יום שלישי, 17 במרץ 2015

אטום המימן א' - אופרטורים וקטוריים במרחב הילברט


בשלוש הרשימות הבאות לטובה אעזר בקזימירים של המימן ובסימטריות שמקיים ההמילטוניאן על מנת להגיע לפתרון מלא וממצה של ספקטרום האנרגיות. ברשימה הנוכחית אגדיר את המושג "אופרטורים וקטוריים ב- \(\mathscr{H}\)" ואחקור את תכונותיהם; ברשימה השנייה אפשפש בקרביו האלגבראים של האופרטור הוקטורי רונגה-לנץ, ובשלישית אגיש את הפתרון היפהפה והלא שגרתי (אך המוכר מזה עידן ועידנים) של המימן בהתבסס על הסימטריה המושלמת שהוא מקיים.

יהא \(\boldsymbol{r}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\) האפרטור המתאים לווקטור המקום של חלקיקי קוונטי נקודתי (האלקטרון באטום המימן, למשל), ויהא \(\boldsymbol{p}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)\) האופרטור המתאים לווקטור התנע הקווי שלו, שניהם פועלים במרחב המצבים \(\mathscr{H}\) של החלקיק, ולכן אובייקטים של \(\mathbb{E}_{3}\times\mathscr{H}\). ובפרט, בהצגת המקום אופרטור המקום פועל כמכפלה והתנע הקווי פועל כאופרטור גזירה: \(\boldsymbol{p}=-i\hbar\nabla\). כידוע, הן שלושת מרכיבי אופרטור המקום והן שלושת מרכיבי אופרטור התנע הם הרמיטיים (תוכלו להראות זאת במפורש?).

מכאן והלאה כל האינדקסים מקבלים ערכים שבין אחד לשלוש והסכם הסומציה בתוקף. יחסי החילוף המכוננים בין המרכיבים (האופרטוריים) של הוקטורים הללו הם כמובן \begin{align}\tag{a1}\left[x_{i},p_{j}\right]&=i\hbar\,\delta_{ij}\\\left[x_{i},x_{j}\right]&=\left[p_{i},p_{j}\right]\nonumber=0.\tag{a2}\end{align}ובפרט, יחסי החילוף בין אופרטור המקום ואופרטור התנע המשוייכים לקואורדינטות שונות מתאפסים. כזכור, מאופרטורי המקום והתנע ניתן להרכיב אופרטורי יצירה והשמדה ולהיעזר בם בשאלת האוסצילטור הקוונטי, אבל לא בזה חפצנו כאן.

האופרטור המתאים לתנע הזוויתי האורביטלי ניתן ע"י \(\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\). שימו לב, לא מדובר בוקטורים קלסיים ולכן אין לנו לצפות שהזהויות הוקטוריות המוכרות לנו מהפיזיקה הקלאסית עודן מתקיימות במתכונתן המוכרת. בשפה רכיבית, \begin{align}\tag{b}L_{i}=\epsilon_{ijk}x_{j}p_{k}\end{align} ובהצגת המקום, \(L_{i}=-i\hbar\,\epsilon_{ijk}x_{j}\partial_{k}\). נוכל להיווכח בנקל ששלושת המרכיבים של התנע הזוויתי האורביטלי הרמיטיים היות ושלושת האינדקסים בהכרח שונים זה מזה (כפי שמכתיב אפסילון לוי-צ'יוויטה) ואופרטורים המשוייכים לרכיבים שונים מתחלפים:
\begin{align*}L_{i}^{\dagger}=\epsilon_{ijk}\left(x_{j}p_{k}\right)^{\dagger}=\epsilon_{ijk}p_{k}^{\dagger}x_{j}^{\dagger}=\epsilon_{ijk}p_{k}x_{j}\stackrel{j\neq{k}}{=}\epsilon_{ijk}x_{j}p_{k}=L_{i}\end{align*}
מהם יחסי החילוף בין התנע הזוויתי האורביטלי לבין אופרטורי המקום והתנע הקווי? ובכן, בהסתמך על משוואה (a) והגדרה (b) החשבון מיידי:

\begin{align}\left[L_{i},x_{j}\right]&=\epsilon_{ik\ell}\left[x_{k}p_{\ell},x_{j}\right]=\epsilon_{ik\ell}x_{k}\left[p_{\ell},x_{j}\right]=\epsilon_{ik\ell}x_{k}\left(-i\hbar\,\delta_{\ell{j}}\right)\nonumber\\&\tag{c1}=i\hbar\,\epsilon_{ijk}x_{k}\\\left[L_{i},p_{j}\right]&=\epsilon_{ik\ell}\left[x_{k}p_{\ell},p_{j}\right]=\epsilon_{ik\ell}\left[x_{k},p_{j}\right]p_{\ell}=i\hbar\,\epsilon_{ik\ell}\left(\delta_{kj}\right)p_{\ell}\nonumber\\&\tag{c2}=i\hbar\,\epsilon_{ijk}p_{k}\end{align}

יהא \(\boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3}\right)\) וקטור אוילר אשר מרכיביו הם שלשת זוויות אוילר. וקטור זה אינו אופרטור אלא שלשה של c-numbers; מרכיביו מספרים ממשיים, סקלרים במרחב הילברט, והם מתחלפים עם כל אופרטור. נכפול אם כן סקלרית את \(\boldsymbol{\theta}\) ביחס החילוף של \(\boldsymbol{L}\) עם \(x_{i}\) ונקבל:

\begin{align*}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),x_{j}\right]&=\left[\theta_{i}L_{i},x_{j}\right]=\theta_{i}\left[L_{i},x_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}\theta_{i}x_{k}=-i\hbar\,\epsilon_{jik}\theta_{i}x_{k}\\&=-i\hbar\,\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{r}\right)_{j}\end{align*}
בשפה וקטורית,
\begin{align}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{r}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{r}\right)\quad\text{and also}\quad\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{p}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{p}\right)\nonumber\\\phantom{klum}\tag{d}\end{align}
את התוצאות הללו נהוג לתרגם למשפט: אופרטורי המקום והתנע מתנהגים כמו וקטורים ביחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי. במקרה זה מקבלים האופרטורים את השם "אופרטורים וקטוריים" אבל אין לבלבל זאת עם אותו השם בדיוק שמקבל האופרטור הוקטורי \(\nabla\) באנליזה הוקטורית (באלקטרומגנטיות למשל).

מהם יחסי החילוף בין שלשת מרכיבי התנע הזוויתי האורביטלי לבין עצמם? בבקשה:
\begin{align*}\left[L_{i},L_{j}\right]&=\epsilon_{i\ell{m}}\epsilon_{jkn}\left[x_{\ell}p_{m},x_{k}p_{n}\right]\nonumber\\&=\epsilon_{i\ell{m}}\epsilon_{jkn}\big(x_{\ell}\left[p_{m},x_{k}\right]p_{n}+x_{k}\left[x_{\ell},p_{n}\right]p_{m}\big)\nonumber\\&=i\hbar\,\epsilon_{i\ell{m}}\epsilon_{jkn}\left(-\delta_{mk}x_{\ell}p_{n}+\delta_{\ell{n}}x_{k}p_{m}\right)\nonumber\\&=i\hbar\,\epsilon_{i\ell{k}}\epsilon_{jnk}x_{\ell}p_{n}-i\hbar\,\epsilon_{im\ell}\epsilon_{jk\ell}x_{k}p_{m}\nonumber\\&=i\hbar\left(\delta_{ij}\delta_{\ell{n}}-\delta_{in}\delta_{\ell{j}}\right)x_{\ell}p_{n}-i\hbar\left(\delta_{ij}\delta_{mk}-\delta_{ik}\delta_{mj}\right)x_{k}p_{m}\nonumber\\&=i\hbar\left(x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\right)\end{align*}
ואולם (הראו זאת) \(x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}=\epsilon_{ijk}L_{k}\), ולכן בסופו של יום:
\begin{align}\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_{k}\quad\stackrel{\text{eqs. (d)}}{\Longrightarrow}\quad\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{L}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{L}\right).\nonumber\\&\phantom{klum}\tag{e}\end{align}
באופן לא מפתיע מרכיבי התנע הזוויתי האורביטלי מקיימים את האלגברה של יוצרי חבורת הסיבובים \(SO(3)\). האופרטור המייצג במרחב הילברט את הסיבובים במרחב האאוקלידי \(U\in SO(3)\) נתון בביטוי
\begin{align}\tag{f}U\left(\boldsymbol{\theta}\right)=\exp\left[\frac{i\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right)}{\hbar}\right].\end{align}
\(\boldsymbol{\theta}\) מגדירה את ציר הסיבוב ואת גודלו. היות ואופרטור התנע הזוויתי האורביטלי הרמיטי, \(U\) הוא בהכרח יוניטרי והוא משמר בה-בעת את הנורמה במרחב האאוקלידי, ואת הנורמה של המצבים במרחב הילברט.

כיצד פועלים אלמנטי החבורה \(SU\left(3\right)\) על אופרטורים וקטוריים במרחב הילברט? באמצעות טרנספורמציית דמיון: יהא \(\boldsymbol{Y}\) אופרטור וקטורי שרירותי כלשהו. אזי, תחת הפעולה של אלמנט \(U\) בחבורה, \(\boldsymbol{Y}\mapsto\boldsymbol{Y}'=U\boldsymbol{Y}U^{-1}\) (הראו זאת בשורה אחת!). וכיצד מתגשמת הפעולה הזו במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}_{3}\)? פה החשבון אלגנטי להפליא: ניעזר בפיתוח של בייקר והאוסדורף
\begin{align}e^{X}Ye^{-X}&=Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots.\nonumber\\&\phantom{klum}\tag{g0}\end{align}
ובקשר המכונן \(\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\) ונקבל:

\begin{align}\boldsymbol{Y}'&=\;U\left(\boldsymbol{\theta}\right)\boldsymbol{Y}U\left(-\boldsymbol{\theta}\right)=U\left(\boldsymbol{\theta}\right)\boldsymbol{Y}U^{-1}\left(\boldsymbol{\theta}\right)\nonumber\\&=\phantom{+}\boldsymbol{Y}\;+\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{1!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{2!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]\right]\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{3!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{3}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]\right]\right]\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{4!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{4}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]\right]\right]\right]\nonumber\\&\phantom{=}\;\,\vdots\nonumber\\&=\;\boldsymbol{Y}+\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}+\frac{1}{2!}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)+\frac{1}{3!}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{4!}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)\right)\;+\;\cdots\nonumber\\&\tag{g1}\end{align}
הבה 'נפרום' את המונומים (זיכרו ש-\(\boldsymbol{\theta}\) מתחלפת עם \(\boldsymbol{Y}\) וש- \(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{\theta}\equiv\boldsymbol{0}\)):

\begin{align*}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)&=\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\boldsymbol{\theta}-\theta^{2}\boldsymbol{Y}\\\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)&=-\theta^{2}\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\\\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)\right)&=-\theta^{2}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\\\phantom{\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)\right)}&=-\theta^{2}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\boldsymbol{\theta}-\theta^{2}\boldsymbol{Y}\right]\\&=-\theta^{2}\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\boldsymbol{\theta}+\theta^{4}\boldsymbol{Y}\\&\;\,\vdots\end{align*}
בשלב זה כבר נוכל לקבץ את האברים במשוואה (g1) כדי לקבל נוסחא סגורה לטרנספורמציה של אופרטור וקטורי במרחב האאוקלידי:

\begin{align}\boldsymbol{Y}'&=\;\boldsymbol{Y}+\theta\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\times\boldsymbol{Y}\right)+\frac{\theta^{2}}{2!}\left[\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{Y}\right]-\frac{\theta^{3}}{3!}\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\times\boldsymbol{Y}\right)\nonumber\\&\phantom{=\;}-\frac{\theta^{4}}{4!}\left[\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{Y}\right]\;+\;\cdots\nonumber\\&=\;\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\cdots\right)\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\times\boldsymbol{Y}\right)+\left(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots\right)\boldsymbol{Y}\nonumber\\&\phantom{=\;}-\left(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots\right)\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}+\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\nonumber\\\nonumber\\&=\;\sin\theta\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\times\boldsymbol{Y}\right)+\cos\theta\,\boldsymbol{Y}+\left(1-\cos\theta\right)\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}.\nonumber\\&\phantom{klum}\tag{g2}\end{align}


  • תוצאות חביבות וחשובות להמשך (תירגול):
  1. הראו שלכל אופרטור וקטורי \(\boldsymbol{Y}\) מתקיים \(\boldsymbol{Y}\times\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{Y}=2i\hbar\,\boldsymbol{Y}\) והסתמכו על כך כדי להסיק שאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי מקיים: \begin{align}\tag{h1a}\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{L}=&i\hbar\,\boldsymbol{L}\end{align}
  2. הסתמכו על \(\left[x_{i},x_{j}\right]=\left[p_{i},p_{j}\right]=0\) כדי להראות שהאופרטורים הוקטורים של המקום והתנע מקיימים: \begin{align}\tag{h2}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}=\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{p}\end{align}
  3. הראו שלכל שלושה אופרטורים וקטורים שרירותיים מתקיימת הזהות \(\boldsymbol{Y}\cdot\left(\boldsymbol{G}\times\boldsymbol{R}\right)\equiv\left(\boldsymbol{Y}\times\boldsymbol{G}\right)\cdot\boldsymbol{R}\). העזרו בזאת כדי להראות: \begin{align}\tag{h3}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{p}=0\end{align} 
  4. עתה קבלו: \begin{align}\boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\right)&=0\tag{h4a}\\\boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)&=2i\hbar\,p^{2}\tag{h4b}\end{align}
  5. הראו שמכפלה וקטורית של אופרטורים וקטוריים ביחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי גם היא אופרטור וקטורי ביחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי, כלומר \begin{align}\tag{h5}\left[L_{i},\left(\boldsymbol{Y}\times\boldsymbol{G}\right)_{j}\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{Y}\times\boldsymbol{G}\right)_{k}\end{align}
  6. רק התחממתם? בא לכם עוד?... הוכיחו את הפיתוח (g0) של בקר והאוסדורף... רמז? בבקשה: \(f\left(\lambda\right)=e^{i\lambda{X}}Ye^{-i\lambda{X}}\). זהו.

לפרק השני