יום שני, 6 ביוני 2016

תנועה בהשפעת כוח צנטרפוגלי

הכוח הצנטרפוגלי אמנם אין בו ממש אבל די בו כדי להותיר חותם ממשי בפעוט שהוריו הניחוהו על קרוסלה מתוך ביטחון מופרך שזה בדיוק מה שהוא אוהב... להסתחרר ולהסתובב... וכשהפעוט אחוז הפלצות מועלה על מכשיר העינויים, הרי שיצר ההשרדות הבריא והטבעי יובילו לאחוז בכל כוחו בידית שלפניו לבל יעוף לכל הרוחות. טבעם של אירועים טראומטיים רגעיים בילדות הוא להתנדף ולהתפוגג; בחלוף דור נשכחים לקחי החיים והעולל שבגר הופך הוא עצמו בתום-ליבו למתעלל בעוללו...  טוב, משנתבררה המוטיבציה נעבור לפרקטיקה.

הבה נתאר לעצמנו מוט צירי חלק לגמרי ועליו מושחל חרוז תואם. המוט מונח על משטח המקביל לפני הארץ והוא מסתובב במהירות זוויתית קבועה \(\boldsymbol{\omega}\) סביב ציר ניצב העובר דרך מרכזו (לצורך פשטות הדיון אנו נסתפק במהירות זוויתית קבועה); בנקודת מפגש זו נניח את הראשית \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\). ברשימה הזו אנסה לבאר מה מכתיב את הדינמיקה של החרוז אשר הכוח הממשי היחיד הפועל עליו הוא כוח צידי.

ראשית חכמה נשיב על השאלה המתבקשת מאליה: תחת תנאי ההתחלה \(\boldsymbol{r}\left(t=0\right)=\boldsymbol{r}_{0}\) וכן \(\dot{\boldsymbol{r}}\left(t=0\right)=\boldsymbol{v}_{0}\), מה יהיה מיקומו של החרוז בכל זמן \(t>0\)? 

קל לראות שקל לפתור את השאלה מתוך המערכת המסתובבת (אך כפי שמיד ניווכח אין בכך הכרח). במערכת זו פועלים על החרוז המושחל אך ורק הכוחות המדומים הנגרמים בעטיו של הסיבוב, וכמובן הכוחות הנורמליים שמפעיל המוט על החרוז במהלך תנועתו. כפי שהראתי בעבר ברשימה "כוחות מדומים במערכות מסתובבות", החוק השני של ניוטון במקרה זה מנפק את המשוואה:

\begin{align}\tag{1}\ddot{\boldsymbol{r}}\;=\underbrace{\boldsymbol{N}/m}_{\text{מהכוח}\atop\text{הנורמלי}}\;\underbrace{-\;\underbrace{\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}}_{\text{מכוח אוילר}}-\underbrace{2\left(\boldsymbol{\omega}\times\dot{\boldsymbol{r}}\right)}_{\text{מכוח קוריוליס}}-\,\underbrace{\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\right)}_{\text{מהכוח הצנטרפוגלי}}}_{\text{תאוצות בעטיים של כוחות מדומים שונים ומשונים}}\end{align}
היכן ש- \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) הוא וקטור המקום של החרוז, \(\ddot{\boldsymbol{r}}\left(t\right)\) וקטור תאוצתו, ו-\(\boldsymbol{N}\) הוא שקול הכוחות הנורמלים הפועל על עליו. 

ברי שמתוך המערכת המסתובבת \(\dot{\boldsymbol{r}}\) מצביע בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) הקבוע בזמן (שהרי הצופה מסתובב יחד עם המערכת). היות ו- \(\boldsymbol{\omega}=\text{const}\), כוח אוילר ממילא מתאפס, ואילו כוח קוריוליס ניצב לכיוון התנועה ומנוטרל ע"י הכוח הנורמלי שמפעיל המוט, כפי שמכתיב זאת החוק הראשון של ניוטון המותאם למערכת המסתובבת. יוצא איפה שעל ציר התנועה אנו נשארים אך ורק עם הכוח הצנטרפוגלי, ומאחר וציר זה ניצב לציר הסיבוב הוא מקבל את הצורה:
\begin{aligned}-\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\right)=-\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{r}\right)\boldsymbol{\omega}+\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\omega}\right)\boldsymbol{r}=\omega^{2}\boldsymbol{r}\end{aligned}
מתקבלת איפה המשוואה הדיפרנציאלית הוקטורית \(\ddot{\boldsymbol{r}}=\omega^{2}\boldsymbol{r}\) ופתרונה (המכבד את תנאי ההתחלה) הוא 
\begin{aligned}\boldsymbol{r}\left(t\right)=\boldsymbol{r}_{0}\cosh\,\omega{}t+\left(\boldsymbol{v}_{0}/\omega\right)\sinh\,\omega{}t\end{aligned}

ובפרט, אם החרוז מתחיל תנועתו ממנוחה, \(\boldsymbol{r}\left(t\right)=\boldsymbol{r}_{0}\cosh\,\omega{}t\) ומקבלים 'בריחה' קושינוסיאלית החוצה מציר הסיבוב, והואיל ו- \(\ddot{\boldsymbol{r}}\propto\boldsymbol{r}\), גם תאוצה קושינוסיאלית בכיוון ציר זה.

התוצאה הזו, הגם שהיא צפויה אינטואיטיבית, לא כל כך קלה לקבלה מנקודת מבט של מערכת התמד. אחרי ככלות הכל מנקודת מבט זו נראה כאילו שום דבר לא מפעיל על החרוז כוח בכיוון תנועתו; מדוע אם כך שיאיץ בכיוון תנועתו? יש המתעקשים להסביר את תנועתו מן המרכז ולחוץ באופן הבא: מרגע שרכש מהירות משיקית ינוע החרוז במהירות קצובה ובקו ישר, ונקודת החיתוך של המוט המסתובב עם הקו הזה מבטאת את מיקומו של החרוז על פני מישור התנועה. אלא שלפי ההסבר הזה בתום רבע סיבוב ימצא החרוז באינסוף...

ובכל זאת, ברור שההתמדה משחקת כאן תפקיד קרדינלי. הבה נתאר את תנועת החרוז "מבחוץ" היינו, מנקודת מבט של צופה מתמיד. נוח מאוד לעבוד עתה בקואורדינטות גליליות, המכבדות את הסימטריה של המערכת המסתובבת. בנספח שבסוף הרשימה מוראה במפורש שוקטור התאוצה בקואורדינטות גליליות ניתן ע"י
\begin{aligned}\ddot{\boldsymbol{r}}=\big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\big)\widehat{\boldsymbol{r}}+\big(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\big)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}
שימו לב להתאמה בין המרכיבים השונים של התאוצה בקואורדינטות אלו עם החתיכות הוקטוריות המופיעות במשוואה (1). היות והמוט מסתובב נגד כיוון השעון פועל הכוח הנורמלי עם כיוון השעון. החוק השני של ניוטון מנפק עתה את המשוואה הוקטורית
\begin{aligned}m\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\right)\widehat{\boldsymbol{r}}+m\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\,=-N\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}
וזו שקולה לצמד המשוואות (\(\dot{\theta}=\omega=\text{const.}\))
\begin{aligned}\ddot{r}=\omega^{2}r,\qquad 2m\omega\dot{r}=-N\end{aligned}
המשוואה השמאלית מתארת את התנועה בציר הרדיאלי ופתרונה מתלכד כמובן עם הפתרון שהתקבל מתוך המערכת המסתובבת. המשוואה הימנית מבטאת את החוק השני בציר המשיקי: שקול הכוחות בציר זה (הנורמל) שווה למסה כפול תאוצת קוריוליס. ולבסוף, אם נשלב את שתי המשוואות נקבל שקצב השינוי של עצמת הכוח הנורמלי מתכונתי למרחק מהמרכז, וקבוע המתכונת תלוי בחזקה השלישית של המהירות הזוויתית, \(\dot{N}=-2m\omega^{3}r\).

וחזרה לשאלת השאלות: מה בסופו של דבר מעורר את ההאצה בציר הרדיאלי?

  • תשובה ניוטונית: דרגת החופש היחידה של החרוז מתלכדת עם ציר המשתנה תדיר. נוכל לדמיין זאת כך: כל נקודה \(r\) על הציר הרדיאלי 'מאיצה' לעבר המרכז בתאוצה צנטריפיטלית שגודלה \(\omega^{2}r\) ואילו החרוז עצמו בהתמדתו עומד במריו 'ומסרב' להשתתף בתאוצה לא לו; הציר 'מחליק' איפה מבעד לחרוז. הלכה ולמעשה: מיקום הנקודות הגיאומטריות על פני הרדיאל הוא קבוע (מן הסתם) ואילו החרוז בהיותו חופשי מכל השפעה מתרחק מכל נקודה ונקודה בתאוצה שגודלה \(\omega^{2}r\).
  • תשובה פוסט-ניוטונית (ושמא קדם-איינשטינית): זו דוגמא קלאסית לכוח המושרה מגיאומטריה: הציר המסתובב תדיר מבטא 'עקמומיות' אינהרנטית וזו שקולה לתאוצה תחת השפעת 'כבידה'. כלומר החרוז נופל חפשית ב'שדה הכבידה' שמשרה הסיבוב... אבל לנושא המרתק הזה לא אכנס כאן, מקווה לכסות אותו מתישהו בעתיד. 


נספח: וקטור התאוצה בקואורדינטות גליליות.

בקואורדינטות גליליות אנו מרצפים את המישור באמצעות אריחים אשר צידיהם תחומים בין שתי קרניים רדיאליות ומסדם מעגלים קונצנטריים. וקטורי היחידה המתאימים הם לפיכך המשיק למעגל (נגד כיוון השעון) \(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\) והמצביע בכיוון הרדיאל \(\widehat{\boldsymbol{r}}\). קל מאוד לבנות צמד אורתונורמלי שכזה:
\begin{aligned}\widehat{\boldsymbol{r}}=\phantom{-}\cos\theta\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol{y}},\qquad\widehat{\boldsymbol{\theta}}=-\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\cos\theta\,\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}

ברור שעבור כל זווית נתונה \(\theta^{\star}\) מצביעים שני וקטורי היחידה הללו בכיוון אחר. לכן בלשון קצת יותר נוקדנית ראוי היה לכנותם שדות יחידה ולא וקטורי יחידה; ובפרט, \(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\) מצייר שדה יחידה עירבולי, ואילו \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) מצייר שדה יחידה 'קורן' או 'שופע', והשניים אורתוגונליים זה לזה בכל נקודה ונקודה ע"פ המישור המנוקב.

כאשר אנו מבקשים לתאר תנועתו של גוף באמצעות קואורדינטות גליליות הרי שמיקומו תלוי בזמן, ובשל כך גם וקטורי היחידה המשמשים בתיאור המיקום. אנו נרצה לקבל ביטויים מתאימים עבור הוקטורים הקינמטיים בקואורדינטות אלו, ולשם כך נפתח נוסחאות גזירה: 
\begin{aligned}\dot{\widehat{\boldsymbol{r}}}&=-\sin\theta\,\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\cos\theta\,\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{y}}\\&=\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\\\dot{\widehat{\boldsymbol{\theta}}}&=-\cos\theta\,\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{x}}-\sin\theta\,\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{y}}\\&=-\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{r}}\end{aligned}
מכאן הדרך אל הוקטורים הקינמטיים (המקום המהירות והתאוצה) קצרה:
\begin{aligned}\text{וקטור המקום}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{r}&=r\,\widehat{\boldsymbol{r}}\\\text{וקטור המהירות}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{v}&=\dot{r}\,\widehat{\boldsymbol{r}}+r\,\dot{\widehat{\boldsymbol{r}}}\\&=\dot{r}\,\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\\\text{וקטור התאוצה}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{a}&=\ddot{r}\,\widehat{\boldsymbol{r}}+\dot{r}\,\dot{\widehat{\boldsymbol{r}}}+\dot{r}\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\ddot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\dot{\theta}\dot{\widehat{\boldsymbol{\theta}}}\\&=\ddot{r}\,\widehat{\boldsymbol{r}}+\dot{r}\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}+\dot{r}\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\ddot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}-r\dot{\theta}^{2}\,\widehat{\boldsymbol{r}}\\&=\big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\big)\widehat{\boldsymbol{r}}+\big(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\big)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}




2 comments:

  1. בקוארדינטות גליליות, גם גוף הנע במהירות קבועה מתרחק מנקודת מרכז בתאוצה רדיאלית, למרות שהוא בהתמדה. תנועת החרוז עוד יותר מורכבת מגוף בהתמדה: פעם אחת, ההתמדה בכיוון משיקי
    הופכת להיות תאוצה בכיוון רדיאלי ברגע שהציר מסתובב. פעם שנייה, כיוון שפועל על
    על החרוז כח משיקי (הנורמל), הרי שמהירותו המשקית גדלה באופן קבוע. המשוואות מבטאות זאת היטב: אין כח רדיאלי, אך יש תאוצה רדיאלית המבטאת התרחקות של החרוז מן המרכז.
    לדעתי, הניסוח של ההסבר הניוטוני :" הציר מחליק מבעד לחרוז" לא כל כך מסביר את הענין..

    השבמחק
    תשובות
    1. כן... אני מבין שהניסוח הזה קצת בעייתי, האנלוג הקווי שהיה לי בראש כשבחרתי בו הוא רכב מאיץ שרצפתו חלקה ועליו מונח גוף כלשהו. מסכים לגמרי שאת הניסוח הבהיר ביותר מספקות המשוואות עצמן.

      מחק