יום ראשון, 1 במאי 2016

פיתרון הבחינה באלקטרומגנטיות, אפריל 2016




 hubble-bubble NGC 7635

בועה של עירור בגז בקוטר שבע שנות אור ובמרכזה כוכב לוהט
שמסתו פי ארבעים וחמישה ממסת השמש. 7100 ש"א מאיתנו.


שאלה ראשונה:
  1. יהיו \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) שדה העירור החשמלי ושדה העירור המגנטי בהתאמה, המקיימים את הזוג הראשון של משוואות מקסוול. יהא \(\boldsymbol{\Theta}\) שדה וקטורי חלק כלשהו התלוי במקום ובזמן ('חלק' פירושו גזיר ביחס לכל המשתנים בהם הוא תלוי, בכל תחום הגדרתו). הראו שהמיפוי\begin{aligned}&\boldsymbol{\mathcal{D}}\;\mapsto\;\boldsymbol{\mathcal{D}}-\nabla\times\boldsymbol{\Theta}\\&\boldsymbol{\mathcal{H}}\;\mapsto\;\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\Theta}}{\partial{}t}\end{aligned} משמר את הזוג הראשון של משוואות מקסוול (כלומר השדות הניתנים ע"י אגף ימין של המפה מקיימים בדיוק את אותן משוואות שמקיימים השדות שבאגף שמאל, עם אותה צפיפות מטען ואותה צפיפות זרם). לידע כללי: סוג כזה של טרנספורמציות על השדות שאינו משנה את הפיזיקה המתוארת באמצעותם מכונה טרנספורמציות כיול. אם הן תלויות במקום ובזמן (כמו במקרה דנן) הן מכונות כיול מקומי.
  2. קל לראות שהפיתרון הכללי ביותר למשוואת מקסוול השלישית הוא \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\) שהרי הדיברגנס של רוטור מתאפס זהותית. השדה \(\boldsymbol{A}\) מכונה הפוטנציאל הוקטורי (או הפוטנציאל המגנטי). הציבו את הפתרון הזה במשוואת מקסוול הרביעית והראו במפורש שהצורה הכללית ביותר של השדה החשמלי היא \begin{aligned}\boldsymbol{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}\end{aligned} באשר \(\phi\) שדה סקלרי חלק.
  3. יהיה \(\Sigma\) משטח דו מימדי כלשהו (לא בהכרח שטוח), ו- \(\partial\Sigma\) הוא השוליים של המשטח. היעזרו במשפטים מתמטיים מוכרים (או בחוקים פיזיקליים מוכרים) וקבלו את צמד המשוואות הגלובליות: \begin{aligned}\Phi_{\Sigma}\left[\boldsymbol{B}\right]=\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r},\qquad\mathcal{E}_{\partial\Sigma}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\end{aligned} (\(\Phi_{\Sigma}\) בשביל השטף דרך \(\Sigma\), \(\mathcal{E}_{\Sigma}\) בשביל הכא"מ לאורך \(\partial\Sigma\).) כיתבו במילים עבריות ובמשפט אחד (לכל משוואה) מה אומרת כל משוואה.


פיתרון:
  1. המיפוי מוביל אותנו אל צמד השדות הוקטוריים \begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{D}}^{\star}:=\boldsymbol{\mathcal{D}}-\nabla\times\boldsymbol{\Theta}\\\boldsymbol{\mathcal{H}}^{\star}:=\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\Theta}}{\partial{}t}\end{aligned}השאלה היא האם הצמד הזה מקיים את משוואות מקסוול עם אותם מקורות, כלומר אותה צפיפות מטען ואותה צפיפות זרם. קל מאוד להיווכח שאכן כן:\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}^{\star}=\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\overbrace{\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{\Theta}\right)}^{\text{הדיברגנס של הרוטור}\atop\text{מתאפס באופן זהותי}}=\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}^{\star}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}^{\star}}{\partial{}t}=\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\nabla\times\left(\frac{\partial\boldsymbol{\Theta}}{\partial{}t}\right)-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{}t}+\frac{\partial}{\partial{}t}\left(\nabla\times\boldsymbol{\Theta}\right)&\\(\text{היות והנגזרות החלקיות לפי זמן ומקום מתחלפות})\quad=\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{}t}&=\,\boldsymbol{j}\end{aligned}כאן השתמשנו בעובדה ששדות העירור המקוריים \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) מקיימים את הזוג הראשון של משוואות מקסוול עם צפיפות המטען \(\rho\) וצפיפות הזרם \(\boldsymbol{j}\).
  2. נציג \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\) במשוואת מקסוול הרביעית ונקבל:\begin{aligned}\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{}t}&=-\frac{\partial\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)}{\partial{}t}=-\nabla\times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}\\\text{באגף ימין וקטור האפס}\quad\Rightarrow\quad&\nabla\times\left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}\right)=\boldsymbol{0}\\\text{זהו הפיתרון הכללי ביותר}\quad\Rightarrow\quad&\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}\equiv-\nabla\phi\\\text{:ולכן}\quad\Rightarrow\quad&\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}-\nabla\phi\end{aligned}סימן המינוס לפני הגרדיאנט חסר משמעות עקרונית, הוא מגיע משיקולים של נוחות בטיפול אנליטי בשדות משמרים.
  3. אינטגרל משטחי על \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\) ושימוש במשפט סטוקס מנפק את הקשר האינטגרלי השמאלי,\begin{aligned}\Phi_{\Sigma}\left[\boldsymbol{B}\right]&=\int_{\Sigma}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{\Sigma}\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\&=\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\end{aligned}גזירה לפי הזמן של הקשר הזה ושימוש במשפט פרדיי מנפק את הקשר האינטגרלי הימני. לחיליפין, אפשר לקחת את האינטגרל המסלולי על \(\boldsymbol{E}=-\nabla\phi-\partial\boldsymbol{A}/\partial{}t\) והיות ואינטגרל מסלולי על נגזרת חלקית לפי הזמן (לאורכה של מסילה שאינה משתנה עם הזמן) מתלכד עם הנגזרת המלאה לפי הזמן של האינטגרל המסלולי, נקבל את אותה תוצאה בדיוק. והמשמעויות במלל? הנה: השטף של השדה המגנטי דרך משטח כלשהו שווה לעירבוליות של הפוטנציאל המגנטי המשוייך לו - על שולי המשטח, ואילו הכוח האלקטרומניע המושרה (כא"מ) מתקבל מהשינוי הרגעי של העירבוליות הזו.

שאלה שניה:

נתונה קליפה כדורית אשר רדיוסה הפנימי הוא \(a\) ורדיוסה החיצוני \(b\). מציבים (איכשהו) מטען חשמלי \(Q\) במרכז הקליפה.
  1. והיה והקליפה היא מוליך הטעון במטען חשמלי \(-3Q\), מהי צפיפות המטען המצטבר על רדיוסה הפנימי של הקליפה ומהי צפיפות המטען המצטבר על רדיוסה החיצוני? הסבירו!
  2. מהו השדה החשמלי בכל המרחב? ענו והסבירו מבלי לחשב מפורשות.
  3. עתה נניח שהקליפה הכדורית החיצונית עשויה חומר מבודד ועליו התפלגות מטען רדיאלית מהצורה \begin{aligned}\rho\left(r\right)=\rho_{0}\left(\frac{a^{2}b^{2}}{r^{4}}\right)\end{aligned} קבלו את השטף המרחבי הכולל של שדה העירור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) עבור \(r<a\) ועבור \(r>b\), אם ידוע שנפח קליפה כדורית בעלת עובי אינפיניטסימלי נתון בביטוי \(\mathrm{d}V=4\pi{}r^{2}\mathrm{d}r\). נמקו חישוביכם.

פיתרון:
  1. במצב היציב כל המטען העודף במוליך מתפלג באופן אחיד על שולי המוליך. נדמיין קליפה כדורית גאוסית ברדיוס \(a<r<b\) . היות והשדה החשמלי מתאפס בכל מקום על פניה, הרי שלפי חוק גאוס המטען הכולל התחום בקליפה המדומיינת בהכרח מסתכם לאפס. הואיל ומטען \(+Q\) מרוכז בראשית, יוצא שמטען בגודל \(-Q\) מתפלג באופן אחיד על פניה של הקליפה הפנימית. צפיפות המטען במקרה זה היא \(\sigma_{a}=-Q/4\pi{}a^{2}\). מאחר וסך כל המטען במוליך הוא \(-3Q\), הרי שמטען של \(-2Q\) מתפלג באופן אחיד על פני הקליפה החיצונית. צפיפות המטען על פני משטח זה היא \(\sigma_{b}=-2Q/4\pi{}b^{2}\).
  2. התפלגות המטען הקליפתית-כדורית (סְפֶרָה) מכתיבה שדה חשמלי בעל סימטריה קליפתי-כדורי. לכן לכל רדיוס נתון \(r\) מתאים שדה חשמלי רדיאלי מהצורה \(\boldsymbol{E}=E\left(r\right)\widehat{\boldsymbol{r}}\).  זאת ועוד, ההתפלגות המרחבית של המטען מחלקת את העולם לשלושה תחומים שונים: \(r<a\), \(a\leq{}r\leq{}b\), \(r>b\). עבור כל אחד מהם נתאים בדמיוננו קליפה כדורית גאוסית, ואז הטיפול הסטנדרטי באמצעות חוק גאוס ינפק: \begin{aligned}\boldsymbol{E}\left(r\right)\;=\;\left\{\begin{array}{ccl}\displaystyle\frac{KQ\,\boldsymbol{r}}{r^{3}}&&r<a\\\boldsymbol{0}&&a<r<b\\-\displaystyle\frac{2KQ\,\boldsymbol{r}}{r^{3}}&&r>b\end{array}\right.\end{aligned} 
  3. בהגדרה, השטף הכולל של שדה העירור החשמלי דרך מעטפת גאוסית כלשהי הוא המטען הכלוא בתוך המעטפת. לכן כל שעלנו לעשות הוא לחשב את המטען הכלוא בקליפה כדורית ברדיוס \(r\). עבור \(r<a\) השטף הכולל הוא פשוט \(\Phi_{r<a}\left[\boldsymbol{\mathcal{D}}\right]=Q\). סך כל המטען הכלוא בקליפה המבודדת ניתן על ידי \begin{aligned}Q^{\star}&=\int_{r=a}^{r=b}\rho_{0}\left(\frac{a^{2}b^{2}}{r^{4}}\right)4\pi{}r^{2}\mathrm{d}r=4\pi\rho_{0}a^{2}b^{2}\int_{r=a}^{r=b}\frac{\mathrm{d}r}{r^{2}}\\&=4\pi\rho_{0}a^{2}b^{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=4\pi\rho_{0}ab\left(b-a\right)\end{aligned}(שימו לב שמימדי הביטוי הם אכן אלו של מטען חשמלי). לכן השטף הכולל של שדה העירור החשמלי מחוץ למוליך הוא \(\Phi_{r>b}\left[\boldsymbol{\mathcal{D}}\right]=4\pi\rho_{0}ab\left(b-a\right)+Q\).


שאלה שלישית:

דוחפים מוט מוליך בעל אורך \(L\) במהירות קבועה \(v\) לאורך מסילה מוליכה כמוראה באיור מטה. במרחק \(a\) מן המסילה ובמקביל לה נמתח תייל ישר נושא זרם \(i\). ההתנגדות ליחידת אורך של המסילה והמוט היא \(\rho\) אוהם למטר. 



  1. חשבו את הכא"מ המושרה בלולאה (המסגרת המלבנית) שפותח המוט במהלך תנועתו שמאלה, ואת הזרם הזורם בה.
  2. מהו הכוח בו דוחפים את המוט כדי שינוע במהירות \(v\) לאורך המסילה?
  3. מפסיקים להפעיל כוח על המוט בבת אחת. קבלו את המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את תנועת המוט מרגע זה. אין צורך לפתור!

פיתרון:
  1. נסכים על מערכת הצירים הקרטזית הבאה: הכיוון החיובי של ציר \(x\) מצביע שמאלה, הכיוון החיובי של ציר \(y\) מצביע מטה, והכיוון החיובי של ציר \(z\) מצביע אל הצופה. השדה המגנטי המנקב את המסגרת המלבנית נגרם מהזרם בתיל; הוא דועך כמו אחד חלקי המרחק, \(B\left(y\right)\propto1/y\), ומצביע בכיוון החיובי של ציר \(z\). אלמנט שטח אינפיניטסימלי של המסגרת ניתן ע"י \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\mathrm{d}x\mathrm{dy}\,\widehat{\boldsymbol{z}}\) כך שהשטף דרך אריח אינפיניטסימלי של מסגרת הוא\begin{aligned}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=B\left(y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\mu_{0}i\,\mathrm{d}x\mathrm{dy}}{2\pi{}y}\end{aligned}מאחר ולכל \(y\) נתון השדה המגנטי בציר \(x\) הוא קבוע, והיות והמוט נע בתנועה קצובה בציר ה- \(x\) כך ש- \(x\left(t\right)=x_{0}+vt\), נקבל:\begin{aligned}\Phi&=\int_{x=x_{0}}^{x=x\left(t\right)}\int_{y=a}^{y=a+L}B\left(y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{x=x_{0}}^{x=x\left(t\right)}\frac{\mu_{0}i\,\mathrm{d}x}{2\pi}\int_{y=a}^{y=a+L}\frac{\mathrm{d}y}{y}\\&=\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}\frac{\mu_{0}i\,\mathrm{d}x}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)=\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\big[x\left(t\right)-x_{0}\big]\\&=\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)vt\end{aligned}על פי פארדיי גודל הכא"מ המתפתח בלולאה הוא השינוי הרגעי בשטף השדה המגנטי דרך המסגרת,\begin{aligned}\mathcal{E}=\frac{\mu_{0}i\,v}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\end{aligned}עם כיוון השעון (למה?). התנגדות המסגרת ניתנת ע"י \(R=\rho\left(2L+2\left(x_{0}+vt\right)\right)\) ומחוק אוהם \(I=\mathcal{E}/R\). לכן בסיכומו של דבר,\begin{aligned}I\left(t\right)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\mu_{0}i\,v}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)}{\rho\left(2L+2\left(x_{0}+vt\right)\right)}\end{aligned}ורואים שהזרם קטן עם הזמן (מאחר וההתנגדות גדלה).
  2. שימו לב שכל חלק של המוט 'חש' שדה מגנטי שונה ולכן גם כוח שונה. ובמפורש, על אלמנט אינפיניטסימלי \(\mathrm{d}y\) של המוט מפעיל השדה המגנטי את הכוח האינפיניטסימלי \(\mathrm{d}F=I\left(t\right)B\left(y\right)\mathrm{d}y\) בכיוון המתנגד לתנועת המוט (עפ"י לנץ). לכן סך כל הכוח המופעל על המוט הוא\begin{aligned}F&=I\left(t\right)\int_{y=a}^{y=a+L}B\left(y\right)\mathrm{d}y=\frac{\mu_{0}iI}{2\pi}\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\\&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\mu_{0}^{2}i^{2}\,v}{4\pi^{2}}\,\ln^{2}\left(\frac{a+L}{a}\right)}{\rho\left(2L+2\left(x_{0}+vt\right)\right)}\end{aligned}בכיוון השלילי של ציר ה-\(x\). היות והמוט נע במהירות קצובה, ובהתאם לחוק השלישי של ניוטון, הרי שהכוח שיש להפעיל על המוט כדי שיתמיד בתנועתו צריך להיות שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח שמפעיל השדה המגנטי על המוט, והוא קטן עם הזמן.
  3. עתה כמובן אין כל סיבה להניח שמתקיימת תנועה קצובה. מהסעיף הראשון הכא"מ ניתן ע"י\begin{aligned}\mathcal{E}\left(t\right)=\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\dot{x}\left(t\right)\end{aligned}והזרם ע"י\begin{aligned}I\left(t\right)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\,\dot{x}}{\rho\left(2L+2x\right)}\end{aligned}כמו מקודם, על אלמנט אינפיניטסימלי של מוט מופעל הכוח \(\mathrm{d}F=IB\left(y\right)\mathrm{d}y\) ואינטגרציה בציר \(y\) תנפק את הכוח הכולל המופעל על המוט ע"י השדה המגנטי (בכיוון השלילי של ציר ה-\(x\)). שימוש בחוק השני של ניוטון מנפק את משוואה מהצורה \begin{aligned}m\ddot{x}=\frac{\alpha\dot{x}}{\beta+\gamma{}x}\end{aligned} באשר \(\alpha,\beta,\gamma\) קבועים. אגב, ממשואה זו קל מאוד לקבל את \(v\left(x\right)\) (קבלו זאת). 

שאלה רביעית:

החתך שבאיור מתאר דו-כבל קו-אקסיאלי (כלומר בעל ציר משותף) ארוך וישר: בכבל הפנימי זורם זרם \(i\) אשר צפיפותו נתונה בביטוי \(\boldsymbol{j}=j_{0}\left(r/a\right)\widehat{\boldsymbol{z}}\) ואילו בכבל החיצוני זורם זרם \(-i\) אשר צפיפותו היא \(\boldsymbol{j}=-j'_{0}\left(r/b\right)\widehat{\boldsymbol{z}}\). כאן \(r\) היא הקואורדינטה הרדיאלית בחתך הכבל, ציר \(z\) הוא ציר הכבל והוא פונה לעבר הצופה. הפרמטרים המאפיינים את הכבל הם \(R_{1}=a\), \(R_{2}=b\), \(R_{3}=c\).




מיצאו את שדה העירור המגנטי (וקטור!) בכל המרחב במונחים של \(j_{0},a,b,c\) וציירו גרף איכותי יפה וברור של גודל השדה \({\mathcal{H}}\) כנגד הקואורדינטה הרדיאלית \(r\). שימו לב שסך כל הזרם הזורם בכבל הפנימי הוא מינוס סך כל הזרם הזורם בכבל החיצוני.

פיתרון:

לבעיה סימטריה גלילית. נבחר לולאות מעגליות קו-אקסיאליות לדו-כבל וניישם עליהן את חוק אמפר. מאחר ואף נקודה על לולאה ברדיוס נתון אינה מיוחסת, אגף שמאל של חוק אמפר מצטמצם פשוט לשדה העירור המגנטי מוכפל בהיקף:
\begin{aligned}\underbrace{\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{\mathcal{H}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{=\;2\pi{}r\mathcal{H}\left(r\right)}&=\underbrace{\int_{\Sigma}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}}_{=:\;i\left(r\right)}\end{aligned}
דרך אגב, שימו לב ש-\(\mu\) בתוך הכבלים עצמם אינו שווה בהכרח ל-\(\mu_{0}\). הכבל מחלק את המרחב לארבע תחומים: \(r<a, b>r>a,c>r>b,r>c\). נחשב עתה את הזרם השוטף דרך הלולאות עם רדיוסים בארבעת התחומים, ונחלץ מחוק אמפר את גודלו של שדה העירור המגנטי; בכל מקרה צפיפות הזרם תלוייה אך רק בקואורדינטה הרדיאלית, ואילו שטח טבעת בעובי אינפיניטסימלי וברדיוס \(r\) הוא \(\mathrm{d}S=\pi\left(r+\mathrm{d}r\right)^{2}-\pi{}r^{2}=2\pi{}r\,\mathrm{d}r\). יוצא איפה שסך הזרם הזורם דרך הטבעת האינפיניטסימלית ברדיוס זה הוא  \(\mathrm{d}i=\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=2\pi{}r\,j\left(r\right)\mathrm{d}r\).
  1. \(r<a\):  \begin{aligned}&i=\int_{r=0}^{r<a}\left(\frac{j_{0}r'}{a}\right)\left(2\pi{}r'\mathrm{d}r'\right)\\&=\left(\frac{2\pi{}j_{0}}{a}\right)\frac{r^{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad{}\boldsymbol{\mathcal{H}}\left(r<a\right)=\left(\frac{j_{0}}{3a}\right)r^{2}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}בתחום זה שדה העירור המגנטי גדל ריבועית עם המרחק מהציר ומצביע נגד כיוון השעון.
  2. \(b>r>a\):  היות ובין הכבלים הקו-אקסיאלים לא זורם זרם, נוכל להציג \(r=a\) בחשבון הזרם שביצענו עבור המקרה \(r<a\) כדי לקבל את סך כל הזרם הזורם בכבל הפנימי: \(i=2\pi{}a^{2}j_{0}/3\). נציג זאת בחוק אמפר ונקבל:\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{H}}\left(a<r<b\right)=\left(\frac{j_{0}a^{2}}{3}\right)\frac{1}{r}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}כאן שדה העירור המגנטי דועך כמו אחד חלקי המרחק מציר הכבל.
  3. \(c>r>b\):  בתחום זה מתחילה הפחתה בכמות הזרם העובר דרך החתך ולכן גם פוחתת עוצמת שדה העירור;\begin{aligned}&i=\frac{2\pi{}a^{2}j_{0}}{3}-\frac{2\pi{}j'_{0}}{b}\int_{b}^{c>r>b}{r'}^{2}\mathrm{d}r'=\frac{2\pi{}a^{2}j_{0}}{3}-\frac{2\pi{}j'_{0}}{b}\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{b^{3}}{3}\right)\\&\qquad\Rightarrow\quad{}\boldsymbol{\mathcal{H}}\left(c>r>b\right)=\left(\frac{\alpha}{r}-\beta{}r^{2}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned} באשר \(\alpha,\beta\) קבועים התלויים בפרמטרים שבבעיה.
  4. \(r>c\):  כאן נקבל באופן מיידי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}=\boldsymbol{0}\) היות וסך כל הזרם הזורם דרך הלולאה המעגלית מתאפס (\(+i\) בכבל הפנימי, \(-i\) בכבל החיצוני). שימו לב שמהדרישה ההכרחית \(\mathcal{H}\left(r=c\right)=0\) נקבל את היחס \(\alpha=\beta{}c^{3}\) ומכאן אפשר לחלץ בקלות את הקשר בין \(j_{0}\) לבין \(j'_{0}\).