יום שישי, 12 בפברואר 2016

מבחן שני בחמד"ע - מבחר שאלות פתורות




זריחת ארץ ישראל מעל אופק הירח כפי שצילמה זאת רק לאחרונה המקפת
הירחית LRO. מסביב לארץ ישראל אפשר לראות את כל כדור הארץ ;)
קרדיט: NASA/Goddard/Arizona State University


שאלה 1

בול שמסתו \(M\) מחובר אל קפיץ בעל קבוע כוח \(k\) כמתואר בתרשים. הבול מונח על משטח אופקי חלק. קליע שמסתו \(m=M/4\) נורה אופקית במהירות \(v_{0}\) ופוגע בבול. הקליע חודר אל הבול בזמן קצר מאוד ונשאר תקוע בתוכו. מכאן ואיך מבצעים הבול והקליע תנועה הרמונית לאורך הציר האופקי. את תשובותיכם רישמו במונחים של \(M,k,v_{0}\).



  1. מהי המהירות המשותפת של הבול והקליע מיד עם חדירת הקליע? נא לנמק באיזה חוק השתמשתם ומה ההצדקה לשימוש בו.
  2. מהי משרעת התנודות ההרמוניות שמבצעים הבול והקליע התקוע בתוכו?
  3. בתוך כמה זמן מרגע עצירת הקליע מגיעה המערכת למנוחה רגעית בפעם הראשונה?
  4. מהי תאוצת המערכת ברגע זה?

תשובות:
  1. זמן חדירת הקליע קצר ביותר ובזמן זה הקפיץ בקושי מספיק להתכווץ. מאחר והכוח שהקפיץ מפעיל על המערכת מתכונתי לכיווצו, הרי שהמתקף הפועל עליה זניח והתנע (עפ"י משפט מתקף-תנע) נשמר בקירוב מצויין. שימור תנע בהתנגשות פלסטית ינפק את המשוואה\begin{align}mv_{0}=\left(m+M\right)v\quad\Rightarrow\quad{}v=\frac{mv_{0}}{m+M}=\frac{v_{0}}{5}\end{align}
  2. מחוק שימור האנרגיה המכנית, במצב בו הקפיץ הכי מכווץ כל האנרגיה הקינטית של המערכת (מייד לאחר ההתנגשות) הומרה לאנרגיה פוטנציאלית. לכן אם \(A\) מייצג את המשרעת הרי ש-\begin{align}\frac{1}{2}\left(\frac{5M}{4}\right)v^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\quad\Rightarrow\quad{}A=\sqrt{\frac{Mv_{0}^{2}}{20k}}\end{align}
  3. "המהירות הזוויתית" ניתנת ע"י \(\omega^{2}=4k/5M\). זמן המחזור מקיים \(T=2\pi/\omega\). המהירות הרגעית מתאפסת לראשונה בתום רבע זמן מחזור היינו \begin{align}t^{\star}=\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{5M}{k}}\end{align}
  4. בהתאם לחוק השני של ניוטון  התאוצה מתכונתית לכוח, \(a=4F/5M\), והכוח (שהקפיץ מפעיל) מתכונתי למשרעת, \(F=kA\). נשבץ את הביטוי עבור המשרעת שהתקבל בסעיף השני ונקבל: \begin{align}a\left(t=t^{\star}\right)=\frac{4k}{5M}\sqrt{\frac{Mv_{0}^{2}}{20k}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}\sqrt{\frac{k}{M}}\,v_{0}\end{align} וכיוונה שמאלה (ככיוון הכוח).

שאלה 2

מטוטלת שמסתה \(m\) תלוייה על קפיץ חסר מסה שקבוע הכוח שלו הוא \(k\) והאורך הרפוי שלו הוא \(R\) (קפיץ זה בא במקום החוט חסר המסה במטוטלת מתמטית רגילה, ראו איור). מסיטים את המטוטלת בזווית \(\theta_{0}\) ומשחררים בעדינות מהמצב בו הקפיץ רפוי כך ש-
 \begin{align}r\left(t=0\right)=R,\quad\theta\left(t=0\right)=\theta_{0},\quad\boldsymbol{v}\left(t=0\right)=\boldsymbol{0}\end{align}
קיבעו את ראשית הצירים בנקודת התלייה ועיבדו במערכת קואורדינטות קוטביות \(r(t),\theta(t)\).



