יום שבת, 11 באפריל 2015

אטום המימן ב' - האופרטור הוקטורי רונגה-לנץ


וקטור רונגה-לנץ מוכר לכל סטודנט לתואר ראשון שהתמודד באופן מכובד עם ההמילטוניאן הקפלריאני במסגרת המכניקה האנליטית (אודה ואתוודה: אני לא נמנתי על הגיבורים הללו). בקווים כלליים אך לא מחייבים הוקטור מוגדר באמצעות \(\boldsymbol{\mathcal{A}}=\alpha\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\right)-\widehat{\boldsymbol{r}}\), באשר \(\alpha\) פרמטר המאפיין את המערכת (ראו המשך). תוכלו לקרוא עליו בהקשר הזה בויקיפדיה ואף להיווכח שהוא קבוע של התנועה. היות ואטום המימן הקלאסי מתואר באמצעות המילטוניאן קפלריאני הרי שהייצוג האופרטורי של וקטור רונגה-לנץ במסגרת המכניקה הקוונטית משחק תפקיד מרכזי בפתרון אטום המימן הקוונטי הלא-יחסותי.

ההמילטוניאן של המימן ניתן ע"י 
\begin{align}\tag{h1}\mathcal{H}=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{K}{r}\end{align}
באשר \(m\) היא מסת האלקטרון ו- \(K\) עצמת הפוטנציאל החשמלי (למשל בשיטת SI נקבל \(K=e^{2}/4\pi\epsilon_{0}\) באשר \(e\) מטען האלקטרון בקולונים). היות ומדובר בכוח מרכזי ובפוטנציאל רדיאלי, אנו מצפים שאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי בגודלו יתחלף עם ההמילטוניאן. למען האמת, חשבון פשוט מראה שכל אחד מרכיבי התנע הזוויתי בנפרד מתחלף עם ההמילטוניאן, קל וחומר \(L^{2}=L_{i}L_{i}\). הבה נראה זאת מפורשות: ראשית נשים לב ש-
 \begin{align}\left[p_{i},1/r\right]&=-i\hbar\,\partial_{i}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-1/2}=-\frac{-{i}\hbar}{2}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}\left(\left(\partial_{i}x_{j}\right)x_{j}+x_{j}\left(\partial_{i}x_{j}\right)\right)\nonumber\\&=i\hbar\,\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}x_{i}\tag{f1}\end{align} 
ניעזר בזאת בחישוב יחס החילוף של מרכיבי התנע הזוויתי האורביטלי עם ההמילטוניאן ונקבל,

\begin{align}\left[L_{i},\mathcal{H}\right]&=\epsilon_{ijk}\left[x_{j}p_{k},\mathcal{H}\right]\nonumber\\&=\frac{1}{2m}\,\epsilon_{ijk}\left[x_{j}p_{k},p_{m}p_{m}\right]-K\epsilon_{ijk}\left[x_{j}p_{k},1/r\right]\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{m}\,\epsilon_{ijk}p_{j}p_{k}-i\hbar\,K\epsilon_{ijk}\frac{x_{j}x_{k}}{r^{3}}\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{m}\,\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{p}\right)_{i}-\frac{i\hbar\,K}{r^{3}}\,\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}\right)_{i}\tag{c1}\end{align}

ואולם שכפי שנוכחנו לדעת בתרגיל 2 ברשימה הקודמת בנושא,  \(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}\), כך שבסופו של חשבון \(\left[L_{i},\mathcal{H}\right]=0\). התאפסות יחסי החילוף בין כל מרכיבי התנע הזוויתי לבין ההמילטוניאן של המימן קשורה בניוונים האורביטליים המוכרים מהטיפול הסטנדרטי ולא אדון בזאת כאן ועתה אלא אייחד לכך דיון לא סטנדרטי ברשימה הבאה.

הבה נציג עתה את אופרטור רונגה לנץ:

\begin{align}\tag{a1}\boldsymbol{\mathcal{A}}=\frac{1}{2mK}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)-\frac{\boldsymbol{r}}{r}\end{align}

תוכלו להיווכח בנקל שזהו גודל חסר יחידות. לשם מה אנטי-סמטריזציה במכפלה הוקטורית? היות ובאופרטורים וקטוריים עסקינן מכפלות וקטוריות אינן עוד אנטי-חילופיות; בשל כך האופרטור \(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\) לבדו אינו הרמיטי ורק אנטי-סימטריזציה מתאימה תתקן זאת. הבה נראה זאת מפורשות: נסתמך על ההרמיטיות של \(\boldsymbol{L}\) ושל \(\boldsymbol{p}\) ונקבל:

\begin{align*}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\right)_{i}^{\dagger}&=\epsilon_{ijk}\left(p_{j}L_{k}\right)^{\dagger}=\epsilon_{ijk}L_{k}p_{j}=\epsilon_{ikj}L_{j}p_{k}=-\epsilon_{ijk}L_{j}p_{k}\\&=-\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{i}\end{align*}

כיצד נראים קרביו של האופרטור על-שם רונגה ולנץ? כלומר מהו המבנה האופרטורי המפורש שלו? נפתח את המכפלה האנטי-סימטרית בזהירות רבה תוך שאנו מקפידים על סדר האופרטורים במכפלה:

\begin{align*}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\right)_{i}&=\epsilon_{ijk}p_{j}L_{k}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{k\ell{m}}p_{j}x_{\ell}p_{m}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{\ell{m}k}p_{j}x_{\ell}p_{m}\nonumber\\&=\big(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}\big)p_{j}x_{\ell}p_{m}=p_{j}x_{i}p_{j}-p_{j}x_{j}p_{i}\nonumber\\&\phantom{klum}\\\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{i}&=\epsilon_{ijk}L_{j}p_{k}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{j\ell{m}}x_{\ell}p_{m}p_{k}=\epsilon_{jki}\epsilon_{j\ell{m}}x_{\ell}p_{m}p_{k}\nonumber\\&=\big(\delta_{k\ell}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{i\ell}\big)x_{\ell}p_{m}p_{k}=x_{j}p_{i}p_{j}-x_{i}p_{j}p_{j}\nonumber\\&\phantom{klum}\end{align*}
נחזור ונבנה את החתיכה האנטי-סימטרית כמקשה אחת, ניעזר ביחס החילוף בין אופרטור המקום לאופרטור התנע ונקבל:

\begin{align*}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{i}&=p_{j}x_{i}p_{j}-p_{j}x_{j}p_{i}-x_{j}p_{i}p_{j}+x_{i}p_{j}p_{j}\nonumber\\&=p_{j}x_{i}p_{j}-p_{j}x_{j}p_{i}-\left(i\hbar\,\delta_{ji}+p_{i}x_{j}\right)p_{j}+\left(i\hbar\,\delta_{ij}+p_{j}x_{i}\right)p_{j}\nonumber\\&=2\,p_{j}x_{i}p_{j}-\left(p_{j}x_{j}p_{i}+p_{i}x_{j}p_{j}\right)\nonumber\\&\phantom{klum}\end{align*}
השתמשו בזהות \(\left(xyz\right)^{\dagger}=z^{\dagger}y^{\dagger}x^{\dagger}\) וראו אין זה פלא, הרמיטיות של החתיכה האנטי-סימטרית קופצת לעין. עם שעמלנו על הפיתוח המלא הרווחנו ביטוי מפורש עבור מרכיביו (ושמא קרביו) של האופרטור הוקטורי:

\begin{align}\mathcal{A}_{i}=\underbrace{\frac{1}{mK}\left(p_{j}x_{i}p_{j}\right)}_{\equiv\;\mathcal{A}_{i}^{(1)}}-\underbrace{\frac{1}{2mK}\left(p_{j}x_{j}p_{i}+p_{i}x_{j}p_{j}\right)}_{\equiv\;\mathcal{A}_{i}^{(2)}}-\underbrace{\frac{x_{i}}{(x_{j}x_{j})^{1/2}}}_{\equiv\;\mathcal{A}_{i}^{(3)}}\nonumber\\&\tag{a2}\end{align}

בתרגיל מספר 4 בפרק הקודם נוכחנו לדעת שהמכפלה הוקטורית של שני אופרטורים וקטוריים ביחס לתנע הזוויתי האורביטלי גם היא אופרטור וקטורי ביחס לתנע הזוויתי האורביטלי (ראו משוואה (h4) שם). מאחר וגם התנע וגם התנע הזוויתי הם אופרטורים וקטוריים הרי שמכפלתם הוקטורית גם היא כזו. יוצא איפה ש-

\begin{align}\left[L_{i},\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{j}\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{k}\tag{c2}\end{align}
עתה נשאלת השאלה האם גם \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) עובר כמו אופרטור וקטורי תחת התנע הזוויתי האורביטלי. על פניו נראה שאין כל סיבה שלא, הרי וקטור המקום עובר כך, אבל יש כמובן צורך לגבות זאת בחשבון (אם מישהו יכול לנמק זאת ללא חשבון, אשמח לשמוע!). ראשית נבדוק את יחס החילוף של אופרטור התנע הקווי עם המרכיבים הקרטזים של \(\widehat{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{r}/r\):

\begin{align*}\left[p_{i},\widehat{r}_{j}\right]&=\left(-i\hbar\partial_{i}\right)\left\{\frac{x_{j}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{1/2}}\right\}-\frac{x_{j}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{1/2}}\left(-i\hbar\partial_{i}\right)\\&=\frac{-i\hbar\,\delta_{ij}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{1/2}}+\frac{i\hbar\left(\delta_{ik}{x}_{k}+x_{k}\delta_{ik}\right){x}_{j}}{2\left(x_{k}x_{k}\right)^{3/2}}+\underbrace{\widehat{r}_{j}p_{i}-\widehat{r}_{j}p_{i}}_{\equiv\;0}\\&=\frac{-i\hbar\,\delta_{ij}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{1/2}}+\frac{i\hbar\,{x}_{i}{x}_{j}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{3/2}}\end{align*}

עתה נוכל לגשת ליחס החילוף של אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי עם מרכיבי אופרטור היחידה של המקום. היות ורכיבי המקום מתחלפים בינם לבין עצמם ועם כל פונקציה שלהם נקבל:

\begin{align*}\left[L_{i},\widehat{r}_{j}\right]&=\epsilon_{ik\ell}\left[x_{k}p_{\ell},\widehat{r}_{j}\right]=\epsilon_{ik\ell}x_{k}\left[p_{\ell},\widehat{r}_{j}\right]\\&=\epsilon_{ik\ell}x_{k}\left\{\frac{-i\hbar\,\delta_{\ell{j}}}{\left(x_{m}x_{m}\right)^{1/2}}+\frac{i\hbar\,{x}_{\ell}{x}_{j}}{\left(x_{m}x_{m}\right)^{3/2}}\right\}\end{align*}
הואיל ו- \(x_{k}x_{\ell}=x_{\ell}x_{k}\) מתקבל ש- \(\epsilon_{ik\ell}x_{k}x_{\ell}x_{j}\equiv0\). רה-ארגון של האינדקסים באיבר הראשון נותן מייד \([L_{i},\widehat{r}_{j}]=i\hbar\epsilon_{ijk}\widehat{r}_{j}\) כצפוי וכרצוי; וקטור היחידה של המקום - כמו וקטור המקום עצמו - גם הוא אופרטור וקטורי. בסופו של יום, אם-כן, 

\begin{align}\left[L_{i},\mathcal{A}_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}\mathcal{A}_{k}\tag{c3}\end{align}

כלומר וקטור רונגה-לנץ הוא אופרטור וקטורי... (טוב, ברור שאף אחד לא מופתע מכך).

הרלונטיות של האופרטור הוקטורי רונגה-לנץ לאטום המימן עולה מיחסי החילוף שלו עם עצמו ועם ההמילטוניאן, ואולם חישובים אלו אינם בני שורה אחת... אני אעשה לעצמי את החיים קלים ואסתפק בלחשב את יחס החילוף של אופרטור רונגה-לנץ עם ההמילטוניאן. את החישוב החצי-סיזיפי הקשור ביחס החילוף שלו עם עצמו אשאיר כתירגול לקורא המסור והקשוח. ועכשיו לעבודה:

\begin{align}\left[\mathcal{A}_{i}^{(1)},\mathcal{H}\right]&=\left[\frac{p_{j}x_{i}p_{j}}{mK},\frac{p_{k}p_{k}}{2m}-\frac{K}{r}\right]\nonumber\\&=\frac{1}{2m^{2}K}\,p_{j}\left(\left[x_{i},p_{k}\right]p_{k}+p_{k}\left[x_{i},p_{k}\right]\right)p_{j}-\frac{1}{m}\left(\left[p_{j},1/r\right]x_{i}p_{j}+p_{j}x_{i}\left[p_{j},1/r\right]\right)\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{m^{2}K}\,p_{j}p_{i}p_{j}-\frac{i\hbar}{m}\left(\frac{x_{j}x_{i}}{r^{3}}p_{j}+p_{j}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{3}}\right)\nonumber\\&=\frac{i\hbar\,p^{2}p_{i}}{m^{2}K}-\frac{i\hbar}{m}\left\{\frac{x_{i}}{r^{3}}\,\left(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p}\right)+\left(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}\right)\,\frac{x_{i}}{r^{3}}\right\}\tag{c4a}\\&\nonumber\\\left[\mathcal{A}_{i}^{(2)},\mathcal{H}\right]&=\left[\frac{p_{j}x_{j}p_{i}+p_{i}x_{j}p_{j}}{2mK},\frac{p_{k}p_{k}}{2m}-\frac{K}{r}\right]\nonumber\\&=\frac{1}{4m^{2}K}\left\{p_{j}\left(\left[x_{j},p_{k}\right]p_{k}+p_{k}\left[x_{j},p_{k}\right]\right)p_{i}+p_{i}\left(\left[x_{j},p_{k}\right]p_{k}+p_{k}\left[x_{j},p_{k}\right]\right)p_{j}\right\}\nonumber\\&\phantom{=}\;-\frac{1}{2m}\left\{\left(\left[p_{j},1/r\right]x_{j}p_{i}+p_{j}x_{j}\left[p_{i},1/r\right]\right)+\left(\left[p_{i},1/r\right]x_{j}p_{j}+p_{i}x_{j}\left[p_{j},1/r\right]\right)\right\}\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{2m^{2}K}\left(p_{j}p_{j}p_{i}+p_{i}p_{j}p_{j}\right)-\frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{x_{j}x_{j}}{r^{3}}p_{i}+p_{j}\frac{x_{j}x_{i}}{r^{3}}+\frac{x_{i}x_{j}}{r^{3}}p_{j}+p_{i}\frac{x_{j}x_{j}}{r^{3}}\right)\nonumber\\&=\frac{i\hbar\,p^{2}p_{i}}{m^{2}K}-\frac{i\hbar}{2m}\left\{\frac{1}{r}p_{i}+\left(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}\right)\frac{x_{i}}{r^{3}}+\frac{x_{i}}{r^{3}}\left(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p}\right)+p_{i}\frac{1}{r}\right\}\tag{c4b}\\&\nonumber\\\left[\mathcal{A}_{i}^{(3)},\mathcal{H}\right]&=\left[\frac{x_{i}}{r},\frac{p_{j}p_{j}}{2m}-\frac{K}{r}\right]=-\frac{1}{2m}\left[p_{j}p_{j},\frac{x_{i}}{r}\right]\nonumber\\&=-\frac{1}{2m}\left(\left[p_{j},\frac{x_{i}}{r}\right]p_{j}+p_{j}\left[p_{j},\frac{x_{i}}{r}\right]\right)\nonumber\\&=-\frac{1}{2m}\left\{\left(\left[p_{j},x_{i}\right]\frac{1}{r}+x_{i}\left[p_{j},\frac{1}{r}\right]\right)p_{j}+p_{j}\left(\left[p_{j},x_{i}\right]\frac{1}{r}+x_{i}\left[p_{j},\frac{1}{r}\right]\right)\right\}\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{1}{r}p_{i}-\frac{x_{i}x_{j}}{r^{3}}p_{j}+p_{i}\frac{1}{r}-p_{j}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{3}}\right)\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{1}{r}p_{i}-\frac{x_{i}}{r^{3}}\left(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p}\right)+p_{i}\frac{1}{r}-\left(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}\right)\frac{x_{i}}{r^{3}}\right)\tag{c4c}\end{align}

נסכם הכל ונקבל:

\begin{align}\left[\mathcal{A}_{i},\mathcal{H}\right]=\left[\mathcal{A}_{i}^{(1)}-\mathcal{A}_{i}^{(2)}-\mathcal{A}_{i}^{(3)},\mathcal{H}\right]=0\,.\tag{c5}\end{align}

אהה! פלא פלאים... שלשת מרכיביו של אופרטור רונגה-לנץ (\(i=1,2,3\)) באופן בלתי תלוי מתחלפים עם ההמילטוניאן של אטום המימן. כלומר חשפנו פה סימטריה סמוייה ומקור לניוון נוסף (נוסף על הניוון הנגרם מהסימטריה תחת התנע הזוויתי האורביטלי). אם כן, מה הלאה? מה ניתן לעשות עם הסימטריות הללו? ובכן, לא מעט ועל כך ברשימה הבאה בנושא.


תרגילים:
  1.  הוכיחו את השוויונים: \begin{align}\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}&=0\tag{h2}\\\mathcal{A}^{2}&=\frac{2\mathcal{H}\left(L^{2}+\hbar^{2}\right)}{mK^{2}}+1\tag{h3}\end{align}
  2. (לקשוחים ולעמידים): חשבו במפורש את יחס החילוף בין רכיבי אופרטור רונגה-לנץ והראו (או תקנו...): \begin{align}\left[\mathcal{A}_{i},\mathcal{A}_{j}\right]=\frac{-2i\mathcal{H}}{mK^{2}}\epsilon_{ijk}L_{k}\ldots\tag{h4}\end{align}

לפרק השלישי



אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה