יום שבת, 23 ביולי 2016

גאות ושפל - הפיתוח המולטיפולי

לפני קצת יותר מחודש פורסמה בבלוג של אורן שעיה "עד כדי קבוע" רשימה חביבה על תופעת הגאות והשפל; עלעלתי וקיבלתי תיאבון והרי התוצאה לפניכם. מטעמים מובנים אתמקד בהשפעת הירח על הגאות והשפל, ולאחר מכן אייחד כמה מילים להשפעה של השמש, ולמשחק ההדדי בין השניים.

הגורם הכבידתי הדומיננטי על פני הארץ (בנפילתה החפשית יחד עם הירח לעבר מרכז הכובד תלוי-הזמן של מערכת השמש) הוא כמובן כדור הארץ עצמו. ואולם גוף המונח היכנשהו על פני הארץ מושפע גם מכוח המשיכה של הירח; עצמת המשיכה הזו קטנה למדי והיא משתנה במהלך היממה כתוצאה מהסיחרור סביב ציר הסיבוב הארצי ושינוי המרחק בין הגוף לירח הנגרם בעטיו. מן הסתם, ההבדלים בעצמת הכוח במהלך היממה תלויים גם בקו הרוחב: מטבע הדברים בקו המשווה הם מקסימליים ובקווי הרוחב הגבוהים הם חלשים.

אנו נתעלם מזוטות שהשפעתן קטנה ונתמקד בגורמים הדומיננטים; לצורך כך נתייחס לירח ולכדור הארץ כאילו היו כדורים צפידים בעלי מבנה אחיד. זאת ועוד, לדידנו הירח סובב את כדור הארץ על גבי מישור מילקה (ירחי) הניצב בממוצע לציר הסיחרור הארצי. בתרגיל המופיע בסוף הרשימה נשכלל את החשבון עבור תנודות הירח מעל ומתחת למישור המילקה הירחי. 

הבה נקבע מוסרות:
  • את ראשית הצירים נמקם במרכז כדור הארץ הואיל וזו המערכת ממנה נצפית תופעת הגאות והשפל. יהיה \(\boldsymbol{r}\) וקטור המקום של נקודה כלשהי על פני האדמה ביחס לראשית זו, וגודלו \(r\) כשל רדיוסה הממוצע של הארץ.
  • יהיה \(\boldsymbol{a}\) וקטור המקום של הירח ביחס לראשית זו, והוא מונח על מישור המילקה הירחי. היות והמחזור הירחי הוא בן \(28\) יממות בקירוב והוא ארוך (מן הסתם) פי \(28\) מהמחזור היממתי, נוכל להתייחס בשלב ראשוני זה למיקום הירח כקבוע, ולהניח את וקטור המקום של הירח על ציר \(z\) הקבוע בזמן, כלומר \(\boldsymbol{a}\approx{}a\widehat{\boldsymbol{z}}\), באשר \(a\) מרחקו של הממוצע הירח מכדור הארץ.
  • ולבסוף, תהא \(\theta\) הזווית הנפרשת בין שני הוקטורים הללו.

נבחר את הפוטנציאל הכבידתי של הירח להיות אפס באינסוף. במקרה זה פונקצית הפוטנציאל הכבידתי של הירח בנקודה \(\boldsymbol{r}\) כלשהי על פני כדור הארץ ניתנת ע"י
\begin{aligned}U_{p}\left(\boldsymbol{r}\right)&=-\frac{Gm}{\left|\,\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}\,\right|}\\&=\frac{-Gm}{\sqrt{r^{2}+a^{2}-2ra\cos\theta}}\end{aligned}
באשר \(G\) הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, \(m\) מסת הירח, ובמעבר לשורה השניה השתמשנו במשפט הקוסינוסים. במונחים של \(\eta:=r/a\ll{}1\) מתקבלת (עד כדי פרה-פקטור) הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר,
\begin{aligned}U_{p}\left(\eta,\theta\right)&=-\frac{Gm}{a}\times\frac{1}{\sqrt{1+\eta^{2}-2\eta\cos\theta}}\\&=-\frac{Gm}{a}\sum_{\ell=0}^{\infty}\eta^{\ell}P_{\ell}\left(\cos\theta\right)\\&=-\frac{Gm}{a}\left(P_{0}\left(\cos\theta\right)+\eta{}P_{1}\left(\cos\theta\right)+\eta^{2}P_{2}\left(\cos\theta\right)+\cdots\right)\end{aligned}

זהו הפיתוח המולטיפולי (בחזקות של \(\eta=r/a\)) של הפוטנציאל הכבידתי של הירח בעטיו נגרמת תופעת הגאות והשפל. הנה הם חמשת המקדמים הראשונים בפיתוח כפונקציה של הארגומנט \(x=\cos\theta\):
\begin{aligned}P_{0}\left(x\right)&=1\\P_{1}\left(x\right)&=x\\P_{2}\left(x\right)&=\frac{1}{2}\left(3x^{2}-1\right)\\P_{3}\left(x\right)&=\frac{1}{2}\left(5x^{3}-3x\right)\\P_{4}\left(x\right)&=\frac{1}{8}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\P_{5}\left(x\right)&=\frac{1}{8}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\&\;\vdots\end{aligned}
וכך נראים הגרפים שלהם (לקוח מויקי):


כך למשל - ובקירוב ראשוני זה - עבור תל אביב  הנמצאת על קו הרוחב \(32^{\circ}\) צפון תהא הזווית \(\theta\) מתנודדת במחזור יממתי בין \(32^{\circ}\) לבין \(180^{\circ}-32^{\circ}=148^{\circ}\) וחזרה; עבור קו המשווה \(180\geq\theta\geq0\), ואילו עבור הקטבים משרעת התנודות היממתיות של הזווית מתאפסת.

רדיוס כדור הארץ הוא בממוצע \(r=6370_{\text{ק"מ}}\), ומרחקו הממוצע של מרכז הירח ממרכז כדה"א \(a=384,000_{{\textק"מ}}\). לכן  \(\eta\approx0.0166\) ובנקל נוכל להזניח תרומות מסדר שלישי ומעלה בפיתוח המולטיפולי. במקרה זה,

\begin{aligned}U_{p}\left(r,\theta\right)&=-\frac{Gm}{a}\left\{1+\frac{r\cos\theta}{a}+\frac{r^{2}}{2a^{2}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)+\cdots\right\}\\&\approx-\frac{Gm}{a}\left\{1+\frac{z}{a}+\frac{r^{2}}{2a^{2}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)\right\}\end{aligned}

הכוח ליחידת מסה מתקבל מהגרדיאנט של הפוטנציאל, \(\boldsymbol{g}=-\nabla{}U_{p}\). זוהי התאוצה הנגרמת על פני כדור הארץ בעטיו של כוח המשיכה של הירח. הבה נתבונן בשלושת הסדרים הראשונים של הפיתוח:

  • סדר האפס בפיתוח הוא קבוע ואינו תורם לתאוצה דבר, \(\boldsymbol{g}^{(0)}=\boldsymbol{0}\).
  • סדר ראשון בפיתוח מוביל לתאוצה קבועה של כדור הארץ כולו לעבר הירח, \begin{aligned}\boldsymbol{g}^{(1)}=\frac{Gm}{a^{2}}\,\widehat{\boldsymbol{z}}\end{aligned} ולכן אינו רלוונטי כלל לשאלת הגאות והשפל. \(M\boldsymbol{g}^{(1)}\) הוא הכוח בו מושך הירח את כדור הארץ כולו, משל היה גוף נקודתי.
  • סדר שני בפיתוח מכיל כמה תלויות: על כל מישור שציר \(z\) הוא אחד מציריו (כלומר על כל מישור הנפרש על ידי \(\boldsymbol{a}\) ו- \(\boldsymbol{r}\)), \begin{aligned}\boldsymbol{g}^{(2)}\left(r,\theta\right)&=\widehat{\boldsymbol{r}}\,\frac{\partial{}U_{p}^{(2)}}{\partial{}r}+\widehat{\boldsymbol{\theta}}\,\frac{1}{r}\frac{\partial{}U_{p}^{(2)}}{\partial\theta}\\&=\widehat{\boldsymbol{r}}\,\frac{Gmr}{a^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)-\widehat{\boldsymbol{\theta}}\,\frac{3Gmr}{2a^{3}}\sin2\theta\end{aligned}המרכיב הרדיאלי של התאוצה הזו מתאפס עבור \(\cos\theta=1/\sqrt{3}\) ומקבל ערכים מקסימליים בשיעור \(2Gmr/a^{3}\) בזוויות \(\theta=0,\pi\), כלומר על קו המשווה. המרכיב הזוויתי מתאפס בזוויות \(\theta=0,\pi/2\) ומקבל ערכים מקסימליים בשיעור \(3Gmr/2/a^{3}\) בזוויות \(\theta=\pi/4,3\pi/4\).

היות ו-\(\theta\) משתנה על פני היממה, התאוצה על שני מרכיביה מתנדנדת בזמן ובמחזוריות של \(12\) שעות. אבל עד כמה היא בכלל משמעותית בהשוואה לתאוצת הנפילה החפשית? תהא \(M\) מסת כדור הארץ וכן \(g_{E}=GM/r^{2}\approx9.81_{\text{m}/\text{s}^{2}}\) תאוצת הנפילה החפשית על פניו; ניעזר בשני אלו כדי לחשב את הערך המקסימלי שמקבל המרכיב הרדיאלי של \(\boldsymbol{g}^{(2)}\):

\begin{align}\tag{1}g_{r}^{(2)\;\text{max}}=\frac{2Gmr}{a^{3}}&=2\left(\frac{m}{M}\right)\times\left(\frac{r}{a}\right)^{3}\times\left(\frac{GM}{r^{2}}\right)\\&\approx2\times\frac{7.35\times10^{22}}{5.97\times10^{24}}\times\left(\frac{6370}{184,000}\right)^{3}\times{}g_{E}\\&\approx1.02\times10^{-6}g_{E}\end{align}

וכפי שאפשר לראות אל-נקלה, הערך המקסימלי של המרכיב הזוויתי הוא \(3/4\) מערכו המקסימלי של המרכיב הרדיאלי. לכאורה נראית ההשפעה מזערית אבל אין זה כך כלל וכלל;

השינוי בגובה פני הים המתקבל מהאפקט בכיוון הרדיאלי קל מאוד לחישוב. כל שעלינו לעשות הוא להשוות את הפוטנציאל הכבידתי הארצי הרדיאלי הנגרם בעטייה של התרוממות מזערית מעל מישור הייחוס הארצי, לסדר השני בפיתוח המולטיפולי של הפוטנציאל הכבידתי הנגרם בעטיו של הירח:
\begin{aligned}&g_{E}h=V_{p}^{(2)}\\\quad\Rightarrow\quad&\frac{GMh}{r^{2}}=\frac{Gmr^{2}}{2a^{3}}\left(3\cos^{2}\theta-1\right)\leq\frac{Gmr^{2}}{a^{3}}\\\quad\Rightarrow\quad&{}h\leq\frac{mr^{4}}{Ma^{3}}\approx3.254_{\text{מטרים}}
\end{aligned}

את אותו חשבון בדיוק תוכלו לערוך עם השמש במקום עם הירח: במשוואה (1) החליפו את מסת הירח במסת השמש ואת מרחק הירח מאיתנו במרחקה של השמש מאיתנו ותקבלו \(g_{r}^{\odot}\approx5.173\times10^{-8}g_{E}\). הערך המקסימלי של פוטנציאל המשיכה הכבידתית השמשית קטן איפה פי עשרים בערך ממקבילו הירחי.

ומה בנוגע להשפעתם המשותפת של גרמי השמיים הללו? כאשר הירח והשמש נמצאים במיקומים מנוגדים (ירח מלא) ההשפעה הרדיאלית של שני העצמים מתחסרת אך ההשפעה הזוויתית מתחברת. כאשר שני הגופים נמצאים באותו המיקום (ירח חסר) השפעת שני המרכיבים מתעצמת. לכן בשתי תקופות אלו מתקבלת גאות חזקה. לעומת זאת, כאשר השמש והירח ניצבים זה לזה שני מרכיבי התאוצה מתקזזים (אך לא בשווה) והגאות חלשה.


תרגיל בשתי מערכות:
  1. יהיו \(\widehat{\boldsymbol{r}}\left(\alpha,\beta\right)\) ו- \(\widehat{\boldsymbol{r}}'\left(\alpha',\beta'\right)\) שני וקטורי יחידה הנתונים בקואורדינטות כדוריות, ובמערכת קואורדינטות משותפת, ותהא \(\theta\) הזווית שהם פורשים בניהם. הוכיחו את הקשר:\begin{aligned}&\cos\theta\,=\,\sin\alpha\sin\alpha'\cos\left(\beta-\beta'\right)+\cos\alpha\cos\alpha'\end{aligned}
  2. הבה נייחס את הקואורדינטות המתוייגות לוקטור המקום \(\boldsymbol{a}\) של הירח ואת הקואורדינטות נטולות התג לוקטור המקום \(\boldsymbol{r}\) המצביע לעבר נקודה כלשהי על פני האדמה, ובה בעת נניח את ציר \(z\) על ציר הסיבוב של כדור הארץ הנוטה בזווית של \(23.5^{\circ}\) בקירוב ביחס לנורמל למישור המילקה השמשי. במצב זה הזווית \(\alpha'(t)\) תתאר את רכינת וקטור המקום \(\boldsymbol{a}\left(t\right)\) של הירח ביחס לציר הסיבוב הארצי, והזווית \(\gamma=90^{\circ}-\alpha\) מייצגת את קו הרוחב אליו מצביע וקטור המקום \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) המסתחרר יחד עם כדור הארץ סביב ציר \(z\). ומנגד, הזווית ההיקפית של \(\boldsymbol{a}\left(t\right)\) מקיימת \(\beta'(t)=\omega't\) היכן ש- \(\omega'\) מייצגת את המהירות הזוויתית של הירח עם זמן מחזור של \(T'=2\pi/\omega'\approx28_{\text{יום}}\), בעוד ש- \(\beta(t)=\omega{}t\) היא הזווית ההיקפית של וקטור המקום \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) עם המהירות הזוויתית \(\omega\) הקשורה בסיחרור כדור הארץ סביב צירו, ובזמן מחזור של \(T=2\pi/\omega\approx24_{\text{שעות}}\). היעזרו בנוסחת ההרכבה המקשרת בין פולינומי לג'נדר בארגומנט \(\cos\theta\) לבין ההרמוניות הקליפתיות בהצגתן האורתונורמלית המנורמלת, עם הארגומנטים הזוויתיים \(\alpha,\alpha',\beta,\beta'\) כדי לקבל נוסחא סגורה עבור הפוטנציאל הירחי תלוי הזמן בנקודה כלשהי ע"פ כדוה"א: \begin{aligned}&\quad{}U_{p}^{\omega,\omega'}\left(\gamma,t\right)\;=\\&=-\frac{Gm}{a}\sum_{\ell=0}^{\infty}\frac{4\pi}{2\ell+1}\left(\frac{r}{a}\right)^{\!\ell}\sum_{n=-\ell}^{n=\ell}Y_{\ell{}n}\left(\pi/2-\gamma,\omega{}t\right)Y_{\ell{}n}\left(\alpha'\left(t\right),\omega'{}t\right)\end{aligned}



יום שני, 6 ביוני 2016

תנועה בהשפעת כוח צנטרפוגלי

הכוח הצנטרפוגלי אמנם אין בו ממש אבל די בו כדי להותיר חותם ממשי בפעוט שהוריו הניחוהו על קרוסלה מתוך ביטחון מופרך שזה בדיוק מה שהוא אוהב... להסתחרר ולהסתובב... וכשהפעוט אחוז הפלצות מועלה על מכשיר העינויים, הרי שיצר ההשרדות הבריא והטבעי יובילו לאחוז בכל כוחו בידית שלפניו לבל יעוף לכל הרוחות. טבעם של אירועים טראומטיים רגעיים בילדות הוא להתנדף ולהתפוגג; בחלוף דור נשכחים לקחי החיים והעולל שבגר הופך הוא עצמו בתום-ליבו למתעלל בעוללו...  טוב, משנתבררה המוטיבציה נעבור לפרקטיקה.

הבה נתאר לעצמנו מוט צירי חלק לגמרי ועליו מושחל חרוז תואם. המוט מונח על משטח המקביל לפני הארץ והוא מסתובב במהירות זוויתית קבועה \(\boldsymbol{\omega}\) סביב ציר ניצב העובר דרך מרכזו (לצורך פשטות הדיון אנו נסתפק במהירות זוויתית קבועה); בנקודת מפגש זו נניח את הראשית \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\). ברשימה הזו אנסה לבאר מה מכתיב את הדינמיקה של החרוז אשר הכוח הממשי היחיד הפועל עליו הוא כוח צידי.

ראשית חכמה נשיב על השאלה המתבקשת מאליה: תחת תנאי ההתחלה \(\boldsymbol{r}\left(t=0\right)=\boldsymbol{r}_{0}\) וכן \(\dot{\boldsymbol{r}}\left(t=0\right)=\boldsymbol{v}_{0}\), מה יהיה מיקומו של החרוז בכל זמן \(t>0\)? 

קל לראות שקל לפתור את השאלה מתוך המערכת המסתובבת (אך כפי שמיד ניווכח אין בכך הכרח). במערכת זו פועלים על החרוז המושחל אך ורק הכוחות המדומים הנגרמים בעטיו של הסיבוב, וכמובן הכוחות הנורמליים שמפעיל המוט על החרוז במהלך תנועתו. כפי שהראתי בעבר ברשימה "כוחות מדומים במערכות מסתובבות", החוק השני של ניוטון במקרה זה מנפק את המשוואה:

\begin{align}\tag{1}\ddot{\boldsymbol{r}}\;=\underbrace{\boldsymbol{N}/m}_{\text{מהכוח}\atop\text{הנורמלי}}\;\underbrace{-\;\underbrace{\dot{\boldsymbol{\omega}}\times\boldsymbol{r}}_{\text{מכוח אוילר}}-\underbrace{2\left(\boldsymbol{\omega}\times\dot{\boldsymbol{r}}\right)}_{\text{מכוח קוריוליס}}-\,\underbrace{\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\right)}_{\text{מהכוח הצנטרפוגלי}}}_{\text{תאוצות בעטיים של כוחות מדומים שונים ומשונים}}\end{align}
היכן ש- \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) הוא וקטור המקום של החרוז, \(\ddot{\boldsymbol{r}}\left(t\right)\) וקטור תאוצתו, ו-\(\boldsymbol{N}\) הוא שקול הכוחות הנורמלים הפועל על עליו. 

ברי שמתוך המערכת המסתובבת \(\dot{\boldsymbol{r}}\) מצביע בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) הקבוע בזמן (שהרי הצופה מסתובב יחד עם המערכת). היות ו- \(\boldsymbol{\omega}=\text{const}\), כוח אוילר ממילא מתאפס, ואילו כוח קוריוליס ניצב לכיוון התנועה ומנוטרל ע"י הכוח הנורמלי שמפעיל המוט, כפי שמכתיב זאת החוק הראשון של ניוטון המותאם למערכת המסתובבת. יוצא איפה שעל ציר התנועה אנו נשארים אך ורק עם הכוח הצנטרפוגלי, ומאחר וציר זה ניצב לציר הסיבוב הוא מקבל את הצורה:
\begin{aligned}-\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\right)=-\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{r}\right)\boldsymbol{\omega}+\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\omega}\right)\boldsymbol{r}=\omega^{2}\boldsymbol{r}\end{aligned}
מתקבלת איפה המשוואה הדיפרנציאלית הוקטורית \(\ddot{\boldsymbol{r}}=\omega^{2}\boldsymbol{r}\) ופתרונה (המכבד את תנאי ההתחלה) הוא 
\begin{aligned}\boldsymbol{r}\left(t\right)=\boldsymbol{r}_{0}\cosh\,\omega{}t+\left(\boldsymbol{v}_{0}/\omega\right)\sinh\,\omega{}t\end{aligned}

ובפרט, אם החרוז מתחיל תנועתו ממנוחה, \(\boldsymbol{r}\left(t\right)=\boldsymbol{r}_{0}\cosh\,\omega{}t\) ומקבלים 'בריחה' קושינוסיאלית החוצה מציר הסיבוב, והואיל ו- \(\ddot{\boldsymbol{r}}\propto\boldsymbol{r}\), גם תאוצה קושינוסיאלית בכיוון ציר זה.

התוצאה הזו, הגם שהיא צפויה אינטואיטיבית, לא כל כך קלה לקבלה מנקודת מבט של מערכת התמד. אחרי ככלות הכל מנקודת מבט זו נראה כאילו שום דבר לא מפעיל על החרוז כוח בכיוון תנועתו; מדוע אם כך שיאיץ בכיוון תנועתו? יש המתעקשים להסביר את תנועתו מן המרכז ולחוץ באופן הבא: מרגע שרכש מהירות משיקית ינוע החרוז במהירות קצובה ובקו ישר, ונקודת החיתוך של המוט המסתובב עם הקו הזה מבטאת את מיקומו של החרוז על פני מישור התנועה. אלא שלפי ההסבר הזה בתום רבע סיבוב ימצא החרוז באינסוף...

ובכל זאת, ברור שההתמדה משחקת כאן תפקיד קרדינלי. הבה נתאר את תנועת החרוז "מבחוץ" היינו, מנקודת מבט של צופה מתמיד. נוח מאוד לעבוד עתה בקואורדינטות גליליות, המכבדות את הסימטריה של המערכת המסתובבת. בנספח שבסוף הרשימה מוראה במפורש שוקטור התאוצה בקואורדינטות גליליות ניתן ע"י
\begin{aligned}\ddot{\boldsymbol{r}}=\big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\big)\widehat{\boldsymbol{r}}+\big(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\big)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}
שימו לב להתאמה בין המרכיבים השונים של התאוצה בקואורדינטות אלו עם החתיכות הוקטוריות המופיעות במשוואה (1). היות והמוט מסתובב נגד כיוון השעון פועל הכוח הנורמלי עם כיוון השעון. החוק השני של ניוטון מנפק עתה את המשוואה הוקטורית
\begin{aligned}m\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\right)\widehat{\boldsymbol{r}}+m\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\,=-N\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}
וזו שקולה לצמד המשוואות (\(\dot{\theta}=\omega=\text{const.}\))
\begin{aligned}\ddot{r}=\omega^{2}r,\qquad 2m\omega\dot{r}=-N\end{aligned}
המשוואה השמאלית מתארת את התנועה בציר הרדיאלי ופתרונה מתלכד כמובן עם הפתרון שהתקבל מתוך המערכת המסתובבת. המשוואה הימנית מבטאת את החוק השני בציר המשיקי: שקול הכוחות בציר זה (הנורמל) שווה למסה כפול תאוצת קוריוליס. ולבסוף, אם נשלב את שתי המשוואות נקבל שקצב השינוי של עצמת הכוח הנורמלי מתכונתי למרחק מהמרכז, וקבוע המתכונת תלוי בחזקה השלישית של המהירות הזוויתית, \(\dot{N}=-2m\omega^{3}r\).

וחזרה לשאלת השאלות: מה בסופו של דבר מעורר את ההאצה בציר הרדיאלי?

  • תשובה ניוטונית: דרגת החופש היחידה של החרוז מתלכדת עם ציר המשתנה תדיר. נוכל לדמיין זאת כך: כל נקודה \(r\) על הציר הרדיאלי 'מאיצה' לעבר המרכז בתאוצה צנטריפיטלית שגודלה \(\omega^{2}r\) ואילו החרוז עצמו בהתמדתו עומד במריו 'ומסרב' להשתתף בתאוצה לא לו; הציר 'מחליק' איפה מבעד לחרוז. הלכה ולמעשה: מיקום הנקודות הגיאומטריות על פני הרדיאל הוא קבוע (מן הסתם) ואילו החרוז בהיותו חופשי מכל השפעה מתרחק מכל נקודה ונקודה בתאוצה שגודלה \(\omega^{2}r\).
  • תשובה פוסט-ניוטונית (ושמא קדם-איינשטינית): זו דוגמא קלאסית לכוח המושרה מגיאומטריה: הציר המסתובב תדיר מבטא 'עקמומיות' אינהרנטית וזו שקולה לתאוצה תחת השפעת 'כבידה'. כלומר החרוז נופל חפשית ב'שדה הכבידה' שמשרה הסיבוב... אבל לנושא המרתק הזה לא אכנס כאן, מקווה לכסות אותו מתישהו בעתיד. 


נספח: וקטור התאוצה בקואורדינטות גליליות.

בקואורדינטות גליליות אנו מרצפים את המישור באמצעות אריחים אשר צידיהם תחומים בין שתי קרניים רדיאליות ומסדם מעגלים קונצנטריים. וקטורי היחידה המתאימים הם לפיכך המשיק למעגל (נגד כיוון השעון) \(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\) והמצביע בכיוון הרדיאל \(\widehat{\boldsymbol{r}}\). קל מאוד לבנות צמד אורתונורמלי שכזה:
\begin{aligned}\widehat{\boldsymbol{r}}=\phantom{-}\cos\theta\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol{y}},\qquad\widehat{\boldsymbol{\theta}}=-\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\cos\theta\,\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}

ברור שעבור כל זווית נתונה \(\theta^{\star}\) מצביעים שני וקטורי היחידה הללו בכיוון אחר. לכן בלשון קצת יותר נוקדנית ראוי היה לכנותם שדות יחידה ולא וקטורי יחידה; ובפרט, \(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\) מצייר שדה יחידה עירבולי, ואילו \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) מצייר שדה יחידה 'קורן' או 'שופע', והשניים אורתוגונליים זה לזה בכל נקודה ונקודה ע"פ המישור המנוקב.

כאשר אנו מבקשים לתאר תנועתו של גוף באמצעות קואורדינטות גליליות הרי שמיקומו תלוי בזמן, ובשל כך גם וקטורי היחידה המשמשים בתיאור המיקום. אנו נרצה לקבל ביטויים מתאימים עבור הוקטורים הקינמטיים בקואורדינטות אלו, ולשם כך נפתח נוסחאות גזירה: 
\begin{aligned}\dot{\widehat{\boldsymbol{r}}}&=-\sin\theta\,\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\cos\theta\,\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{y}}\\&=\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\\\dot{\widehat{\boldsymbol{\theta}}}&=-\cos\theta\,\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{x}}-\sin\theta\,\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{y}}\\&=-\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{r}}\end{aligned}
מכאן הדרך אל הוקטורים הקינמטיים (המקום המהירות והתאוצה) קצרה:
\begin{aligned}\text{וקטור המקום}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{r}&=r\,\widehat{\boldsymbol{r}}\\\text{וקטור המהירות}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{v}&=\dot{r}\,\widehat{\boldsymbol{r}}+r\,\dot{\widehat{\boldsymbol{r}}}\\&=\dot{r}\,\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\\\text{וקטור התאוצה}\quad\Rightarrow\quad\boldsymbol{a}&=\ddot{r}\,\widehat{\boldsymbol{r}}+\dot{r}\,\dot{\widehat{\boldsymbol{r}}}+\dot{r}\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\ddot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\dot{\theta}\dot{\widehat{\boldsymbol{\theta}}}\\&=\ddot{r}\,\widehat{\boldsymbol{r}}+\dot{r}\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}+\dot{r}\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\ddot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}-r\dot{\theta}^{2}\,\widehat{\boldsymbol{r}}\\&=\big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\big)\widehat{\boldsymbol{r}}+\big(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\big)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}




יום ראשון, 1 במאי 2016

פיתרון הבחינה באלקטרומגנטיות, אפריל 2016




 hubble-bubble NGC 7635

בועה של עירור בגז בקוטר שבע שנות אור ובמרכזה כוכב לוהט
שמסתו פי ארבעים וחמישה ממסת השמש. 7100 ש"א מאיתנו.


שאלה ראשונה:
  1. יהיו \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) שדה העירור החשמלי ושדה העירור המגנטי בהתאמה, המקיימים את הזוג הראשון של משוואות מקסוול. יהא \(\boldsymbol{\Theta}\) שדה וקטורי חלק כלשהו התלוי במקום ובזמן ('חלק' פירושו גזיר ביחס לכל המשתנים בהם הוא תלוי, בכל תחום הגדרתו). הראו שהמיפוי\begin{aligned}&\boldsymbol{\mathcal{D}}\;\mapsto\;\boldsymbol{\mathcal{D}}-\nabla\times\boldsymbol{\Theta}\\&\boldsymbol{\mathcal{H}}\;\mapsto\;\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\Theta}}{\partial{}t}\end{aligned} משמר את הזוג הראשון של משוואות מקסוול (כלומר השדות הניתנים ע"י אגף ימין של המפה מקיימים בדיוק את אותן משוואות שמקיימים השדות שבאגף שמאל, עם אותה צפיפות מטען ואותה צפיפות זרם). לידע כללי: סוג כזה של טרנספורמציות על השדות שאינו משנה את הפיזיקה המתוארת באמצעותם מכונה טרנספורמציות כיול. אם הן תלויות במקום ובזמן (כמו במקרה דנן) הן מכונות כיול מקומי.
  2. קל לראות שהפיתרון הכללי ביותר למשוואת מקסוול השלישית הוא \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\) שהרי הדיברגנס של רוטור מתאפס זהותית. השדה \(\boldsymbol{A}\) מכונה הפוטנציאל הוקטורי (או הפוטנציאל המגנטי). הציבו את הפתרון הזה במשוואת מקסוול הרביעית והראו במפורש שהצורה הכללית ביותר של השדה החשמלי היא \begin{aligned}\boldsymbol{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}\end{aligned} באשר \(\phi\) שדה סקלרי חלק.
  3. יהיה \(\Sigma\) משטח דו מימדי כלשהו (לא בהכרח שטוח), ו- \(\partial\Sigma\) הוא השוליים של המשטח. היעזרו במשפטים מתמטיים מוכרים (או בחוקים פיזיקליים מוכרים) וקבלו את צמד המשוואות הגלובליות: \begin{aligned}\Phi_{\Sigma}\left[\boldsymbol{B}\right]=\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r},\qquad\mathcal{E}_{\partial\Sigma}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\end{aligned} (\(\Phi_{\Sigma}\) בשביל השטף דרך \(\Sigma\), \(\mathcal{E}_{\Sigma}\) בשביל הכא"מ לאורך \(\partial\Sigma\).) כיתבו במילים עבריות ובמשפט אחד (לכל משוואה) מה אומרת כל משוואה.


פיתרון:
  1. המיפוי מוביל אותנו אל צמד השדות הוקטוריים \begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{D}}^{\star}:=\boldsymbol{\mathcal{D}}-\nabla\times\boldsymbol{\Theta}\\\boldsymbol{\mathcal{H}}^{\star}:=\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\Theta}}{\partial{}t}\end{aligned}השאלה היא האם הצמד הזה מקיים את משוואות מקסוול עם אותם מקורות, כלומר אותה צפיפות מטען ואותה צפיפות זרם. קל מאוד להיווכח שאכן כן:\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}^{\star}=\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\overbrace{\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{\Theta}\right)}^{\text{הדיברגנס של הרוטור}\atop\text{מתאפס באופן זהותי}}=\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}^{\star}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}^{\star}}{\partial{}t}=\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\nabla\times\left(\frac{\partial\boldsymbol{\Theta}}{\partial{}t}\right)-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{}t}+\frac{\partial}{\partial{}t}\left(\nabla\times\boldsymbol{\Theta}\right)&\\(\text{היות והנגזרות החלקיות לפי זמן ומקום מתחלפות})\quad=\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{}t}&=\,\boldsymbol{j}\end{aligned}כאן השתמשנו בעובדה ששדות העירור המקוריים \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) מקיימים את הזוג הראשון של משוואות מקסוול עם צפיפות המטען \(\rho\) וצפיפות הזרם \(\boldsymbol{j}\).
  2. נציג \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\) במשוואת מקסוול הרביעית ונקבל:\begin{aligned}\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{}t}&=-\frac{\partial\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)}{\partial{}t}=-\nabla\times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}\\\text{באגף ימין וקטור האפס}\quad\Rightarrow\quad&\nabla\times\left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}\right)=\boldsymbol{0}\\\text{זהו הפיתרון הכללי ביותר}\quad\Rightarrow\quad&\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}\equiv-\nabla\phi\\\text{:ולכן}\quad\Rightarrow\quad&\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial{}t}-\nabla\phi\end{aligned}סימן המינוס לפני הגרדיאנט חסר משמעות עקרונית, הוא מגיע משיקולים של נוחות בטיפול אנליטי בשדות משמרים.
  3. אינטגרל משטחי על \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}\) ושימוש במשפט סטוקס מנפק את הקשר האינטגרלי השמאלי,\begin{aligned}\Phi_{\Sigma}\left[\boldsymbol{B}\right]&=\int_{\Sigma}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{\Sigma}\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\&=\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\end{aligned}גזירה לפי הזמן של הקשר הזה ושימוש במשפט פרדיי מנפק את הקשר האינטגרלי הימני. לחיליפין, אפשר לקחת את האינטגרל המסלולי על \(\boldsymbol{E}=-\nabla\phi-\partial\boldsymbol{A}/\partial{}t\) והיות ואינטגרל מסלולי על נגזרת חלקית לפי הזמן (לאורכה של מסילה שאינה משתנה עם הזמן) מתלכד עם הנגזרת המלאה לפי הזמן של האינטגרל המסלולי, נקבל את אותה תוצאה בדיוק. והמשמעויות במלל? הנה: השטף של השדה המגנטי דרך משטח כלשהו שווה לעירבוליות של הפוטנציאל המגנטי המשוייך לו - על שולי המשטח, ואילו הכוח האלקטרומניע המושרה (כא"מ) מתקבל מהשינוי הרגעי של העירבוליות הזו.

שאלה שניה:

נתונה קליפה כדורית אשר רדיוסה הפנימי הוא \(a\) ורדיוסה החיצוני \(b\). מציבים (איכשהו) מטען חשמלי \(Q\) במרכז הקליפה.
  1. והיה והקליפה היא מוליך הטעון במטען חשמלי \(-3Q\), מהי צפיפות המטען המצטבר על רדיוסה הפנימי של הקליפה ומהי צפיפות המטען המצטבר על רדיוסה החיצוני? הסבירו!
  2. מהו השדה החשמלי בכל המרחב? ענו והסבירו מבלי לחשב מפורשות.
  3. עתה נניח שהקליפה הכדורית החיצונית עשויה חומר מבודד ועליו התפלגות מטען רדיאלית מהצורה \begin{aligned}\rho\left(r\right)=\rho_{0}\left(\frac{a^{2}b^{2}}{r^{4}}\right)\end{aligned} קבלו את השטף המרחבי הכולל של שדה העירור החשמלי \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) עבור \(r<a\) ועבור \(r>b\), אם ידוע שנפח קליפה כדורית בעלת עובי אינפיניטסימלי נתון בביטוי \(\mathrm{d}V=4\pi{}r^{2}\mathrm{d}r\). נמקו חישוביכם.

פיתרון:
  1. במצב היציב כל המטען העודף במוליך מתפלג באופן אחיד על שולי המוליך. נדמיין קליפה כדורית גאוסית ברדיוס \(a<r<b\) . היות והשדה החשמלי מתאפס בכל מקום על פניה, הרי שלפי חוק גאוס המטען הכולל התחום בקליפה המדומיינת בהכרח מסתכם לאפס. הואיל ומטען \(+Q\) מרוכז בראשית, יוצא שמטען בגודל \(-Q\) מתפלג באופן אחיד על פניה של הקליפה הפנימית. צפיפות המטען במקרה זה היא \(\sigma_{a}=-Q/4\pi{}a^{2}\). מאחר וסך כל המטען במוליך הוא \(-3Q\), הרי שמטען של \(-2Q\) מתפלג באופן אחיד על פני הקליפה החיצונית. צפיפות המטען על פני משטח זה היא \(\sigma_{b}=-2Q/4\pi{}b^{2}\).
  2. התפלגות המטען הקליפתית-כדורית (סְפֶרָה) מכתיבה שדה חשמלי בעל סימטריה קליפתי-כדורי. לכן לכל רדיוס נתון \(r\) מתאים שדה חשמלי רדיאלי מהצורה \(\boldsymbol{E}=E\left(r\right)\widehat{\boldsymbol{r}}\).  זאת ועוד, ההתפלגות המרחבית של המטען מחלקת את העולם לשלושה תחומים שונים: \(r<a\), \(a\leq{}r\leq{}b\), \(r>b\). עבור כל אחד מהם נתאים בדמיוננו קליפה כדורית גאוסית, ואז הטיפול הסטנדרטי באמצעות חוק גאוס ינפק: \begin{aligned}\boldsymbol{E}\left(r\right)\;=\;\left\{\begin{array}{ccl}\displaystyle\frac{KQ\,\boldsymbol{r}}{r^{3}}&&r<a\\\boldsymbol{0}&&a<r<b\\-\displaystyle\frac{2KQ\,\boldsymbol{r}}{r^{3}}&&r>b\end{array}\right.\end{aligned} 
  3. בהגדרה, השטף הכולל של שדה העירור החשמלי דרך מעטפת גאוסית כלשהי הוא המטען הכלוא בתוך המעטפת. לכן כל שעלנו לעשות הוא לחשב את המטען הכלוא בקליפה כדורית ברדיוס \(r\). עבור \(r<a\) השטף הכולל הוא פשוט \(\Phi_{r<a}\left[\boldsymbol{\mathcal{D}}\right]=Q\). סך כל המטען הכלוא בקליפה המבודדת ניתן על ידי \begin{aligned}Q^{\star}&=\int_{r=a}^{r=b}\rho_{0}\left(\frac{a^{2}b^{2}}{r^{4}}\right)4\pi{}r^{2}\mathrm{d}r=4\pi\rho_{0}a^{2}b^{2}\int_{r=a}^{r=b}\frac{\mathrm{d}r}{r^{2}}\\&=4\pi\rho_{0}a^{2}b^{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=4\pi\rho_{0}ab\left(b-a\right)\end{aligned}(שימו לב שמימדי הביטוי הם אכן אלו של מטען חשמלי). לכן השטף הכולל של שדה העירור החשמלי מחוץ למוליך הוא \(\Phi_{r>b}\left[\boldsymbol{\mathcal{D}}\right]=4\pi\rho_{0}ab\left(b-a\right)+Q\).


שאלה שלישית:

דוחפים מוט מוליך בעל אורך \(L\) במהירות קבועה \(v\) לאורך מסילה מוליכה כמוראה באיור מטה. במרחק \(a\) מן המסילה ובמקביל לה נמתח תייל ישר נושא זרם \(i\). ההתנגדות ליחידת אורך של המסילה והמוט היא \(\rho\) אוהם למטר. 



  1. חשבו את הכא"מ המושרה בלולאה (המסגרת המלבנית) שפותח המוט במהלך תנועתו שמאלה, ואת הזרם הזורם בה.
  2. מהו הכוח בו דוחפים את המוט כדי שינוע במהירות \(v\) לאורך המסילה?
  3. מפסיקים להפעיל כוח על המוט בבת אחת. קבלו את המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את תנועת המוט מרגע זה. אין צורך לפתור!

פיתרון:
  1. נסכים על מערכת הצירים הקרטזית הבאה: הכיוון החיובי של ציר \(x\) מצביע שמאלה, הכיוון החיובי של ציר \(y\) מצביע מטה, והכיוון החיובי של ציר \(z\) מצביע אל הצופה. השדה המגנטי המנקב את המסגרת המלבנית נגרם מהזרם בתיל; הוא דועך כמו אחד חלקי המרחק, \(B\left(y\right)\propto1/y\), ומצביע בכיוון החיובי של ציר \(z\). אלמנט שטח אינפיניטסימלי של המסגרת ניתן ע"י \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\mathrm{d}x\mathrm{dy}\,\widehat{\boldsymbol{z}}\) כך שהשטף דרך אריח אינפיניטסימלי של מסגרת הוא\begin{aligned}\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=B\left(y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\mu_{0}i\,\mathrm{d}x\mathrm{dy}}{2\pi{}y}\end{aligned}מאחר ולכל \(y\) נתון השדה המגנטי בציר \(x\) הוא קבוע, והיות והמוט נע בתנועה קצובה בציר ה- \(x\) כך ש- \(x\left(t\right)=x_{0}+vt\), נקבל:\begin{aligned}\Phi&=\int_{x=x_{0}}^{x=x\left(t\right)}\int_{y=a}^{y=a+L}B\left(y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{x=x_{0}}^{x=x\left(t\right)}\frac{\mu_{0}i\,\mathrm{d}x}{2\pi}\int_{y=a}^{y=a+L}\frac{\mathrm{d}y}{y}\\&=\int_{x_{0}}^{x\left(t\right)}\frac{\mu_{0}i\,\mathrm{d}x}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)=\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\big[x\left(t\right)-x_{0}\big]\\&=\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)vt\end{aligned}על פי פארדיי גודל הכא"מ המתפתח בלולאה הוא השינוי הרגעי בשטף השדה המגנטי דרך המסגרת,\begin{aligned}\mathcal{E}=\frac{\mu_{0}i\,v}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\end{aligned}עם כיוון השעון (למה?). התנגדות המסגרת ניתנת ע"י \(R=\rho\left(2L+2\left(x_{0}+vt\right)\right)\) ומחוק אוהם \(I=\mathcal{E}/R\). לכן בסיכומו של דבר,\begin{aligned}I\left(t\right)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\mu_{0}i\,v}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)}{\rho\left(2L+2\left(x_{0}+vt\right)\right)}\end{aligned}ורואים שהזרם קטן עם הזמן (מאחר וההתנגדות גדלה).
  2. שימו לב שכל חלק של המוט 'חש' שדה מגנטי שונה ולכן גם כוח שונה. ובמפורש, על אלמנט אינפיניטסימלי \(\mathrm{d}y\) של המוט מפעיל השדה המגנטי את הכוח האינפיניטסימלי \(\mathrm{d}F=I\left(t\right)B\left(y\right)\mathrm{d}y\) בכיוון המתנגד לתנועת המוט (עפ"י לנץ). לכן סך כל הכוח המופעל על המוט הוא\begin{aligned}F&=I\left(t\right)\int_{y=a}^{y=a+L}B\left(y\right)\mathrm{d}y=\frac{\mu_{0}iI}{2\pi}\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\\&=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\mu_{0}^{2}i^{2}\,v}{4\pi^{2}}\,\ln^{2}\left(\frac{a+L}{a}\right)}{\rho\left(2L+2\left(x_{0}+vt\right)\right)}\end{aligned}בכיוון השלילי של ציר ה-\(x\). היות והמוט נע במהירות קצובה, ובהתאם לחוק השלישי של ניוטון, הרי שהכוח שיש להפעיל על המוט כדי שיתמיד בתנועתו צריך להיות שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח שמפעיל השדה המגנטי על המוט, והוא קטן עם הזמן.
  3. עתה כמובן אין כל סיבה להניח שמתקיימת תנועה קצובה. מהסעיף הראשון הכא"מ ניתן ע"י\begin{aligned}\mathcal{E}\left(t\right)=\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\dot{x}\left(t\right)\end{aligned}והזרם ע"י\begin{aligned}I\left(t\right)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\mu_{0}i}{2\pi}\,\ln\left(\frac{a+L}{a}\right)\,\dot{x}}{\rho\left(2L+2x\right)}\end{aligned}כמו מקודם, על אלמנט אינפיניטסימלי של מוט מופעל הכוח \(\mathrm{d}F=IB\left(y\right)\mathrm{d}y\) ואינטגרציה בציר \(y\) תנפק את הכוח הכולל המופעל על המוט ע"י השדה המגנטי (בכיוון השלילי של ציר ה-\(x\)). שימוש בחוק השני של ניוטון מנפק את משוואה מהצורה \begin{aligned}m\ddot{x}=\frac{\alpha\dot{x}}{\beta+\gamma{}x}\end{aligned} באשר \(\alpha,\beta,\gamma\) קבועים. אגב, ממשואה זו קל מאוד לקבל את \(v\left(x\right)\) (קבלו זאת). 

שאלה רביעית:

החתך שבאיור מתאר דו-כבל קו-אקסיאלי (כלומר בעל ציר משותף) ארוך וישר: בכבל הפנימי זורם זרם \(i\) אשר צפיפותו נתונה בביטוי \(\boldsymbol{j}=j_{0}\left(r/a\right)\widehat{\boldsymbol{z}}\) ואילו בכבל החיצוני זורם זרם \(-i\) אשר צפיפותו היא \(\boldsymbol{j}=-j'_{0}\left(r/b\right)\widehat{\boldsymbol{z}}\). כאן \(r\) היא הקואורדינטה הרדיאלית בחתך הכבל, ציר \(z\) הוא ציר הכבל והוא פונה לעבר הצופה. הפרמטרים המאפיינים את הכבל הם \(R_{1}=a\), \(R_{2}=b\), \(R_{3}=c\).




מיצאו את שדה העירור המגנטי (וקטור!) בכל המרחב במונחים של \(j_{0},a,b,c\) וציירו גרף איכותי יפה וברור של גודל השדה \({\mathcal{H}}\) כנגד הקואורדינטה הרדיאלית \(r\). שימו לב שסך כל הזרם הזורם בכבל הפנימי הוא מינוס סך כל הזרם הזורם בכבל החיצוני.

פיתרון:

לבעיה סימטריה גלילית. נבחר לולאות מעגליות קו-אקסיאליות לדו-כבל וניישם עליהן את חוק אמפר. מאחר ואף נקודה על לולאה ברדיוס נתון אינה מיוחסת, אגף שמאל של חוק אמפר מצטמצם פשוט לשדה העירור המגנטי מוכפל בהיקף:
\begin{aligned}\underbrace{\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{\mathcal{H}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{=\;2\pi{}r\mathcal{H}\left(r\right)}&=\underbrace{\int_{\Sigma}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}}_{=:\;i\left(r\right)}\end{aligned}
דרך אגב, שימו לב ש-\(\mu\) בתוך הכבלים עצמם אינו שווה בהכרח ל-\(\mu_{0}\). הכבל מחלק את המרחב לארבע תחומים: \(r<a, b>r>a,c>r>b,r>c\). נחשב עתה את הזרם השוטף דרך הלולאות עם רדיוסים בארבעת התחומים, ונחלץ מחוק אמפר את גודלו של שדה העירור המגנטי; בכל מקרה צפיפות הזרם תלוייה אך רק בקואורדינטה הרדיאלית, ואילו שטח טבעת בעובי אינפיניטסימלי וברדיוס \(r\) הוא \(\mathrm{d}S=\pi\left(r+\mathrm{d}r\right)^{2}-\pi{}r^{2}=2\pi{}r\,\mathrm{d}r\). יוצא איפה שסך הזרם הזורם דרך הטבעת האינפיניטסימלית ברדיוס זה הוא  \(\mathrm{d}i=\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=2\pi{}r\,j\left(r\right)\mathrm{d}r\).
  1. \(r<a\):  \begin{aligned}&i=\int_{r=0}^{r<a}\left(\frac{j_{0}r'}{a}\right)\left(2\pi{}r'\mathrm{d}r'\right)\\&=\left(\frac{2\pi{}j_{0}}{a}\right)\frac{r^{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad{}\boldsymbol{\mathcal{H}}\left(r<a\right)=\left(\frac{j_{0}}{3a}\right)r^{2}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}בתחום זה שדה העירור המגנטי גדל ריבועית עם המרחק מהציר ומצביע נגד כיוון השעון.
  2. \(b>r>a\):  היות ובין הכבלים הקו-אקסיאלים לא זורם זרם, נוכל להציג \(r=a\) בחשבון הזרם שביצענו עבור המקרה \(r<a\) כדי לקבל את סך כל הזרם הזורם בכבל הפנימי: \(i=2\pi{}a^{2}j_{0}/3\). נציג זאת בחוק אמפר ונקבל:\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{H}}\left(a<r<b\right)=\left(\frac{j_{0}a^{2}}{3}\right)\frac{1}{r}\,\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned}כאן שדה העירור המגנטי דועך כמו אחד חלקי המרחק מציר הכבל.
  3. \(c>r>b\):  בתחום זה מתחילה הפחתה בכמות הזרם העובר דרך החתך ולכן גם פוחתת עוצמת שדה העירור;\begin{aligned}&i=\frac{2\pi{}a^{2}j_{0}}{3}-\frac{2\pi{}j'_{0}}{b}\int_{b}^{c>r>b}{r'}^{2}\mathrm{d}r'=\frac{2\pi{}a^{2}j_{0}}{3}-\frac{2\pi{}j'_{0}}{b}\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{b^{3}}{3}\right)\\&\qquad\Rightarrow\quad{}\boldsymbol{\mathcal{H}}\left(c>r>b\right)=\left(\frac{\alpha}{r}-\beta{}r^{2}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\end{aligned} באשר \(\alpha,\beta\) קבועים התלויים בפרמטרים שבבעיה.
  4. \(r>c\):  כאן נקבל באופן מיידי \(\boldsymbol{\mathcal{H}}=\boldsymbol{0}\) היות וסך כל הזרם הזורם דרך הלולאה המעגלית מתאפס (\(+i\) בכבל הפנימי, \(-i\) בכבל החיצוני). שימו לב שמהדרישה ההכרחית \(\mathcal{H}\left(r=c\right)=0\) נקבל את היחס \(\alpha=\beta{}c^{3}\) ומכאן אפשר לחלץ בקלות את הקשר בין \(j_{0}\) לבין \(j'_{0}\).




יום חמישי, 14 באפריל 2016

חוק אוהם


היכרות:

חוק אוהם הוא מעין "משוואת מצב" אלקטרומגנטית עבור מוליכים מסויימים בתנאים מסויימים. מדוע "מעין" ומדוע המרכאות? ובכן, זו לא משוואת מצב מהסוג המוכר מתרמודינמיקה, זו משוואה פנומנולוגית שתוקפה מוגבל. חוק אוהם מספר לנו שעבור משפחה רחבה למדי של חומרים מוליכים, ובמערכת המנוחה של המוליך, צפיפות הזרם החשמלי \(\boldsymbol{j}\) מתכונתית לשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\):
\begin{aligned}\boldsymbol{j}=\sigma\boldsymbol{E}\end{aligned}
קבוע המתכונת \(\sigma\) מכונה "המוליכות החשמלית". השדה החשמלי בנוסחא דלעיל הוא השדה הכולל, לכן הוא עשוי להכיל גם מרכיב עירבולי וגם מרכיב משמר (או קורן) הנגזר מפוטנציאל סקלרי.

לכל מוליך - מוליכות חשמלית ייחודית. עבור מוליכים איזוטרופים (איזוטרופי = זהה מכל כיוון) המוליכות החשמלית תתואר באמצעות סקלר, ובאבוד האיזוטרופיות תתואר באמצעות טנזור. עבור מוליך הומוגני (הומוגני = זהה בכל מקום) המוליכות החשמלית קבועה, ובאבוד ההומוגניות תהיה זו תלוייה במקום. כך או אחרת, המוליכות החשמלית לעולם תהא תלוייה בטמפרטורת המוליך, ומטבע הדברים ערכה יורד ככל שהמוליך חם יותר (למה?). ביחידות הסטנדרטיות \(SI\) נמדדת המוליכות החשמלית באמפר לוולט למטר, או סימנס למטר.


רקע חיוני: 

יהא \(\rho\) שדה סקלרי המתאר את צפיפות המטען החשמלי (קולון למ"מק ביחידות \(SI\)). אזי, צפיפות הזרם ,תייוצג באמצעות \(\boldsymbol{j}:=\rho\boldsymbol{v}\) היכן ש- \(\boldsymbol{v}\) הוא שדה המהירויות של צפיפות המטען (אמפר למ"ר ביחידות \(SI\)). משוואת הרציפות המתארת באופן מקומי את שימור המטען החשמלי ניתנת ע"י \begin{aligned}\frac{\partial{\rho}}{\partial{t}}+\nabla\cdot\boldsymbol{j}\,=\,0\end{aligned}והיא כמובן נכונה תמיד ובכל מערכת התמד. 

יהא \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) שדה העירור החשמלי ו- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) שדה העירור המגנטי. הדינאמיקה של שניים אלו מוכתבת על ידי המקורות \(\left(\rho,\boldsymbol{j}\right)\) באמצעות הזוג הראשון של משוואות מקסוול:\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&\;=\,\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{}t}&\;=\;\boldsymbol{j}\end{aligned}
על שניים אלו יש להוסיף את ההשראה המגנטית ושדה העוצמה החשמלית \(\left(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}\right)\) והמשוואות  אותם הם מקיימים מבטאות אילוץ על היעדר מטענים מגנטיים (בהקשר זה ראו הרשימות שכתבתי בעבר על הזוג הראשון והזוג השני): \begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{B}&\;=\,0\\\nabla\times\boldsymbol{E}&\;=\,-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{}t}\end{aligned}

אינטגרציה משטחית על המשוואה האחרונה ושימוש במשפט קלווין-סטוקס מנפקת את חוק פארדי, \begin{aligned}\underbrace{\oint_{C}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{=:\;\mathcal{E}}=-\dot{\Phi}\left[\boldsymbol{B}\right]\end{aligned} אגף שמאל מכונה הכוח האלקטרו-מניע המושרה (כא"מ) והוא קיים כאשר יש שינוי בשטף השדה המגנטי דרך הלולאה עליה ביצענו את האינטגרציה. 

חומרים לינארים הם חומרים שעבורם ובתוכם מתקיימים קשרי מבנה לינארים בין הצמד הראשון לצמד השני:
\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{D}}\,=\,\epsilon\boldsymbol{E},\qquad\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{\mathcal{H}}\end{aligned}
מזכיר במקצת את מה שקורה בואקום, אבל דבר אחר לגמרי... \(\epsilon\) מכונה פרמיטיביטי (permittivity), ו- \(\mu\) מכונה פרמיביליטי (permeability); בעיקרון, אין מניעה שערך המקדמים הללו ישתנו ממקום למקום, ואם אין זה כך התווך יקרא הומוגני. בהיעדר איזוטרופיות המקדמים הללו הם טנזורים סימטריים ובמקרה שהשדות החשמליים והמגנטיים מתפשטים בתווך כגלים, הרי שהמקדמים הללו הם פונקציה של התדירויות. 


חזרה לחוק אוהם:

מה קורה במוליך לינארי איזוטרופי והומוגני המציית לחוק אוהם והיה ופיזרנו עליו היכנשהו מטען עודף? תהא \(\rho\) צפיפות המטען העודף, ויהא \(\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon\boldsymbol{E}\) שדה העירור המושרה בעטיו. נציג עתה את חוק אוהם במשוואת הרציפות, ניעזר במשוואת מקסוול הראשונה ונקבל:
\begin{aligned}\frac{\partial\rho}{\partial{}t}&=-\nabla\cdot\boldsymbol{j}=-\sigma\epsilon^{-1}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)=-\lambda\rho\end{aligned}
עם \(\lambda=\sigma/\epsilon\). קיבלנו איפה את המשוואה \(\dot{\rho}=-\lambda\rho\) ופתרונה הוא צפיפות מטען חשמלי הדועכת אקספוננציאלית עם זמן הדעיכה האופייני \(1/\lambda=\epsilon/\sigma\),
\begin{aligned}\rho\left(t\right)=\rho_{0}e^{-\lambda{}t}\end{aligned}

הבה נסבר את העין עם שתי דוגמאות:

  1. עבור נחושת הומוגנית ואיזוטרופית (החומר ממנו עשויים 'חוטי החשמל' בביתנו), ובטמפרטורת החדר של \(20^{\circ}\) המוליכות החשמלית היא \(\sigma=5.96\times10^{7}\) אמפר לוולט למטר (לקוח מכאן). הפולריזציה הממוצעת במוליכים טובים דוגמת נחושת היא בקירוב טוב אפס, ולכן \(\epsilon\approx\epsilon_{0}\approx8.85\times10^{-12}\) פארד למטר. מכאן נקבל זמן דעיכה של \(1/\lambda\approx10^{-19}{\;}{\text{sec}}\)... כלומר כל הצטברות מקומית של מטען בגוף הנחושת מתפוגגת בתוך (סדר גודל של) עשירית של מיליארדית של מיליארדית השנייה, למעט כמובן על שפת המוליך לשם המטען מתנקז.
  2. עבור זכוכית מסוג מסויים - ובטמפרטורת החדר - המוליכות החשמלית היא מסדר גודל של \(\sigma\approx10^{-13}\) סימנס למטר, והפרמיטיביטי היא מסדר גודל של \(5\epsilon_{0}\), מה שמנפק זמן דעיכת מטען של כחמש מאות שניות.

נתבונן בשדה חשמלי בעל מרכיב עירבולי \(\boldsymbol{E}_{\circlearrowleft}\) ומרכיב משמר (או, אם תרצו, קורן) \(\boldsymbol{E}_{\odot}=-\nabla\phi\). הכוח האלקטרומניע המושרה (כא"מ) מתקבל מאינטגרל מסילתי על השדה החשמלי הכולל לאורך לולאה סגורה. נציג את משוואת המצב של אוהם ונקבל:
\begin{aligned}\mathcal{E}&=\oint_{C}\left(\boldsymbol{E}_{\circlearrowleft}+\boldsymbol{E}_{\odot}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\oint_{C}\boldsymbol{E}_{\circlearrowleft}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}-\overbrace{\oint_{C}\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}^{=\;\oint_{C}\mathrm{d}\phi\;=\;0}\\&=\oint_{C}\boldsymbol{E}_{\circlearrowleft}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\sigma^{-1}\oint_{C}\boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\end{aligned} 

ובפרט, במקרה שצפיפות המטען קבועה לאורך הלולאה (כך זה במעגלים המוכרים מאלקטרוניקה) ועבור שטח חתך פנים \(S\) ואורך לולאה \(\ell\) נקבל
\begin{aligned}\mathcal{E}=\sigma^{-1}\ell\,j=i\,R\end{aligned}
באשר \(i\) הוא הזרם בלולאה ו- \(R:=\sigma^{-1}\ell/S\) היא ההתנגדות האוהמית של המוליך. ההתנגדות האוהמית מתכונתית לאורך הלולאה והופכית לשטח החתך, וקבוע המתכונת \(\rho:=\sigma^{-1}\) מכונה "ההתנגדות הסגולית".

הטיפול במוליך עם שדה חשמלי משמר - סטנדרטי וידוע ומוכר לכל. העבודה ליחידת מטען לאורך המוליך \(V=W/q\) המכונה "מתח חשמלי" מתקבלת מהאינטגרל המסילתי על המרכיב המשמר של השדה החשמלי לאורך המוליך, ובמקרה זה
\begin{aligned}{V}=\int_{C}\boldsymbol{E}_{\odot}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=iR\,,\end{aligned}
שוב, עם \(R=\sigma^{-1}\ell/S\).

במוליכים שבמעגלים האלקטרוניים צפיפות הזרם מקיימת \(\nabla\cdot\boldsymbol{j}=0\) שהרי השטף דרך מקטע כלשהו של התיל המוליך מתאפס (מה שנכנס למקטע הוא מה שיוצא); במקרה זה אנו מדברים על "זרם יציב". האם קיימת הצטברות מטען היכנשהו במקרה של זרם יציב? ובכן, זה תלוי בתכונות המוליך. הנה:
\begin{aligned}0&=\nabla\cdot\boldsymbol{j}=\nabla\cdot\big[(\sigma\epsilon^{-1})\boldsymbol{\mathcal{D}}\big]\\&=\nabla\left(\sigma\epsilon^{-1}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}+\sigma\epsilon^{-1}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\end{aligned}
כלומר עקרונית מתקבלות הצטברויות מטען אשר צפיפותן מקיימת
\begin{aligned}-\rho=\frac{\nabla\left(\sigma\epsilon^{-1}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\sigma\epsilon^{-1}}\end{aligned}
אך הן בבירור מתאפסות עבור מוליכים הומוגניים. אם בשדה משמר עסקינן אזי \(E=-\nabla\phi\) ובמקרה של מצב יציב ומוליך הומוגני, פונקציית הפוטנציאל מקיימת את המשוואה
\begin{aligned}\nabla\cdot\left(\sigma\nabla\phi\right)=0\,.\end{aligned}
ובפרט, משוואה זו מצטמצמת למשוואת לפלס \(\nabla^{2}\phi=0\) עבור מוליכות חשמלית \(\sigma\) שאינה תלויה במקום.


תרגיל

זרמי אדי (Eddy currents) אלו הם זרמים חשמליים הנוצרים בתוך מוליכים בעטיים של שדות מגנטים משתנים בקרבת המוליך (ובשל כך שטפים משתנים היוצרים שדות חשמליים עירבוליים בכפוף לחוק פארדיי). עשו שימוש בחוק אוהם והראו שצפיפות הזרם במוליך לינארי הומוגני ואיזוטרופי עם פרמיביליות \(\epsilon\) ופרמיטיביות \(\mu\) מקיימת את המשוואה\begin{aligned}\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{j}\right)-\nabla^{2}\boldsymbol{j}=-\left(\sigma\mu\right)\frac{\partial\boldsymbol{j}}{\partial{}t}-\left(\epsilon\mu\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{j}}{\partial{}t^{2}}\end{aligned}
שימו לב שבמקרה של זרם יציב (המוגדר כאמור ככזה המקיים \(\nabla\cdot\boldsymbol{j}=0\)) ובמוליכים טובים (כך ש- \(\sigma\gg\epsilon\)) מתקבלת משוואת החום \begin{aligned}\frac{\partial\boldsymbol{j}}{\partial{}t}=\kappa\,\nabla^{2}\boldsymbol{j}\end{aligned}כלומר במקרה זה צפיפות הזרם מפעפעת בתוך המוליך כמו שחום מפעפע בחומר, עם מקדם הפיעפוע \(\kappa=1/\sigma\mu\).

**חיבור נוסף בעברית על הנושא תוכלו למצוא בבלוג המצויין "e-Physics פיזיקה על קצה המזלג", תחת הכותרת "כא"מ וחוק אוהם".



יום שבת, 20 בפברואר 2016

מהומה רבה על גלי מאומה



הרעיון להכין רשימת FAQ's על רקע ההישג של גלאי LIGO התבשל אצלי על אש קטנה במהלך השבוע שחלף. אמנם מידע רב "שוחרר" לציבור בערוצי התקשורת המקובלים אבל התרשמותי הפרטית היתה שהמידע מבולבל, לעיתים קרובות לא מדוייק, וכמעט תמיד חלקי. ביום חמישי שינסתי מתניים והחילותי בליקוט וכתיבה, והרי התוצאה לפניכם (פורסם במקביל גם בבלוג דבר דבור על אפניו);
----------------------

  • מה הם גלי כבידה?
גלי כבידה הם הפרעות מחזוריות בגיאומטריה של מרקם המרחב-זמן עצמו. למה הכוונה? המרחב-זמן הוא אוסף הסרגלים באמצעותם אנו דוגמים את המציאות החומרית. תורת היחסות הכללית מלמדת אותנו שהכיול של הסרגלים הללו הוא חלק בלתי נפרד מהדינמיקה של המציאות החומרית עצמה, כלומר כיול הסרגלים עצמו תלוי במה שהם מודדים... גלי הכבידה הם שינויים מחזוריים במרחק בין שנתות "המשורטטות" על אותם סרגלים, שינויים המתקדמים במהירות האור ומתרחשים במישור הניצב לכיוון ההתקדמות.
  • מהיכן נהגה קיומם?
גלי הכבידה הם פתרון של משוואת אינשטיין עבור הסטייה ממרחב שטוח, סטייה המתפשטת באופן רדיאלי כתוצאה מהפרעה מחזורית בשדה הכבידה במקום נתון. עד שנות החמישים לא היה ברור האם יש להם משמעות פיזיקלית כלשהי ובפרט, האם הם נושאים אנרגיה. פליקס פירני הראה במפורש שלגלים האלו השפעה ממשית על תנועתם של חלקיקים המשובצים במרחב-זמן. בסופו של יום גלי כבידה הם אחד הניבויים האקזוטיים של תורת היחסות הכללית (או תורת הכבידה) וגילויים מהווה אישוש נאה לאיכותה ולנכונותה. פליקס פירני - האיש שהניח את היסודות להבנה וטיפול אנליטי בגלי כבידה - הלך לעולמו רק שבועות ספורים לפני ההכרזה על הגילוי.
  • האם יש קשר בין גלי כבידה לגרביטונים? האם גלי כבידה הם תופעה של כבידה קוונטית?
תשובה בשליפה לשתי השאלות הללו היא שלילית, אין קשר. גלי כבידה הם תופעה קלאסית לחלוטין ולהבדיל, גרביטונים הם תולדה (היפותטית) של קוונטיזציה (היפותטית) של נשאי הכוח באינטראקציות כבידתיות, והם צפויים להיות חסרי-מסה בדומה לפוטונים ולגלואונים. נכון להיום טרם נמצאה דרך לקוונטט את הכבידה באופן עקבי שיניב גם ניבויים כמותיים. ובכל זאת, מסתבר שפרטי הארוע שנקלט ב-LIGO איפשרו לתאורטיקנים להציב חסם עליון למסה של הגרביטון ההיפותטי: \(m_{\text{graviton}}\leq1.2\times10^{-22}\text{ev}/c^{2}\). אין לי כל מידע או מושג כיצד זה נעשה. 
  • מהם המקורות לגלי כבידה?
כאמור, המקורות לגלי כבידה הם גופים מסיביים מאוד וקומפקטים מאוד הנמצאים בתנועה מחזורית (בדומה לזה, גלים אלקטרומגנטיים נוצרים ע"י מטענים חשמליים הנמצאים בתנועה מחזורית). גופים אלו עשויים להיות צמד כוכבי ניטרונים או צמד חורים שחורים המסתחררים בעוצמה רבה סביב מרכז כובד משותף. האינטראקציה הכבידתית בין שני הגופים משגרת אל המרחב גלי כבידה הנושאים עימם חלק מהאנרגיה של המערכת. אבדן האנרגיה מוביל להתקרבות הגופים וחיזוק האינטראקציה הכבידתית ביניהם, מה שמוביל להעצמה של הקרינה הכבידתית וחוזר חלילה. זהו איפה תהליך מסוג משוב הגברה וסופם של שני הגופים להתאחד באלימות. 

סימולציה נומרית המתארת גלי כבידה בהתנגשות חורים שחורים.
קרדיט: C. Henze/NASA Ames Research Center

  • במה כרוך הדבר לדגום גלי כבידה?
ההספק הרגעי (אנרגיה ליחידת זמן) ביצירת גלי כבידה נמוך לאין שיעור מההספק הרגעי ביצירת גלים אלקטרומגנטיים. לדוגמא, הספק הקרינה הכבידתית של המערכת שמש-כדה"א הוא כ- 200 ואט. השוו זאת להספק הקרינה האלקטרומגנטית הבוקעת מהשמש, מסדר גודל של \(10^{26}\) ואט. גלי כבידה הם כל כך 'חלשים' וחמקמקים עד כי נראה היה שגילוי שלהם הוא בחזקת פנטזיה על אדי אלכוהול. שינוי מרווחי השנתות על גבי סרגלי המרחב-זמן הנגרם כתוצאה ממאורע קטקליסמי בגלקסיה רחוקה הוא בשיעור של אחד חלק אלף מרדיוס הפרוטון. 
  • כמה מילים על הניסוי?
בבקשה: גלאי LIGO הוא אינטרפרומטר (מאבך) דו-זרועי של קרינה אלקטרומגנטית בתחום האינפרא-אדום. אורכה של כל זרוע הוא כארבעה קילומטר, הזרועות ניצבות זו לזו ובקצה המרוחק שלהן מראה מלוטשת. חשוב ביותר שאורכן של הזרועות יהיה שונה כדי מחצית אורך הגל המואבך בדרגת דיוק אולטרא-פנטסטית. קרן לייזר בהספק של כ-200 ואט משוגרת אל המאבך ומתפצלת, וכל אחת משתי קרני הבת נעה הלוך וחזור כדי ליצור לבסוף תבנית התאבכות הורסת מושלמת על הגלאי (כלומר דבר לא נראה בגלאי). 
גל כבידה העובר בניצב לאינטרפרומטר מאריך את אחת מזרועותיו בשיעור של אלפית קוטרו של של פרוטון (\(10^{-18}\) מטר), ומקצר את השנייה בשיעור דומה. במקרה זה נפגמת שלמות ההתאבכות ההורסת ומופיע סיגנל אור חלש על הגלאי.
  • כיצד מנקים את הרעש?
"רעשי הסביבה" הם רבים ומגוונים ובלי צל של ספק עצמתם גדולה בסדרי גודל מזו של גל כבידה. כדי לנטרל מקורות רעש קרובים בנו שני גלאים שמוקמו במרחק של כשלושת אלפים קילומטרים זה מזה, האחד בואנפורד שבמדינת וושינגטון, השני בליווינגסטון שבלואיזיאנה. אות הנקלט בו-זמנית בשניהם מצביע על סיכוי לארוע אמת המגיע ממקורות חוץ ארציים. תורת הכבידה מנבאת במדויק כיצד יראה אות המשוגר מארוע קוסמי המייצר גלי כבידה. מצורת האות ומשכו ניתן לשחזר את הפיזיקה של הארוע ואת כמות האנרגיה הכוללת שהוקרנה באמצעות גלי כבידה. ובכל זאת, איך מזהים אות כל כך חלש בתוך רעש אדיר ומתמשך? אין לי מושג.
  • מה ארע ומתי? על מה הבאז התקשורתי?
ב-14 בספטמבר 2015 בשעה 9:50:45 בבוקר שעון מקומי, יומיים בלבד לאחר הפעלת המערכת הניסויית המשודרגת, התקבל בשני הגלאים בו-זמנית אות של גל כבידתי שנמשך כחמישית השנייה: 

האות שהתקבל (לקוח מפרסומי הקבוצה)

תדירות האות השתנתה בין \(35\) ל-\(250\) הרץ השקולים לאורכי גל המתפרשים (בקירוב) בטווחים שבין \(1200\) ל-\(8565\) קילומטרים. מתיחת השנתות שנמדדה על גבי סרגלי המרחב היתה מסדר גודל של \(10^{-21}\) שנתה אחת. הארוע קיבל את הכינוי GW150914.
  • מה ניתן היה להסיק מהגילוי?
נתונים אלו תואמים ארוע קטקליסמי ובו שני חורים שחורים קורסים זה לעבר זה בספירלה, ומתאחדים. הארוע שיצר את האות מרוחק \(410^{+160}_{-180}\) מגה-פרסק. \(410\) מגה-פרסק הם בקירוב \(1,336,600,000\) שנות אור, כלומר בערך \(1.3\) מליארד שנות אור מאיתנו. שימו לב לאי-הודאות העצומה במרחק אשר מקורה בקושי למקם נקודה במרחב באמצעות רק שני גלאים (גלאי שלישי הולך ונבנה מתוכנן להיבנות בהודו).
מסתם של החורים השחורים במערכת המנוחה של מקור האות, בטרם התנגשות, היא \(36^{+5}_{-4}M_{\odot}\) ו- \(29^{+4}_{-4}M_{\odot}\) (היחידה \(M_{\odot}\) מסמנת מסת שמש), ואילו מסת החור השחור שהתהווה מהאיחוד היא \(62^{+4}_{-4}M_{\odot}\). בשבר השניה האחרונה שלפני ההתנגשות היתה תדירות הסיבוב של המערכת הבינארית מאות מחזורים בשניה, ומהירותם המשיקית של החורים השחורים הגיעה לכדי מחצית ממהירות האור. בזמן קצר זה הפכו שלוש מסות שמש תמימות לאנרגיה בצורה של גלי כבידה (בהתאם לקשר \(E=mc^{2}\)).  במילים אחרות, כמות חומר השקולה בערך למיליון כדורי ארץ התאיינה לגלי כבידה בשבריר השניה.
זהו הגילוי הישיר הראשון של גלי כבידה והפעם הראשונה בה נצפה איחוד של חורים שחורים. ההספק שהתקבל בשיא הארוע, מסדר גודל של \(10^{50}\) ג'אול לשניה, גדול יותר (כך נטען בכמה פרסומים לא מחייבים) מההספק הרגעי של כל כוכבי היקום גם יחד... ראוי לציין שתאור כמותי של תהליכים מסוג זה מצריך שיטות מתמטיות מתקדמות ומחשבי-על אולטרא-חזקים, ולטענת החוקרים לא היה ניתן לביצוע לפני שנת 2005. 


תאור הארוע (לקוח מפרסומי הקבוצה)

  • מה הסיכוי שהאות שנדגם מבטא "סידור נדיר של רעש חסר ערך"?
אחד ל-\(203,000\) שנים צפוי להתרחש ארוע מתחזה בודד מסוג זה. לכן מידת המובהקות של האות היא \(5.1\) סיגמות, בדומה למובהקות שהתקבלה בכל אחד משני הגלאים ב-CERN (אטלס ו-CMS) עם ההכרזה על גילוי חלקיק ההיגס
  • המחשת הארוע שיצר את האות:
הסרטון מטה מסמלץ את הארוע בהתחשב במשוואות תורת הכבידה על פי אינשטיין. שדות הכבידה האדירים של שני החורים מעוותים את המרחב-זמן סביבם, מה שמשבש את מסלולי קרני האור של הכוכבים שברקע. כל התופעות האופטיות החזויות, ובכללם עידוש כבידתי וטבעות אינשטיין, מתעצמות. במידה רבה מאוד הרקע של החלל הבין כוכבי מאפשר לראות ממש בעיניים - ולפרטי פרטים - את עיקום המרחב-זמן בקרבת הארוע. בהיבט הזה אני מוצא את הסרטון ממש מדהים. שימו לב שכל התהליך אורך במציאות כחצי שניה, כך שזהו למעשה סימלוץ בהילוך איטי.




זאת ועוד: רואים בעיניים את גלי הכבידה המוקרנים. אלו הם האדוות המחזוריות המתפשטות באופן רדיאלי ממקום הארוע והחוצה. שימו לב לרטט המופיע במרחב-זמן גם לאחר שנראה כאילו הארוע כבר הסתיים. 

  • מסקנות כלליות מהניסוי: 
  1. חורים שחורים מתנהגים (ובעיקר מתאחדים) בהתאם לאופן בו מתארת זאת תורת היחסות הכללית.
  2. גלי כבידה קיימים, והם נוצרים ומוקרנים כפי שניבא זאת לראשונה הדוד אלברט (ניבא, התכחש, ולבסוף התרצה) וכפי שביסס את הניבוי סבא פליקס.
  3. הוכחה היתכנות מפורשת לאסטרונומיה של גלי כבידה מה שפותח חלון חדש לגמרי לחקירת תופעות כבידתיות. אינטרפרומטרים הם טלסקופי הכבידה של העתיד!
  • האם היתה זו העדות הראשונה לקיומם של גלי כבידה?
לא, בהחלט לא. עדות חותכת אך עקיפה לקיומם של גלי כבידה התקבלה בשנות השבעים על ידי ראסל הולס וג'ו טיילור. השניים בדקו את הירידה בתדירות ההקפות המחזוריות של מערכת בינארית של כוכבי ניטרונים כתוצאה מאיבוד אנרגיה בקרינת גלי כבידה. הקו הרצוף בגרף מטה מתאר את הדעיכה כפי שצופה זו תורת היחסות הכללית. הצלבים הקטנטנים מציינים את תוצאות התצפית. ההתאמה הפנטסטית הביאה את חברי ועדת נובל להעניק לשניים את הפרס בשנת 1993.

מקור: ויקיפדיה.

  • תוספת: שמועות מדברות על שבעה ארועים נוספים שנקלטו בגלאי LIGO מאז הגילוי של ה-14 בספטמבר. אותן שמועות מספרות שבכל שבעת המקרים הללו האותות שנתקבלו היו חלשים יותר מ- GW150914.
  • מילותי שלי: נדמה לי שאי אפשר להפריז בחשיבות התגלית, לפחות בהיבט של האסטרונומיה החדשה. היכולת לצפות במעמקי היקום באמצעות "טלסקופ כבידתי" היא לדעתי ההישג הגדול באמת, אולי בסדר גודל של המהפך שהתחולל במדע עם בואו של גלילאו. אחרי ככלות הכל הכבידה אינה יודעת מחסום מהו. ובפרט, מה כבר יכול לעמוד בדרכם של גלי מאומה?...
  • ולקינוח:




  • מקורות:



מצאתם טעות? יש הסתייגות מבוססת? אשמח אם תשתפו.




יום שישי, 12 בפברואר 2016

מבחן שני בחמד"ע - מבחר שאלות פתורות




זריחת ארץ ישראל מעל אופק הירח כפי שצילמה זאת רק לאחרונה המקפת
הירחית LRO. מסביב לארץ ישראל אפשר לראות את כל כדור הארץ ;)
קרדיט: NASA/Goddard/Arizona State University


שאלה 1

בול שמסתו \(M\) מחובר אל קפיץ בעל קבוע כוח \(k\) כמתואר בתרשים. הבול מונח על משטח אופקי חלק. קליע שמסתו \(m=M/4\) נורה אופקית במהירות \(v_{0}\) ופוגע בבול. הקליע חודר אל הבול בזמן קצר מאוד ונשאר תקוע בתוכו. מכאן ואיך מבצעים הבול והקליע תנועה הרמונית לאורך הציר האופקי. את תשובותיכם רישמו במונחים של \(M,k,v_{0}\).



  1. מהי המהירות המשותפת של הבול והקליע מיד עם חדירת הקליע? נא לנמק באיזה חוק השתמשתם ומה ההצדקה לשימוש בו.
  2. מהי משרעת התנודות ההרמוניות שמבצעים הבול והקליע התקוע בתוכו?
  3. בתוך כמה זמן מרגע עצירת הקליע מגיעה המערכת למנוחה רגעית בפעם הראשונה?
  4. מהי תאוצת המערכת ברגע זה?

תשובות:
  1. זמן חדירת הקליע קצר ביותר ובזמן זה הקפיץ בקושי מספיק להתכווץ. מאחר והכוח שהקפיץ מפעיל על המערכת מתכונתי לכיווצו, הרי שהמתקף הפועל עליה זניח והתנע (עפ"י משפט מתקף-תנע) נשמר בקירוב מצויין. שימור תנע בהתנגשות פלסטית ינפק את המשוואה\begin{align}mv_{0}=\left(m+M\right)v\quad\Rightarrow\quad{}v=\frac{mv_{0}}{m+M}=\frac{v_{0}}{5}\end{align}
  2. מחוק שימור האנרגיה המכנית, במצב בו הקפיץ הכי מכווץ כל האנרגיה הקינטית של המערכת (מייד לאחר ההתנגשות) הומרה לאנרגיה פוטנציאלית. לכן אם \(A\) מייצג את המשרעת הרי ש-\begin{align}\frac{1}{2}\left(\frac{5M}{4}\right)v^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\quad\Rightarrow\quad{}A=\sqrt{\frac{Mv_{0}^{2}}{20k}}\end{align}
  3. "המהירות הזוויתית" ניתנת ע"י \(\omega^{2}=4k/5M\). זמן המחזור מקיים \(T=2\pi/\omega\). המהירות הרגעית מתאפסת לראשונה בתום רבע זמן מחזור היינו \begin{align}t^{\star}=\frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{5M}{k}}\end{align}
  4. בהתאם לחוק השני של ניוטון  התאוצה מתכונתית לכוח, \(a=4F/5M\), והכוח (שהקפיץ מפעיל) מתכונתי למשרעת, \(F=kA\). נשבץ את הביטוי עבור המשרעת שהתקבל בסעיף השני ונקבל: \begin{align}a\left(t=t^{\star}\right)=\frac{4k}{5M}\sqrt{\frac{Mv_{0}^{2}}{20k}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}\sqrt{\frac{k}{M}}\,v_{0}\end{align} וכיוונה שמאלה (ככיוון הכוח).

שאלה 2

מטוטלת שמסתה \(m\) תלוייה על קפיץ חסר מסה שקבוע הכוח שלו הוא \(k\) והאורך הרפוי שלו הוא \(R\) (קפיץ זה בא במקום החוט חסר המסה במטוטלת מתמטית רגילה, ראו איור). מסיטים את המטוטלת בזווית \(\theta_{0}\) ומשחררים בעדינות מהמצב בו הקפיץ רפוי כך ש-
 \begin{align}r\left(t=0\right)=R,\quad\theta\left(t=0\right)=\theta_{0},\quad\boldsymbol{v}\left(t=0\right)=\boldsymbol{0}\end{align}
קיבעו את ראשית הצירים בנקודת התלייה ועיבדו במערכת קואורדינטות קוטביות \(r(t),\theta(t)\).



  1. רישמו ביטוי עבור האנרגיה המכנית הכוללת \(E_{0}\) בזמן \(t=0\) ועבור האנרגיה המכנית הכוללת \(E\) בכל זמן מאוחר יותר \(t>0\). רישמו במפורש איזה סוג אנרגיה מבטא כל ביטוי שרשמתם (קינטית סיבובית, פוטנציאלית כבידתית וכ'). מהו הקשר המתמטי המפורש בין \(E_{0}\) לבין \(E\) ומה ההצדקה לנכונותו?
  2. ציירו דיאגרמת כוחות על המסה \(m\) ועל בסיס הדיאגרמה הזו (והחוק השני של ניוטון) קבלו ממנה שתי משוואות דיפרנציאליות מצומדות במשתנים \(r(t),\theta(t)\). אין לנסות לפתור את המשוואות.
  3. המערכת מותקנת בתחנת החלל הבינלאומית ומשוחררת ממנוחה באותם תנאים בדיוק. תארו במדויק את תנועת המסה מנקודת מבטו של אסטרונאוט בתחנה, ומנקודת מבטו של צופה מכדה"א.

תשובות:

  1. ברגע השיחרור הקפיץ רפוי והמסה במנוחה, לכן האנרגיה המכנית של המערכת היא האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית. נבחר את מישור היחוס להיות התקרה ממנה תלויה המטוטלת ונקבל \(E_{0}=-mgR\cos\theta_{0}\). בכל זמן מאוחר יותר תכיל האנרגיה המכנית בתוספת לאנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית גם רכיב פוטנציאלי אלסטי ורכיב קינטי. הרכיב האלסטי תלוי רק בהתארכות או בהתכווצות הקפיץ מעבר למצבו הרפוי על הציר הרדיאלי. לרכיב הקינטי יש גם תרומה רדיאלית וגם תרומה זוויתית:\begin{align}v^{2}=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}=(\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}})\cdot(\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}})=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}\end{align} לכן האנרגיה המכנית בכל זמן מאוחר יותר ניתנת ע"י\begin{align}E=\underbrace{\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}}_{\text{קינטית}\atop\text{רדיאלית}}+\underbrace{\frac{1}{2}mr^{2}\dot{\theta}^{2}}_{\text{קינטית}\atop\text{סיבובית}}+\underbrace{\frac{1}{2}k\left(r-R\right)^{2}}_{\text{פוטנציאלית}\atop\text{אלסטית}}-\underbrace{mgr\cos\theta}_{\text{פוטנציאלית}\atop\text{כבידתית}}\end{align}כל הכוחות הפועלים על המסה הם משמרים, וכוחות משמרים נגזרים מאנרגיה פוטנציאלית. במקרה זה  מתקיים חוק שימור האנרגיה המכנית, ולכן \(E_{0}=E\). כלומר האנרגיה המכנית היא שמורה של התנועה.
  2. הכוח הפועל על המסה בציר הרדיאלי בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) החיובי מכיל שני מרכיבים, כבידתי והרמוני מחזיר: \(f_{r}=-k\left(r-R\right)+mg\cos\theta\). הכוח הפועל בציר המשיקי בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\) החיובי הוא פשוט \(f_{\theta}=-mg\sin\theta\). הוקטורים הקינמטיים בקורדינטות אלו ניתנים ע"י (חישוב שערכתם מאתיים פעם...) \begin{aligned}\boldsymbol{r}=r\widehat{\boldsymbol{r}}&\\\boldsymbol{v}=\dot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+r\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}&\\\boldsymbol{a}=\ddot{r}\widehat{\boldsymbol{r}}+2\dot{r}\dot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}+r\ddot{\theta}\widehat{\boldsymbol{\theta}}-r\dot{\theta}^{2}\widehat{\boldsymbol{r}}\end{aligned} ניישם את החוק השני של ניוטון בשני הצירים הניצבים ונקבל את צמד המשוואות המצומדות \begin{aligned}-k\left(r-R\right)+mg\cos\theta&=m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^{2}\\-mg\sin\theta&=2m\dot{r}\dot{\theta}+mr\ddot{\theta}\end{aligned}
  3. תחנת החלל הבינלאומית נמצאת בנפילה חופשית יחד עם כל תכולתה. לכן במערכת זו הכבידה מתאיינת, אין כל כוח שיסית את המסה ממצבה ההתחלתי והיא תשאר במנוחה במערכת זו. מנקודת מבט של צופה מכדור הארץ המוטלת (יחד עם כל תחנת החלל) נמצאת במסלול לוויני מעגלי סביב כדור הארץ.

שאלה 3

נקודת לגראנג' היא נקודה במרחב שבה יכול גוף קטנטן דוגמת לווין, המושפע רק מכוחות הכבידה של הארץ והשמש, להישאר במסלול קפלריאני יציב סביב השמש עם זמן מחזור השווה בדיוק לזה של כדור הארץ (שנה אחת). נקודה זו מאופיינת על ידי התכונה שהמשיכה הכבידתית הנוצרת על ידי הארץ והשמש יחדיו משתווה בגודלה לגודל הכוח הצנטרפיטלי הדרוש לתנועה הלווין במסלול הקפלריאני בן הוא נמצא. אגב, במערכת שמש-ארץ יש חמש נקודות כאלו, כמוראה באיור (שנלקח מויקיפדיה):




נקודת לגראנג' \(L_{1}\) שבין כדור הארץ והשמש נמצאת על הקו הדמיוני המחבר בין מרכזי שניהם. לכאורה גוף הנמצא במרחק קטן יותר ממרחקה של הארץ מהשמש אמור להקיף את השמש בזמן קצר יותר (אתם צריכים לדעת למה), אך מכיוון שהארץ מפעילה כוח משיכה בכיוון ההפוך היא מחלישה את המשיכה של השמש וגורמת להארכת זמן ההקפה. 

  1. במערכת שמש-ארץ הניחו תנועה מעגלית של כדור הארץ סביב השמש, הזניחו את השפעת הירח, וקבלו משוואה פולינומית עבור המרחק \(R\) של נקודות לגראנג' \(L_{1}\). אין צורך (לנסות) לפתור.
  2. רישמו ביטוי עבור האנרגיה המכנית (קינטית + פוטנציאלית) עבור לווין בעל מסה \(\mu\) היושב בנקודת לגראנג' \(L_{1}\). 
  3. חשבו את מהירות המילוט שיש להעניק לו ביושבו בנקודה זו.
  4. הראו שהכוח הכולל הפועל על הלווין בהיותו יושב בנקודת לגראנג' \(L_{1}\) הוא מינוס הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית מסעיף ב'. מהי העבודה שמבצעים השמש וכדה"א יחדיו על הלווין במשך שנה שלימה? לעזרה: בקואורדינטות פולריות,\begin{aligned}\nabla=\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{}r}+\widehat{\boldsymbol{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\end{aligned}

 תשובות:

  1. משוואה כזו תתקבל ממודל הכבידה של ניוטון. יהא \(R\) המרחק של נקודת לגראנג' \(L_{1}\) מכדור הארץ ויהא \(d=1_{\text{au}}=1.5\times{10^{11}}_{m}\) המרחק של כדור הארץ מהשמש. נשכח מקיומו של הירח (השפעתו קטנה) ואז הכוח השקול הפועל על הלווין בעטיים של כדור הארץ (שמסתו \(m\)) והשמש (שמסתה \(M\)) הוא:\begin{align}\vec{F}=-\frac{GM\mu}{\left(d-R\right)^{2}}\widehat{\boldsymbol{r}}+\frac{Gm\mu}{R^{2}}\widehat{\boldsymbol{r}}\end{align}התאוצה הרדיאלית של הלווין ניתן ע"י \({a}_{r}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\) אבל היות ואנו מניחים תנועה מעגלית, הרי שהמרכיב הקווי של התאוצה הרדיאלית בהכרח מתאפס, והמהירות המשיקית \(\omega=\dot{\theta}\) קצובה (מה הסיבה הפיזיקלית לכך?). לכן החוק השני של ניוטון מנפק את המשוואה\begin{aligned}G\mu\left(\frac{m}{R^{2}}-\frac{M}{\left(d-R\right)^{2}}\right)=-\mu{}\left(d-R\right)\omega^{2}\end{aligned}היכן ש- \(\omega=2\pi/1_{\text{שנה}}=2\pi_{1/\text{שנה}}\). מסת הלווין מצטמצמת (לא מפתיע),  נרשום \(\omega^{2}/G=:\alpha\) ונקבל: \begin{aligned}&m\left(d-R\right)^{2}-MR^{2}=-\alpha{}R^{2}\left(d-R\right)^{3}\end{aligned}שימו לב שההצבה \(m=0\) מנפקת את הפיתרון (הטריוויאלי) \(R=0\) כלומר הלווין ממוקם בדיוק היכן שכדור הארץ היה צריך להיות...
  2. לאנרגיה המכנית שתי תרומות של אנרגיה פוטנציאלית כבידתית ותרומה אחת המגיעה מהאנרגיה הקינטית בעטיה של התנועה הסיבובית סביב השמש ברדיוס \(d-R\).  נבחר את הפוטנציאל להתאפס באינסוף; במקרה זה האנרגיה המכנית הכוללת של הלווין במסלול הקשור ניתנת ע"י \begin{aligned}E=\underbrace{\frac{1}{2}\mu\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}}_{=\;E_{k}}\underbrace{-\frac{G\mu{}M}{d-R}-\frac{G\mu{}m}{R}}_{=\;\phi_{\text{שמש+ארץ}}}\end{aligned} האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת היא סופרפוזיציה סקלרית של שתי התרומות ולהבדיל מסופרפוזיציה וקטורית היא לא רגישה לכיוונים. 
  3. מהירות המילוט מתקבלת מאיפוס האנרגיה המכנית הכוללת, הכוללת גם את האנרגיה הקינטית המוענקת לצורך מילוט. יהא \(\boldsymbol{v}\) התוספת (הוקטורית) למהירות המשיקית המקורית שהיתה ללויין, \(v_{\parallel}=\omega\left(d-R\right)\) ואשר בעטיה ימלט הלווין משדה הכבידה. אזי, \begin{aligned}&\frac{1}{2}\mu{}v^{2}+\frac{1}{2}\mu\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}-\frac{G\mu{}M}{d-R}-\frac{G\mu{}m}{R}=0\\&\\\Rightarrow\quad{}&v=\sqrt{-\omega^{2}\left(d-R\right)^{2}+2G\left(\frac{M}{d-R}+\frac{m}{R}\right)}\end{aligned}
  4. הקוארדינטה הרדיאלית הרלוונטית היא \(r=d-R\). ובפרט, \(R=d-r\). היות ואין תלות זוויתית, הגרדיאנט מצטמצם לנגזרת לאורך הרדיאל. לכן,\begin{aligned}-\nabla\phi&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{}r}\left\{-\frac{G\mu{}M}{r}-\frac{G\mu{}m}{d-r}\right\}\\&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}M}{r^{2}}+\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}m}{\left(d-r\right)^{2}}\\&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}M}{\left(d-R\right)^{2}}+\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{G\mu{}m}{R^{2}}\;=\;\vec{F}\end{aligned}סך כל העבודה המבוצעת על הלווין על ידי שני הגופים השמימיים (ארץ+שמש) במשך שנה שלימה היא כמובן אפס היות ומדובר בעבודת כוחות משמרים לאורך מסילה סגורה.

יום חמישי, 7 בינואר 2016

כמה מילים על חוק השטחים


חוק השטחים נולד יחד עם יוהנס קפלר, האיש שהשכיל לתמצת את תצפיותיו המפורטות של טיכו ברהה בשלושה חוקים אשר ניסוחם הולך פחות או יותר כך:
  1. פלנטה תנוע סביב השמש במסלול אליפטי כשהשמש יושבת באחד ממוקדי האליפסה.
  2. המחוג המכוון מהשמש אל הפלנטה מטאטא שטחים שווים בפרקי זמן שווים.
  3. ריבוע זמן המחזור של הפלנטה בתנועתה סביב השמש מתכונתי לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי.
שלושת החוקים הללו שנוסחו על בסיס אמפירי מוסברים יפה באמצעות תורת הכבידה של ניוטון. כהרגלי (המכוון) בקודש אניח את השתלשלות הארועים ההיסטורית בצד ואגש ישר לנקודה אותה אני מבקש להדגיש:
בעוד שהחוקים הראשון והשלישי (של קפלר) הם תולדה של כוח מרכזי הדועך כמו אחד חלקי המרחק בריבוע, הרי שתוקפו של החוק השני - הוא חוק השטחים - רחב בהרבה, וכפי שניווכח מייד מאפיין כל תנועה תחת השפעת כוח מרכזי, יהיה טבעו אשר יהיה.
הבה ניגש להוכחת הטענה. יהא \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) וקטור המקום המצביע מראשית צירים הממוקמת על מקור כוח מרכזי לעבר (מרכז המסה של) גוף הנע תחת השפעתו. קל מאוד להשתכנע באמצעות שרטוט תרשים שהוקטור
\begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\left(t\right)&=\lim_{\Delta{}t\to0}\left[\boldsymbol{r}\left(t+\Delta{}t\right)-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right]\\&=:\boldsymbol{v}\left(t\right)\mathrm{d}t\end{aligned}
"יוצא" מהמקום הרגעי בו נמצא החלקיק בזמן \(t\) ומשיק למסלול התנועה ברגע זה. כאן \(\boldsymbol{v}\left(t\right)\) הוא כמובן וקטור המהירות הרגעית המצביע בכיוון המשיק למסלול התנועה. את השטח האינפיניטסימלי שמטאטא וקטור המקום במרווח זמן אינפיניטסימלי \(\mathrm{d}t\) נוכל לקבל  מהמכפלה הוקטורית
\begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}\right)\end{aligned}
זאת מאחר ומכפלה וקטורית (ככלל) מנפקת את שטח המקבילית הנפרשת באמצעות שני הוקטורים שבמכפלה. מביטוי זה מתקבל רצפט מתמטי חביב לחישוב שטחים באמצעות אינטגרציה מסלולית סביב היקפם, \(\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}\oint_{\text{כל ההיקף}}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}\), ראו בהקשר זה גם משוואה 13 ברשימה על זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב. אבל לא בזאת עניינו עתה.

תחת לאסכם נגזור (לפי הזמן, מן הסתם) ונקבל
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}\right)=\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right)=\frac{\boldsymbol{L}}{2m}\end{aligned}
באשר \(\boldsymbol{L}\) הוא התנע הזוויתי של הגוף ביחס לציר הניצב למישור התנועה ומנקב את הראשית, ו- \(m\) היא מסתו. מאחר וכך, בכל מצב שבו התנע הזוויתי הוא קבוע של התנועה, כך גם \(\mathrm{d}\boldsymbol{A}/\mathrm{d}t\) ובמקרה זה מתקבל חוק השטחים, היינו
\begin{aligned}\dot{\!\boldsymbol{A}}=\text{constant}\end{aligned}
אזי השטח המטוטא ע"י וקטור המקום גדל לינארית עם הזמן. במקרה הכללי יותר, כאשר התנע הזוויתי איננו קבוע של התנועה מתקבלת נוסחת החישוב החביבה
\begin{aligned}\boldsymbol{A}\left(\Delta{}t\right)=\frac{1}{2m}\int_{t}^{t+\Delta{}t}\boldsymbol{L}\left(t\right)\mathrm{d}t\end{aligned}
ובפרט, אם \(T\) הוא זמן המחזור של התנועה,
\begin{align}\boldsymbol{A}_{\text{מלא}}=\frac{1}{2m}\int_{0}^{T}\boldsymbol{L}\left(t\right)\mathrm{d}t\,.\end{align}

באלו תנאים התנע הזוויתי הוא קבוע של התנועה? כדי לענות על השאלה הזו נציג קודם את מושג המומנט הסיבובי. המומנט הסיבובי \(\boldsymbol{\tau}\) הוא הנטייה של כוח לסובב את האובייקט עליו הוא פועל סביב ציר כלשהו. יהא \(\boldsymbol{r}\) וקטור המקום של גוף ויהא \(\boldsymbol{F}\) כוח כלשהו הפועל על אותו הגוף. אזי,
\begin{align}\boldsymbol{\tau}:=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}\end{align}
הוא (וקטור) המומנט הפועל על הגוף ביחס לציר המנקב את המישור הנפרש באמצעות וקטור המקום ווקטור הכוח, בדיוק בראשית הצירים. ומהו הקשר בין מומנט הסיבוב ובין התנע הזוויתי? ניקח את הנגזרת לפי הזמן של התנע הזוויתי \(\boldsymbol{L}\) של הגוף ביחס לאותו ציר, ניעזר בחוק השני של ניוטון \(\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}\), ונקבל:

\begin{align}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\right)=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\times\boldsymbol{p}+\boldsymbol{r}\times\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\\&=\underbrace{\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{p}}_{\equiv\;\boldsymbol{0}}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}=\boldsymbol{\tau}\end{align}
לכן כל אימת שהמומנט הסיבובי מתאפס, התנע הזוויתי נשמר בזמן.

והנה, כאשר מדובר בכוח מרכזי מכל סוג שהוא, לאו-דווקא כזה הדועך כמו אחד חלקי המרחק בריבוע, הרי שהמומנט הסיבובי הנגזר מהכוח הזה מתאפס באופן זהותי. אף שהטענה הזו מאוד אינטואיטיבית, ננסח אותה בשפה מדויקת:

כוח מרכזי \(\boldsymbol{F}_{c}\) הוא כוח התלוי אך בקואורדינטה הרדיאלית \(r\) (גודל וכיוון) והוא מקבל את הצורה הכללית
\begin{align}\boldsymbol{F}_{c}=f\left(r\right)\widehat{\boldsymbol{r}}=\frac{f\left(r\right)}{r}\boldsymbol{r}\end{align}
הילכך \(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}_{c}\equiv\boldsymbol{0}\), כלומר במקרה זה המומנט הסיבובי מתאפס באופן זהותי, התנע הזוויתי נשמר בזמן, ומתקבל שוקטור המקום מטאטא שטחים שווים בפרקי זמן שווים. בעיית קפלר היא איפה רק מקרה פרטי של חוק השטחים התקף לכל סוג של כוח מרכזי.