יום שבת, 14 בנובמבר 2015

משוואת האוסצילטור


מכירים את האופן בו אנו מנחשים פתרון למשוואת האוסצילטור ההרמוני (בין אם חפשי מוזז או מרוסן)? קרוב לוודאי שכן, ואם טרם אז תוכלו להציץ (למשל) כאן. ובאמת, אין כל סיבה שלא לנחש את הפתרונות כשכל כך קל לעשות זאת. אבל בכל זאת, כיצד נפתרות משוואות האוסצילטור שלא באמצעות ניחוש? איך ניגשים לבעיה באופן אנליטי? על כך כאן ועתה; 

א) אוסצילטור חפשי:   \(\ddot{x}=-\omega^{2}x\)

ראשית, נוריד את סדר המשוואה באמצעות מעבר מצמד המשתנים \(\left(x,t\right)\) לצמד המשתנים \(\left(x,v\right)\). את הנגזרת השנייה לפי הזמן שבאגף שמאל נרשום:
\begin{align*}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\end{align*}
אזי נקבל:
 \begin{aligned}v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\omega^{2}x\end{aligned}
נפריד משתנים ונאסכם (כזכור, לאסכם=לקחת אינטגרציה):
 \begin{aligned}v\mathrm{d}v=-\omega^{2}x\mathrm{d}x\quad\Rightarrow\quad\frac{v^{2}}{2}=-\frac{\omega^{2}x^{2}}{2}+\frac{C^{2}}{2}\end{aligned}
וכאן \(C^{2}/2\) הוא קבוע האינטגרציה. לכן נוכל לרשום \(v^{2}=C^{2}-\omega^{2}x^{2}\). נחזור עתה למשתנים המקוריים \(x\) ו- \(t\) עם המשוואה 
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\pm\sqrt{C^{2}-\omega^{2}x^{2}}\end{aligned}
נבצע הפרדת משתנים ונקבל:
 \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{C^{2}-\omega^{2}x^{2}}}=\pm\int{}\mathrm{d}t\end{aligned} 
את האינטגרל באגף שמאל נפתור באמצעות ההצבה \(\omega{}x=C\cos\phi\). מדוע דווקא הצבה זו? היות והיא מכבדת את תחום ההגדרה של הפונקציה שבאינטגראנד. (שימוש בסינוס גם טוב...). ניקח דיפרנציאל למשוואת ההצבה ונקבל \(\omega{}\mathrm{d}x=-C\sin\phi{}\mathrm{d}\phi\). נכפיל ב-\(\omega\) את שני האגפים במשוואה האינטגרלית, נציג את ההצבה באינטגראנד ובדיפרנציאל, ניעזר במשפט פיתגורס ונקבל:
 \begin{aligned}\int{}\mathrm{d}\phi=\pm\int\omega{}\mathrm{d}t\end{aligned}
 או \(\phi=\pm\omega{}t+\varphi\), באשר \(\varphi\) הוא קבוע האינטגרציה. נחזור כעת אל המשתנה המקורי: \(\phi=\cos^{-1}\left(\omega{}x/C\right)=:\cos^{-1}\left(A^{-1}x\right)\) עם הקבוע השרירותי \(A^{-1}:=\omega/C\). ניקח את הפונקציה ההפוכה ונקבל לבסוף: 
\begin{aligned}x\left(t\right)=A\cos\left(\omega{}t+\varphi\right)\end{aligned} 
(בחרנו כאן בסימן החיובי \(+\omega{}t\) המתאר תנועה מעגלית נגד כיוון השעון). לשני קבועי האינטגרציה פרשנות מיידית: \(A\) הוא משרעת התנודה, ו-\(\varphi\) הפאזה בזמן \(t=0\). גזירה לפי הזמן תיתן 
\begin{aligned}v\left(t\right)=-\omega{}A\sin\left(\omega{}t+\varphi\right)\end{aligned}
ותנאי ההתחלה מנפקים את צמד המשוואות:
\begin{aligned}x\left(t=0\right)=x_{0}=A\cos\varphi&\\v\left(t=0\right)=v_{0}=-\omega{}A\sin\varphi&\end{aligned}
כך שבמונחים של תנאי ההתחלה המשרעת מקיימת את הקשר \(A^{2}=x_{0}^{2}+v_{0}^{2}/\omega^{2}\), ואילו הפאזה ניתנת ע"י \(\tan\varphi=-v_{0}/\left(\omega{}x_{0}\right)\). שימו לב שבחירת הפאזה \(\varphi=0\) מתאימה לתנאי ההתחלה \(x_{0}\neq0\), \(v_{0}=0\), ואילו בחירת הפאזה \(\varphi=\pi/2\) מתאימה לתנאי ההתחלה \(x_{0}=0\), \(v_{0}\neq0\).


ב) אוסצילטור מוזז:   \(\ddot{x}=-\omega^{2}x+\kappa\)

כאן התנודות מתבצעות סביב \(x_{0}=\kappa/\omega^{2}\) ולא סביב \(x_{0}=0\). כיצד אנו יודעים זאת? בנקודת שיווי המשקל הכוחות מתאזנים והתאוצה \(\ddot{x}\) מתאפסת... הבה ניגש לפיתרון: נרשום את המשוואה כ- \(\ddot{x}=-\omega^{2}\left(x-\kappa/\omega^{2}\right)\) ונעבור למשתנה \(y:=x-\kappa/\omega^{2}\). אמנם \(y\) מוזז ביחס ל- \(x\) בשיעור קבוע של \(x_{0}=\kappa/\omega^{2}\) אבל הנגזרות מן-הסתם מתלכדות, \(\dot{y}=\dot{x}\). לכן במונחים של המשתנה החדש \(y\) תירשם המשוואה כ- \(\ddot{y}=-\omega^{2}y\) ופתרונה הוא כמובן \(y\left(t\right)=A\cos\left(\omega{}t+\varphi\right)\). נחזור כעת אל המשתנה המקורי \(x\) ונקבל:
\begin{aligned}x\left(t\right)=A\cos\left(\omega{}t+\varphi\right)+\frac{\kappa}{\omega^{2}}\end{aligned}
וכאן "רואים בעיניים" שהתנודה מתרחשת סביב נקודת שיווי המשקל החדשה. שאלה: הפתרון הזה לא תופס עבור כוח חיכוך קבוע (למשל מהצורה \(f=\mu{}mg\))... מדוע?


ג) אוסצילטור מרוסן: \(\ddot{x}+2\gamma{}\dot{x}+\omega^{2}x=0\)

האם ניתן לפתור זאת אנליטית? כן, אבל זה מיגע למדי בהשוואה לשיטה המקובלת המבוססת על "ניחוש מושכל" (הצבת הפתרון הכללי \(x\left(t\right)=Ae^{\alpha{}t}\) וקבלת משוואה אלגברית בפרמטר \(\alpha\)). אז איך לכל הרוחות נוכל להפריד כאן משתנים?... אם מישהו מעוניין לקחת על עצמו את האתגר, הנה המתווה: 

היעזרו בטריק להורדת סדר המשוואה בו השתמשנו בפתרון האוסצילטור החופשי, כאשר עברנו מהמשתנים \(\left(x,t\right)\) למשתנים \(\left(x,v\right)\) ותקבלו (לאחר חלוקה ב-\(v\))
\begin{align}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+\frac{\omega^{2}x}{v}=-2\gamma\end{align}
זוהי אמנם משוואה מסדר ראשון אבל עדיין אינה מבושלת מספיק לצורך הפרדת משתנים. כדי לרכך אותה עוד הציבו \(v/x=y\) ועיברו לעבוד במשתנים \(x\) ו- \(y\left(x\right)\). כיצד זה משפר את המצב? נציג \(v=xy\) ואז
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\end{aligned}
ובשלב זה כבר נקל לבצע הפרדת משתנים:
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{\mathrm{d}y}{-2\gamma-\displaystyle\frac{\omega^{2}}{y}-y}=\frac{-y\,\mathrm{d}y}{y^{2}+2\gamma{}y+\omega^{2}}\end{aligned}
אבל הקלות המפתיעה בה הצלחנו להפריד את המשתנים עדיין לא מבטיחה שהסיפור הולך להיות קצר. האינטגרציות (אף שהן קלות לביצוע) מנפקות ביטויים ארוכים למדי ועדיין יש לעבור למשתנים המקוריים ולקחת אינטגרציה נוספת... בהצלחה.