יום שבת, 20 בפברואר 2016

מהומה רבה על גלי מאומה



הרעיון להכין רשימת FAQ's על רקע ההישג של גלאי LIGO התבשל אצלי על אש קטנה במהלך השבוע שחלף. אמנם מידע רב "שוחרר" לציבור בערוצי התקשורת המקובלים אבל התרשמותי הפרטית היתה שהמידע מבולבל, לעיתים קרובות לא מדוייק, וכמעט תמיד חלקי. ביום חמישי שינסתי מתניים והחילותי בליקוט וכתיבה, והרי התוצאה לפניכם (פורסם במקביל גם בבלוג דבר דבור על אפניו);
----------------------

  • מה הם גלי כבידה?
גלי כבידה הם הפרעות מחזוריות בגיאומטריה של מרקם המרחב-זמן עצמו. למה הכוונה? המרחב-זמן הוא אוסף הסרגלים באמצעותם אנו דוגמים את המציאות החומרית. תורת היחסות הכללית מלמדת אותנו שהכיול של הסרגלים הללו הוא חלק בלתי נפרד מהדינמיקה של המציאות החומרית עצמה, כלומר כיול הסרגלים עצמו תלוי במה שהם מודדים... גלי הכבידה הם שינויים מחזוריים במרחק בין שנתות "המשורטטות" על אותם סרגלים, שינויים המתקדמים במהירות האור ומתרחשים במישור הניצב לכיוון ההתקדמות.
  • מהיכן נהגה קיומם?
גלי הכבידה הם פתרון של משוואת אינשטיין עבור הסטייה ממרחב שטוח, סטייה המתפשטת באופן רדיאלי כתוצאה מהפרעה מחזורית בשדה הכבידה במקום נתון. עד שנות החמישים לא היה ברור האם יש להם משמעות פיזיקלית כלשהי ובפרט, האם הם נושאים אנרגיה. פליקס פירני הראה במפורש שלגלים האלו השפעה ממשית על תנועתם של חלקיקים המשובצים במרחב-זמן. בסופו של יום גלי כבידה הם אחד הניבויים האקזוטיים של תורת היחסות הכללית (או תורת הכבידה) וגילויים מהווה אישוש נאה לאיכותה ולנכונותה. פליקס פירני - האיש שהניח את היסודות להבנה וטיפול אנליטי בגלי כבידה - הלך לעולמו רק שבועות ספורים לפני ההכרזה על הגילוי.
  • האם יש קשר בין גלי כבידה לגרביטונים? האם גלי כבידה הם תופעה של כבידה קוונטית?
תשובה בשליפה לשתי השאלות הללו היא שלילית, אין קשר. גלי כבידה הם תופעה קלאסית לחלוטין ולהבדיל, גרביטונים הם תולדה (היפותטית) של קוונטיזציה (היפותטית) של נשאי הכוח באינטראקציות כבידתיות, והם צפויים להיות חסרי-מסה בדומה לפוטונים ולגלואונים. נכון להיום טרם נמצאה דרך לקוונטט את הכבידה באופן עקבי שיניב גם ניבויים כמותיים. ובכל זאת, מסתבר שפרטי הארוע שנקלט ב-LIGO איפשרו לתאורטיקנים להציב חסם עליון למסה של הגרביטון ההיפותטי: \(m_{\text{graviton}}\leq1.2\times10^{-22}\text{ev}/c^{2}\). אין לי כל מידע או מושג כיצד זה נעשה. 
  • מהם המקורות לגלי כבידה?
כאמור, המקורות לגלי כבידה הם גופים מסיביים מאוד וקומפקטים מאוד הנמצאים בתנועה מחזורית (בדומה לזה, גלים אלקטרומגנטיים נוצרים ע"י מטענים חשמליים הנמצאים בתנועה מחזורית). גופים אלו עשויים להיות צמד כוכבי ניטרונים או צמד חורים שחורים המסתחררים בעוצמה רבה סביב מרכז כובד משותף. האינטראקציה הכבידתית בין שני הגופים משגרת אל המרחב גלי כבידה הנושאים עימם חלק מהאנרגיה של המערכת. אבדן האנרגיה מוביל להתקרבות הגופים וחיזוק האינטראקציה הכבידתית ביניהם, מה שמוביל להעצמה של הקרינה הכבידתית וחוזר חלילה. זהו איפה תהליך מסוג משוב הגברה וסופם של שני הגופים להתאחד באלימות. 

סימולציה נומרית המתארת גלי כבידה בהתנגשות חורים שחורים.
קרדיט: C. Henze/NASA Ames Research Center

  • במה כרוך הדבר לדגום גלי כבידה?
ההספק הרגעי (אנרגיה ליחידת זמן) ביצירת גלי כבידה נמוך לאין שיעור מההספק הרגעי ביצירת גלים אלקטרומגנטיים. לדוגמא, הספק הקרינה הכבידתית של המערכת שמש-כדה"א הוא כ- 200 ואט. השוו זאת להספק הקרינה האלקטרומגנטית הבוקעת מהשמש, מסדר גודל של \(10^{26}\) ואט. גלי כבידה הם כל כך 'חלשים' וחמקמקים עד כי נראה היה שגילוי שלהם הוא בחזקת פנטזיה על אדי אלכוהול. שינוי מרווחי השנתות על גבי סרגלי המרחב-זמן הנגרם כתוצאה ממאורע קטקליסמי בגלקסיה רחוקה הוא בשיעור של אחד חלק אלף מרדיוס הפרוטון. 
  • כמה מילים על הניסוי?
בבקשה: גלאי LIGO הוא אינטרפרומטר (מאבך) דו-זרועי של קרינה אלקטרומגנטית בתחום האינפרא-אדום. אורכה של כל זרוע הוא כארבעה קילומטר, הזרועות ניצבות זו לזו ובקצה המרוחק שלהן מראה מלוטשת. חשוב ביותר שאורכן של הזרועות יהיה שונה כדי מחצית אורך הגל המואבך בדרגת דיוק אולטרא-פנטסטית. קרן לייזר בהספק של כ-200 ואט משוגרת אל המאבך ומתפצלת, וכל אחת משתי קרני הבת נעה הלוך וחזור כדי ליצור לבסוף תבנית התאבכות הורסת מושלמת על הגלאי (כלומר דבר לא נראה בגלאי). 
גל כבידה העובר בניצב לאינטרפרומטר מאריך את אחת מזרועותיו בשיעור של אלפית קוטרו של של פרוטון (\(10^{-18}\) מטר), ומקצר את השנייה בשיעור דומה. במקרה זה נפגמת שלמות ההתאבכות ההורסת ומופיע סיגנל אור חלש על הגלאי.
  • כיצד מנקים את הרעש?
"רעשי הסביבה" הם רבים ומגוונים ובלי צל של ספק עצמתם גדולה בסדרי גודל מזו של גל כבידה. כדי לנטרל מקורות רעש קרובים בנו שני גלאים שמוקמו במרחק של כשלושת אלפים קילומטרים זה מזה, האחד בואנפורד שבמדינת וושינגטון, השני בליווינגסטון שבלואיזיאנה. אות הנקלט בו-זמנית בשניהם מצביע על סיכוי לארוע אמת המגיע ממקורות חוץ ארציים. תורת הכבידה מנבאת במדויק כיצד יראה אות המשוגר מארוע קוסמי המייצר גלי כבידה. מצורת האות ומשכו ניתן לשחזר את הפיזיקה של הארוע ואת כמות האנרגיה הכוללת שהוקרנה באמצעות גלי כבידה. ובכל זאת, איך מזהים אות כל כך חלש בתוך רעש אדיר ומתמשך? אין לי מושג.
  • מה ארע ומתי? על מה הבאז התקשורתי?
ב-14 בספטמבר 2015 בשעה 9:50:45 בבוקר שעון מקומי, יומיים בלבד לאחר הפעלת המערכת הניסויית המשודרגת, התקבל בשני הגלאים בו-זמנית אות של גל כבידתי שנמשך כחמישית השנייה: 

האות שהתקבל (לקוח מפרסומי הקבוצה)

תדירות האות השתנתה בין \(35\) ל-\(250\) הרץ השקולים לאורכי גל המתפרשים (בקירוב) בטווחים שבין \(1200\) ל-\(8565\) קילומטרים. מתיחת השנתות שנמדדה על גבי סרגלי המרחב היתה מסדר גודל של \(10^{-21}\) שנתה אחת. הארוע קיבל את הכינוי GW150914.
  • מה ניתן היה להסיק מהגילוי?
נתונים אלו תואמים ארוע קטקליסמי ובו שני חורים שחורים קורסים זה לעבר זה בספירלה, ומתאחדים. הארוע שיצר את האות מרוחק \(410^{+160}_{-180}\) מגה-פרסק. \(410\) מגה-פרסק הם בקירוב \(1,336,600,000\) שנות אור, כלומר בערך \(1.3\) מליארד שנות אור מאיתנו. שימו לב לאי-הודאות העצומה במרחק אשר מקורה בקושי למקם נקודה במרחב באמצעות רק שני גלאים (גלאי שלישי הולך ונבנה מתוכנן להיבנות בהודו).
מסתם של החורים השחורים במערכת המנוחה של מקור האות, בטרם התנגשות, היא \(36^{+5}_{-4}M_{\odot}\) ו- \(29^{+4}_{-4}M_{\odot}\) (היחידה \(M_{\odot}\) מסמנת מסת שמש), ואילו מסת החור השחור שהתהווה מהאיחוד היא \(62^{+4}_{-4}M_{\odot}\). בשבר השניה האחרונה שלפני ההתנגשות היתה תדירות הסיבוב של המערכת הבינארית מאות מחזורים בשניה, ומהירותם המשיקית של החורים השחורים הגיעה לכדי מחצית ממהירות האור. בזמן קצר זה הפכו שלוש מסות שמש תמימות לאנרגיה בצורה של גלי כבידה (בהתאם לקשר \(E=mc^{2}\)).  במילים אחרות, כמות חומר השקולה בערך למיליון כדורי ארץ התאיינה לגלי כבידה בשבריר השניה.
זהו הגילוי הישיר הראשון של גלי כבידה והפעם הראשונה בה נצפה איחוד של חורים שחורים. ההספק שהתקבל בשיא הארוע, מסדר גודל של \(10^{50}\) ג'אול לשניה, גדול יותר (כך נטען בכמה פרסומים לא מחייבים) מההספק הרגעי של כל כוכבי היקום גם יחד... ראוי לציין שתאור כמותי של תהליכים מסוג זה מצריך שיטות מתמטיות מתקדמות ומחשבי-על אולטרא-חזקים, ולטענת החוקרים לא היה ניתן לביצוע לפני שנת 2005. 


תאור הארוע (לקוח מפרסומי הקבוצה)

  • מה הסיכוי שהאות שנדגם מבטא "סידור נדיר של רעש חסר ערך"?
אחד ל-\(203,000\) שנים צפוי להתרחש ארוע מתחזה בודד מסוג זה. לכן מידת המובהקות של האות היא \(5.1\) סיגמות, בדומה למובהקות שהתקבלה בכל אחד משני הגלאים ב-CERN (אטלס ו-CMS) עם ההכרזה על גילוי חלקיק ההיגס
  • המחשת הארוע שיצר את האות:
הסרטון מטה מסמלץ את הארוע בהתחשב במשוואות תורת הכבידה על פי אינשטיין. שדות הכבידה האדירים של שני החורים מעוותים את המרחב-זמן סביבם, מה שמשבש את מסלולי קרני האור של הכוכבים שברקע. כל התופעות האופטיות החזויות, ובכללם עידוש כבידתי וטבעות אינשטיין, מתעצמות. במידה רבה מאוד הרקע של החלל הבין כוכבי מאפשר לראות ממש בעיניים - ולפרטי פרטים - את עיקום המרחב-זמן בקרבת הארוע. בהיבט הזה אני מוצא את הסרטון ממש מדהים. שימו לב שכל התהליך אורך במציאות כחצי שניה, כך שזהו למעשה סימלוץ בהילוך איטי.




זאת ועוד: רואים בעיניים את גלי הכבידה המוקרנים. אלו הם האדוות המחזוריות המתפשטות באופן רדיאלי ממקום הארוע והחוצה. שימו לב לרטט המופיע במרחב-זמן גם לאחר שנראה כאילו הארוע כבר הסתיים. 

  • מסקנות כלליות מהניסוי: 
  1. חורים שחורים מתנהגים (ובעיקר מתאחדים) בהתאם לאופן בו מתארת זאת תורת היחסות הכללית.
  2. גלי כבידה קיימים, והם נוצרים ומוקרנים כפי שניבא זאת לראשונה הדוד אלברט (ניבא, התכחש, ולבסוף התרצה) וכפי שביסס את הניבוי סבא פליקס.
  3. הוכחה היתכנות מפורשת לאסטרונומיה של גלי כבידה מה שפותח חלון חדש לגמרי לחקירת תופעות כבידתיות. אינטרפרומטרים הם טלסקופי הכבידה של העתיד!
  • האם היתה זו העדות הראשונה לקיומם של גלי כבידה?
לא, בהחלט לא. עדות חותכת אך עקיפה לקיומם של גלי כבידה התקבלה בשנות השבעים על ידי ראסל הולס וג'ו טיילור. השניים בדקו את הירידה בתדירות ההקפות המחזוריות של מערכת בינארית של כוכבי ניטרונים כתוצאה מאיבוד אנרגיה בקרינת גלי כבידה. הקו הרצוף בגרף מטה מתאר את הדעיכה כפי שצופה זו תורת היחסות הכללית. הצלבים הקטנטנים מציינים את תוצאות התצפית. ההתאמה הפנטסטית הביאה את חברי ועדת נובל להעניק לשניים את הפרס בשנת 1993.

מקור: ויקיפדיה.

  • תוספת: שמועות מדברות על שבעה ארועים נוספים שנקלטו בגלאי LIGO מאז הגילוי של ה-14 בספטמבר. אותן שמועות מספרות שבכל שבעת המקרים הללו האותות שנתקבלו היו חלשים יותר מ- GW150914.
  • מילותי שלי: נדמה לי שאי אפשר להפריז בחשיבות התגלית, לפחות בהיבט של האסטרונומיה החדשה. היכולת לצפות במעמקי היקום באמצעות "טלסקופ כבידתי" היא לדעתי ההישג הגדול באמת, אולי בסדר גודל של המהפך שהתחולל במדע עם בואו של גלילאו. אחרי ככלות הכל הכבידה אינה יודעת מחסום מהו. ובפרט, מה כבר יכול לעמוד בדרכם של גלי מאומה?...
  • ולקינוח:




  • מקורות:



מצאתם טעות? יש הסתייגות מבוססת? אשמח אם תשתפו.




יום שישי, 12 בפברואר 2016

מבחן שני בחמד"ע - מבחר שאלות פתורות




זריחת ארץ ישראל מעל אופק הירח כפי שצילמה זאת רק לאחרונה המקפת
הירחית LRO. מסביב לארץ ישראל אפשר לראות את כל כדור הארץ ;)
קרדיט: NASA/Goddard/Arizona State University


שאלה 1

בול שמסתו \(M\) מחובר אל קפיץ בעל קבוע כוח \(k\) כמתואר בתרשים. הבול מונח על משטח אופקי חלק. קליע שמסתו \(m=M/4\) נורה אופקית במהירות \(v_{0}\) ופוגע בבול. הקליע חודר אל הבול בזמן קצר מאוד ונשאר תקוע בתוכו. מכאן ואיך מבצעים הבול והקליע תנועה הרמונית לאורך הציר האופקי. את תשובותיכם רישמו במונחים של \(M,k,v_{0}\).



  1. מהי המהירות המשותפת של הבול והקליע מיד עם חדירת הקליע? נא לנמק באיזה חוק השתמשתם ומה ההצדקה לשימוש בו.
  2. מהי משרעת התנודות ההרמוניות שמבצעים הבול והקליע התקוע בתוכו?
  3. בתוך כמה זמן מרגע עצירת הקליע מגיעה המערכת למנוחה רגעית בפעם הראשונה?
  4. מהי תאוצת המערכת ברגע זה?

תשובות:
  1. זמן חדירת הקליע קצר ביותר ובזמן זה הקפיץ בקושי מספיק להתכווץ. מאחר והכוח שהקפיץ מפעיל על המערכת מתכונתי לכיווצו, הרי שהמתקף הפועל עליה זניח והתנע (עפ"י משפט מתקף-תנע) נשמר בקירוב מצויין. שימור תנע בהתנגשות פלסטית ינפק את המשוואה\begin{align}mv_{0}=\left(m+M\right)v\quad\Rightarrow\quad{}v=\frac{mv_{0}}{m+M}=\frac{v_{0}}{5}\end{align}
  2. מחוק שימור האנרגיה המכנית, במצב בו הקפיץ הכי מכווץ כל האנרגיה הקינטית של המערכת (מייד לאחר ההתנגשות) הומרה לאנרגיה פוטנציאלית. לכן אם \(A\) מייצג את המשרעת הרי ש-\begin{align}\frac{1}{2}\left(\frac{5M}{4}\right)v^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\quad\Rightarrow\quad{}A=\sqrt{\frac{Mv_{0}^{2}}{20k}}\end{align}
  3. "המהירות הזוויתית" ניתנת ע"י \(\omega^{2}=4k/5M\). זמן המחזור מקיים \(T=2\pi/\omega\). המהירות הרגעית מתאפסת לראשונה בתום רבע זמן מחזור היינו \begin{align}t^{\star}=\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{5M}{k}}\end{align}
  4. בהתאם לחוק השני של ניוטון  התאוצה מתכונתית לכוח, \(a=4F/5M\), והכוח (שהקפיץ מפעיל) מתכונתי למשרעת, \(F=kA\). נשבץ את הביטוי עבור המשרעת שהתקבל בסעיף השני ונקבל: \begin{align}a\left(t=t^{\star}\right)=\frac{4k}{5M}\sqrt{\frac{Mv_{0}^{2}}{20k}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}\sqrt{\frac{k}{M}}\,v_{0}\end{align} וכיוונה שמאלה (ככיוון הכוח).

שאלה 2

מטוטלת שמסתה \(m\) תלוייה על קפיץ חסר מסה שקבוע הכוח שלו הוא \(k\) והאורך הרפוי שלו הוא \(R\) (קפיץ זה בא במקום החוט חסר המסה במטוטלת מתמטית רגילה, ראו איור). מסיטים את המטוטלת בזווית \(\theta_{0}\) ומשחררים בעדינות מהמצב בו הקפיץ רפוי כך ש-
 \begin{align}r\left(t=0\right)=R,\quad\theta\left(t=0\right)=\theta_{0},\quad\boldsymbol{v}\left(t=0\right)=\boldsymbol{0}\end{align}
קיבעו את ראשית הצירים בנקודת התלייה ועיבדו במערכת קואורדינטות קוטביות \(r(t),\theta(t)\).



  1. רישמו ביטוי עבור האנרגיה המכנית הכוללת \(E_{0}\) בזמן \(t=0\) ועבור האנרגיה המכנית הכוללת \(E\) בכל זמן מאוחר יותר \(t>0\). רישמו במפורש איזה סוג אנרגיה מבטא כל ביטוי שרשמתם (קינטית סיבובית, פוטנציאלית כבידתית וכ'). מהו הקשר המתמטי המפורש בין \(E_{0}\) לבין \(E\) ומה ההצדקה לנכונותו?
  2. ציירו דיאגרמת כוחות על המסה \(m\) ועל בסיס הדיאגרמה הזו (והחוק השני של ניוטון) קבלו ממנה שתי משוואות דיפרנציאליות מצומדות במשתנים \(r(t),\theta(t)\). אין לנסות לפתור את המשוואות.
  3. המערכת מותקנת בתחנת החלל הבינלאומית ומשוחררת ממנוחה באותם תנאים בדיוק. תארו במדויק את תנועת המסה מנקודת מבטו של אסטרונאוט בתחנה, ומנקודת מבטו של צופה מכדה"א.

תשובות:

  1. ברגע השיחרור הקפיץ רפוי והמסה במנוחה, לכן האנרגיה המכנית של המערכת היא האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית. נבחר את מישור היחוס להיות התקרה ממנה תלויה המטוטלת ונקבל \(E_{0}=-mgR\cos\theta_{0}\). בכל זמן מאוחר יותר תכיל האנרגיה המכנית בתוספת לאנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית גם רכיב פוטנציאלי אלסטי ורכיב קינטי. הרכיב האלסטי תלוי רק בהתארכות או בהתכווצות הקפיץ מעבר למצבו הרפוי על הציר הרדיאלי. לרכיב הקינטי יש גם תרומה רדיאלית וגם תרומה זוויתית:\begin{align}v^{2}=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}=(\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}})\cdot(\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}})=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}\end{align} לכן האנרגיה המכנית בכל זמן מאוחר יותר ניתנת ע"י\begin{align}E=\underbrace{\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}}_{\text{קינטית}\atop\text{רדיאלית}}+\underbrace{\frac{1}{2}mr^{2}\dot{\theta}^{2}}_{\text{קינטית}\atop\text{סיבובית}}+\underbrace{\frac{1}{2}k\left(r-R\right)^{2}}_{\text{פוטנציאלית}\atop\text{אלסטית}}-\underbrace{mgr\cos\theta}_{\text{פוטנציאלית}\atop\text{כבידתית}}\end{align}כל הכוחות הפועלים על המסה הם משמרים, וכוחות משמרים נגזרים מאנרגיה פוטנציאלית. במקרה זה  מתקיים חוק שימור האנרגיה המכנית, ולכן \(E_{0}=E\). כלומר האנרגיה המכנית היא שמורה של התנועה.
  2. הכוח הפועל על המסה בציר הרדיאלי בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) החיובי מכיל שני מרכיבים, כבידתי והרמוני מחזיר: \(f_{r}=-k\left(r-R\right)+mg\cos\theta\). הכוח הפועל בציר המשיקי בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\) החיובי הוא פשוט \(f_{\theta}=-mg\sin\theta\). הוקטורים הקינמטיים בקורדינטות אלו ניתנים ע"י (חישוב שערכתם מאתיים פעם...) \begin{aligned}\boldsymbol{r}=r\widehat{\boldsymbol{r}}&\\\boldsymbol{v}=\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}&\\\boldsymbol{a}=\ddot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+2\dot{r}\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\ddot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}-r\dot{\theta}^{2}\widehat{\boldsymbol{r}}\end{aligned} ניישם את החוק השני של ניוטון בשני הצירים הניצבים ונקבל את צמד המשוואות המצומדות \begin{aligned}-k\left(r-R\right)+mg\cos\theta&=m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^{2}\\-mg\sin\theta&=2m\dot{r}\dot{\theta}+mr\ddot{\theta}\end{aligned}
  3. תחנת החלל הבינלאומית נמצאת בנפילה חופשית יחד עם כל תכולתה. לכן במערכת זו הכבידה מתאיינת, אין כל כוח שיסית את המסה ממצבה ההתחלתי והיא תשאר במנוחה במערכת זו. מנקודת מבט של צופה מכדור הארץ המוטלת (יחד עם כל תחנת החלל) נמצאת במסלול לוויני מעגלי סביב כדור הארץ.

שאלה 3

נקודת לגראנג' היא נקודה במרחב שבה יכול גוף קטנטן דוגמת לווין, המושפע רק מכוחות הכבידה של הארץ והשמש, להישאר במסלול קפלריאני יציב סביב השמש עם זמן מחזור השווה בדיוק לזה של כדור הארץ (שנה אחת). נקודה זו מאופיינת על ידי התכונה שהמשיכה הכבידתית הנוצרת על ידי הארץ והשמש יחדיו משתווה בגודלה לגודל הכוח הצנטרפיטלי הדרוש לתנועה הלווין במסלול הקפלריאני בן הוא נמצא. אגב, במערכת שמש-ארץ יש חמש נקודות כאלו, כמוראה באיור (שנלקח מויקיפדיה):




נקודת לגראנג' \(L_{1}\) שבין כדור הארץ והשמש נמצאת על הקו הדמיוני המחבר בין מרכזי שניהם. לכאורה גוף הנמצא במרחק קטן יותר ממרחקה של הארץ מהשמש אמור להקיף את השמש בזמן קצר יותר (אתם צריכים לדעת למה), אך מכיוון שהארץ מפעילה כוח משיכה בכיוון ההפוך היא מחלישה את המשיכה של השמש וגורמת להארכת זמן ההקפה. 

  1. במערכת שמש-ארץ הניחו תנועה מעגלית של כדור הארץ סביב השמש, הזניחו את השפעת הירח, וקבלו משוואה פולינומית עבור המרחק \(R\) של נקודות לגראנג' \(L_{1}\). אין צורך (לנסות) לפתור.
  2. רישמו ביטוי עבור האנרגיה המכנית (קינטית + פוטנציאלית) עבור לווין בעל מסה \(\mu\) היושב בנקודת לגראנג' \(L_{1}\). 
  3. חשבו את מהירות המילוט שיש להעניק לו ביושבו בנקודה זו.
  4. הראו שהכוח הכולל הפועל על הלווין בהיותו יושב בנקודת לגראנג' \(L_{1}\) הוא מינוס הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית מסעיף ב'. מהי העבודה שמבצעים השמש וכדה"א יחדיו על הלווין במשך שנה שלימה? לעזרה: בקואורדינטות פולריות,\begin{aligned}\nabla=\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{}r}+\widehat{\boldsymbol{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\end{aligned}

 תשובות:

  1. משוואה כזו תתקבל ממודל הכבידה של ניוטון. יהא \(R\) המרחק של נקודת לגראנג' \(L_{1}\) מכדור הארץ ויהא \(d=1_{\text{au}}=1.5\times{10^{11}}_{m}\) המרחק של כדור הארץ מהשמש. נשכח מקיומו של הירח (השפעתו קטנה) ואז הכוח השקול הפועל על הלווין בעטיים של כדור הארץ (שמסתו \(m\)) והשמש (שמסתה \(M\)) הוא:\begin{align}\vec{F}=-\frac{GM\mu}{\left(d-R\right)^{2}}\widehat{\boldsymbol{r}}+\frac{Gm\mu}{R^{2}}\widehat{\boldsymbol{r}}\end{align}התאוצה הרדיאלית של הלווין ניתן ע"י \({a}_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\) אבל היות ואנו מניחים תנועה מעגלית, הרי שהמרכיב הקווי של התאוצה הרדיאלית בהכרח מתאפס, והמהירות המשיקית \(\omega=\dot{\theta}\) קצובה (מה הסיבה הפיזיקלית לכך?). לכן החוק השני של ניוטון מנפק את המשוואה\begin{aligned}G\mu\left(\frac{m}{R^{2}}-\frac{M}{\left(d-R\right)^{2}}\right)=-\mu{}\left(d-R\right)\omega^{2}\end{aligned}היכן ש- \(\omega=2\pi/1_{\text{שנה}}=2\pi_{1/\text{שנה}}\). מסת הלווין מצטמצמת (לא מפתיע),  נרשום \(\omega^{2}/G=:\alpha\) ונקבל: \begin{aligned}&m\left(d-R\right)^{2}-MR^{2}=-\alpha{}R^{2}\left(d-R\right)^{3}\end{aligned}שימו לב שההצבה \(m=0\) מנפקת את הפיתרון (הטריוויאלי) \(R=0\) כלומר הלווין ממוקם בדיוק היכן שכדור הארץ היה צריך להיות...
  2. לאנרגיה המכנית שתי תרומות של אנרגיה פוטנציאלית כבידתית ותרומה אחת המגיעה מהאנרגיה הקינטית בעטיה של התנועה הסיבובית סביב השמש ברדיוס \(d-R\).  נבחר את הפוטנציאל להתאפס באינסוף; במקרה זה האנרגיה המכנית הכוללת של הלווין במסלול הקשור ניתנת ע"י \begin{aligned}E=\underbrace{\frac{1}{2}\mu\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}}_{=\;E_{k}}\underbrace{-\frac{G\mu{}M}{d-R}-\frac{G\mu{}m}{R}}_{=\;\phi_{\text{שמש+ארץ}}}\end{aligned} האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת היא סופרפוזיציה סקלרית של שתי התרומות ולהבדיל מסופרפוזיציה וקטורית היא לא רגישה לכיוונים. 
  3. מהירות המילוט מתקבלת מאיפוס האנרגיה המכנית הכוללת, הכוללת גם את האנרגיה הקינטית המוענקת לצורך מילוט. יהא \(\boldsymbol{v}\) התוספת (הוקטורית) למהירות המשיקית המקורית שהיתה ללויין, \(v_{\parallel}=\omega\left(d-R\right)\) ואשר בעטיה ימלט הלווין משדה הכבידה. אזי, \begin{aligned}&\frac{1}{2}\mu{}v^{2}+\frac{1}{2}\mu\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}-\frac{G\mu{}M}{d-R}-\frac{G\mu{}m}{R}=0\\&\\\Rightarrow\quad{}&v=\sqrt{-\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}+2G\left(\frac{M}{d-R}+\frac{m}{R}\right)}\end{aligned}
  4. הקוארדינטה הרדיאלית הרלוונטית היא \(r=d-R\). ובפרט, \(R=d-r\). היות ואין תלות זוויתית, הגרדיאנט מצטמצם לנגזרת לאורך הרדיאל. לכן,\begin{aligned}-\nabla\phi&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{}r}\left\{-\frac{G\mu{}M}{r}-\frac{G\mu{}m}{d-r}\right\}\\&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}M}{r^{2}}+\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}m}{\left(d-r\right)^{2}}\\&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}M}{\left(d-R\right)^{2}}+\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}m}{R^{2}}\;=\;\vec{F}\end{aligned}סך כל העבודה המבוצעת על הלווין על ידי שני הגופים השמימיים (ארץ+שמש) במשך שנה שלימה היא כמובן אפס היות ומדובר בעבודת כוחות משמרים לאורך מסילה סגורה.