יום רביעי, 23 בספטמבר 2015

התיאור השלם של התורה האלקטרומגנטית


החיבור הזה הוא תיאור תמציתי וממצא של התורה האלקטרומגנטית בגישה מאוד מופשטת ומאוד כללית, והוא מיועד ליודעי-ח"ן שמתמצאים בכלים השאולים מהגיאומטריה הדיפרנציאלית והטופולוגיה האלגברית.** זהו לטעמי הניסוח האלגנטי ביותר, השלם ביותר, ולעניות דעתי גם המודרני ביותר של התורה האלקטרומגנטית בטרם קוונטיזציה ואתם מוזמנים להציץ ולהיפגע... הערות ותיקונים יתקבלו בברכה.

בשלב הראשון, ולאחר כמה מנהלות הכרחיות, אציג את התורה בתלת-מרחב. אמנם כבר בשלב מקדמי זה נקבל את שימור המטען, את משוואות מקסוול, ואת קשרי המבנה, אך עדיין אין בכך כדי לתת את התמונה המלאה וממילא גם לא את העומק הרעיוני הגלום בה. חיוניותו בצורך להציג את דרגות החופש הבסיסיות ואת עקרונות היסוד המנחים. בחלקו השני של החיבור אגיש את הניסוח השלם במרחב-זמן כללי, ורק אז באמת נחשפת התורה במלוא עצמתה.

אני ארשה לעצמי לקחת את החופש לדלג על הצגה מסודרת של השפה המתמטית בה אשתמש, ואתנער מכל גינוני הנוקדנות המאפיינים טקסטים מתמטים. מקווה לפרסם מתישהו בעתיד מעין "מילון מונחים מתמטי ומשפטים" בגיאומטריה דיפרנציאלית ובטופולוגיה אלגברית ומקווה בדרך זו 'להנחיל' את השפה המשובחת הזו לקהל הקוראים המעוניין. 

** ככל הידוע לי גישה זו הלכה והתפתחה החל מאמצע המאה הקודמת (ואולי לפני?) וגובשה סופית רק לאחר הניסוח של תורת יאנג-מילס בשפה של אגד סיבים. 


I מנהלות:

א) זירות ההתרחשות:
  • תלת-מרחב: יריעה רימנית \(M_{3}\) ממימד שלוש הממדלת תלת-מרחב; מצויידת במטריקה \(\xi\) עם חותם אאוקלידי ועל כל טלאי שלה קורדינטות הולונומיות \(\left(x,y,z\right)\) עם קו-בסיס \(\left(dx,dy,dz\right)\). במקרה זה הזמן \(t\) הוא פרמטר חיצוני.
  • מרחב-זמן: יריעה רימנית \(M_{n}\) ממימד \(n\geq4\) הממדלת את המרחב והזמן המאוחדים כמו בתורת היחסות הכללית; יריעה זו מצויידת במטריקה \(g\) עם חותם מינקובסקיאני ועל כל טלאי שלה \(n\) קואורדינטות הולונומיות \(\left(x^{0},x^{1},\ldots,x^{n}\right)\) וקו-בסיס \(\left(\mathrm{d}x^{0},\mathrm{d}x^{1},\cdots,\mathrm{d}x^{n}\right)\). הקואורדינטה הראשונה \(x^{0}\) היא דמויית-זמן ושאר הקואורדינטות \(x^{1}\cdots{}x^{n}\) הן דמויות-מרחב. 

ב) אופרטורים ופעולות בזירה:
  • מכפלה חיצונית  \(\wedge\) בין תבניות: תהא \(\omega\) תבנית מסדר \(p\leq{}n=\text{dim}\,M_{n}\) ותהא \(\phi\) תבנית מסדר \(q\leq{}n-p\). אזי,  \(\omega\wedge\phi=\left(-1\right)^{pq}\phi\wedge\omega\).
  • נגזרת חיצונית \(d\) על תבניות מעל \(M_{3}\):  מעלה את סדר התבנית באחד ומקיימת את כלל לייבניץ המדורג:  \(d\left(\omega\wedge\phi\right)=d\omega\wedge\phi+\left(-1\right)^{p}\omega\wedge{}d\phi\).
  • נגזרת חיצונית \(\mathrm{d}\) על תבניות מעל \(M_{4}\) ובכלל: מעלה את סדר התבנית באחד ומקיימת את כלל לייבניץ המדורג:  \(\mathrm{d}\left(\omega\wedge\phi\right)=\mathrm{d}\omega\wedge\phi+\left(-1\right)^{p}\omega\wedge\left(\mathrm{d}\phi\right)\). שימו לב להבחנה בין \(d\) ל- \(\mathrm{d}\).
  • נגזרת לי \(\mathfrak{L}_{X}\) על תבניות: ראו נוסחת קרטן בסעיף הבא תחת הכותרת "משפטים מתמטיים". 
  • צמצוםהטלה של תבנית על שדה וקטורי, כך שלכל תבנית \(\omega\) ולכל שדה וקטורי \(X\) מעל \(M_{n}\) מתקיים: \(X\rfloor{X}\rfloor\omega\equiv0\). הצמצום מוריד את סדר התבנית באחד. ובפרט, \(X\rfloor\left(\omega\wedge\phi\right)=\left(X\rfloor\omega\right)\wedge\phi+\left(-1\right)^{p}\omega\wedge\left(X\rfloor\phi\right)\).
  • כוכב הודג' \(\ast\), מיפוי של תבניות מסדר \(p\leq3\) לתבניות מסדר \(3-p\)  על תלת המרחב \(M_{3}\). המיפוי מכיל את כל המידע על המבנה המטרי \(\xi\) בו מצויידת \(M_{3}\). ובפרט, המיפוי ההופכי ניתן ע"י \(\ast^{-1}=\text{sgn}\left(\xi\right)\left(-1\right)^{p\left(3-p\right)}\).
  • כוכב הודג' \(\star\), מיפוי של תבניות מסדר \(3<p\leq{}n\) לתבניות מסדר \(n-p\)  על מרחב-זמן \(M_{n}\), מוכפל באדמיטנס של הואקום (ראו סעיף ה' מטה). המיפוי מכיל את המידע על המבנה המטרי \(g\) בו מצויידת \(M_{n}\), עד כדי מכפלה מקומית בפונקציה סקלרית. המיפוי ההופכי ניתן ע"י \(\star^{-1}=\text{sgn}\left(g\right)\left(-1\right)^{p\left(n-p\right)}\).
  • מרחב התבניות מסדר \(p\) מעל \(M_{n}\) הוא מרחב מכפלה פנימית המצוייד במכפלה הפנימית \(\left<\omega,\phi\right>=\oint_{\Upsilon}\omega\wedge\star\phi\) באשר \(\Upsilon\) שרשרת סגורה ממימד \(n\). ובפרט, \(\left<\omega,\phi\right>=\left<\phi,\omega\right>\) וכן \(\left<\omega,\omega\right>\geq0\).
  • הצמוד ההרמיטי של הנגזרת החיצונית: \(\mathrm{d}^{\dagger}=\left(-1\right)^{pn}\text{sgn}\left(g\right)\star\mathrm{d}\star\) מקיים: \(\left<\mathrm{d}\omega,\phi\right>=\left<\omega,\mathrm{d}^{\dagger}\phi\right>\).
  • הלפלסיאן בתלת-מרחב: \(\nabla^{2}=dd^{\dagger}+d^{\dagger}d\). הדלמברטיאן במרחב-זמן (עד כדי הכפלה בקבועים אוניברסליים): \(\Box=\mathrm{d}\mathrm{d}^{\dagger}+\mathrm{d}^{\dagger}\mathrm{d}\).

ג) משפטים מתמטים:
  1. משפט סטוקס: לכל תבנית \(\omega_{p}\) מסדר \(0\leq{p}\leq{n}-1\) ולכל שרשרת חסומה \(\Omega_{p+1}\) מסדר \(p+1\) התחומה בגבול \(\partial\Omega_{p+1}\) מתקיים: \begin{align}\int_{\Omega_{p+1}}\mathrm{d}\omega_{p}=\oint_{\partial\Omega_{p+1}}\omega_{p}\end{align} מעתה ואילך נסמן \(\Omega_{3}=:\Omega\), \(\Omega_{2}=:\Sigma\), \(\Omega_{1}=:C\).
  2. משפט הסגירות של אופרטורי גבול וקו-גבול: אופרטורי גבול מהסוג \(\partial\), אופרטורי קו-גבול מהסוג \(\mathrm{d}\) וצמודיהם ההרמיטיים \(\mathrm{d}^{\dagger}\) מקיימים באופן זהותי:  \begin{align}\mathrm{d}_{p+1}\mathrm{d}_{p}\equiv0,\quad\mathrm{d}^{\dagger}_{p-1}\mathrm{d}^{\dagger}_{p}\equiv0,\quad\partial_{p-1}\partial_{p}\equiv\emptyset\end{align} משמעות הזהויות: תבנית מדוייקת היא תמיד סגורה (אך תבנית סגורה היא לא בהכרח מדוייקת); הגבול של גבול הוא תמיד קבוצה ריקה.
  3. הלמה של פואנקרה: אם \(\omega\) תבנית סגורה מסדר \(p<n\), כלומר \(\mathrm{d}\omega=0\), אז באופן מקומי \(\omega=\mathrm{d}\phi\). הווה אומר, קיימת סביבה מיידית שבה \(\omega\) לא רק סגורה אלא גם מדוייקת. אם היריעה \(M_{n}\) צמצימה לנקודה אז הלמה של פואנקרה מתקיימת גלובלית; אם לאו, הרי שבטופולוגיה לא-טריוואלית עסקינן.
  4. נוסחת קרטן: לכל תבנית \(\omega\) ולכל שדה וקטורי \(X\) מעל \(M_{n}\) מתקיים הקשר \begin{align}\mathfrak{L}_{X}\omega=\mathrm{d}\left(X\rfloor\omega\right)+X\rfloor\left(\mathrm{d}\omega\right)\end{align}


II: הקמת התורה בתלת-מרחב.

א) עקרונות בסיסיים ומונחי יסוד.
  1. נקודת המוצא בתורה האלקטרומגנטית היא נוכחותה של צפיפות מטען חשמלית המתוארת באמצעות תלת-תבנית \(\rho\) על יריעה דמויית-מרחב. אינטגרציה מרחבית במתחם \(\Omega\) התָּחוּם בקרום הסגור \(\partial\Omega\) על \(\rho\) מנפקת את סך כל המטען החשמלי הכלוא במתחם, \(\int_{\Omega}\rho=Q\). 
  2. מטען חשמלי קורן השפעתו ממנו והלאה. נגדיר דו-תבנית \(D\) דרך הקשר \(dD:=\rho\). הגדרה זו של \(D\) היא הניסוח המקומי של משוואת מקסוול הראשונה. התבנית \(D\) מכונה תבנית הערור החשמלי אך מסיבות היסטוריות יכנוה לעיתים גם שדה ההעתק.
  3. שימוש במשפט סטוקס מוביל לכך שהאינטגרל של \(D\) על קרום סגור התוחם מתחם כלשהו \(\Omega\) הוא המטען התחום במתחם, כלומר \(\oint_{\partial\Omega}D=Q\). זהו הניסוח הגלובלי של משוואת מקסוול הראשונה והוא מכונה חוק גאוס.
  4. אובזרבציה: אף שיש תופעות מגנטיות הרי שהן אינן מושרות מקיומו של מטען מגנטי אלא מנוכחות זרמים חשמליים (לכן תופעות מגנטיות הן בהכרח תלויות צופה).
  5. תהא דו-התבנית \(B\) המקבילה המגנטית ל- \(D\). אזי, \(dB=0\), ובאופן גלובלי \(\oint_{\partial\Omega}B=0\). אלו הם בהתאמה הניסוח המקומי והניסוח הגלובלי למשוואת מקסוול השלישית ו-\(B\) מכונה ההשראה המגנטית. את הניסוח הגלובלי של משוואת מקסוול השלישית אכנה חוק גאוס המגנטי.
  6. אובזרבציה: המטען החשמלי במערכת נתונה נשמר, כלומר אינו נברא יש מאין ואינו כלה באין. היות וכך, השינוי המקומי במטען הוא מקור לשטף מטען הקורן ממנו והלאה (או להיפך).
  7. נתאר את שימור המטען הנ"ל באמצעות דו-תבנית \(j\) המקיימת \(dj=-\partial\rho/\partial{t}\). זוהי משוואת הרציפות ודו-התבנית \(j\) מכונה צפיפות הזרם החשמלי.
  8. היות וצפיפות הזרם החשמלי היא צפיפות מטען חשמלי הרוכבת על שדה מהירויות כלשהו \(\boldsymbol{\mathrm{v}}\), נוכל לתארה באמצעות \(j=\boldsymbol{\mathrm{v}}\rfloor{\rho}\) כלומר באמצעות הטלה של תלת-תבנית צפיפות הזרם על שדה המהירויות.
  9. היות ו- \(d\rho\equiv0\), נוסחת קרטן תנפק: \(dj=d\left(\boldsymbol{\mathrm{v}}\rfloor{\rho}\right)=\mathfrak{L}_{\boldsymbol{\mathrm{v}}}\rho-\boldsymbol{\mathrm{v}}\rfloor{d}\rho=\mathfrak{L}_{\boldsymbol{\mathrm{v}}}\rho\). במקרה זה משוואת הרציפות מקבלת את הצורה \(\mathfrak{L}_{\boldsymbol{\mathrm{v}}}\rho=-\partial\rho/\partial{t}\), כלומר השינוי בצפיפות המטען המקומית הוא (מינוס) שדה הזרימה שלה.
  10. הזרם החשמלי מוגדר להיות האינטגרל על צפיפות הזרם, \(i_{\Sigma}=\int_{\Sigma}j\). ניקח אינטגרציה על משוואת הרציפות בתוך המתחם \(\Omega\) התחום בקרום \(\partial\Omega\), ניעזר במשפט סטוקס, ונקבל את התצורה הגלובלית של שימור המטען: \(i_{\partial\Omega}=-\dot{Q}_{\Omega}\).

ב) ניתוח.
  1. נציג את משוואת מקסוול הראשונה במשוואת הרציפות (משוואת שימור המטען המקומית) ונקבל: \begin{align}d\left(j+\frac{\partial{D}}{\partial{t}}\right)=0\quad\Rightarrow\quad\underbrace{{j}+\frac{\partial{D}}{\partial{t}}}_{=:\;j_{\text{total}}}:=dH\end{align} צפיפות הזרם המוכללת \(j_{\text{total}}=j+\partial{}D/\partial{}t\) היא דו-תבנית סגורה ומדוייקת; השינוי בזמן של העירור החשמלי \(D\) מייצר מקור נוסף לצפיפות זרם. המשוואה המקומית החדשה שקיבלנו מכונה משוואת מקסוול השנייה.
  2. קיבלנו איפה שמשוואת מקסוול השנייה היא פועל יוצא של משוואת מקסוול הראשונה ושל משוואת הרציפות. לכן הזוג הראשון של משוואות מקסוול הוא ניסוח מתמטי חד-ערכי של שני עקרונות יסוד: א) קיום מטען חשמלי, ב) שימור מטען חשמלי.
  3. אינטגרציה של משוואת מקסוול השנייה על משטח דו-מימדי \(\Sigma\) התחום במסילה \(\partial\Sigma\) מנפקת את הגירסא הגלובלית של המשוואה:  \begin{align}\oint_{\partial\Sigma}H=i+\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}D\end{align} משוואה זו מכונה חוק אמפר.
  4. עתה ברור מדוע גם דו-התבנית \(D\) אותה מאסכמים על משטחים סגורים (לאסכם = לקחת אינטגרל) וגם חד-התבנית \(H\) אותה מאסכמים על לולאות סגורות מכונים שדות עירור: \begin{align}\rho=dD,\quad{j}_{\text{total}}=dH\end{align} \(D\) הוא שדה העירור של צפיפות המטען החשמלי הסטטי ו- \(H\) הוא שדה העירור של צפיפות המטען החשמלי הזירמי ושתי המשוואות דלעיל מתארות במדוייק את תלות השדות במקורות. לעיתים יכונה \(H\) השדה המגנטי.
  5. היות ולשדה העירור \(D\) של צפיפות המטען החשמלי יש מקבילה מגנטית בדמותה של ההשראה המגנטית \(B\) והיא מקודדת את המידע בדבר היעדר צפיפות מטען מגנטית בבסיסן של התופעות המגנטיות, הרי שלשדה העירור של צפיפות המטען המגנטית \(H\) צריכה להיות מקבילה חשמלית שתקודד את היעדרם של מקורות שדה זרמיים בבסיסן של התופעות החשמליות. זוהי חד-תבנית השדה החשמלי \(E\). 
  6. משוואת השדה של \(E\) מחקה את זו של \(H\) בהיעדר זרמים חשמליים כמקורות לשדה. מכאן, \begin{align}dE=-\frac{\partial{B}}{\partial{t}}\end{align} זהו סוג של משוואת רציפות והיא מכונה משוואת מקסוול הרביעית. אינגרציה על משטח דו מימדי \(\Sigma\) התחום בלולאה \(\partial\Sigma\) תנפק את הניסוח הגלובלי: \begin{align}\oint_{\partial\Sigma}E=-\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}B\end{align} המכונה גם חוק פארדיי.
  7. למרות הדמיון בין צמד תבניות העירור לצמד שדות ההשראה, שני הצמדים מתנהגים הפוך תחת שיקוף: \(\left(D,H\right)\mapsto\left(-D,-H\right)\) בעוד ש-  \(\left(B,E\right)\mapsto\left(B,E\right)\). בתרשימים מטה המראה ממוקמת בניצב למעגלים של \(H\) ו- \(E\), ובמקביל למעגלים של \(D\) ו- \(B\).
ההמחשה של סכאוטן לתבניות השדה הא"מ המבטאת את התנהגות השדות תחת שיקוף. התרשים הועתק מהרצאה של הל ולוקס.


ג) משוואות מקסוול + משוואת הרציפות, סיכום.
\begin{alignat}{7}&&\qquad&&\text{תצורה מקומית}&&\qquad&&\text{תצורה גלובלית}&&\qquad&&\text{כינוי}\\\\&&&&dD=\rho&&&&\oint_{\partial\Omega}D=Q&&&&\text{חוק גאוס החשמלי}\\&&&&dH=j+\frac{\partial{D}}{\partial{t}}&&&&\oint_{\partial\Sigma}H=i+\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}D&&&&\text{חוק אמפר}\\&&&&dB=0&&&&\oint_{\partial\Omega}B=0&&&&\text{חוק גאוס המגנטי}\\&&&&dE=-\frac{\partial{B}}{\partial{t}}&&&&\oint_{\partial\Sigma}E=-\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}B&&&&\text{חוק פארדיי}\\\\&&&&dj+\frac{\partial\rho}{\partial{t}}=0&&&&i_{\partial\Omega}=-\frac{dQ_{\Omega}}{dt}&&&&\text{שימור מטען}\end{alignat}

ד) פוטנציאלים ומתח.
  1. מחוק גאוס המגנטי דו-התבנית \(B\) סגורה מקומית וגלובלית ולכן מדוייקת, \(B=d\alpha\). ובפרט, \(\oint_{\partial\Omega}B=\oint_{\partial\Omega}d\alpha=\oint_{\partial\partial\Omega}\alpha=0\) היות ו- \(\partial\partial\Omega\equiv\emptyset\). חד-התבנית \(\alpha\) מכונה הפוטנציאל המגנטי. (את הסימול המקובל \(A\) נשמור לתורה המוכללת).
  2. נציג \(B=d\alpha\) במשוואת מקסוול הרביעית ונקבל: \begin{align}d\left(E+\frac{\partial\alpha}{\partial{}t}\right)=0\quad\Rightarrow\quad{}E=-\frac{\partial\alpha}{\partial{}t}-d\chi\end{align}השדה הסקלרי \(\chi\) - תבנית מסדר אפס - מכונה הפוטנציאל האלקטרוסטטי. לכן חד-תבנית השדה החשמלי \(E\) מדוייקת רק אם \(\alpha\) בלתי תלוייה מפורשות בזמן.
  3. טרנספורמציות כיול הן טרנספורמציות שאינן משנות את התוכן הדינאמי של התורה. ובאמת, 'רואים בעיניים' שתחת טרנספורמציית הכיול המקומית \begin{align}\alpha\mapsto\alpha+d\lambda,\quad\chi\mapsto\chi-\frac{\partial\lambda}{\partial{t}}\end{align} התבניות \(B\) ו- \(E\) נשארות בלתי נגועות, וכך גם כל שאר התוכן הדינאמי של התורה.
  4. כאשר התבנית \(E\) אינה מדוייקת, האינטגרל המסלולי שלה על לולאה סגורה \(C\) הוא המתח המתפתח על הלולאה, \(\oint_{C}E=\mathcal{E}\). לכן משוואת מקסוול הרביעית בניסוחה הגלובלי תירשם \begin{align}\mathcal{E}=-\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}B\end{align}

ה) קבועים אוניברסליים.

\(\epsilon_{0},\mu_{0}\)  הם קבועי המבנה האוניברסליים של הואקום; אנו נתייחס אליהם בהתאמה כחותם החשמלי והמגנטי של הואקום. \(\sqrt{\epsilon_{0}/\mu_{0}}\) מכונה האדמיטנס של הואקום; מסיבות שמייד תתבררנה, \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}\) הוא ריבוע מהירות האור בואקום.


ו) שני אנזצים. 
  1. כל מערכות ההתמד שקולות לחלוטין (מבחינה פיזיקלית) זו לזו.
  2. בכל מערכות ההתמד מתקיימים קשרי המבנה של הואקום  \begin{align}D=\epsilon_{0}\ast{E}\quad\text{and}\quad{B}=\mu_{0}\ast{H}\end{align}

בשמם העתיק מכונים קשרי המבנה של הואקום גם "קשרי האתר" והם סוג של משוואות מצב של הוואקום, המשותף כאמור לכל מערכות ההתמד. מבחינה היסטורית, מקור הקשרים בתצפית ומקור השם "קשרי האתר" באי-הבנה הורתו (שהרי קיומו של אתר הוא פרי דמיון גלילאני).


ז) הואקום בתלת-מרחב:
  1. היות והאופרטור \(\ast\) מכיל את כל המידע על המבנה המטרי של יריעת תלת-המרחב, הרי שקשרי האתר מגדירים במדוייק את הגיאומטריה בתלת-מרחב. ובפרט, האלקטרוסטטיקה משרה על תלת-המרחב גאומטריה אאוקלידית כך שבמקרה זה \(V_{3}=\mathbb{E}_{3}\) עם המטריקה \(\xi=\delta\).
  2. מה קורה בהיעדר מקורות? כיצד נראה הואקום של התורה? מהן משוואות הקרינה הא"מ? נשבץ את קשרי המבנה בזוג הראשון של משוואות מקסוול המקומיות, נאפס את המקורות \(\rho\) ו- \(j\) נשתמש בקשר \(\ast\ast{}H=H\) ונקבל: \begin{alignat}{2}\epsilon_{0}\,d\left(\ast{}E\right)=0&&\\d\left(\ast{}B\right)=\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\ast{}E\right)&&\\dB=0&&\\dE=-\frac{\partial{}B}{\partial{t}}\end{alignat}
  3. טענה: התורה מצויידת במהירות אינהרנטית, היא מהירות תנועתן המשותפת של ההשראה המגנטית והשדה החשמלי בואקום. מהירות זו היא פועל יוצא של קשרי המבנה של הואקום.
  4. הבה נוכיח את הטענה האחרונה במפורש: ניקח \(d\ast\) לשני אגפי משוואת מקסוול השנייה בוואקום, נשתמש בקשר \(\ast\ast{}E=E\), נציג פנימה את \(dE\) מהמשוואה הרביעית ונקבל: \begin{align}d\ast{}d\ast{}B&=\epsilon_{0}\mu_{0}\,\frac{\partial}{\partial{t}}\left(d\ast\ast{}E\right)=\epsilon_{0}\mu_{0}\,\frac{\partial}{\partial{t}}\left(dE\right)=-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}B}{\partial{t}^{2}}\\&\end{align} היות ו- \(d\ast{}d\ast+\ast{}d\ast{}d=\nabla^{2}\) ומאחר ו- \(dB\equiv0\) הרי שקיבלנו את משוואת הגלים עבור \(B\) עם המהירות האינהרנטית \(c^{2}\). משוואה דומה נקבל כמובן גם עבור \(E\). אנליזה של הפתרונות (ראו למשל כאן) מובילה למסקנה ששני השדות שזורים זה בזה ונעים כגל באין-תווך במהירות \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}\).

ח) המקרה האלקטרוסטטי:

נשבץ את התבנית המדוייקת \(E=d\chi\) ואת הקשר המבני \(D=\epsilon_{0}\ast{}E\) במשוואת מקסוול הראשונה \(dD=\rho\) ונקבל \(ֿ\epsilon_{0}d\ast{}d\chi=\rho\); ניקח מיפוי הודג' של המשוואה ונקבל \(\ast{}d\ast{}d\chi=\ast\rho/\epsilon_{0}\). הואיל ו- \(\ast\chi\) היא תבנית מסדר שלוש, הרי ש- \(d\ast\chi\equiv0\), ולכן המשוואה שקיבלנו שקולה לגמרי למשוואה \(\nabla^{2}\chi=-\rho/\epsilon_{0}\). זוהי משוואת פואסון עבור הפוטנציאל האלקטרוסטטי. 


ט) ארבעון השדות.

זה באמת חביב שאפשר לסדר את דרגות החופש של התורה על קודקודיו של ארבעון שבו כל צלע מבטאת קשר אינטימי בין שתי דרגות החופש שהיא מחברת. על הגירסא הוקטורית של ארבעון השדות כתבתי בעבר כאן.


מה נשאר פתוח בתיאור התלת-מרחבי של התורה?
  • ראשית, מקור הזוג השני של משוואות מקסוול נשאר מעט מעורפל: הנוקדנים טרם השתכנעו שמדובר באילוץ על היעדר מטענים מגנטיים.
  • שנית, הניסוח התלת-מרחבי אינו קווריאנטי ביחס למעבר בין מערכות התמד, כלומר אינו מכבד מפורשות את הסימטריה תחת טרנספורמציות לורנץ.
  • שלישית, הניסוח התלת-מרחבי עדיין אינו "בשל" להיטמע בתורת הכבידה באופן שאינו תלוי בגיאומטריה של יריעת הבסיס.
  • ורביעית, טרם הצגנו לגרנג'יאן וטרם הצגנו את חוקי האינטראקציה של קרינה עם חומר.
כדי לסגור את כל ארבעת הקצוות באופן מלא ומשביע רצון נעבור לייצוג הטבעי של התורה על יריעת המרחב-זמן הארבע-מימדית עם חותם מינקובסקיאני. אזי נקבל תורה שלמה המנוסחת באופן שהוא בלתי תלוי בבחירת מערכת היחוס של המתבונן, בלתי תלוי בקואורדינטות בהן הוא משתמש, ובלתי תלוי בגיאומטריה של יריעת הבסיס כלומר משתלב בשלמות בתורת הכבידה.


חלק ג': התאור הכללי והשלם:

אנו נרחיב עתה את היריעה, תרתי משמע\(\ldots\) הילכך שימו לב שוב להבחין בין \(d\) ו- \(\ast\) הפועלים על תבניות מעל \(M_{3}\) לבין \(\mathrm{d}\) ו- \(\star\) הפועלים על תבניות מעל \(M_{4}\). ובפרט, \(dt\to\mathrm{d}t=:\mathrm{d}x^{0}/c\), \(dz\to\mathrm{d}z=:\mathrm{d}x^{3}\), \(dy\to\mathrm{d}y=:\mathrm{d}x^{2}\), \(dx\to\mathrm{d}x=:\mathrm{d}x^{1}\), והאופרטור \(\star\) פועל ביחס לקו-בסיס \(\left(\mathrm{d}x^{0},\mathrm{d}x^{1},\mathrm{d}x^{2},\mathrm{d}x^{3}\right)\) בתוספת הכפלה באדמיטנס \(\sqrt{\epsilon_{0}/\mu_{0}}\).


א) הרכבות מרחב-זמניות: 
\begin{alignat}{4}J:=\rho-j\wedge\mathrm{d}t&&\qquad&&\text{תלת-תבנית המקורות}\\G:=D-H\wedge\mathrm{d}t&&\qquad&&\text{דו-תבנית שדה העירורים}\\F:=B+E\wedge\mathrm{d}t&&\qquad&&\text{דו-תבנית העקמומיות}\end{alignat}
קל מאוד להיווכח שהתבניות \(G\) ו- \(F\) מתלכדות עם הטנזורים המוכרים מהניסוח הקווריאנטי של המסורתי של התורה, ושתלת-תבנית המקורות מתלכדת עם ארבע-וקטור המקורות. 


ב) משוואות מקסוול + שימור מטען:
  1. משוואת הרציפות: \begin{align}\mathrm{d}J&=\mathrm{d}\rho-\mathrm{d}j\wedge\mathrm{d}t\\&=-\frac{\partial\rho}{\partial{t}}\wedge\mathrm{d}t-\left(dj\right)\wedge\mathrm{d}t\,\equiv\,0\end{align}
  2. הזוג הראשון של משוואות מקסוול: \begin{align}\mathrm{d}G&=\mathrm{d}D-\mathrm{d}H\wedge\mathrm{d}t\\&=dD+\frac{\partial{}D}{\partial{}t}\wedge\mathrm{d}t-\frac{\partial{}D}{\partial{}t}\wedge\mathrm{d}t-j\wedge\mathrm{d}t\\&=\rho-j\wedge\mathrm{d}t\,=\,J\end{align}
  3. הזוג השני של משוואות מקסוול:  \begin{align}\mathrm{d}F&=\mathrm{d}B+dE\wedge\mathrm{d}t\\&=dB+\frac{\partial{}B}{\partial{}t}\wedge\mathrm{d}t-\frac{\partial{}B}{\partial{}t}\wedge\mathrm{d}t\,=\,0\end{align}
כלומר,
  • משוואת הרציפות תירשם \(\mathrm{d}J=0\), הזוג הראשון של משוואות מקסוול ירשם \(\mathrm{d}G=J\) והזוג השני של משוואות מקסוול ירשם כ- \(\mathrm{d}F=0\).
  • קשרי המבנה של הואקום מבוטאים באמצעות המיפוי \(G=\star{F}\) (תרגיל בית).

ג) גיאומטריה:
  1. התבנית \(F\) מקבלת פרשנות של עקמומיות המושרת על אגד של סיבים חד-מימדיים עם הפעולה של החבורה האבלית \(U\left(1\right)\) "לאורך הסיב". איברי החבורה הם פאזות תלויות-מקום מהצורה \(u=e^{i\phi\left(x\right)}\) היכן ש- \(x\) מבטא נקודת על יריעת הבסיס, היא המרחב-זמן \(M_{n}\). 
  2. הזוג השני של משוואות מקסוול מתמצא בטענה שדו-תבנית העקמומיות \(F\) סגורה ולכן לוקלית גם מדוייקת, כלומר \(F=:\mathrm{d}A\). כשהטופולוגיה של האגד טריוויאלית, דו-תבנית העקמומיות מדוייקת גם באופן גלובלי.
  3. לכן, אם \(F\) מקבלת פרשנות של דו-תבנית עקמומיות על אגד סיבים, הרי ש- \(A\) היא חד תבנית הקישורת המתאימה (connection one-form), והסגירות של \(F\) היא הגשמה של זהות ביאנקי.
  4. תהא \(\phi\) תבנית חלקה מסדר אפס. תחת טרנספורמציית כיול אבלית מהצורה \(A\mapsto{}A+\mathrm{d}\phi\) דו-תבנית העקמומיות נשמרת: \(F\mapsto{}F\), לכן בהכרח גם \(G\mapsto{}G\). מהמשוואה \(\mathrm{d}G=J\) נובע שתלת-תבנית המקורות \(J\) היא אינווריאט של טרנספורמציית כיול.
  5. הנגזרת הקווריאנטית החיצונית ניתנת על-ידי \(\mathrm{d}_{A}:=\mathrm{d}-iA\). מובן, היות ומדובר בחבורה אבלית, \(\mathrm{d}_{A}A=\mathrm{d}A\). 
  6. תהא \(\psi\) תבנית כלשהי, חתך על האגד וכן \(u\in{}U\left(1\right)\). תחת פעולה לינארית של אלמנטים בחבורה על החתך, \(\psi\mapsto{}u\,\psi\), גם הנגזרת הקווריאנטית החיצונית של החתך עוברת לינארית: \(\mathrm{d}_{A}\psi\mapsto{u}\,\mathrm{d}_{A}\psi\).
  7. ב-QED חד-התבנית \(A\) הוא בוזון הכיול הקשור בתורת הכיול \(U\left(1\right)\) והוא "מתווך" באינטראקציה בין החלקיקים החומריים המרכיבים את המקורות. זהו אם-כן הפוטון של תורת השדות האבלית המקוונטטת (אך לא של המודל הסטנדרטי היות ושם חבורת הכיול רחבה יותר);

ד) המבנה הקוהומולוגי של התורה**:


המבנה הקוהומולגי של התורה השלמה
שרשרת מדוייקת של כיול טהור (\(F\equiv0\))


ה) תרשים הרציונאל הפיזיקלי (כיתוב מתחת) והמתמטי (כיתוב מעל):
\begin{align}\overbrace{\underbrace{\mathrm{d}J=0}_{\text{שימור מקורות}\atop\text{חשמליים}}}^{\text{המקורות הם}\atop\text{תבנית סגורה}}\quad\Rightarrow\quad\overbrace{\underbrace{{J}=\mathrm{d}G}_{\text{משוואת שדה}\atop\text{העירורים}}}^{\text{ולכן מקומית}\atop\text{גם מדוייקת}}\quad\Rightarrow\quad\underbrace{\overbrace{G=\star{}F}^{\text{הגיאומטריה של}\atop\text{המרחב-זמן}}}_{\text{המבנה של}\atop\text{הואקום}}\quad\Leftarrow\quad\overbrace{\underbrace{0=\mathrm{d}F}_{\text{אין מטענים}\atop\text{מגנטיים}}}^{\text{זהות ביאנקי}\atop\phantom{\text{כלום}}}\quad\Leftarrow\quad\underbrace{\overbrace{F=\mathrm{d}A}^{\text{העקמומיות}\atop\text{על האגד}}}_{\text{הגדרת תבנית}\atop\text{הפוטנציאל}}\end{align}

ו) אינטגרציות:

(אף שאין בזה הכרח) נפרוש את המרחב-זמן לעלים דמויי-מרחב, כלומר נבצע עלעול (פוליאציה) של המרחב-זמן. 
  1. נאסכם את משוואת העירורים \(\mathrm{d}G=J\) על שרשרת תלת מימדית המכבדת את העלעול ונקבל \(\oint_{\partial\Omega}G=\int_{\Omega}J\). הנה כי כן, הזוג הראשון של משוואות מקסוול מתגשם כחוק גאוס "החשמלי" במרחב-זמן.
  2. נאסכם עתה את זהות ביאנקי \(\mathrm{d}F=0\) על שרשרת תלת-מימדית המכבדת את העלעול ונקבל \(\oint_{\partial\Omega}F=0\). יוצא איפה שהזוג השני של משוואות מקסוול מתגשם כחוק גאוס "המגנטי" (נטול מקורות) במרחב-זמן.
  3. לאותה תוצאה נוכל להגיע גם אם נשתמש במשוואת העקמומיות \(F=\mathrm{d}A\): נאסכם את שני אגפי המשוואה על שרשרת דו-מימדית סגורה \(\partial\Omega\) המונחת על עלה ונקבל \(\oint_{\partial\Omega}F=\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}A=\oint_{\partial\partial\Omega}A=0\) היות ו- \(\partial\partial\equiv\emptyset\). 
  4. מאחר והקשר בין תבנית המקורות לתבנית העקמומיות נקבע באמצעות האנזץ \(G=\star{}F\), והיות והקשר הזה תלוי במבנה המטרי של יריעת הבסיס (עד כדי דילטציה? איני יודע, נושא זה דורש בירור) יוצא שהניסוח של התורה האלקטרומגנטית אדיש לגיאומטריה של המרחב-זמן.
  5. ולבסוף נאסכם את משוואת הרציפות \(\mathrm{d}J=0\) על שרשרת ארבע-מימדית \(M_{4}\ni{}\) ונקבל \(\oint_{\partial{}M_{4}}J=0\) כלומר המקורות אינם "זולגים" החוצה מהמרחב-זמן או פנימה אל המרחב-זמן.


ז) משוואות השדה - סיכום:
\begin{alignat}{5}\text{כינוי}&&\qquad&&\text{תצורה מקומית}&&\qquad&&\text{תצורה גלובלית}\\\text{גאוס חשמלי מרחב-זמני}&&\qquad&&\mathrm{d}G=J&&\quad&&\oint_{\partial\Omega}G=\int_{\Omega}J\\\text{גאוס מגנטי מרחב-זמני}&&\qquad&&\mathrm{d}F=0&&\quad&&\oint_{\partial\Omega}F=0\\\text{שימור מקורות מרחב-זמני}&&\qquad&&\mathrm{d}J=0&&\qquad&&\oint_{\partial{}M_{4}}J=0\end{alignat}
ועל כך יש להוסיף את האנזץ בדבר קשרי המבנה של הוואקום, \(G=\star{}F\).


ח) הצפיפות הלגרנג'יאנית ומשוואות לגראנג' עבור תבנית הפוטנציאל
  1. הצפיפות הלגרנג'יאנית החפשית במונחים של דרגות החופש הבסיסיות היא ארבע-התבנית \(\mathcal{L}_{\text{free}}=\frac{1}{2}\mathrm{d}t\wedge\left(B\wedge{}H-E\wedge{}D\right)\).
  2. ואולם במונחים של דו-תבנית שדה העירורים ודו-תבנית העקמומיות מקבלת הצפיפות הלגרנג'יאנית החפשית את הצורה הקומפקטית (תרגיל בית), \begin{align}\mathcal{L}_{\text{free}}=\frac{1}{2}F\wedge\star{}F=\frac{1}{2}\mathrm{d}A\wedge\star\mathrm{d}A\end{align}
  3. עיקרון הצימוד המינימלי בתורות שדה: איבר האינטראקציה בין "נשא הכוח" (היינו, חד-תבנית הפוטנציאל) ובין תלת-תבנית מקורות השדה האלקטרומגנטי ניתן באמצעות הצימוד המינימלי \(\mathcal{L}_{\text{int}}=A\wedge{}J=A\wedge\star\left(\star{}J\right)\), גם הוא כמובן ארבע-תבנית.
  4. תהא \(M_{4}\) יריעה קומפקטית סגורה \(\Upsilon\), כך ש- \(\partial\Upsilon=\emptyset\). אזי איבר הפעולה הכללי ניתן ע"י סכום המכפלות הפנימיות\begin{align}I&=\oint_{\Upsilon}\left(\frac{1}{2}F\wedge\star{}F+A\wedge{}J\right)=\frac{1}{2}\left<\mathrm{d}A,\mathrm{d}A\right>+\left<A,\star{}J\right>\\&=\frac{1}{2}\left<A,\mathrm{d}^{\dagger}\mathrm{d}A\right>+\left<A,\star{}J\right>\end{align}
  5. מהן אם-כן משוואות אויילר-לגראנג' של הפוטנציאל \(A\)? הפעולה היא פונקציונאל של שני המשתנים, \(A\) ו- \(\mathrm{d}A\), יש לקחת איפה ווריאציה ביחס לשניהם ולסכם. אלא שקל מאוד להיווכח שהווריאציה ביחס ל- \(\mathrm{d}A\) מתאפסת (תרגיל בית; רמז? \(\mathrm{d}\delta=\delta\mathrm{d}\). עוד רמז? \(\mathrm{d}^{2}\equiv0\)), מה שמשאיר אותנו עם המשוואה \begin{align}0=\frac{\delta{}I}{\delta{}A}\end{align}
  6. היות ו-\(A\) אינו תלוי במטריקה הרי שהוריאציה של \(A\) מתחלפת עם מיפוי הודג' של \(A\). ניקח במפורש את הווריאציה של הפעולה לפי התבנית \(A\) ונקבל: \begin{align}\delta{}I&=\left<\delta{}A,\mathrm{d}^{\dagger}\mathrm{d}A\right>+\left<\delta{}A,\star{}J\right>\end{align} 
  7. כל זה מוביל אותנו במישרין למשוואה \(\mathrm{d}^{\dagger}\mathrm{d}A=-\star{}J\). היות ועומד לרשותנו החופש לכייל את \(A\) כרצוננו, נוכל לבחור את הכיול \(\mathrm{d}^{\dagger}A=0\) (מכונה כיול לורנץ) כך שמשוואת אויילר-לגראנג' עבור \(A\) תקבל את הצורה הקומפקטית  \begin{align}-\Box\,A=\star{}J.\end{align}

לסיכום:

הצגנו כאן נוסח שלם עקבי ויחיד של תורה אלקטרומגנטית על מרחב-זמן מכל מימד \(\leq\) \(4\) המצוייד בקואורדינטה דמויית-זמן אחת ובמטריקה כלשהי \(g\). נוסח זה אחיד ותקף לכל מערכת קואורדינטות, ועל כל גיאומטריה רימנית (ואף פוסט-רימנית) של יריעת הבסיס. הילכך התורה האלקטרומגנטית בניסוחה זה משתלבת בהרמוניה מלאה עם כל תורת כבידה שתהיה מבוססת על הגיאומטריה של המרחב-זמן. 

ועם-זאת, לא כל יריעת מרחב-זמן תומכת בהצגות ספינוריות ובהגשמה לינארית של חבורת האיזומטריה. למעשה, המרחב-זמן היחיד התומך בכך, ואשר יש לו קוארדינטה דמויית זמן אחת בלבד, הוא מרחב-זמן ממימד ארבע. הבאה בתור לתמוך בהצגות ספינוריות של חבורת האיזומטריה היא יריעה רימנית ממימד שש עם שתי קוארדינטות דמויות-זמן (במקרה זה חבורת האיזומטריה היא החבורה הקונפורמית החמש-עשרה-פרמטרית המכילה בוסטים, רוטציות, טרנסלציות, טרנספורמציות קונפורמיות ודילטציה). לכן, אף שהתורה שניסחנו כללית מאוד כשלעצמה, הרי שאילוצים מסימטריית הכיול של חבורת הספין מובילים אותנו לתורה הרלוונטית רק למימד ארבע.


** הדיאגרמות לקוחות מרשימות שהכנתי בעבר ואולי מתישהו ייצאו לאור כספר לימוד.