  1. רישמו ביטוי עבור האנרגיה המכנית הכוללת \(E_{0}\) בזמן \(t=0\) ועבור האנרגיה המכנית הכוללת \(E\) בכל זמן מאוחר יותר \(t>0\). רישמו במפורש איזה סוג אנרגיה מבטא כל ביטוי שרשמתם (קינטית סיבובית, פוטנציאלית כבידתית וכ'). מהו הקשר המתמטי המפורש בין \(E_{0}\) לבין \(E\) ומה ההצדקה לנכונותו?
  2. ציירו דיאגרמת כוחות על המסה \(m\) ועל בסיס הדיאגרמה הזו (והחוק השני של ניוטון) קבלו ממנה שתי משוואות דיפרנציאליות מצומדות במשתנים \(r(t),\theta(t)\). אין לנסות לפתור את המשוואות.
  3. המערכת מותקנת בתחנת החלל הבינלאומית ומשוחררת ממנוחה באותם תנאים בדיוק. תארו במדויק את תנועת המסה מנקודת מבטו של אסטרונאוט בתחנה, ומנקודת מבטו של צופה מכדה"א.

תשובות:

  1. ברגע השיחרור הקפיץ רפוי והמסה במנוחה, לכן האנרגיה המכנית של המערכת היא האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית. נבחר את מישור היחוס להיות התקרה ממנה תלויה המטוטלת ונקבל \(E_{0}=-mgR\cos\theta_{0}\). בכל זמן מאוחר יותר תכיל האנרגיה המכנית בתוספת לאנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית גם רכיב פוטנציאלי אלסטי ורכיב קינטי. הרכיב האלסטי תלוי רק בהתארכות או בהתכווצות הקפיץ מעבר למצבו הרפוי על הציר הרדיאלי. לרכיב הקינטי יש גם תרומה רדיאלית וגם תרומה זוויתית:\begin{align}v^{2}=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}=(\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}})\cdot(\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}})=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}\end{align} לכן האנרגיה המכנית בכל זמן מאוחר יותר ניתנת ע"י\begin{align}E=\underbrace{\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}}_{\text{קינטית}\atop\text{רדיאלית}}+\underbrace{\frac{1}{2}mr^{2}\dot{\theta}^{2}}_{\text{קינטית}\atop\text{סיבובית}}+\underbrace{\frac{1}{2}k\left(r-R\right)^{2}}_{\text{פוטנציאלית}\atop\text{אלסטית}}-\underbrace{mgr\cos\theta}_{\text{פוטנציאלית}\atop\text{כבידתית}}\end{align}כל הכוחות הפועלים על המסה הם משמרים, וכוחות משמרים נגזרים מאנרגיה פוטנציאלית. במקרה זה  מתקיים חוק שימור האנרגיה המכנית, ולכן \(E_{0}=E\). כלומר האנרגיה המכנית היא שמורה של התנועה.
  2. הכוח הפועל על המסה בציר הרדיאלי בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) החיובי מכיל שני מרכיבים, כבידתי והרמוני מחזיר: \(f_{r}=-k\left(r-R\right)+mg\cos\theta\). הכוח הפועל בציר המשיקי בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\) החיובי הוא פשוט \(f_{\theta}=-mg\sin\theta\). הוקטורים הקינמטיים בקורדינטות אלו ניתנים ע"י (חישוב שערכתם מאתיים פעם...) \begin{aligned}\boldsymbol{r}=r\widehat{\boldsymbol{r}}&\\\boldsymbol{v}=\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}&\\\boldsymbol{a}=\ddot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+2\dot{r}\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\ddot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}-r\dot{\theta}^{2}\widehat{\boldsymbol{r}}\end{aligned} ניישם את החוק השני של ניוטון בשני הצירים הניצבים ונקבל את צמד המשוואות המצומדות \begin{aligned}-k\left(r-R\right)+mg\cos\theta&=m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^{2}\\-mg\sin\theta&=2m\dot{r}\dot{\theta}+mr\ddot{\theta}\end{aligned}
  3. תחנת החלל הבינלאומית נמצאת בנפילה חופשית יחד עם כל תכולתה. לכן במערכת זו הכבידה מתאיינת, אין כל כוח שיסית את המסה ממצבה ההתחלתי והיא תשאר במנוחה במערכת זו. מנקודת מבט של צופה מכדור הארץ המוטלת (יחד עם כל תחנת החלל) נמצאת במסלול לוויני מעגלי סביב כדור הארץ.

שאלה 3

נקודת לגראנג' היא נקודה במרחב שבה יכול גוף קטנטן דוגמת לווין, המושפע רק מכוחות הכבידה של הארץ והשמש, להישאר במסלול קפלריאני יציב סביב השמש עם זמן מחזור השווה בדיוק לזה של כדור הארץ (שנה אחת). נקודה זו מאופיינת על ידי התכונה שהמשיכה הכבידתית הנוצרת על ידי הארץ והשמש יחדיו משתווה בגודלה לגודל הכוח הצנטרפיטלי הדרוש לתנועה הלווין במסלול הקפלריאני בן הוא נמצא. אגב, במערכת שמש-ארץ יש חמש נקודות כאלו, כמוראה באיור (שנלקח מויקיפדיה):




נקודת לגראנג' \(L_{1}\) שבין כדור הארץ והשמש נמצאת על הקו הדמיוני המחבר בין מרכזי שניהם. לכאורה גוף הנמצא במרחק קטן יותר ממרחקה של הארץ מהשמש אמור להקיף את השמש בזמן קצר יותר (אתם צריכים לדעת למה), אך מכיוון שהארץ מפעילה כוח משיכה בכיוון ההפוך היא מחלישה את המשיכה של השמש וגורמת להארכת זמן ההקפה. 

  1. במערכת שמש-ארץ הניחו תנועה מעגלית של כדור הארץ סביב השמש, הזניחו את השפעת הירח, וקבלו משוואה פולינומית עבור המרחק \(R\) של נקודות לגראנג' \(L_{1}\). אין צורך (לנסות) לפתור.
  2. רישמו ביטוי עבור האנרגיה המכנית (קינטית + פוטנציאלית) עבור לווין בעל מסה \(\mu\) היושב בנקודת לגראנג' \(L_{1}\). 
  3. חשבו את מהירות המילוט שיש להעניק לו ביושבו בנקודה זו.
  4. הראו שהכוח הכולל הפועל על הלווין בהיותו יושב בנקודת לגראנג' \(L_{1}\) הוא מינוס הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית מסעיף ב'. מהי העבודה שמבצעים השמש וכדה"א יחדיו על הלווין במשך שנה שלימה? לעזרה: בקואורדינטות פולריות,\begin{aligned}\nabla=\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{}r}+\widehat{\boldsymbol{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\end{aligned}

 תשובות:

  1. משוואה כזו תתקבל ממודל הכבידה של ניוטון. יהא \(R\) המרחק של נקודת לגראנג' \(L_{1}\) מכדור הארץ ויהא \(d=1_{\text{au}}=1.5\times{10^{11}}_{m}\) המרחק של כדור הארץ מהשמש. נשכח מקיומו של הירח (השפעתו קטנה) ואז הכוח השקול הפועל על הלווין בעטיים של כדור הארץ (שמסתו \(m\)) והשמש (שמסתה \(M\)) הוא:\begin{align}\vec{F}=-\frac{GM\mu}{\left(d-R\right)^{2}}\widehat{\boldsymbol{r}}+\frac{Gm\mu}{R^{2}}\widehat{\boldsymbol{r}}\end{align}התאוצה הרדיאלית של הלווין ניתן ע"י \({a}_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\) אבל היות ואנו מניחים תנועה מעגלית, הרי שהמרכיב הקווי של התאוצה הרדיאלית בהכרח מתאפס, והמהירות המשיקית \(\omega=\dot{\theta}\) קצובה (מה הסיבה הפיזיקלית לכך?). לכן החוק השני של ניוטון מנפק את המשוואה\begin{aligned}G\mu\left(\frac{m}{R^{2}}-\frac{M}{\left(d-R\right)^{2}}\right)=-\mu{}\left(d-R\right)\omega^{2}\end{aligned}היכן ש- \(\omega=2\pi/1_{\text{שנה}}=2\pi_{1/\text{שנה}}\). מסת הלווין מצטמצמת (לא מפתיע),  נרשום \(\omega^{2}/G=:\alpha\) ונקבל: \begin{aligned}&m\left(d-R\right)^{2}-MR^{2}=-\alpha{}R^{2}\left(d-R\right)^{3}\end{aligned}שימו לב שההצבה \(m=0\) מנפקת את הפיתרון (הטריוויאלי) \(R=0\) כלומר הלווין ממוקם בדיוק היכן שכדור הארץ היה צריך להיות...
  2. לאנרגיה המכנית שתי תרומות של אנרגיה פוטנציאלית כבידתית ותרומה אחת המגיעה מהאנרגיה הקינטית בעטיה של התנועה הסיבובית סביב השמש ברדיוס \(d-R\).  נבחר את הפוטנציאל להתאפס באינסוף; במקרה זה האנרגיה המכנית הכוללת של הלווין במסלול הקשור ניתנת ע"י \begin{aligned}E=\underbrace{\frac{1}{2}\mu\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}}_{=\;E_{k}}\underbrace{-\frac{G\mu{}M}{d-R}-\frac{G\mu{}m}{R}}_{=\;\phi_{\text{שמש+ארץ}}}\end{aligned} האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת היא סופרפוזיציה סקלרית של שתי התרומות ולהבדיל מסופרפוזיציה וקטורית היא לא רגישה לכיוונים. 
  3. מהירות המילוט מתקבלת מאיפוס האנרגיה המכנית הכוללת, הכוללת גם את האנרגיה הקינטית המוענקת לצורך מילוט. יהא \(\boldsymbol{v}\) התוספת (הוקטורית) למהירות המשיקית המקורית שהיתה ללויין, \(v_{\parallel}=\omega\left(d-R\right)\) ואשר בעטיה ימלט הלווין משדה הכבידה. אזי, \begin{aligned}&\frac{1}{2}\mu{}v^{2}+\frac{1}{2}\mu\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}-\frac{G\mu{}M}{d-R}-\frac{G\mu{}m}{R}=0\\&\\\Rightarrow\quad{}&v=\sqrt{-\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}+2G\left(\frac{M}{d-R}+\frac{m}{R}\right)}\end{aligned}
  4. הקוארדינטה הרדיאלית הרלוונטית היא \(r=d-R\). ובפרט, \(R=d-r\). היות ואין תלות זוויתית, הגרדיאנט מצטמצם לנגזרת לאורך הרדיאל. לכן,\begin{aligned}-\nabla\phi&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{}r}\left\{-\frac{G\mu{}M}{r}-\frac{G\mu{}m}{d-r}\right\}\\&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}M}{r^{2}}+\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}m}{\left(d-r\right)^{2}}\\&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}M}{\left(d-R\right)^{2}}+\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}m}{R^{2}}\;=\;\vec{F}\end{aligned}סך כל העבודה המבוצעת על הלווין על ידי שני הגופים השמימיים (ארץ+שמש) במשך שנה שלימה היא כמובן אפס היות ומדובר בעבודת כוחות משמרים לאורך מסילה סגורה.

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה