יום ראשון, 2 באוגוסט 2015

אטום המימן ג' - מהסימטריות לספקטרום האנרגיות ולניוונים

תקציר הפרקים הקודמים (הראשון והשני):

  • יהא \(\boldsymbol{L}\) וקטור התנע הזוויתי ו- \(\boldsymbol{\theta}\)  וקטור ציר סיבוב. אזי \(\boldsymbol{\mathcal{O}}\) יקרא אופרטור וקטורי אם הוא מקיים את יחס החילוף \(\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{\mathcal{O}}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{\mathcal{O}}\right)\).
  • התנע הזוויתי \(\boldsymbol{L}\)  וכן וקטור רונגה-לנץ \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) הם אופרטורים וקטוריים. 
  • כל ששת הרכיבים של האופרטורים הנ"ל מתחלפים עם ההמילטוניאן של המימן, והם מקיימים סגירות תחת יחסי החילוף \begin{align}\left[L,L\right]&\subset{L},\quad\left[\mathcal{A},{L}\right]\subset\mathcal{A},\quad\left[\mathcal{A},\mathcal{A}\right]\subset{L}\end{align}
יחסי החילוף הללו מזכירים "קצת" את האלגברה של חבורת לורנץ \(O(3,1)\): במונחים של יוצרים, סיבובים סגורים על עצמם, הקומוטטור של בוסט עם סיבוב הוא בוסט, ובוסט עם בוסט נותן סיבוב (עם סימן מינוס)... ובכל זאת, יש הבדל קטנטן ומקורו ביחסי החילוף של רכיבי \(\mathcal{A}\) עם עצמם.

הבה נדקדק בפרטים. מחד גיסא יוצרי התנע הזוויתי האורביטלי ווקטור רונגה לנץ מקיימים (כל אחד בפני עצמו) יחסי חילוף "נקיים" ובאמת הם מזכירים מאוד את יחסי החילוף בין סיבובים לסיבובים ובין סיבובים לבוסטים:
\begin{align}\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_{k}\,,\quad\left[L_{i},\mathcal{A}_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}\mathcal{A}_{k}\end{align}
מאידך גיסא, יחסי החילוף בין רכיבי \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) לבין עצמם נראים "פחות נקיים" שהרי הם מנפקים קבועי מבנה בהם משובץ "מטען דינמי" בדמותו של ההמילטוניאן (תוצאה זו מצריכה חשבון קצת מלאה, ראו שעורי הבית ברשימה הקודמת):
\begin{align}\left[\mathcal{A}_{i},\mathcal{A}_{j}\right]=\frac{-2i\hbar\mathcal{H}}{mK^{2}}\,\epsilon_{ijk}L_{k}\end{align}

מעתה והלאה, ובלי לפגוע בכלליות הדיון, אנו נצמצם עצמנו למרחב העצמי \(\mathscr{H}(E)\) הנפרש על ידי הוקטורים העצמיים המשוייכים לערך עצמי ספציפי (והמנוון בד"כ) \(E\) של ההמילטוניאן \(\mathcal{H}\). מדוע יש לנו את החופש לעשות זאת? הואיל והאופרטורים הווקטורים \(\boldsymbol{L}\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) מתחלפים עם ההמילטוניאן הלא מוגבל, הרי שהם "מקבעים" את תת-המרחב \(\mathscr{H}(E)\). רוצה לאמר, אם \(\left|\psi\right>\in\mathscr{H}(E)\) אז גם \(L_{i}\left|\psi\right>\) וגם \(\mathcal{A}_{i}\left|\psi\right>\) שייכים ל- \(\mathscr{H}(E)\). כך למשל,
\begin{align}\mathcal{H}\left(L_{i}\left|\psi\right>\right)=L_{i}\left(\mathcal{H}\left|\psi\right>\right)=E\left(L_{i}\left|\psi\right>\right)\quad\Rightarrow\quad{L}_{i}\left|\psi\right>\in\mathscr{H}\left(E\right)\end{align}. 
ובפרט, ההמילטוניאן המצומצם לתת המרחב \(\mathscr{H}(E)\) הוא פשוט אופרטור ההכפלה ב-\(E\)  היינו אופרטור מסוג c-number:
\begin{aligned}\mathcal{H}\left|_{\mathscr{H}(E)}\right.\left|\psi\right>=E\left|\psi\right>.\end{aligned}
החופש הזה מאפשר לנו "לנרמל" את וקטור רונגה לנץ באמצעות "ספיגת ההמילטוניאן" במרכיבי הוקטור. הבה נגדיר אם כן אופרטור דמוי רונגה-לנץ באמצעות

\begin{align}\boldsymbol{A}\stackrel{\text{def}}{=}\sqrt{\frac{mK^{2}}{-2E}}\,\boldsymbol{\mathcal{A}}\tag{d1}\end{align}
אם מדובר בערך עצמי שלילי המאפיין מצב קשור של פרוטון ואלקטרון - היינו אטום מימן - הרי שההגדרה המחודשת (\(d1\)) מובילה אותנו מייד אל המבנה האלגברי הנקי
\begin{align}\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_{k}\,,\quad\left[L_{i},A_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}A_{k}\,,\quad\left[A_{i},A_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_{k}\end{align}
זוהי בדיוק האלגברה של יוצרי חבורת הסיבובים בארבעה מימדים \(SO\left(4\right)\) המעתיקה מיקומן של נקודות על הספירה התלת-מימדת \(S_{3}\). שימו לב שעבור ערך עצמי חיובי המתאים לאטום המיונן מתקבלת דווקא האלגברה של יוצרי חבורת לורנץ (הראו זאת), אם כי לעניות דעתי אין לזה הרבה משמעות שהרי האטום המיונן הוא לא אחר מאשר פרוטון ואלקטרון חופשיים (ואז ממילא אין כל צורך באיבר אינטראקציה כדי לתארם).

טוב ויפה. אלא שחבורת הסימטריה \(SO\left(4\right)\) של המימן איזומורפית באופן מקומי לחבורת המכפלה של סחרורים (ספינים) \(SU\left(2\right)\times{SU}\left(2\right)\) כלומר אותה אלגברת Lie בת שישה יוצרים יוצרת את שתי החבורות וכל ההבדל בינהן (ברמת האלגברה) מתמצא לכל היותר בשינוי בסיס. בואו וניווכח בזה: נבנה סט של יוצרים חדשים, צירופים לינארים של הותיקים באופן הבא:
\begin{align}M_{i}=\frac{1}{2}\left(L_{i}+A_{i}\right)\quad{N}_{i}=\frac{1}{2}\left(L_{i}-A_{i}\right)\end{align}
בדיקה ישירה של יחסי החילוף בין ה-\(M\)-ים לבין ה-\(N\)-ים ובינם לבין עצמם מראה עתה:
\begin{align}\left[M_{i},M_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}M_{k}\,,\quad\left[N_{i},N_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}N_{k}\,,\quad\left[M_{i},N_{j}\right]=0\end{align}
קיבלנו אם-כן שתי אלגברות-לי מסוג \(\mathsf{su}(2)\) המתחלפות זו בזו ומשום כך יוצרות שני עותקים בלתי תלויים של חבורת הסחרור \(SU(2)\) המסחררת בשלושה מימדים. מכאן הטענה לאיזומורפיזם בין יוצרי \(O(4)\) ליוצרי \(SU(2)\times{SU}(2)\) המבוטא בקשר \(so(4)={su}(2)\oplus{su}(2)\). תנו דעתכם על כך שהפקטור \(\hbar\)  המופיע בקבועי המבנה ניתן להעלמה בין אם בבחירה מתאימה של יחידות "טבעיות" בהן \(\hbar=1\), או פשוט נירמול היוצרים באמצעות חלוקה ב-\(\hbar\).

שתי האלגברות \(su(2)\) דלעיל אמנם בלתי תלויות, ובכל זאת מקיימות קשר אינטימי: בתרגיל (h2) ברשימה הקודמת נוכחנו לדעת שאופרטור התנע הזוויתי ואופרטור רונגה-לנץ הם "אורתוגונלים" במובן זה ש- \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}=0\). זה מוביל אותנו מייד ליחס הזהות \(M^{2}=N^{2}\) עבור הקזימירים של שתי החבורות אשר מעתה והלאה (ומסיבות מובנות) יקראו הקזימירים של המימן. מאחר ומדובר באופרטורים דמויי תנע זוויתי, הרי שהמצבים העצמיים המשותפים להם מאופיינים ע"י המספר הקוונטי \(\ell\) ומקיימים
\begin{aligned}M^{2}\left|\ell\right>=N^{2}\left|\ell\right>=\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)\left|\ell\right>\,\quad\ell=0,1/2,1,3/2,2,\ldots\end{aligned}
והיות ו- \(\left[M,\mathcal{H}\right]=\left[N,\mathcal{H}\right]=0\) הרי שהערכים העצמיים של שני אלו הם גם הערכים העצמיים של ההמילטוניאן והם מאפיינים את ספקטרום האנרגיות של המערכת. בשפה 'חבורתית' נאמר שרמות האנרגיה של המערכת של המימן עוברות כמו \(\left(\ell,\ell\right)\) תחת \(SU\left(2\right)\times{SU}\left(2\right)\). אבל מהיכרותנו עם חבורת הסיבובים אנו גם יודעים שכל ערך של ספין \(\ell\) מנוון \(2\ell+1\) פעמים על-פי מספר ההטלות האפשריות של אופרטור הסחרור על "ציר \(z\)"; הילכך ובהתאם לזאת הניוון של כל רמת אנרגיה באטום המימן יהיה מסדר \(n^{2}=\left(2\ell+1\right)^{2}\).

עתה נשתמש בזהות שהוכחנו בתרגיל הבית (h3) ברשימה הקודמת כדי לשלוף מפורשות את מבנה ספקטרום האנרגיות של המימן. ובכן, שם הראנו שאופרטור רונגה-לנץ, אופרטור התנע הזוויתי וההמילטוניאן מקיימים את הקשר
\begin{align}\mathcal{A}^{2}=\frac{2\mathcal{H}\left(L^{2}+\hbar^{2}\right)}{mK^{2}}+1\end{align}
נעבור לאופרטור רונגה לנץ "המנורמל" \(\boldsymbol{A}\) המתקבל ממשוואה (d1) למעלה עם \(E=\mathcal{H}\), נבצע קצת אלגברה ונקבל את אותה משוואה, הפעם במונחי הקזימירים של המימן (קבלו זאת):
\begin{align}\mathcal{H}\left(N^{2}+\frac{\hbar^{2}}{4}\right)=-\frac{mK^{2}}{8}\,.\tag{d2}\end{align}

בשלב זה אנו כבר נמצאים מרחק פסיעה מאפיון מלא של כל המצבים הקוונטים של אטום המימן ומאפיון מלא של כל הניוונים. כזכור לכם, הצגנו קודם לכן \(n=2\ell+1\) עבור ניוון המרחב העצמי המשוייך לערך העצמי \(\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)\) המשותף לשני התאומים הקזימירים \(N^{2}=M^{2}\). הואיל וערכי הסחרור האפשריים עבור כל אחד מהם הם \(\ell=0,1/2,1,3/2,\ldots\) הרי ש- \(n\) מקבל כערך מספרים טבעיים בלבד, \(n=1,2,3,4,\ldots\). הבה נרשום את הערכים העצמיים במונחים של \(n\): ובכן, \(\ell=\frac{1}{2}\left(n-1\right)\), ובפרט
\begin{aligned}\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)=\frac{\hbar^{2}}{4}\left(n^{2}-1\right)\,;\end{aligned} הילכך משוואת הערכים העצמיים עבור האופרטור \(N^{2}+\frac{\hbar^{2}}{4}\) המופיע באגף שמאל במשוואה (d2) ניתנת לרישום כ-
\begin{align}\left(N^{2}+\frac{\hbar^{2}}{4}\right)\left|n=m\right>=\frac{\hbar^{2}n^{2}}{4}\left|n=m\right>\end{align}
כאן כל וקטור מצב מאופיין על-ידי \(n=m\) היות ושני הקזימירים התאומים חולקים בדיוק את אותו \(\ell\). נחלק עתה את משוואה (d2) באופרטור \(N^{2}+\frac{\hbar^{2}}{4}\), ניעזר בתכונה המוכרת שאם \(\alpha\) ערך עצמי של \(\mathscr{A}\) אז \(f\left(\alpha\right)\) הוא ערך עצמי של \(f(\mathscr{A})\) ונקבל בסופו של חשבון את משוואת הערכים העצמים השלימה עבור ההמילטוניאן של המימן
\begin{align}\mathcal{H}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>=E_{n}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>\end{align}
באשר (הציבו \(K=e^{2}/4\pi\epsilon_{0}\))
\begin{aligned}E_{n}=\frac{-mK^{2}}{8}\:\frac{1}{\displaystyle\frac{\hbar^{2}n^{2}}{4}}=\frac{-13.6\,{\text{eV}}}{n^{2}}\,.\end{aligned}
צמד המספרים הקוונטים \(\left(n_{z},m_{z}\right)\) המאפיין כל מצב עצמי \(\left|\psi\right>=\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>\) של \(\mathcal{H}\) מאנדקס את הניוונים המתקבלים משני הקזימירים: לכל ערך עצמי \(\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)\) של \(M^{2}\) ולכל ערך עצמי \(\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)\) של \(N^{2}\) המערכת של המימן מנוונת בדיוק \(n^{2}=\left(2\ell+1\right)\times\left(2\ell+1\right)\) פעמים, \(\left(2\ell+1\right)\) פעמים עבור ההטלה של האופרטור הוקטורי \(\boldsymbol{N}\) על "ציר \(z\)" כפול \(\left(2\ell+1\right)\) פעמים עבור ההטלה של האופרטור הוקטורי \(\boldsymbol{M}\) על "ציר \(z\)". היות ומדובר בסמטריות סחרור, הרי שהמספרים הקוונטים המאנדקסים את ההטלות רצים מ-\(-\ell\) ל-\(\ell\) כלומר:
\begin{aligned}n_{z},m_{z}\in\left\{-\ell,-\left(\ell-1\right),\ldots,-1,0,1,\ldots,\left(\ell-1\right),\ell\right\}\end{aligned}
וכידוע לנו מעולם התנע הזוויתי, את ההטלות של \(\boldsymbol{N}\) ו- \(\boldsymbol{M}\) מתארות שתי משוואת הערכים העצמיים
\begin{aligned}N_{z}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>&=\hbar\,{n}_{z}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>\\M_{z}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>&=\hbar\,{m}_{z}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>.\end{aligned}

לסיכום שלושת הפרקים בנושא: פרמנו את הפיזיקה של אטום המימן באמצעות הסימטריות שהמערכת שלו מקיימת. במובן מסויים עשינו זאת באופן דומה לזה שבו פתרנו את המערכת (הפשוטה בהרבה) של האוסצילטור ההרמוני כלומר מצאנו את המספרים הקוונטים הקשורים בסימטריות שמקיים ההמילטוניאן. במקרה של המימן עיקר הקושי היה בחשיפת הסימטריות, אך משעה שנחשפו נפתחה הדרך לפתרון מלא וממצא.



אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה