יום חמישי, 7 בינואר 2016

כמה מילים על חוק השטחים


חוק השטחים נולד יחד עם יוהנס קפלר, האיש שהשכיל לתמצת את תצפיותיו המפורטות של טיכו ברהה בשלושה חוקים אשר ניסוחם הולך פחות או יותר כך:
  1. פלנטה תנוע סביב השמש במסלול אליפטי כשהשמש יושבת באחד ממוקדי האליפסה.
  2. המחוג המכוון מהשמש אל הפלנטה מטאטא שטחים שווים בפרקי זמן שווים.
  3. ריבוע זמן המחזור של הפלנטה בתנועתה סביב השמש מתכונתי לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי.
שלושת החוקים הללו שנוסחו על בסיס אמפירי מוסברים יפה באמצעות תורת הכבידה של ניוטון. כהרגלי (המכוון) בקודש אניח את השתלשלות הארועים ההיסטורית בצד ואגש ישר לנקודה אותה אני מבקש להדגיש:
בעוד שהחוקים הראשון והשלישי (של קפלר) הם תולדה של כוח מרכזי הדועך כמו אחד חלקי המרחק בריבוע, הרי שתוקפו של החוק השני - הוא חוק השטחים - רחב בהרבה, וכפי שניווכח מייד מאפיין כל תנועה תחת השפעת כוח מרכזי, יהיה טבעו אשר יהיה.
הבה ניגש להוכחת הטענה. יהא \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) וקטור המקום המצביע מראשית צירים הממוקמת על מקור כוח מרכזי לעבר (מרכז המסה של) גוף הנע תחת השפעתו. קל מאוד להשתכנע באמצעות שרטוט תרשים שהוקטור
\begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\left(t\right)&=\lim_{\Delta{}t\to0}\left[\boldsymbol{r}\left(t+\Delta{}t\right)-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right]\\&=:\boldsymbol{v}\left(t\right)\mathrm{d}t\end{aligned}
"יוצא" מהמקום הרגעי בו נמצא החלקיק בזמן \(t\) ומשיק למסלול התנועה ברגע זה. כאן \(\boldsymbol{v}\left(t\right)\) הוא כמובן וקטור המהירות הרגעית המצביע בכיוון המשיק למסלול התנועה. את השטח האינפיניטסימלי שמטאטא וקטור המקום במרווח זמן אינפיניטסימלי \(\mathrm{d}t\) נוכל לקבל  מהמכפלה הוקטורית
\begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}\right)\end{aligned}
זאת מאחר ומכפלה וקטורית (ככלל) מנפקת את שטח המקבילית הנפרשת באמצעות שני הוקטורים שבמכפלה. מביטוי זה מתקבל רצפט מתמטי חביב לחישוב שטחים באמצעות אינטגרציה מסלולית סביב היקפם, \(\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}\oint_{\text{כל ההיקף}}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}\), ראו בהקשר זה גם משוואה 13 ברשימה על זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב. אבל לא בזאת עניינו עתה.

תחת לאסכם נגזור (לפי הזמן, מן הסתם) ונקבל
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}\right)=\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right)=\frac{\boldsymbol{L}}{2m}\end{aligned}
באשר \(\boldsymbol{L}\) הוא התנע הזוויתי של הגוף ביחס לציר הניצב למישור התנועה ומנקב את הראשית, ו- \(m\) היא מסתו. מאחר וכך, בכל מצב שבו התנע הזוויתי הוא קבוע של התנועה, כך גם \(\mathrm{d}\boldsymbol{A}/\mathrm{d}t\) ובמקרה זה מתקבל חוק השטחים, היינו
\begin{aligned}\dot{\!\boldsymbol{A}}=\text{constant}\end{aligned}
אזי השטח המטוטא ע"י וקטור המקום גדל לינארית עם הזמן. במקרה הכללי יותר, כאשר התנע הזוויתי איננו קבוע של התנועה מתקבלת נוסחת החישוב החביבה
\begin{aligned}\boldsymbol{A}\left(\Delta{}t\right)=\frac{1}{2m}\int_{t}^{t+\Delta{}t}\boldsymbol{L}\left(t\right)\mathrm{d}t\end{aligned}
ובפרט, אם \(T\) הוא זמן המחזור של התנועה,
\begin{align}\boldsymbol{A}_{\text{מלא}}=\frac{1}{2m}\int_{0}^{T}\boldsymbol{L}\left(t\right)\mathrm{d}t\,.\end{align}

באלו תנאים התנע הזוויתי הוא קבוע של התנועה? כדי לענות על השאלה הזו נציג קודם את מושג המומנט הסיבובי. המומנט הסיבובי \(\boldsymbol{\tau}\) הוא הנטייה של כוח לסובב את האובייקט עליו הוא פועל סביב ציר כלשהו. יהא \(\boldsymbol{r}\) וקטור המקום של גוף ויהא \(\boldsymbol{F}\) כוח כלשהו הפועל על אותו הגוף. אזי,
\begin{align}\boldsymbol{\tau}:=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}\end{align}
הוא (וקטור) המומנט הפועל על הגוף ביחס לציר המנקב את המישור הנפרש באמצעות וקטור המקום ווקטור הכוח, בדיוק בראשית הצירים. ומהו הקשר בין מומנט הסיבוב ובין התנע הזוויתי? ניקח את הנגזרת לפי הזמן של התנע הזוויתי \(\boldsymbol{L}\) של הגוף ביחס לאותו ציר, ניעזר בחוק השני של ניוטון \(\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}\), ונקבל:

\begin{align}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right)=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\times\boldsymbol{p}+\boldsymbol{r}\times\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\\&=\underbrace{\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{p}}_{\equiv\;\boldsymbol{0}}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}=\boldsymbol{\tau}\end{align}
לכן כל אימת שהמומנט הסיבובי מתאפס, התנע הזוויתי נשמר בזמן.

והנה, כאשר מדובר בכוח מרכזי מכל סוג שהוא, לאו-דווקא כזה הדועך כמו אחד חלקי המרחק בריבוע, הרי שהמומנט הסיבובי הנגזר מהכוח הזה מתאפס באופן זהותי. אף שהטענה הזו מאוד אינטואיטיבית, ננסח אותה בשפה מדויקת:

כוח מרכזי \(\boldsymbol{F}_{c}\) הוא כוח התלוי אך בקואורדינטה הרדיאלית \(r\) (גודל וכיוון) והוא מקבל את הצורה הכללית
\begin{align}\boldsymbol{F}_{c}=f\left(r\right)\widehat{\boldsymbol{r}}=\frac{f\left(r\right)}{r}\boldsymbol{r}\end{align}
הילכך \(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}_{c}\equiv\boldsymbol{0}\), כלומר במקרה זה המומנט הסיבובי מתאפס באופן זהותי, התנע הזוויתי נשמר בזמן, ומתקבל שוקטור המקום מטאטא שטחים שווים בפרקי זמן שווים. בעיית קפלר היא איפה רק מקרה פרטי של חוק השטחים התקף לכל סוג של כוח מרכזי.