphi\right)\;=\;\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{A}_{-}=\displaystyle\frac{g}{4\pi}\left(\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{r{}\sin\theta}\right)\widehat{\boldsymbol{\varphi}}&&\theta\leq\pi/2\\\boldsymbol{A}_{+}=\displaystyle\frac{g}{4\pi}\left(\displaystyle\frac{-1-\cos\theta}{r{}\sin\theta}\right)\widehat{\boldsymbol{\varphi}}&&\theta>\pi/2\end{array}\right.\end{aligned}

היכן ש- \(g\) הוא עצמת המטען המגנטי האפקטיבי.

נחקור ונוכיח את הטענה בארבעה שלבים:
  1. היווכחו ש- \(\boldsymbol{A}_{-}\) סינגולרי על ציר \(z\) השלילי וש- \(\boldsymbol{A}_{+}\) סינגולרי על ציר \(z\) החיובי. ויחד עם זאת,
  2. הראו ש- \(\boldsymbol{A}_{-}=\boldsymbol{A}_{+}+\nabla\lambda\) ומיצאו את \(\lambda\). יוצא איפה ששני הפוטנציאלים על שתי ההימיספירות נבדלים זה מזה בטרנספורמציית כיול ולכן משלימים זה את זה על פני כל ההמיספרה. נובע מכך שהשדה המגנטי המושרה מהם מוגדר על פני כל המרחב המנוקב.
  3. הגדירו \(\boldsymbol{B}_{\pm}=\nabla\times\boldsymbol{A}_{\pm}\) והראו תוך שימוש בקואורדינטות כדוריות: \begin{aligned}(a)\quad&\boldsymbol{B}_{+}=\boldsymbol{B}_{-}={\left(g/4\pi\right)\boldsymbol{r}}/{r^{3}}\\(b)\quad&\nabla\cdot\boldsymbol{B}_{\pm}=0\;\;\text{for }\;\;r>0\\(c)\quad&\text{\(g\) השטף של \(\boldsymbol{B}_{\pm}\)  דרך מעטפת כדורית כלשהי שמרכזה בראשית הוא}\end{aligned} שימו לב ששלושת התכונות הללו מנפקות הקבלה מלאה לחוק גאוס החשמלי תחת ההחלפה \(g\Leftrightarrow{}q/\epsilon_{0}\).
  4. הראו שהשדה המונופולי הנ"ל קורן מקצהו החופשי של סלנואיד אידיאלי חצי אינסופי בו זורם זרם \(i\) ובטאו את "המטען המגנטי" במונחים של הזרם בסלנואיד. רמז: מיצאו הקבלה מתאימה בין הפוטנציאל המגנטי של סלנואיד לזה של המונופול של דיראק; עיבדו לנוחותכם בקואורדינטות גליליות.




יום ראשון, 9 באפריל 2017

הלחץ הברומטרי

הרשימה הזו שייכת לתחום שהמעטתי מאוד לעסוק בו בעברי המקצועי: תרמודינמיקה. ובכן, סקרנותי הוליכה אותי לחשב את הלחץ האטמוספרי היציב הממוצע בכל גובה נתון מעל פני הים בשכבת מזג האוויר (המכונה טרופוספירה) הנישאת לרום ממוצע של כאחד-עשר קילומטרים מעל פני הים, זאת בהסתמך על המכניקה הניוטונית ומשוואת המצב של הגזים האידיאלים. החשבונות - כך הסתבר לי למגינת לבי - כרוכים בהכפלה של לא מעט מספרים מרובי ספרות אבל התוצאה הסופית נראית משביעת רצון...

ראשית חכמה נגדיר כמה מושגים. יהיה \(\mathrm{d}\boldsymbol{f}\) וקטור אלמנט כוח אינפיניטסימלי הפועל על אלמנט שטח אינפיניטסימלי \(\mathrm{d}s\) של משטח כלשהו, ויהיה \(\widehat{\boldsymbol{n}}\) וקטור היחידה הנורמלי לאלמנט השטח הזה, כך ש- \(\mathrm{d}\boldsymbol{s}:=\widehat{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}s\). הלחץ \(p\) הוא גודל סקלרי המוגדר דרך הקשר \begin{aligned}p\,\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\mathrm{d}\boldsymbol{f}\quad\Rightarrow\quad{}p\,\widehat{\boldsymbol{n}}=\mathrm{d}\boldsymbol{f}/\mathrm{d}s\quad\Rightarrow\quad{}p=\mathrm{d}f_{n}/\mathrm{d}s\end{aligned}כלומר הוא מבטא באופן מקומי את הכוח הנורמלי ליחידת שטח. ובפרט, עבור כוח קבוע הניצב למשטח ישר מתקבל הקשר המוכר \(p=f/s\). היות והלחץ הוא גודל סקלרי, הרי שמהחוק השלישי של ניוטון נובע שהלחץ בנקודה מסויימת הנמצאת בשיווי משקל מכני, שווה מכל הכיוונים. לא זו גם זו, מבט חטוף על ההגדרה מגלה שללחץ יש מימדים של צפיפות אנרגיה מה שמאפשר לשלבו במשוואות שימור אנרגיה.

הלחץ הברומטרי בגובה מסויים מעל פני הים הוא הלחץ ההידרוסטטי הממוצע שמפעילה עמודת אטמוספירה על אריח שטח קטנטן המקביל לפני כדור הארץ בגובה זה. מקורו של הלחץ בכוח המשיכה הכבידתי הממוצע הפועל על עמודת האטמוספירה מתקרת האטמוספרה ועד אותו אריח, מחולק בשטח האריח. ובפרט, הלחץ הברומטרי הממוצע בגובה פני הים הנגרם כתוצאה ממשקל עמודת האוויר המונחת מעליו, מבסיס האטמוספרה ועד לתקרתה, מכונה פשוט... אטמוספירה אחת.

כמה זו אטמוספירה אחת? על פי ויקיפדיה \({1\text{at}}\approx10.13_{\,\text{N}/\text{cm}^{2}}\) או \(101,300\) ניוטון למ"ר. את היחידה ניוטון אחד למטר בריבוע מכנים אחד פסקל; מאה אלף פסקל מכונים אחד בר ולכן הלחץ הברומטרי הממוצע בגובה פני הים הוא בקרוב \(1.013\) בר או \(1013\) מיליבר. מקובל עוד להשתמש ביחידות מוזרות המכונות "מילימטר כספית" הואיל ועמודת כספית בגובה של \(760\) מילימטר נותנת קונטרה ללחץ האטמוספרי של \(1\text{at}\); כך היה נהוג פעם למדוד לחצים (פעם = עד ימי נעוריי...).

גז אידיאלי הוא מודל לחומר במצב צבירה גזי אשר פרודותיו הנקודתיות אינן מבצעות אינטראקציה זו עם זו למעט התנגשויות אלסטיות אקראיות. מה פירוש התנגשויות אלסטיות? כאלו המשמרות אנרגיה מכנית. מתי אפשר להתייחס לגז כאל אידיאלי? מן הסתם כאשר הטמפרטורה של הגז גדולה והלחץ נמוך. וזאת למה? היות שאז האנרגיה הקינטית של הפרודות דומיננטית ביחס לאנרגיה הפוטנציאלית לאינטראקציה חשמלית ביניהן. ובפרט, גז אידיאלי ממדל במידה טובה למדי כל גז דליל הנמצא בשיווי משקל תרמודינמי, ובתוך כך - בדיוק לגמרי לא רע - גם את עמודת האטמוספירה של כדור הארץ.

גז אידיאלי כפוף למשוואת המצב
\begin{align}\tag{1}p=\rho{}k_{B}T\end{align}
באשר \(p\) מייצג כמובן את הלחץ, \(\rho\) את צפיפות הפרודות ליחידת נפח, \(T\) היא הטמפרטורה של הגז, ו- \(k_{B}\) הוא קבוע בולצמן המקשר בין מושג הטמפרטורה למושג האנרגיה הקינטית הממוצעת של הפרודות בגז פר דרגת חופש, \(\left<E_{k}\right>=\frac{1}{2}k_{B}T\) (מכונה גם אנרגיה תרמית). ובפרט, כאשר האנרגיה הקינטית הממוצעת לדרגת חופש נתונה בג'אולים, והטמפרטורה נתונה במעלות קלווין, \(k_{B}=1.38\times{}10^{-23}_{\quad\text{J/K}}\).

אין זה מענייננו כרגע כיצד פותחה משוואת המצב של הגז האידיאלי, די לנו בעובדה האמפירית שהמשוואה אכן מתארת גז בתנאים לא קיצוניים של לחץ ו/או טמפרטורה. משוואת המצב הזו תהיה הבסיס לחישובנו, ובעזרתה נגזור משוואה דיפרנציאלית שפתרונה ינפק את הלחץ הברומטרי בכל גובה.

כידוע, גודלו של כוח המשיכה הכבידתי הפועל על מסה \(m\) כלשהי הוא מכפלת המסה בעצמת שדה הכבידה \(g\left(r\right)\) במקום בו היא נמצאת על הציר הרדיאלי היוצא ממרכז כדור הארץ, וכיוונו לעבר מרכז כדה"א; בשפה וקטורית, \(\boldsymbol{f}\left(r\right)=m\boldsymbol{g}\left(r\right)\).

היות ועובי האטמוספירה מזערי ביחס לרדיוס כדור הארץ, נוח יותר יהיה לנו לעבוד עם הקואורדינטה הקרטזית \(z\) המתארת את הגובה מעל פני האדמה, כך שאם רדיוס כדור הארץ הממוצע הוא \(R_{E}\) הרי ש- \(r\left(z\right)=R_{E}+z\); ובפרט, צפיפות כוח הכבידה הפועל על אלמנט נפח אינפיניטסימלי \(\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\) של גוף האוויר ניתנת ע"י

\begin{align}\tag{2}\mathrm{d}\boldsymbol{f}\left(z\right)=\underbrace{\rho_{m}\left(z\right)\mathrm{d}V}_{\mathrm{d}m\left(z\right)}\times{}g\left(z\right)(-\widehat{\boldsymbol{z}})\end{align}
היכן ש- \(\rho_{m}=\rho{}m^{\ast}\) באשר \(m^{\ast}\) היא המסה הממוצעת של הפרודה הבודדת, \(\rho\) הוא כזכור צפיפות הפרודות ליחידת נפח, ו- \(\mathrm{d}m\left(z\right)\) היא מסתו של אלמנט נפחי אינפיניטסימלי של אוויר בגובה \(z\) מעל פני הים.

מהחוק השלישי של ניוטון, אותו אלמנט נפח אוורירי מפעיל על כדה"א כוח השווה בגודלו והפוך בכיוונו לזה שכדה"א מפעיל עליו; הכוח הזה הוא המקור ללחץ הברומטרי. במונחים של הלחץ כפי שהגדרנו אותו בפתיח לרשימה תירשם המשוואה המעלה כ- (היווכחו בכך מפורשות)
\begin{align}\tag{3}\mathrm{d}p\left(z\right)=-\rho_{m}\left(z\right)g\left(z\right)\mathrm{d}z\end{align}

כמובן, שאלת השאלות היא מהן התלויות של המשתנים השונים בקואורדינטה \(z\)? את התלות של שדה הכבידה \(g\left(z\right)\) בקואורדינטה \(z\) נשלוף מתוך הנוסחא הניוטונית לכוח הכבידה,
\begin{aligned}g\left(z\right)=\frac{GM}{\left(R_{E}+z\right)^{2}}\end{aligned}
באשר \(G\) הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, ו- \(M\) היא מסת כדור הארץ. את \(\rho_{m}\left(z\right)\) - צפיפות המסה של עמודת אוויר בגובה \(z\) מטרים מעל פני הים - נקבל ממשוואה המצב של הגז האידיאלי,
\begin{aligned}\rho_{m}\left(z\right)=\frac{p\left(z\right)m^{\ast}}{k_{B}T\left(z\right)}\end{aligned}
(כזכור, כאן \(m^{\ast}\) היא מסתה הממוצעת של פרודת האוויר הבודדת). נציג את הביטויים הללו במשוואה הדיפרנצאלית \(\left(3\right)\) ונקבל

\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{-K\,\mathrm{d}z}{\left(R_{E}+z\right)^{2}T\left(z\right)}\,,\end{aligned}
היכן ש-\(K\) עומדת עבור כל הקבועים במשוואה (חשבון מייד), ו- \(R_{E}\) הוא כאמור הרדיוס של כדור הארץ, אשר ערכו הממוצע הוא \(6,372,797\) מטרים. המסה הממוצעת של מולקולת אוויר (יבש) היא בערך \(4.81\times10^{-26}\) קילוגרם ומכאן,

\begin{aligned}K=\frac{GMm^{\ast}}{k_{B}}&\approx\frac{\left(6.67\times10^{-11}\right)\times\left(5.97\times10^{24}\right)\times\left(4.81\times10^{-26}\right)}{1.38\times10^{-23}}\\&\approx1.388\times10^{12}_{\text{קלווין}\times\text{מטר}}\end{aligned}

שאלת השאלות היא כמובן כיצד משתנה הטמפרטורה עם הגובה. ובכן, התשובה לשאלה הזו אינה פשוטה היות והטמפרטורה מושפעת מגורמים שונים אשר הדומיננטיות שלהם משתנה עם הגובה. הנה גרף שמספקת לנו ויקיפדיה והוא מבוסס בעיקר על מדידות אמפריות:




כפי שאפשר לראות מהגרף השתנויות הלחץ והצפיפות אינן לינאריות אך (למרבה הפליאה) הטמפרטורה משתנה לינארית למקוטעין... מהם גורמי ההשפעה העיקריים? ככל שידיעתי מגעת יש שלושה כאלו:
  1. קונבקציה: קרינת השמש בכל המנעד שלה (הנקבע על פי חוק ווין) מחממת את האדמה, וזו בתורה פולטת קרינה בעיקר בתחום האינפרא-אדום המחממת את מסת האוויר שמעל. מסת האוויר הזו מתרחבת, צפיפותה יורדת והיא מטפסת למעלה עד שמתקבלת (בשיווי משקל תרמודינמי) השוואת צפיפויות.
  2. חימום קרינתי: האטמוספירה עצמה בולעת חלק מהקרינה באורכי הגל הארוכים של המנעד ומתחממת בשל כך. אורכי הגל הקצרים יותר אינם נבלעים בה: הכחול מתפזר (ובשל כך השמיים כחולים) והאולטרא סגול בחלקו חודר (ובשל כך החשיפה לשמש בעייתית מבחינה בריאותית).
  3. רוח השמש: האינטראקציה של רוח השמש עם תקרת האטמוספירה מייננת אותה ובתוך כדי כך משחררת "קליעים" המעבירים אנרגיה קינטית לאזור הסטרטוספירה. גורם זה הוא ככל הנראה מקור החימום הדומיננטי בגבהים של כחמישים קילומטרים.

  4. (ודאי שישנם גורמים נוספים אשר בממוצע הם אמנם פחות דומיננטיים אך הם עשויים להתעצם במקום מסויים ובזמן מסויים. כדוגמאות נוכל למנות את האלבדו של העננים, את החום הכמוס של המים במצבי הצבירה השונים, את האינטראקציה של גופי האוויר עם זרמי האוקינוס, ועוד ועוד.)

אנו מתעניינים בהשתנות הלחץ באזור הטרופוספירה, כלומר מגובה פני הים ועד לגובה של בערך אחד-עשר קילומטרים; מעבר לגובה זה הטמפרטורה עולה ותופעות מזג האוויר נחסמות אוטומטית. זהו מעין מצב יציב ותמידי של "אינברסיה סטרטוספירית" כאשר אוויר חם רוכב תמידית ע"ג אוויר קר ממנו; במקרה זה אין ערבוליות בין שתי שכבות סמוכות וממילא לא יכולות להתהוות תופעות מזג האוויר המוכרות לנו מהטרופוספירה.

עובדה זו תאפשר לנו להסתפק באינטגרציה רק עד גובה תקרת הטרופוספירה; כמובן שגם השכבות הגבוהות יותר תורמות ללחץ בכל נקודת גובה, אלא שתרומתן היא בעלת ערך קבוע ובכל מקרה - וכפי שמייד ניווכח - נוכל להעריכה נכוחה באמצעות הלחץ בגובה פני הים.

ובכן באינטרוול הטרופוספרי השתנות הטמפרטורה (הנמדדת במעלות קלווין) עם הגובה (הנמדד במטרים) ניתנת לתאור הלינארי,
\begin{align}T\left(z\right)&\phantom{:}=287-\left(6.49\times10^{-3}\right)z\\&:=a-bz\end{align}
הערכים המספריים בקשר הזה התקבלו באופן אמפירי: המספר \(287\) מבטא את הטמפרטורה הממוצעת במעלות קלווין בגובה פני הים (14 מעלות צלזיוס), ואילו המספר \(0.00649\) מבטא את העובדה הניצפת שהטמפרטורה יורדת בממוצע ב- \(0.00649\) מעלות קלווין לכל עלייה של מטר בגובה. ובפרט, לכל עליה של \(1000\) מטרים בגובה צפויה ירידה של \(6.49\) מעלות.

