יום חמישי, 14 באפריל 2016

חוק אוהם


היכרות:

חוק אוהם הוא מעין "משוואת מצב" אלקטרומגנטית עבור מוליכים מסויימים בתנאים מסויימים. מדוע "מעין" ומדוע המרכאות? ובכן, זו לא משוואת מצב מהסוג המוכר מתרמודינמיקה, זו משוואה פנומנולוגית שתוקפה מוגבל. חוק אוהם מספר לנו שעבור משפחה רחבה למדי של חומרים מוליכים, ובמערכת המנוחה של המוליך, צפיפות הזרם החשמלי \(\boldsymbol{j}\) מתכונתית לשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\):
\begin{aligned}\boldsymbol{j}=\sigma\boldsymbol{E}\end{aligned}
קבוע המתכונת \(\sigma\) מכונה "המוליכות החשמלית". השדה החשמלי בנוסחא דלעיל הוא השדה הכולל, לכן הוא עשוי להכיל גם מרכיב עירבולי וגם מרכיב משמר (או קורן) הנגזר מפוטנציאל סקלרי.

לכל מוליך - מוליכות חשמלית ייחודית. עבור מוליכים איזוטרופים (איזוטרופי = זהה מכל כיוון) המוליכות החשמלית תתואר באמצעות סקלר, ובאבוד האיזוטרופיות תתואר באמצעות טנזור. עבור מוליך הומוגני (הומוגני = זהה בכל מקום) המוליכות החשמלית קבועה, ובאבוד ההומוגניות תהיה זו תלוייה במקום. כך או אחרת, המוליכות החשמלית לעולם תהא תלוייה בטמפרטורת המוליך, ומטבע הדברים ערכה יורד ככל שהמוליך חם יותר (למה?). ביחידות הסטנדרטיות \(SI\) נמדדת המוליכות החשמלית באמפר לוולט למטר, או סימנס למטר.


רקע חיוני: 

יהא \(\rho\) שדה סקלרי המתאר את צפיפות המטען החשמלי (קולון למ"מק ביחידות \(SI\)). אזי, צפיפות הזרם ,תייוצג באמצעות \(\boldsymbol{j}:=\rho\boldsymbol{v}\) היכן ש- \(\boldsymbol{v}\) הוא שדה המהירויות של צפיפות המטען (אמפר למ"ר ביחידות \(SI\)). משוואת הרציפות המתארת באופן מקומי את שימור המטען החשמלי ניתנת ע"י \begin{aligned}\frac{\partial{\rho}}{\partial{t}}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}\,=\,0\end{aligned}והיא כמובן נכונה תמיד ובכל מערכת התמד. 

יהא \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) שדה העירור החשמלי ו- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) שדה העירור המגנטי. הדינאמיקה של שניים אלו מוכתבת על ידי המקורות \(\left(\rho,\boldsymbol{j}\right)\) באמצעות הזוג הראשון של משוואות מקסוול:\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&\;=\,\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{}t}&\;=\;\boldsymbol{j}\end{aligned}
על שניים אלו יש להוסיף את ההשראה המגנטית ושדה העוצמה החשמלית \(\left(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}\right)\) והמשוואות  אותם הם מקיימים מבטאות אילוץ על היעדר מטענים מגנטיים (בהקשר זה ראו הרשימות שכתבתי בעבר על הזוג הראשון והזוג השני): \begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{B}&\;=\,0\\\nabla\times\boldsymbol{E}&\;=\,-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{}t}\end{aligned}

אינטגרציה משטחית על המשוואה האחרונה ושימוש במשפט קלווין-סטוקס מנפקת את חוק פארדי, \begin{aligned}\underbrace{\oint_{C}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{=:\;\mathcal{E}}=-\dot{\Phi}\left[\boldsymbol{B}\right]\end{aligned} אגף שמאל מכונה הכוח האלקטרו-מניע המושרה (כא"מ) והוא קיים כאשר יש שינוי בשטף השדה המגנטי דרך הלולאה עליה ביצענו את האינטגרציה. 

חומרים לינארים הם חומרים שעבורם ובתוכם מתקיימים קשרי מבנה לינארים בין הצמד הראשון לצמד השני:
\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{D}}\,=\,\epsilon\boldsymbol{E},\qquad\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{\mathcal{H}}\end{aligned}
מזכיר במקצת את מה שקורה בואקום, אבל דבר אחר לגמרי... \(\epsilon\) מכונה פרמיטיביטי (permittivity), ו- \(\mu\) מכונה פרמיביליטי (permeability); בעיקרון, אין מניעה שערך המקדמים הללו ישתנו ממקום למקום, ואם אין זה כך התווך יקרא הומוגני. בהיעדר איזוטרופיות המקדמים הללו הם טנזורים סימטריים ובמקרה שהשדות החשמליים והמגנטיים מתפשטים בתווך כגלים, הרי שהמקדמים הללו הם פונקציה של התדירויות. 


חזרה לחוק אוהם:

מה קורה במוליך לינארי איזוטרופי והומוגני המציית לחוק אוהם והיה ופיזרנו עליו היכנשהו מטען עודף? תהא \(\rho\) צפיפות המטען העודף, ויהא \(\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon\boldsymbol{E}\) שדה העירור המושרה בעטיו. נציג עתה את חוק אוהם במשוואת הרציפות, ניעזר במשוואת מקסוול הראשונה ונקבל:
\begin{aligned}\frac{\partial\rho}{\partial{}t}&=-\nabla\cdot\boldsymbol{j}=-\sigma\epsilon^{-1}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)=-\lambda\rho\end{aligned}
עם \(\lambda=\sigma/\epsilon\). קיבלנו איפה את המשוואה \(\dot{\rho}=-\lambda\rho\) ופתרונה הוא צפיפות מטען חשמלי הדועכת אקספוננציאלית עם זמן הדעיכה האופייני \(1/\lambda=\epsilon/\sigma\),
\begin{aligned}\rho\left(t\right)=\rho_{0}e^{-\lambda{}t}\end{aligned}

הבה נסבר את העין עם שתי דוגמאות:

  1. עבור נחושת הומוגנית ואיזוטרופית (החומר ממנו עשויים 'חוטי החשמל' בביתנו), ובטמפרטורת החדר של \(20^{\circ}\) המוליכות החשמלית היא \(\sigma=5.96\times10^{7}\) אמפר לוולט למטר (לקוח מכאן). הפולריזציה הממוצעת במוליכים טובים דוגמת נחושת היא בקירוב טוב אפס, ולכן \(\epsilon\approx\epsilon_{0}\approx8.85\times10^{-12}\) פארד למטר. מכאן נקבל זמן דעיכה של \(1/\lambda\approx10^{-19}{\;}{\text{sec}}\)... כלומר כל הצטברות מקומית של מטען בגוף הנחושת מתפוגגת בתוך (סדר גודל של) עשירית של מיליארדית של מיליארדית השנייה, למעט כמובן על שפת המוליך לשם המטען מתנקז.
  2. עבור זכוכית מסוג מסויים - ובטמפרטורת החדר - המוליכות החשמלית היא מסדר גודל של \(\sigma\approx10^{-13}\) סימנס למטר, והפרמיטיביטי היא מסדר גודל של \(5\epsilon_{0}\), מה שמנפק זמן דעיכת מטען של כחמש מאות שניות.

נתבונן בשדה חשמלי בעל מרכיב עירבולי \(\boldsymbol{E}_{\circlearrowleft}\) ומרכיב משמר (או, אם תרצו, קורן) \(\boldsymbol{E}_{\odot}=-\nabla\phi\). הכוח האלקטרומניע המושרה (כא"מ) מתקבל מאינטגרל מסילתי על השדה החשמלי הכולל לאורך לולאה סגורה. נציג את משוואת המצב של אוהם ונקבל:
\begin{aligned}\mathcal{E}&=\oint_{C}\left(\boldsymbol{E}_{\circlearrowleft}+\boldsymbol{E}_{\odot}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\oint_{C}\boldsymbol{E}_{\circlearrowleft}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}-\overbrace{\oint_{C}\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}^{=\;\oint_{C}\mathrm{d}\phi\;=\;0}\\&=\oint_{C}\boldsymbol{E}_{\circlearrowleft}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\sigma^{-1}\oint_{C}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\end{aligned} 

ובפרט, במקרה שצפיפות המטען קבועה לאורך הלולאה (כך זה במעגלים המוכרים מאלקטרוניקה) ועבור שטח חתך פנים \(S\) ואורך לולאה \(\ell\) נקבל
\begin{aligned}\mathcal{E}=\sigma^{-1}\ell\,j=i\,R\end{aligned}
באשר \(i\) הוא הזרם בלולאה ו- \(R:=\sigma^{-1}\ell/S\) היא ההתנגדות האוהמית של המוליך. ההתנגדות האוהמית מתכונתית לאורך הלולאה והופכית לשטח החתך, וקבוע המתכונת \(\rho:=\sigma^{-1}\) מכונה "ההתנגדות הסגולית".

הטיפול במוליך עם שדה חשמלי משמר - סטנדרטי וידוע ומוכר לכל. העבודה ליחידת מטען לאורך המוליך \(V=W/q\) המכונה "מתח חשמלי" מתקבלת מהאינטגרל המסילתי על המרכיב המשמר של השדה החשמלי לאורך המוליך, ובמקרה זה
\begin{aligned}{V}=\int_{C}\boldsymbol{E}_{\odot}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=iR\,,\end{aligned}
שוב, עם \(R=\sigma^{-1}\ell/S\).

במוליכים שבמעגלים האלקטרוניים צפיפות הזרם מקיימת \(\nabla\cdot\boldsymbol{j}=0\) שהרי השטף דרך מקטע כלשהו של התיל המוליך מתאפס (מה שנכנס למקטע הוא מה שיוצא); במקרה זה אנו מדברים על "זרם יציב". האם קיימת הצטברות מטען היכנשהו במקרה של זרם יציב? ובכן, זה תלוי בתכונות המוליך. הנה:
\begin{aligned}0&=\nabla\cdot\boldsymbol{j}=\nabla\cdot\big[(\sigma\epsilon^{-1})\boldsymbol{\mathcal{D}}\big]\\&=\nabla\left(\sigma\epsilon^{-1}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}+\sigma\epsilon^{-1}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\end{aligned}
כלומר עקרונית מתקבלות הצטברויות מטען אשר צפיפותן מקיימת
\begin{aligned}-\rho=\frac{\nabla\left(\sigma\epsilon^{-1}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\sigma\epsilon^{-1}}\end{aligned}
אך הן בבירור מתאפסות עבור מוליכים הומוגניים. אם בשדה משמר עסקינן אזי \(E=-\nabla\phi\) ובמקרה של מצב יציב ומוליך הומוגני, פונקציית הפוטנציאל מקיימת את המשוואה
\begin{aligned}\nabla\cdot\left(\sigma\nabla\phi\right)=0\,.\end{aligned}
ובפרט, משוואה זו מצטמצמת למשוואת לפלס \(\nabla^{2}\phi=0\) עבור מוליכות חשמלית \(\sigma\) שאינה תלויה במקום.


תרגיל

זרמי אדי (Eddy currents) אלו הם זרמים חשמליים הנוצרים בתוך מוליכים בעטיים של שדות מגנטים משתנים בקרבת המוליך (ובשל כך שטפים משתנים היוצרים שדות חשמליים עירבוליים בכפוף לחוק פארדיי). עשו שימוש בחוק אוהם והראו שצפיפות הזרם במוליך לינארי הומוגני ואיזוטרופי עם פרמיביליות \(\epsilon\) ופרמיטיביות \(\mu\) מקיימת את המשוואה\begin{aligned}\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{j}\right)-\nabla^{2}\boldsymbol{j}=-\left(\sigma\mu\right)\frac{\partial\boldsymbol{j}}{\partial{}t}-\left(\epsilon\mu\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{j}}{\partial{}t^{2}}\end{aligned}
שימו לב שבמקרה של זרם יציב (המוגדר כאמור ככזה המקיים \(\nabla\cdot\boldsymbol{j}=0\)) ובמוליכים טובים (כך ש- \(\sigma\gg\epsilon\)) מתקבלת משוואת החום \begin{aligned}\frac{\partial\boldsymbol{j}}{\partial{}t}=\kappa\,\nabla^{2}\boldsymbol{j}\end{aligned}כלומר במקרה זה צפיפות הזרם מפעפעת בתוך המוליך כמו שחום מפעפע בחומר, עם מקדם הפיעפוע \(\kappa=1/\sigma\mu\).

**חיבור נוסף בעברית על הנושא תוכלו למצוא בבלוג המצויין "e-Physics פיזיקה על קצה המזלג", תחת הכותרת "כא"מ וחוק אוהם".



אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה