יום שלישי, 20 בינואר 2015

מהירות האור במערכות מאיצות

רשימות מקדימות שאולי כדאי לקרוא קודם שאתם ניגשים לרשימה הזו: 

בהמשך לפיתוחים שהצגנו ברשימות המקדימות מלמעלה, הבה נבחר תנאי התחלה ותנאי שפה עבורן משוואות קו העולם של צופה מאיץ - המציגות את מיקומו וקריאת שעונו במערכת ההתמד של צופה "נייח" כפונקציה של הזמן העצמי \(\tau\) -תינתנה באופן קומפקטי ע"י
\begin{aligned}x^{1}\left(\tau\right)&\;=\frac{c^{2}}{g}\cosh\left(\frac{g\tau}{c}\right)\\x^{0}\left(\tau\right)&\;=\frac{c^{2}}{g}\sinh\left(\frac{g\tau}{c}\right)\end{aligned}
לכל ערך של התאוצה \(g\) מתקבל קו עולם המתאר צופה הנע בתאוצה זו, ומסלולו של אותו צופה מתואר על ידי ההיפרבולה \((x^{1})^{2}-(x^{0})^{2}=c^{4}/g^{2}\) התחומה בין הקרניים \(x^{0}=\pm{x}^{1}\) ברביעים הראשון והרביעי. היות ופרמטר התאוצה רציף, הרי שאוסף כל ההיפרבולות המתקבלות ממנו "מכסה" את כל הטריז המוגבל בין חרוט העבר לחרוט העתיד (ראו הרשימה "דיאגרמת מינקובסקי") של צופה הנמצא בראשית. זהו "הטריז של רינדלר" (Rindler's wedge).

הבה נגדיר סט חדש של קואורדינטות: קואורדינטה דמויית זמן \(\xi^{0}:=c\tau\), וקואורדינטה דמויית מרחב \(\xi^{1}=c^{2}/g\), כך ש-
\begin{aligned}x^{1}&\;=\xi^{1}\cosh\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\\x^{0}&\;=\xi^{1}\sinh\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\end{aligned}
\((\xi^{0},\xi^{1})\) הן צמד קוארדיטות עצמיות; "עצמיות על שום מה? על שום העובדה שגם הזמן העצמי המשמש בהגדרת \(\xi^{0}\) וגם התאוצה העצמית המשמשת בהגדרת \(\xi^{1}\) נמדדים במערכת המנוחה של הצופה המאיץ (ועם זאת, להבדיל מהזמן העצמי, התאוצה העצמית אינה אינווריאנט של טרנספורמציית לורנץ).

אף שהשתמשנו בתאוצה כדי להגדיר את \(\xi^{1}\), הרי שמדובר בקואורדינטה מרחבית לכל דבר ועניין. בעולמו של הצופה המאיץ, מערכת המנוחה שלו מבטאת עבורו מיקום ספציפי, היינו מיקומו שלו. כאשר מדובר בתאוצה קבועה, המיקום הספציפי הזה מיתרגם לקו העולם ההיפרבולי הנצפה ע"י צופה נייח. עם זאת, תאוצות שונות פירושן קריאה שונה במד המקום של הצופה המאיץ, ערך שונה של מיקום המתקבל במכשיר ה-GPS שלו... זה אמנם נראה קצת מוזר אבל צופה המצוי בתאוצה משתנה מגלה שהוא נמצא "בתנועה" במערכת המנוחה שלו עצמו... לי זה מזכיר קצת את אפקט גרירת המסגרת (frame dragging) בקרבת גוף מסיבי מסתובב (כתבתי על כך כאן בעבר), אבל אני לא בטוח שאפשר לעשות הקבלה בין התופעות.

צמד הקואורדינטות העצמיות \((\xi^{0},\xi^{1})\) מזכיר מאוד את קואורדינטות רינדלר ואולם בניגוד לקואורדינטות רינדלר בהצגתן הסטנדרטית, בקואורדינטות העצמיות דלעיל הפונקציות ההיפרבוליות מכילות את *שתי* הקואורדינטות העצמיות בתוך הארגומנט שלהן, לא רק את זו המייצגת את הזמן העצמי. שימו לב לתחומי הגדרתן של הקואורדינטות העצמיות: מחד \(-\infty\leq\xi^{0}\leq\infty\), אבל מאידך \(0\leq\xi^{1}\leq\infty\); שימו גם לב שערכים גדולים של הקואורדינטה \(\xi^{1}\) מתאימים דווקא לתאוצות קטנות, וערכים קטנים לתאוצות גדולות. גודל אחד יצוץ פעם אחר פעם בחשבון: \(\xi^{0}/\xi^{1}=g\tau/c\)... לכל ערך \(\alpha\) של המנה הזו מתאימה קרן היוצאת מהראשית הצירים בדיאגרמת מינקובסקי (ראו הדיון ברשימה הקודמת) ושיפועה \(\beta=\tanh\alpha\); וכאמור, לכל ערך של הקואורדינטה דמויית המקום \(\xi^{1}\) מתאימה היפרבולה הכלואה בין שתי האסימפטוטות \(x=\pm{c}t\).

מטרתנו עתה היא למפות את קונוס האור ממערכת ההתמד המרושתת ע"י צמד הקואורדינטות \((x^{0},x^{1})\) אל הטריז של רינדלר המרושת באמצעות צמד הקואורדינטות העצמיות \((\xi^{0},\xi^{1})\). זאת מאחר ועל קונוס האור מתקבלת מהירות האור מהנגזרת של הקואורדינטה דמויית המרחב לפי הקואורדינטה דמויית הזמן. כך למשל, במרחב מינקובסקי \begin{aligned}(\mathrm{d}s)^{2}=0\;&\Rightarrow\;(\mathrm{d}x^{1})^{2}=(\mathrm{d}x^{0})^{2}=c^{2}(\mathrm{d}t)^{2}\;\Rightarrow\;\mathrm{d}x^{1}/\mathrm{d}x^{0}=1\\&\Rightarrow\;\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=c\,.\end{aligned}
ובכן, כיצד נמפה את קונוס האור? הרצפט פשוט: נרשום את אלמנט האורך האינפיניטסימלי במרחב מינקובסקי במונחים של הקואורדינטות העצמיות ונשווה זאת לאפס. מובן שהמטריקה \((\mathrm{d}s)^{2}\) - אף שהיא אינווריאנט של מערכות התמד - אינה צפוייה להישמר במעבר בין מערכת התמד למערכת הנמצאת בתאוצה עצמית; המבנה המטרי על הטריז של רינדלר איננו זה של מרחב מינקובסקי.

קודם שנבצע טרנספורמציה של קואורדינטות על \((\mathrm{d}s)^{2}\) הבה נבטא את הדיפרנציאלים הקשורים בקו העולם של הצופה המאיץ במונחים של הדיפרנציאלים של הקואורדינטות העצמיות שלו:

\begin{aligned}\mathrm{d}x^{0}&\;=\frac{\partial{x}^{0}}{\partial\xi^{0}}\mathrm{d}\xi^{0}+\frac{\partial{x}^{0}}{\partial\xi^{1}}\mathrm{d}\xi^{1}\\&\;=\cosh\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\mathrm{d}\xi^{0}+\left[\sinh\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)-\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\cosh\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\right]\mathrm{d}\xi^{1}\\\mathrm{d}x^{1}&\;=\frac{\partial{x}^{1}}{\partial\xi^{0}}\mathrm{d}\xi^{0}+\frac{\partial{x}^{1}}{\partial\xi^{1}}\mathrm{d}\xi^{1}\\&\;=\sinh\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\mathrm{d}\xi^{0}+\left[\cosh\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)-\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\sinh\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\right]\mathrm{d}\xi^{1}\end{aligned}

נציג זאת במטריקה של מינקובסקי ונקבל (בידקו את החשבון):

\begin{aligned}\left(\mathrm{d}s\right)^{2}&\;=(\mathrm{d}x^{0})^{2}-(\mathrm{d}x^{1})^{2}\\&\;=\left[\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)^{2}-1\right](\mathrm{d}\xi^{1})^{2}-2\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\mathrm{d}\xi^{0}\,\mathrm{d}\xi^{1}+(\mathrm{d}\xi^{0})^{2}\end{aligned}
על קונוס האור המינקובסקיאני המטריקה כאמור מתאפסת, \((\mathrm{d}s)^{2}=0\); זה משאיר אותנו עם משוואה ריבועית במשתנה \(\mathrm{d}\xi^{1}/\mathrm{d}\xi^{0}\) שפתרונה מנפק את שתי המשוואה הדיפרנציאליות

\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}\xi^{1}}{\mathrm{d}\xi^{0}}=\frac{\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)\pm1}{\left(\xi^{0}/\xi^{1}\right)^{2}-1}=\frac{1}{\xi^{0}/\xi^{1}\mp1}\end{aligned} 
פיתרון שני ענפי המשוואה הדיפרנציאלית הזו - המתאימים לזמן עצמי שלילי (החלק התחתון של הטריז) ולזמן עצמי חיובי (החלק העליון של הטריז) - ינפק את קו העולם של האור במערכת הקואורדינטות העצמיות. כך יוכל הצופה המאיץ לשחזר את מסלול האור כפי שהוא נרשם במערכת הקואורדינטות העצמיות, על הדרך גם את מהירות האור עצמה...

המשוואה הדיפרנציאלית עצמה קלה מאוד לפתרון. הבה נציג משתנה עזר \(\chi\) התלוי ב-\(\xi^{0}\) דרך הקשר \(\xi^{1}=\xi^{0}\chi\). אזי, \(\mathrm{d}\xi^{1}/\mathrm{d}\xi^{0}=\chi+\xi^{0}(\mathrm{d}\chi/\mathrm{d}\xi^{0})\). לכן במונחים של המשתנה החדש מתקבלת המשוואה בעלת שני הענפים:

\begin{aligned}\chi+\xi^{0}\frac{\mathrm{d}\chi}{\mathrm{d}\xi^{0}}&\;=\frac{1}{1/{\chi}\mp1}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{\chi}{1-\chi}\\\displaystyle\frac{\chi}{1+\chi}\end{array}\right.\end{aligned}
טיפ-טיפה מניפולציות אלגבריות:
 \begin{aligned}\xi^{0}\frac{\mathrm{d}\chi}{\mathrm{d}\xi^{0}}&\;=\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle\frac{\chi^{2}}{1-\chi}&\Rightarrow&\displaystyle\frac{\left(1-\chi\right)\mathrm{d}\chi}{\chi^{2}}=\displaystyle\frac{\mathrm{d}\xi^{0}}{\xi^{0}}\\\displaystyle\frac{-\chi^{2}}{1+\chi}&\Rightarrow&\displaystyle\frac{\left(1+\chi\right)\mathrm{d}\chi}{-\chi^{2}}=\displaystyle\frac{\mathrm{d}\xi^{0}}{\xi^{0}}\end{array}\right.\end{aligned}
ואינטגרציה בתוספת ארגון איברים מחדש נותנת (קבלו זאת)

\begin{aligned}\xi^{0}=\mp\xi^{1}\log\left(\xi^{1}/\xi\right),\end{aligned}
באשר \(\xi^{1}(\xi^{0}=0)\equiv\xi\); אלו הן שתי הגיאודזות עליהן נע האור בשולי הטריז של רינדלר, האחת מתייחסת לזמן עצמי שלילי, השנייה לזמן עצמי חיובי.

ומה נוכל לאמר על מהירות האור עצמה במערכת הקואורדינטות העצמיות? לשם כך עלינו לקבע את התאוצה על ערך מסויים, נאמר \(g\), ולבדוק במפורש את \(\mathrm{d}\xi^{1}/\mathrm{d}\tau\) עבור ערך זה. הבה נבדוק: נציג \(\chi=\xi^{1}/\xi^{0}=c/g\tau\) ונקבל,

\begin{aligned}&\left.\frac{\mathrm{d}\xi^{1}}{\mathrm{d}\xi^{0}}\right|_{\xi^{1}=g}=\;\frac{1}{c}\left.\frac{\mathrm{d}\xi^{1}}{\mathrm{d}\tau}\right|_{\xi^{1}=g}=\left.\frac{1}{1/\chi\mp1}\right|_{\xi^{1}=g}=\frac{1}{g\tau/c\mp1}\end{aligned}
\begin{aligned}\Longrightarrow\quad\left.\frac{\mathrm{d}\xi^{1}}{\mathrm{d}\tau}\right|_{\xi^{1}=g}=\frac{c}{g\tau/c\mp{1}}\end{aligned}

קיבלנו איפה את הביטוי עבור מהירות האור בקואורדינטות העצמיות עבור ערך נתון של התאוצה העצמית. הביטוי עם סימן החיסור מתאים לזמנים עצמיים שליליים, וזה עם סימן החיבור לזמנים עצמיים חיוביים. למרבה ההפתעה, ככל שהשעון על ידו של הצופה המאיץ מתקתק זמן רב יותר, הולכת ופוחתת מהירות האור כפי שהיא נצפת על ידו, ובקץ כל העיתים אף מתאפסת. ומנגד, עבור זמנים קצרים, כאשר \(0<g\tau/c<1\)  נקבל את הגבול הלא-יחסותי:

\begin{align}c'\;=\;c\left[1-\left(g\tau/c\right)+\left(g\tau/c\right)^{2}-\left(g\tau/c\right)^{3}+\left(g\tau/c\right)^{4}-\cdots\right]\end{align}
ובפרט, כאשר \(g\tau/c\ll1\), הרי שמהירות האור מנקודת מבטו של הצופה המאיץ היא פשוט \(c'=c-{g}\tau\), בדיוק מה שהיינו מצפים שימדוד צופה גלילאני לא אינרציאלי.