נציג זאת עתה במשוואה הדיפרנציאלית עבוד הלחץ ונאסכם מתקרת הטרופוספירה, דהיינו מגובה \(z^{\star}=11,000_{\text{ק"מ}}\) היכן שהלחץ הוא \(p^{\star}\), ועד לגובה \(z\) כלשהו מעל פני הים היכן שהלחץ הוא \(p\left(z\right)\). את האינטגרציה הפרמטרית נבצע באמצעות פירוק לשברים חלקיים (טרחתי ועשיתי והשוותי לתוצאה המתקבלת מהאינטגרטור של וולפראם - תואם!) והרי התוצאה הסופית:

\begin{align}\tag{4}\ln\left(\frac{p}{p^{\star}}\right)&=\int_{z'=z^{\star}}^{z'=z}\frac{-K\mathrm{d}z'}{\left(R_{E}+z'\right)^{2}\left(a-bz'\right)}\\\\&=\left\{\frac{\frac{K}{a+bR_{E}}}{R_{E}+z'}+\ln\left[\left(\frac{a-bz'}{R_{E}+z'}\right)^{\frac{Kb}{\left(a+bR_{E}\right)^{2}}}\right]\right\}_{z'=z^{\star}}^{z'=z}
\end{align}
נגדיר פרמטרים חדשים לנוחותינו (שימו לב לא לבלבל בין קבוע בולצמן \(k_{B}\) לבין המספר \(Kb\) המורכב ממכפלה של קבועים):
\begin{aligned}\alpha&=\frac{K}{a+bR_{E}}=33,328,168.8_{\;\text{מטר}}\\\beta&=\frac{Kb}{\left(a+bR_{E}\right)^{2}}\approx5.1937\qquad(\text{חסר יחידות})\end{aligned}
ונקבל
\begin{align}\tag{5}p\left(z\right)=\underbrace{p^{\star}\,e^{-\frac{\alpha}{R_{E}+z^{\star}}}\left(\frac{a-bz^{\star}}{R_{E}+z^{\star}}\right)^{-\beta}}_{{\text{קבוע שיקבע על-פי הלחץ}\atop\text{הברומטרי בגובה פני הים}}\quad{}P=:}\left(\frac{a-bz}{R_{E}+z}\right)^{\beta}e^{\frac{\alpha}{R_{E}+z}}\end{align}
כאמור, את \(P\) - קבוע בעל מימדיות לא-טריוויאלית - נחשב באמצעות הדרישה ללחץ אטמוספירי בגובה פני הים:
\begin{aligned}p\left(z=0\right)&\stackrel{\text{דרישה}\atop\downarrow}{=}1.013_{\text{בר}}=P\,\left(\frac{a}{R_{E}}\right)^{\beta}e^{\alpha/R_{E}}\\&\Rightarrow\quad{}P\approx2.0347147\times10^{20}_{\;\left(\frac{\text{מטר}}{\text{קלווין}}\right)^{\beta}\times\text{בר}}\end{aligned}

נציג זאת חזרה במשוואה (\(5\)) עבור הלחץ, נפרוט את הקבועים השונים למספרים, ונקבל ביטוי סגור מלא וסופי עבור התלות של הלחץ הברומטרי (בתנאים אטמוספריים יציבים) בגובה:

\begin{align}&p\left(z\right)\approx\\&\;\;2.0347147\times10^{20}\times\left(\frac{287-0.00649\,z}{6,372,797+z}\right)^{5.1937}\exp\left\{\frac{33,328,169}{6,372,797+z}\right\}\end{align}

הנה גרף של הלחץ ביחידות של בר כפונקציה של הגובה מעל פני הים במטרים (שורטט בעזרת וולפראם-אלפא):



מתוך הביטוי שקיבלנו נוכל על-נקלה לשלוף את תרומת השכבות הגבוהות של האטמוספירה (הסטרטוספירה המזוספירה והיונוספירה) ללחץ: \(p^{\star}=p\left(z=11,000\right)\approx225.33_{\text{מיליבר}}\). ומהו הלחץ הברומטרי התקני היכן שאנו מתגוררים, בצפון רמת הגולן ברום של 1070 מטרים מעל פני הים? נציג \(z=1070_{\text{מטר}}\) בביטוי דלעיל עבור הלחץ ונקבל:

\begin{aligned}p\left(z=1070_{\,\text{מטר}}\right)\approx890.4_{\,\text{מיליבר}}\end{aligned}