יום שבת, 14 בנובמבר 2015

משוואת האוסצילטור


מכירים את האופן בו אנו מנחשים פתרון למשוואת האוסצילטור ההרמוני (בין אם חפשי מוזז או מרוסן)? קרוב לוודאי שכן, ואם טרם אז תוכלו להציץ (למשל) כאן. ובאמת, אין כל סיבה שלא לנחש את הפתרונות כשכל כך קל לעשות זאת. אבל בכל זאת, כיצד נפתרות משוואות האוסצילטור שלא באמצעות ניחוש? איך ניגשים לבעיה באופן אנליטי? על כך כאן ועתה; 

א) אוסצילטור חפשי:   \(\ddot{x}=-\omega^{2}x\)

ראשית, נוריד את סדר המשוואה באמצעות מעבר מצמד המשתנים \(\left(x,t\right)\) לצמד המשתנים \(\left(x,v\right)\). את הנגזרת השנייה לפי הזמן שבאגף שמאל נרשום:
\begin{align*}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\end{align*}
אזי נקבל:
 \begin{aligned}v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\omega^{2}x\end{aligned}
נפריד משתנים ונאסכם (כזכור, לאסכם=לקחת אינטגרציה):
 \begin{aligned}v\mathrm{d}v=-\omega^{2}x\mathrm{d}x\quad\Rightarrow\quad\frac{v^{2}}{2}=-\frac{\omega^{2}x^{2}}{2}+\frac{C^{2}}{2}\end{aligned}
וכאן \(C^{2}/2\) הוא קבוע האינטגרציה. לכן נוכל לרשום \(v^{2}=C^{2}-\omega^{2}x^{2}\). נחזור עתה למשתנים המקוריים \(x\) ו- \(t\) עם המשוואה 
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\pm\sqrt{C^{2}-\omega^{2}x^{2}}\end{aligned}
נבצע הפרדת משתנים ונקבל:
 \begin{aligned}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{C^{2}-\omega^{2}x^{2}}}=\pm\int{}\mathrm{d}t\end{aligned} 
את האינטגרל באגף שמאל נפתור באמצעות ההצבה \(\omega{}x=C\cos\phi\). מדוע דווקא הצבה זו? היות והיא מכבדת את תחום ההגדרה של הפונקציה שבאינטגראנד. (שימוש בסינוס גם טוב...). ניקח דיפרנציאל למשוואת ההצבה ונקבל \(\omega{}\mathrm{d}x=-C\sin\phi{}\mathrm{d}\phi\). נכפיל ב-\(\omega\) את שני האגפים במשוואה האינטגרלית, נציג את ההצבה באינטגראנד ובדיפרנציאל, ניעזר במשפט פיתגורס ונקבל:
 \begin{aligned}\int{}\mathrm{d}\phi=\pm\int\omega{}\mathrm{d}t\end{aligned}
 או \(\phi=\pm\omega{}t+\varphi\), באשר \(\varphi\) הוא קבוע האינטגרציה. נחזור כעת אל המשתנה המקורי: \(\phi=\cos^{-1}\left(\omega{}x/C\right)=:\cos^{-1}\left(A^{-1}x\right)\) עם הקבוע השרירותי \(A^{-1}:=\omega/C\). ניקח את הפונקציה ההפוכה ונקבל לבסוף: 
\begin{aligned}x\left(t\right)=A\cos\left(\omega{}t+\varphi\right)\end{aligned} 
(בחרנו כאן בסימן החיובי \(+\omega{}t\) המתאר תנועה מעגלית נגד כיוון השעון). לשני קבועי האינטגרציה פרשנות מיידית: \(A\) הוא משרעת התנודה, ו-\(\varphi\) הפאזה בזמן \(t=0\). גזירה לפי הזמן תיתן 
\begin{aligned}v\left(t\right)=-\omega{}A\sin\left(\omega{}t+\varphi\right)\end{aligned}
ותנאי ההתחלה מנפקים את צמד המשוואות:
\begin{aligned}x\left(t=0\right)=x_{0}=A\cos\varphi&\\v\left(t=0\right)=v_{0}=-\omega{}A\sin\varphi&\end{aligned}
כך שבמונחים של תנאי ההתחלה המשרעת מקיימת את הקשר \(A^{2}=x_{0}^{2}+v_{0}^{2}/\omega^{2}\), ואילו הפאזה ניתנת ע"י \(\tan\varphi=-v_{0}/\left(\omega{}x_{0}\right)\). שימו לב שבחירת הפאזה \(\varphi=0\) מתאימה לתנאי ההתחלה \(x_{0}\neq0\), \(v_{0}=0\), ואילו בחירת הפאזה \(\varphi=\pi/2\) מתאימה לתנאי ההתחלה \(x_{0}=0\), \(v_{0}\neq0\).


ב) אוסצילטור מוזז:   \(\ddot{x}=-\omega^{2}x+\kappa\)

כאן התנודות מתבצעות סביב \(x_{0}=\kappa/\omega^{2}\) ולא סביב \(x_{0}=0\). כיצד אנו יודעים זאת? בנקודת שיווי המשקל הכוחות מתאזנים והתאוצה \(\ddot{x}\) מתאפסת... הבה ניגש לפיתרון: נרשום את המשוואה כ- \(\ddot{x}=-\omega^{2}\left(x-\kappa/\omega^{2}\right)\) ונעבור למשתנה \(y:=x-\kappa/\omega^{2}\). אמנם \(y\) מוזז ביחס ל- \(x\) בשיעור קבוע של \(x_{0}=\kappa/\omega^{2}\) אבל הנגזרות מן-הסתם מתלכדות, \(\dot{y}=\dot{x}\). לכן במונחים של המשתנה החדש \(y\) תירשם המשוואה כ- \(\ddot{y}=-\omega^{2}y\) ופתרונה הוא כמובן \(y\left(t\right)=A\cos\left(\omega{}t+\varphi\right)\). נחזור כעת אל המשתנה המקורי \(x\) ונקבל:
\begin{aligned}x\left(t\right)=A\cos\left(\omega{}t+\varphi\right)+\frac{\kappa}{\omega^{2}}\end{aligned}
וכאן "רואים בעיניים" שהתנודה מתרחשת סביב נקודת שיווי המשקל החדשה. שאלה: הפתרון הזה לא תופס עבור כוח חיכוך קבוע (למשל מהצורה \(f=\mu{}mg\))... מדוע?


ג) אוסצילטור מרוסן: \(\ddot{x}+2\gamma{}\dot{x}+\omega^{2}x=0\)

האם ניתן לפתור זאת אנליטית? כן, אבל זה מיגע למדי בהשוואה לשיטה המקובלת המבוססת על "ניחוש מושכל" (הצבת הפתרון הכללי \(x\left(t\right)=Ae^{\alpha{}t}\) וקבלת משוואה אלגברית בפרמטר \(\alpha\)). אז איך לכל הרוחות נוכל להפריד כאן משתנים?... אם מישהו מעוניין לקחת על עצמו את האתגר, הנה המתווה: 

היעזרו בטריק להורדת סדר המשוואה בו השתמשנו בפתרון האוסצילטור החופשי, כאשר עברנו מהמשתנים \(\left(x,t\right)\) למשתנים \(\left(x,v\right)\) ותקבלו (לאחר חלוקה ב-\(v\))
\begin{align}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+\frac{\omega^{2}x}{v}=-2\gamma\end{align}
זוהי אמנם משוואה מסדר ראשון אבל עדיין אינה מבושלת מספיק לצורך הפרדת משתנים. כדי לרכך אותה עוד הציבו \(v/x=y\) ועיברו לעבוד במשתנים \(x\) ו- \(y\left(x\right)\). כיצד זה משפר את המצב? נציג \(v=xy\) ואז
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\end{aligned}
ובשלב זה כבר נקל לבצע הפרדת משתנים:
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{\mathrm{d}y}{-2\gamma-\displaystyle\frac{\omega^{2}}{y}-y}=\frac{-y\,\mathrm{d}y}{y^{2}+2\gamma{}y+\omega^{2}}\end{aligned}
אבל הקלות המפתיעה בה הצלחנו להפריד את המשתנים עדיין לא מבטיחה שהסיפור הולך להיות קצר. האינטגרציות (אף שהן קלות לביצוע) מנפקות ביטויים ארוכים למדי ועדיין יש לעבור למשתנים המקוריים ולקחת אינטגרציה נוספת... בהצלחה.






יום חמישי, 15 באוקטובר 2015

חוקי ניוטון והפרדיגמה הגלילאנית


רשימה זו מחדשת מבארת ומחליפה רשימה קודמת פרי עטי (שכותרתה "דיון אונתולוגי בחוק הראשון ובחוק השני של ניוטון"), והיא דנה במשמעויות הבסיסיות הנגזרות מהחוק הראשון ומהחוק השני של ניוטון במסגרת הפרדיגמה הגלילאנית. הטריגר לריענון בא מהערות והסתייגויות חלק מהקוראים (כאן ובאופן פרטי), ועל כך תודתי הכנה.


מונחים ראשוניים: 
  • מערכת ייחוס (frame of reference) היא מערכת צירים אשר ניתן לייחס אליה מיקום ואוריאנטציה של כל גוף חומרי, ולתאר באמצעותה את הדינמיקה שלו; מיקום הראשית במערכת נתון לבחירה חופשית.
  • מערכת מנוחה (rest frame) של גוף היא מערכת יחוס בה נמצא הגוף תמיד במנוחה. באופן טריוויאלי כל צופה נמצא במנוחה במערכת המנוחה שלו עצמו.
  • אינטראקציה (interaction) בין גופים מבטאת השפעות גומלין הדדיות; כל גוף משפיע באופן כלשהו על כל גוף אחר הבא עימו באינטראקציה; אין מניעה לאינטראקציה גם בלא מגע פיזי.
  • מסת התמד (inertial mass) היא תכונת ההתמדה המשוייכת לכל גוף חומרי ומבוטאת באמצעות מספר. ככל שמסת ההתמד גדולה יותר נוטה הגוף להתמיד במצב הקינטי בו הוא נמצא. 'מימדיה' הן של מסה וביחידות \(SI\) תבוטא בקילוגרם. 
  • מסה כבידתית (gravitational mass): אם מסת ההתמד היא מטען ההתמדה של גוף אז המסה הכבידתית היא המטען הכבידתי שלו. לא רלוונטית לדיוננו ובכל מקרה מקובל להניח שהיא זהה למסת ההתמד.

הגדרות בקינמטיקה:
  1. וקטור המקום (position vector): פונקציה וקטורית המבטאת את מיקומו של גוף (או של חלקיק נקודתי) כפונקציה של הזמן במערכת ייחוס נתונה. רכיביה הן שלושת הקואורדינטות של הגוף במערכת ייחוס זו וסימונה המקובל \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\).
  2. וקטור המהירות הרגעית (velocity vector): וקטור המהירות הרגעית היא קצב שינוי וקטור המקום והיא מבוטאת באמצעות הנגזרת של וקטור המקום לפי הזמן, \(\boldsymbol{v}:=\dot{\boldsymbol{r}}\). מהירות נושאת 'מימדים' של מקום חלקי זמן, וביחידות \(SI\) מטר לשניה.
  3. תאוצה רגעית (acceleration vector): וקטור התאוצה הרגעית היא קצב שינוי וקטור המהירות הרגעית והיא מבוטאת באמצעות הנגזרת של וקטור המהירות הרגעית לפי הזמן, היינו \(\boldsymbol{a}:=\dot{\boldsymbol{v}}\) כלומר \(\boldsymbol{a}=\ddot{\boldsymbol{r}}\). תאוצה נושאת 'מימדים' של מהירות חלקי זמן, וביחידות \(SI\) מטר לשניה בריבוע.
מטבע הדברים גם התאוצה הרגעית וגם המהירות הרגעית הם משתנים תלויי מערכת ייחוס היות ווקטור המקום הוא תלוי מערכת ייחוס. ובפרט, מערכת המנוחה של גוף היא זו שבה הגוף יושב במנוחה בראשית כלומר מהירותו ותאוצתו במערכת זו - אין אפס - הן תמיד \(\boldsymbol{0}\).

מושגים והנחות יסוד במכניקה:
  1. תנע קווי של גוף הוא מדד וקטורי לתנועתיות הקווית של גוף כפי שהיא נצפית ממערכת ייחוס נתונה. ובשפה מפורשת: התנע הקווי הוא מטען ההתמד \(m\) מכפל בוקטור המהירות, \(\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}\). התנע הקווי מקודד את האינרציה הקינטית הגלומה בגוף במערכת יחוס נתונה.
  2. אם נתונה מערכת המכילה כמה גופים, הרי שהתנע הכולל של המערכת הוא סכום התנעים של הגופים במערכת כלומר, \(\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_{1}+\boldsymbol{p}_{2}+\cdots\). ברור מאליו שעבור כל גוף התנע שלו מתאפס במערכת המנוחה שלו עצמו.
  3. השפעות הדדיות בין גופים (המאופיינות הן בגודל והן בכיוון) תבוטאנה באמצעות וקטור מיוחד \(\boldsymbol{F}\) המכונה "כוח". מעצם טבעו כוקטור עשוי כוח להיות תוצאת שקלול של כוחות משנה המבטאים השפעות משנה. ובפרט, אם פועלים על גוף כמה כוחות אז אפשר להחליפם בשקול הוקטורי: \(\boldsymbol{F}=\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}+\cdots\).
  4. בהגדרה, באינטראקציה בין מערכת גופים השפעתו של כל אחד מהגופים על משנהו מתמצאת לחלוטין בכוח שהוא מפעיל עליו. טבעו הוקטורי של הכוח מאפשר לטפל באינטראקציה בודדת כאילו כל האחרות אינן קיימות, ולבסוף לסכם את כל האינטראקציות. זהו עיקרון הסופרפוזציה בעבודה עם כוחות.

חוקי ניוטון מהווים מסגרת לתאוריה מכנית כוללת המתיימרת לנתח ולנבא את התנהגותן של מערכות מכניות. היות והמכניקה אינה חזות הכל הרי שהתאוריה מוגבלת מטבעה, ובכל זאת כוחה רב בגבולות תקפותה.

שלשת חוקי התנועה של ניוטון:  
קיימת קבוצה מיוחסת של מערכות יחוס בהן מתקיימות שלושת הטענות הבאות (להלן "החוק הראשון", "החוק השני", ו"החוק השלישי" בהתאמה):
  1. בהיעדר פעולה כלשהי של כוחות חיצוניים, וקטור התנע הקווי של גוף (או מערכת גופים) נשמר בזמן, כלומר במקרה זה \(\dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{0}\).
  2. כאשר כוחות חיצוניים אשר השקול שלהם הוא \(\boldsymbol{F}\) פועלים על גוף (או מערכת גופים) מתקיים הקשר \(\boldsymbol{F}=\dot{\boldsymbol{p}}\).
  3. כל שני גופים הנמצאים באינטראקציה זה עם זה מפעילים זה על זה כוחות השווים בגודלם והפוכים בכיוונם, \(\boldsymbol{F}_{1\to2}=-\boldsymbol{F}_{2\to1}\). אלו הם כוחות פעולה ותגובה.

מערכות הייחוס המיוחסות הללו בהן מתקיימים שלושת חוקי ניוטון מכונות מערכות התמד (inertial frames). מהחוק הראשון אנו למדים ששתי מערכות ההתמד נבדלות זו מזו במהירותן היחסית הקבועה, שאם לא כן הרי שהחוק הראשון לא יהיה תקף לפחות באחת מהן. לכן אם \(\boldsymbol{v}\) היא מהירותו של גוף במערכת ההתמד \(S\), ו- \(\boldsymbol{v}'\) היא מהירותו של גוף במערכת ההתמד \(S'\), ואם \(S'\) נעה במהירות \(\boldsymbol{u}\) ביחס ל- \(S\), אזי \(\boldsymbol{v}'=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\). כאן אנו מניחים במובלע ש- \(t'=t\) כלומר הזמן הוא אבסולוטי ומשותף לכל מערכות ההתמד.

הקשר הזה בין מהירויות של גוף כפי שהן מבוטאות בשתי מערכות התמד הנבדלות זו מזו במהירותן היחסית מכונה טרנספורמציית גליליי של המהירויות. אינטגרציה לפי הזמן תתן את טרנספורמציית גליליי של המיקומים:  \(\boldsymbol{r}'=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{u}t\). ומנגד, גזירה לפי הזמן תיתן את טרנספורמציית גליליי של התאוצות \(\boldsymbol{a}'=\boldsymbol{a}\). בהנחה שהמסה אינה משתנה עם הזמן מתקיים הקשר \(\dot{\boldsymbol{p}}=m\dot{\boldsymbol{v}}=m\boldsymbol{a}\) ואז החוק השני מקבל את הצורה המפורסמת \(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\). יוצא איפה שהחוק השני אינו מבחין בין כל שתי מערכות התמד, ובפרט \(\boldsymbol{F}'=\boldsymbol{F}\).

כאן המקום להדגיש: אין כל צורך - וגם לא כל סיבה - להניח שמערכת התמד היא "מרחב אבסולוטי". לא זו בלבד שהנחה זו מיותרת לחלוטין, היום אנו יודעים שהיא גם מופרכת לחלוטין. עם ניסוחה של תורת היחסות הפרטית ננטש מושג המרחב האבסולוטי לצמיתות. בסופו של דבר לא המרחב הוא אבסולוטי אלא חוקי הטבע. האבסולוטיזם של חוקי הטבע דווקא מחייב קיומם של מרחב וזמן יחסיים.

לחוק הראשון של ניוטון חשיבות אונתולוגית בשני מישורים: ראשית החוק מניח קיומן של מערכות מיוחדות (אלו הן מערכות התמד) בן ורק בן הוא מתקיים. שנית, החוק הראשון מגדיר (על דרך השלילה) את המהות המכונה השפעה חיצונית או כוח: אם וקטור התנע משתנה בזמן סימן הוא לקיומה של השפעה חיצונית או נוכחות כוח. את טיבם המדוייק של ההשפעות החיצוניות החוק הראשון אינו מגדיר וגם אינו מתיימר להסביר.

החוק הראשון מתייג את מערכות ההתמד באמצעות מהירותן היחסית הקבועה, אך בהביטנו דרך המשקפיים של החוק השני תיראנה כל מערכות ההתמד שקולות לחלוטין זו לזו. ההבחנה היחידה ביניהן היא איפה קינמטית-גרידא והיא באה בדמותה של טרנספורמציית גליליי.

החוק השני של ניוטון מקשר באופן לגמרי לא טריוויאלי בין השינוי בתנע לבין ההשפעות החיצוניות המבוטאות באמצעות שקול הכוחות \(\boldsymbol{F}\). כלומר יש כאן אמירה על יחסי גומלין כמותיים בין הסקטור הקינמטי של המערכת בדמותו של השינוי הרגעי בתנע, והסקטור הדינמי של המערכת בדמותם של הכוחות החיצוניים, העשויים להיות תלויים במאפייני המערכת עצמה.

לכאורה אפשר לגזור את החוק הראשון ישירות מתוך החוק השני: כאשר שקול הכוחות מתאפס, התנע הכולל הוא גודל קבוע בזמן. בצורתו זו מכונה החוק הראשון של ניוטון גם "חוק שימור התנע הקווי". אבל לעניות דעתי טעות תהיה לומר שהחוק הראשון הוא לא יותר מאשר מקרה פרטי של החוק השני. החוק הראשון הוא 'ראשוני' יותר בשל העובדה שהוא מגדיר את מאפייניה של מערכת התמד ובעקיפין גם את המשמעות הפיזיקלית של המושג "כוח". 

במובן זה החוק הראשון "מגדיר" את אגף שמאל של משוואת החוק השני, ולכן גם קודם לו מבחינה הירארכית. ללא החוק הראשון יהיה ניסוחו של החוק השני לקוי באופן בסיסי כיוון שהסקטור הדינמי שלו איננו מוגדר אונתולוגית. אמת לאמיתה, כאשר שקול הכוחות שווה לאפס מתקבל חוק שימור התנע ההולם את החוק הראשון. אבל אבחנה זו מבטאת עקביות המובנת בבסיס המודל, ולא מיותרות (redundancy) כפי שלעיתים נוטים לסבור.

השקילות הפיזיקלית המלאה בין מערכות ההתמד היא בסופו של דבר עיקרון יסוד של הטבע העומד גם בבסיס הפרדיגמה היחסותית כפי שניסח אותה אינשטיין. אבל את המעבר בין הפרדיגמה הגלילאנית לפרדיגמה היחסותית שורד דווקא רק החוק הראשון. גם זו סיבה טובה שלא לראותו רק כמקרה פרטי של החוק השני, אלא כעמוד תווך בסיסי יותר.

החוק השני מתרגם טענה פיזיקלית בדבר השקילות של ההשפעות החיצוניות לשינוי הרגעי בתנע למשוואה דיפרנציאלית וקטורית. אם נתמקד במקרה של מסה קבועה כך ש- \(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\), הרי שהואיל ווקטור התאוצה הרגעית היא הנגזרת השניה של וקטור המקום, והואיל וההשפעות החיצוניות עשויות להיות תלויות מקום מהירות וזמן, החוק השני מקבל את הצורה
\begin{aligned}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r},\dot{\boldsymbol{r}},t\right)=m\ddot{\boldsymbol{r}}.\end{aligned}
פתרונה של המשוואה בתוספת תנאי התחלה למקום ולמהירות מנפק את מיקומו מהירותו ותאוצתו של הגוף (או המערכת) בכל זמן. לכן התורה הניוטונית מתארת מציאות דטרמיניסטית ברת חיזוי מדוייק.

הבה נתמקד במערכת המנוחה של צופה מסויים. במערכת זו הצופה תמיד במנוחה ולכן אם חל עליו החוק הראשון, הוא לא צפוי לחוש כוחות אף פעם. אם בכל זאת הוא חש כוחות אזי בהכרח החוק הראשון אינו חל עליו והחוק השני חסר משמעות עבורו. אם נחזור אל ההגדרה של החוק הראשון נגלה שמערכת המנוחה של הצופה החש כוחות איננה מערכת התמד.

כיצד יודע הצופה שלנו שבמערכת שלו פועלים כוחות? באמצעות "מדי כוח" למיניהם: אם גופים הנמצאים במערכת הייחוס שלו מאיצים פתאום ללא סיבה, או אם הם נכנסים למצב שיווי משקל חדש (כמו מטוטלת המתאזנת בזווית, קפיץ הנדחס או נמתח מעבר למצבו הרפוי וכ'), או אם הוא מיטלטל בלי שאף אחד יטלטל אותו אז בהכרח פועלים כוחות במערכת המנוחה שלו.

כוחות הפועלים על צופה במערכת המנוחה שלו עצמו מכונים כוחות מדומים, ומסיבות מובנות. מערכת לא אינרציאלית (כלומר שאינה מערכת התמד) היא אם כן מערכת בה מורגשים כוחות מדומים. האם משמעות הדבר שהחוק השני של ניוטון לא תקף עוד? התשובה היא: במסגרת התורה הניוטונית הוא תקף רק במערכת התמד.

ואולם, אם נוכל לבצע טרנספורמציה ממערכת הייחוס הלא אינרציאלית היכן שהחוק השני חסר משמעות, למערכת התמד כלשהי היכן שתוקפו ודאי, נוכל להכיל אותו גם על הכוחות המדומים! ובאמת, אפשר לעשות זאת באמצעות גדג'ט בשם מערכת התמד רגעית ועל כך הרחבתי בחיבורי עתיק היומין כאן.

לכן בניגוד לסברה רווחת, כוחות מדומים משחקים תפקיד מרכזי בפרדיגמה הניוטונית, וכמובן גם בפרדיגמה היחסותית שמחליפה אותה. נוכחותם או העדרם היא אבן הבוחן באמצעותה יוכל כל צופה לקבוע האם מערכת המנוחה שלו היא מערכת התמד, אם לאו. המידע הזה חיוני עבורו משום שרק באמצעותו יוכל לדעת האם החוק הראשון והחוק השני של ניוטון תקפים במערכת שלו ואם יוכל לעשות בם שימוש.





יום רביעי, 23 בספטמבר 2015

התיאור השלם של התורה האלקטרומגנטית


החיבור הזה הוא תיאור תמציתי וממצא של התורה האלקטרומגנטית בגישה מאוד מופשטת ומאוד כללית, והוא מיועד ליודעי-ח"ן שמתמצאים בכלים השאולים מהגיאומטריה הדיפרנציאלית והטופולוגיה האלגברית.** זהו לטעמי הניסוח האלגנטי ביותר, השלם ביותר, ולעניות דעתי גם המודרני ביותר של התורה האלקטרומגנטית בטרם קוונטיזציה ואתם מוזמנים להציץ ולהיפגע... הערות ותיקונים יתקבלו בברכה.

בשלב הראשון, ולאחר כמה מנהלות הכרחיות, אציג את התורה בתלת-מרחב. אמנם כבר בשלב מקדמי זה נקבל את שימור המטען, את משוואות מקסוול, ואת קשרי המבנה, אך עדיין אין בכך כדי לתת את התמונה המלאה וממילא גם לא את העומק הרעיוני הגלום בה. חיוניותו בצורך להציג את דרגות החופש הבסיסיות ואת עקרונות היסוד המנחים. בחלקו השני של החיבור אגיש את הניסוח השלם במרחב-זמן כללי, ורק אז באמת נחשפת התורה במלוא עצמתה.

אני ארשה לעצמי לקחת את החופש לדלג על הצגה מסודרת של השפה המתמטית בה אשתמש, ואתנער מכל גינוני הנוקדנות המאפיינים טקסטים מתמטים. מקווה לפרסם מתישהו בעתיד מעין "מילון מונחים מתמטי ומשפטים" בגיאומטריה דיפרנציאלית ובטופולוגיה אלגברית ומקווה בדרך זו 'להנחיל' את השפה המשובחת הזו לקהל הקוראים המעוניין. 

** ככל הידוע לי גישה זו הלכה והתפתחה החל מאמצע המאה הקודמת (ואולי לפני?) וגובשה סופית רק לאחר הניסוח של תורת יאנג-מילס בשפה של אגד סיבים. 


I מנהלות:

א) זירות ההתרחשות:
  • תלת-מרחב: יריעה רימנית \(M_{3}\) ממימד שלוש הממדלת תלת-מרחב; מצויידת במטריקה \(\xi\) עם חותם אאוקלידי ועל כל טלאי שלה קורדינטות הולונומיות \(\left(x,y,z\right)\) עם קו-בסיס \(\left(dx,dy,dz\right)\). במקרה זה הזמן \(t\) הוא פרמטר חיצוני.
  • מרחב-זמן: יריעה רימנית \(M_{n}\) ממימד \(n\geq4\) הממדלת את המרחב והזמן המאוחדים כמו בתורת היחסות הכללית; יריעה זו מצויידת במטריקה \(g\) עם חותם מינקובסקיאני ועל כל טלאי שלה \(n\) קואורדינטות הולונומיות \(\left(x^{0},x^{1},\ldots,x^{n}\right)\) וקו-בסיס \(\left(\mathrm{d}x^{0},\mathrm{d}x^{1},\cdots,\mathrm{d}x^{n}\right)\). הקואורדינטה הראשונה \(x^{0}\) היא דמויית-זמן ושאר הקואורדינטות \(x^{1}\cdots{}x^{n}\) הן דמויות-מרחב. 

ב) אופרטורים ופעולות בזירה:
  • מכפלה חיצונית  \(\wedge\) בין תבניות: תהא \(\omega\) תבנית מסדר \(p\leq{}n=\text{dim}\,M_{n}\) ותהא \(\phi\) תבנית מסדר \(q\leq{}n-p\). אזי,  \(\omega\wedge\phi=\left(-1\right)^{pq}\phi\wedge\omega\).
  • נגזרת חיצונית \(d\) על תבניות מעל \(M_{3}\):  מעלה את סדר התבנית באחד ומקיימת את כלל לייבניץ המדורג:  \(d\left(\omega\wedge\phi\right)=d\omega\wedge\phi+\left(-1\right)^{p}\omega\wedge{}d\phi\).
  • נגזרת חיצונית \(\mathrm{d}\) על תבניות מעל \(M_{4}\) ובכלל: מעלה את סדר התבנית באחד ומקיימת את כלל לייבניץ המדורג:  \(\mathrm{d}\left(\omega\wedge\phi\right)=\mathrm{d}\omega\wedge\phi+\left(-1\right)^{p}\omega\wedge\left(\mathrm{d}\phi\right)\). שימו לב להבחנה בין \(d\) ל- \(\mathrm{d}\).
  • נגזרת לי \(\mathfrak{L}_{X}\) על תבניות: ראו נוסחת קרטן בסעיף הבא תחת הכותרת "משפטים מתמטיים". 
  • צמצוםהטלה של תבנית על שדה וקטורי, כך שלכל תבנית \(\omega\) ולכל שדה וקטורי \(X\) מעל \(M_{n}\) מתקיים: \(X\rfloor{X}\rfloor\omega\equiv0\). הצמצום מוריד את סדר התבנית באחד. ובפרט, \(X\rfloor\left(\omega\wedge\phi\right)=\left(X\rfloor\omega\right)\wedge\phi+\left(-1\right)^{p}\omega\wedge\left(X\rfloor\phi\right)\).
  • כוכב הודג' \(\ast\), מיפוי של תבניות מסדר \(p\leq3\) לתבניות מסדר \(3-p\)  על תלת המרחב \(M_{3}\). המיפוי מכיל את כל המידע על המבנה המטרי \(\xi\) בו מצויידת \(M_{3}\). ובפרט, המיפוי ההופכי ניתן ע"י \(\ast^{-1}=\text{sgn}\left(\xi\right)\left(-1\right)^{p\left(3-p\right)}\).
  • כוכב הודג' \(\star\), מיפוי של תבניות מסדר \(3<p\leq{}n\) לתבניות מסדר \(n-p\)  על מרחב-זמן \(M_{n}\), מוכפל באדמיטנס של הואקום (ראו סעיף ה' מטה). המיפוי מכיל את המידע על המבנה המטרי \(g\) בו מצויידת \(M_{n}\), עד כדי מכפלה מקומית בפונקציה סקלרית. המיפוי ההופכי ניתן ע"י \(\star^{-1}=\text{sgn}\left(g\right)\left(-1\right)^{p\left(n-p\right)}\).
  • מרחב התבניות מסדר \(p\) מעל \(M_{n}\) הוא מרחב מכפלה פנימית המצוייד במכפלה הפנימית \(\left<\omega,\phi\right>=\oint_{\Upsilon}\omega\wedge\star\phi\) באשר \(\Upsilon\) שרשרת סגורה ממימד \(n\). ובפרט, \(\left<\omega,\phi\right>=\left<\phi,\omega\right>\) וכן \(\left<\omega,\omega\right>\geq0\).
  • הצמוד ההרמיטי של הנגזרת החיצונית: \(\mathrm{d}^{\dagger}=\left(-1\right)^{pn}\text{sgn}\left(g\right)\star\mathrm{d}\star\) מקיים: \(\left<\mathrm{d}\omega,\phi\right>=\left<\omega,\mathrm{d}^{\dagger}\phi\right>\).
  • הלפלסיאן בתלת-מרחב: \(\nabla^{2}=dd^{\dagger}+d^{\dagger}d\). הדלמברטיאן במרחב-זמן (עד כדי הכפלה בקבועים אוניברסליים): \(\Box=\mathrm{d}\mathrm{d}^{\dagger}+\mathrm{d}^{\dagger}\mathrm{d}\).

ג) משפטים מתמטים:
  1. משפט סטוקס: לכל תבנית \(\omega_{p}\) מסדר \(0\leq{p}\leq{n}-1\) ולכל שרשרת חסומה \(\Omega_{p+1}\) מסדר \(p+1\) התחומה בגבול \(\partial\Omega_{p+1}\) מתקיים: \begin{align}\int_{\Omega_{p+1}}\mathrm{d}\omega_{p}=\oint_{\partial\Omega_{p+1}}\omega_{p}\end{align} מעתה ואילך נסמן \(\Omega_{3}=:\Omega\), \(\Omega_{2}=:\Sigma\), \(\Omega_{1}=:C\).
  2. משפט הסגירות של אופרטורי גבול וקו-גבול: אופרטורי גבול מהסוג \(\partial\), אופרטורי קו-גבול מהסוג \(\mathrm{d}\) וצמודיהם ההרמיטיים \(\mathrm{d}^{\dagger}\) מקיימים באופן זהותי:  \begin{align}\mathrm{d}_{p+1}\mathrm{d}_{p}\equiv0,\quad\mathrm{d}^{\dagger}_{p-1}\mathrm{d}^{\dagger}_{p}\equiv0,\quad\partial_{p-1}\partial_{p}\equiv\emptyset\end{align} משמעות הזהויות: תבנית מדוייקת היא תמיד סגורה (אך תבנית סגורה היא לא בהכרח מדוייקת); הגבול של גבול הוא תמיד קבוצה ריקה.
  3. הלמה של פואנקרה: אם \(\omega\) תבנית סגורה מסדר \(p<n\), כלומר \(\mathrm{d}\omega=0\), אז באופן מקומי \(\omega=\mathrm{d}\phi\). הווה אומר, קיימת סביבה מיידית שבה \(\omega\) לא רק סגורה אלא גם מדוייקת. אם היריעה \(M_{n}\) צמצימה לנקודה אז הלמה של פואנקרה מתקיימת גלובלית; אם לאו, הרי שבטופולוגיה לא-טריוואלית עסקינן.
  4. נוסחת קרטן: לכל תבנית \(\omega\) ולכל שדה וקטורי \(X\) מעל \(M_{n}\) מתקיים הקשר \begin{align}\mathfrak{L}_{X}\omega=\mathrm{d}\left(X\rfloor\omega\right)+X\rfloor\left(\mathrm{d}\omega\right)\end{align}


II: הקמת התורה בתלת-מרחב.

א) עקרונות בסיסיים ומונחי יסוד.
  1. נקודת המוצא בתורה האלקטרומגנטית היא נוכחותה של צפיפות מטען חשמלית המתוארת באמצעות תלת-תבנית \(\rho\) על יריעה דמויית-מרחב. אינטגרציה מרחבית במתחם \(\Omega\) התָּחוּם בקרום הסגור \(\partial\Omega\) על \(\rho\) מנפקת את סך כל המטען החשמלי הכלוא במתחם, \(\int_{\Omega}\rho=Q\). 
  2. מטען חשמלי קורן השפעתו ממנו והלאה. נגדיר דו-תבנית \(D\) דרך הקשר \(dD:=\rho\). הגדרה זו של \(D\) היא הניסוח המקומי של משוואת מקסוול הראשונה. התבנית \(D\) מכונה תבנית הערור החשמלי אך מסיבות היסטוריות יכנוה לעיתים גם שדה ההעתק.
  3. שימוש במשפט סטוקס מוביל לכך שהאינטגרל של \(D\) על קרום סגור התוחם מתחם כלשהו \(\Omega\) הוא המטען התחום במתחם, כלומר \(\oint_{\partial\Omega}D=Q\). זהו הניסוח הגלובלי של משוואת מקסוול הראשונה והוא מכונה חוק גאוס.
  4. אובזרבציה: אף שיש תופעות מגנטיות הרי שהן אינן מושרות מקיומו של מטען מגנטי אלא מנוכחות זרמים חשמליים (לכן תופעות מגנטיות הן בהכרח תלויות צופה).
  5. תהא דו-התבנית \(B\) המקבילה המגנטית ל- \(D\). אזי, \(dB=0\), ובאופן גלובלי \(\oint_{\partial\Omega}B=0\). אלו הם בהתאמה הניסוח המקומי והניסוח הגלובלי למשוואת מקסוול השלישית ו-\(B\) מכונה ההשראה המגנטית. את הניסוח הגלובלי של משוואת מקסוול השלישית אכנה חוק גאוס המגנטי.
  6. אובזרבציה: המטען החשמלי במערכת נתונה נשמר, כלומר אינו נברא יש מאין ואינו כלה באין. היות וכך, השינוי המקומי במטען הוא מקור לשטף מטען הקורן ממנו והלאה (או להיפך).
  7. נתאר את שימור המטען הנ"ל באמצעות דו-תבנית \(j\) המקיימת \(dj=-\partial\rho/\partial{t}\). זוהי משוואת הרציפות ודו-התבנית \(j\) מכונה צפיפות הזרם החשמלי.
  8. היות וצפיפות הזרם החשמלי היא צפיפות מטען חשמלי הרוכבת על שדה מהירויות כלשהו \(\boldsymbol{\mathrm{v}}\), נוכל לתארה באמצעות \(j=\boldsymbol{\mathrm{v}}\rfloor{\rho}\) כלומר באמצעות הטלה של תלת-תבנית צפיפות הזרם על שדה המהירויות.
  9. היות ו- \(d\rho\equiv0\), נוסחת קרטן תנפק: \(dj=d\left(\boldsymbol{\mathrm{v}}\rfloor{\rho}\right)=\mathfrak{L}_{\boldsymbol{\mathrm{v}}}\rho-\boldsymbol{\mathrm{v}}\rfloor{d}\rho=\mathfrak{L}_{\boldsymbol{\mathrm{v}}}\rho\). במקרה זה משוואת הרציפות מקבלת את הצורה \(\mathfrak{L}_{\boldsymbol{\mathrm{v}}}\rho=-\partial\rho/\partial{t}\), כלומר השינוי בצפיפות המטען המקומית הוא (מינוס) שדה הזרימה שלה.
  10. הזרם החשמלי מוגדר להיות האינטגרל על צפיפות הזרם, \(i_{\Sigma}=\int_{\Sigma}j\). ניקח אינטגרציה על משוואת הרציפות בתוך המתחם \(\Omega\) התחום בקרום \(\partial\Omega\), ניעזר במשפט סטוקס, ונקבל את התצורה הגלובלית של שימור המטען: \(i_{\partial\Omega}=-\dot{Q}_{\Omega}\).

ב) ניתוח.
  1. נציג את משוואת מקסוול הראשונה במשוואת הרציפות (משוואת שימור המטען המקומית) ונקבל: \begin{align}d\left(j+\frac{\partial{D}}{\partial{t}}\right)=0\quad\Rightarrow\quad\underbrace{{j}+\frac{\partial{D}}{\partial{t}}}_{=:\;j_{\text{total}}}:=dH\end{align} צפיפות הזרם המוכללת \(j_{\text{total}}=j+\partial{}D/\partial{}t\) היא דו-תבנית סגורה ומדוייקת; השינוי בזמן של העירור החשמלי \(D\) מייצר מקור נוסף לצפיפות זרם. המשוואה המקומית החדשה שקיבלנו מכונה משוואת מקסוול השנייה.
  2. קיבלנו איפה שמשוואת מקסוול השנייה היא פועל יוצא של משוואת מקסוול הראשונה ושל משוואת הרציפות. לכן הזוג הראשון של משוואות מקסוול הוא ניסוח מתמטי חד-ערכי של שני עקרונות יסוד: א) קיום מטען חשמלי, ב) שימור מטען חשמלי.
  3. אינטגרציה של משוואת מקסוול השנייה על משטח דו-מימדי \(\Sigma\) התחום במסילה \(\partial\Sigma\) מנפקת את הגירסא הגלובלית של המשוואה:  \begin{align}\oint_{\partial\Sigma}H=i+\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}D\end{align} משוואה זו מכונה חוק אמפר.
  4. עתה ברור מדוע גם דו-התבנית \(D\) אותה מאסכמים על משטחים סגורים (לאסכם = לקחת אינטגרל) וגם חד-התבנית \(H\) אותה מאסכמים על לולאות סגורות מכונים שדות עירור: \begin{align}\rho=dD,\quad{j}_{\text{total}}=dH\end{align} \(D\) הוא שדה העירור של צפיפות המטען החשמלי הסטטי ו- \(H\) הוא שדה העירור של צפיפות המטען החשמלי הזירמי ושתי המשוואות דלעיל מתארות במדוייק את תלות השדות במקורות. לעיתים יכונה \(H\) השדה המגנטי.
  5. היות ולשדה העירור \(D\) של צפיפות המטען החשמלי יש מקבילה מגנטית בדמותה של ההשראה המגנטית \(B\) והיא מקודדת את המידע בדבר היעדר צפיפות מטען מגנטית בבסיסן של התופעות המגנטיות, הרי שלשדה העירור של צפיפות המטען המגנטית \(H\) צריכה להיות מקבילה חשמלית שתקודד את היעדרם של מקורות שדה זרמיים בבסיסן של התופעות החשמליות. זוהי חד-תבנית השדה החשמלי \(E\). 
  6. משוואת השדה של \(E\) מחקה את זו של \(H\) בהיעדר זרמים חשמליים כמקורות לשדה. מכאן, \begin{align}dE=-\frac{\partial{B}}{\partial{t}}\end{align} זהו סוג של משוואת רציפות והיא מכונה משוואת מקסוול הרביעית. אינגרציה על משטח דו מימדי \(\Sigma\) התחום בלולאה \(\partial\Sigma\) תנפק את הניסוח הגלובלי: \begin{align}\oint_{\partial\Sigma}E=-\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}B\end{align} המכונה גם חוק פארדיי.
  7. למרות הדמיון בין צמד תבניות העירור לצמד שדות ההשראה, שני הצמדים מתנהגים הפוך תחת שיקוף: \(\left(D,H\right)\mapsto\left(-D,-H\right)\) בעוד ש-  \(\left(B,E\right)\mapsto\left(B,E\right)\). בתרשימים מטה המראה ממוקמת בניצב למעגלים של \(H\) ו- \(E\), ובמקביל למעגלים של \(D\) ו- \(B\).
ההמחשה של סכאוטן לתבניות השדה הא"מ המבטאת את התנהגות השדות תחת שיקוף. התרשים הועתק מהרצאה של הל ולוקס.


ג) משוואות מקסוול + משוואת הרציפות, סיכום.
\begin{alignat}{7}&&\qquad&&\text{תצורה מקומית}&&\qquad&&\text{תצורה גלובלית}&&\qquad&&\text{כינוי}\\\\&&&&dD=\rho&&&&\oint_{\partial\Omega}D=Q&&&&\text{חוק גאוס החשמלי}\\&&&&dH=j+\frac{\partial{D}}{\partial{t}}&&&&\oint_{\partial\Sigma}H=i+\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}D&&&&\text{חוק אמפר}\\&&&&dB=0&&&&\oint_{\partial\Omega}B=0&&&&\text{חוק גאוס המגנטי}\\&&&&dE=-\frac{\partial{B}}{\partial{t}}&&&&\oint_{\partial\Sigma}E=-\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}B&&&&\text{חוק פארדיי}\\\\&&&&dj+\frac{\partial\rho}{\partial{t}}=0&&&&i_{\partial\Omega}=-\frac{dQ_{\Omega}}{dt}&&&&\text{שימור מטען}\end{alignat}

ד) פוטנציאלים ומתח.
  1. מחוק גאוס המגנטי דו-התבנית \(B\) סגורה מקומית וגלובלית ולכן מדוייקת, \(B=d\alpha\). ובפרט, \(\oint_{\partial\Omega}B=\oint_{\partial\Omega}d\alpha=\oint_{\partial\partial\Omega}\alpha=0\) היות ו- \(\partial\partial\Omega\equiv\emptyset\). חד-התבנית \(\alpha\) מכונה הפוטנציאל המגנטי. (את הסימול המקובל \(A\) נשמור לתורה המוכללת).
  2. נציג \(B=d\alpha\) במשוואת מקסוול הרביעית ונקבל: \begin{align}d\left(E+\frac{\partial\alpha}{\partial{}t}\right)=0\quad\Rightarrow\quad{}E=-\frac{\partial\alpha}{\partial{}t}-d\chi\end{align}השדה הסקלרי \(\chi\) - תבנית מסדר אפס - מכונה הפוטנציאל האלקטרוסטטי. לכן חד-תבנית השדה החשמלי \(E\) מדוייקת רק אם \(\alpha\) בלתי תלוייה מפורשות בזמן.
  3. טרנספורמציות כיול הן טרנספורמציות שאינן משנות את התוכן הדינאמי של התורה. ובאמת, 'רואים בעיניים' שתחת טרנספורמציית הכיול המקומית \begin{align}\alpha\mapsto\alpha+d\lambda,\quad\chi\mapsto\chi-\frac{\partial\lambda}{\partial{t}}\end{align} התבניות \(B\) ו- \(E\) נשארות בלתי נגועות, וכך גם כל שאר התוכן הדינאמי של התורה.
  4. כאשר התבנית \(E\) אינה מדוייקת, האינטגרל המסלולי שלה על לולאה סגורה \(C\) הוא המתח המתפתח על הלולאה, \(\oint_{C}E=\mathcal{E}\). לכן משוואת מקסוול הרביעית בניסוחה הגלובלי תירשם \begin{align}\mathcal{E}=-\frac{d}{dt}\int_{\Sigma}B\end{align}

ה) קבועים אוניברסליים.

\(\epsilon_{0},\mu_{0}\)  הם קבועי המבנה האוניברסליים של הואקום; אנו נתייחס אליהם בהתאמה כחותם החשמלי והמגנטי של הואקום. \(\sqrt{\epsilon_{0}/\mu_{0}}\) מכונה האדמיטנס של הואקום; מסיבות שמייד תתבררנה, \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}\) הוא ריבוע מהירות האור בואקום.


ו) שני אנזצים. 
  1. כל מערכות ההתמד שקולות לחלוטין (מבחינה פיזיקלית) זו לזו.
  2. בכל מערכות ההתמד מתקיימים קשרי המבנה של הואקום  \begin{align}D=\epsilon_{0}\ast{E}\quad\text{and}\quad{B}=\mu_{0}\ast{H}\end{align}

בשמם העתיק מכונים קשרי המבנה של הואקום גם "קשרי האתר" והם סוג של משוואות מצב של הוואקום, המשותף כאמור לכל מערכות ההתמד. מבחינה היסטורית, מקור הקשרים בתצפית ומקור השם "קשרי האתר" באי-הבנה הורתו (שהרי קיומו של אתר הוא פרי דמיון גלילאני).


ז) הואקום בתלת-מרחב:
  1. היות והאופרטור \(\ast\) מכיל את כל המידע על המבנה המטרי של יריעת תלת-המרחב, הרי שקשרי האתר מגדירים במדוייק את הגיאומטריה בתלת-מרחב. ובפרט, האלקטרוסטטיקה משרה על תלת-המרחב גאומטריה אאוקלידית כך שבמקרה זה \(V_{3}=\mathbb{E}_{3}\) עם המטריקה \(\xi=\delta\).
  2. מה קורה בהיעדר מקורות? כיצד נראה הואקום של התורה? מהן משוואות הקרינה הא"מ? נשבץ את קשרי המבנה בזוג הראשון של משוואות מקסוול המקומיות, נאפס את המקורות \(\rho\) ו- \(j\) נשתמש בקשר \(\ast\ast{}H=H\) ונקבל: \begin{alignat}{2}\epsilon_{0}\,d\left(\ast{}E\right)=0&&\\d\left(\ast{}B\right)=\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\ast{}E\right)&&\\dB=0&&\\dE=-\frac{\partial{}B}{\partial{t}}\end{alignat}
  3. טענה: התורה מצויידת במהירות אינהרנטית, היא מהירות תנועתן המשותפת של ההשראה המגנטית והשדה החשמלי בואקום. מהירות זו היא פועל יוצא של קשרי המבנה של הואקום.
  4. הבה נוכיח את הטענה האחרונה במפורש: ניקח \(d\ast\) לשני אגפי משוואת מקסוול השנייה בוואקום, נשתמש בקשר \(\ast\ast{}E=E\), נציג פנימה את \(dE\) מהמשוואה הרביעית ונקבל: \begin{align}d\ast{}d\ast{}B&=\epsilon_{0}\mu_{0}\,\frac{\partial}{\partial{t}}\left(d\ast\ast{}E\right)=\epsilon_{0}\mu_{0}\,\frac{\partial}{\partial{t}}\left(dE\right)=-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}B}{\partial{t}^{2}}\\&\end{align} היות ו- \(d\ast{}d\ast+\ast{}d\ast{}d=\nabla^{2}\) ומאחר ו- \(dB\equiv0\) הרי שקיבלנו את משוואת הגלים עבור \(B\) עם המהירות האינהרנטית \(c^{2}\). משוואה דומה נקבל כמובן גם עבור \(E\). אנליזה של הפתרונות (ראו למשל כאן) מובילה למסקנה ששני השדות שזורים זה בזה ונעים כגל באין-תווך במהירות \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}\).

ח) המקרה האלקטרוסטטי:

נשבץ את התבנית המדוייקת \(E=d\chi\) ואת הקשר המבני \(D=\epsilon_{0}\ast{}E\) במשוואת מקסוול הראשונה \(dD=\rho\) ונקבל \(ֿ\epsilon_{0}d\ast{}d\chi=\rho\); ניקח מיפוי הודג' של המשוואה ונקבל \(\ast{}d\ast{}d\chi=\ast\rho/\epsilon_{0}\). הואיל ו- \(\ast\chi\) היא תבנית מסדר שלוש, הרי ש- \(d\ast\chi\equiv0\), ולכן המשוואה שקיבלנו שקולה לגמרי למשוואה \(\nabla^{2}\chi=-\rho/\epsilon_{0}\). זוהי משוואת פואסון עבור הפוטנציאל האלקטרוסטטי. 


ט) ארבעון השדות.

זה באמת חביב שאפשר לסדר את דרגות החופש של התורה על קודקודיו של ארבעון שבו כל צלע מבטאת קשר אינטימי בין שתי דרגות החופש שהיא מחברת. על הגירסא הוקטורית של ארבעון השדות כתבתי בעבר כאן.


מה נשאר פתוח בתיאור התלת-מרחבי של התורה?
  • ראשית, מקור הזוג השני של משוואות מקסוול נשאר מעט מעורפל: הנוקדנים טרם השתכנעו שמדובר באילוץ על היעדר מטענים מגנטיים.
  • שנית, הניסוח התלת-מרחבי אינו קווריאנטי ביחס למעבר בין מערכות התמד, כלומר אינו מכבד מפורשות את הסימטריה תחת טרנספורמציות לורנץ.
  • שלישית, הניסוח התלת-מרחבי עדיין אינו "בשל" להיטמע בתורת הכבידה באופן שאינו תלוי בגיאומטריה של יריעת הבסיס.
  • ורביעית, טרם הצגנו לגרנג'יאן וטרם הצגנו את חוקי האינטראקציה של קרינה עם חומר.
כדי לסגור את כל ארבעת הקצוות באופן מלא ומשביע רצון נעבור לייצוג הטבעי של התורה על יריעת המרחב-זמן הארבע-מימדית עם חותם מינקובסקיאני. אזי נקבל תורה שלמה המנוסחת באופן שהוא בלתי תלוי בבחירת מערכת היחוס של המתבונן, בלתי תלוי בקואורדינטות בהן הוא משתמש, ובלתי תלוי בגיאומטריה של יריעת הבסיס כלומר משתלב בשלמות בתורת הכבידה.


חלק ג': התאור הכללי והשלם:

אנו נרחיב עתה את היריעה, תרתי משמע\(\ldots\) הילכך שימו לב שוב להבחין בין \(d\) ו- \(\ast\) הפועלים על תבניות מעל \(M_{3}\) לבין \(\mathrm{d}\) ו- \(\star\) הפועלים על תבניות מעל \(M_{4}\). ובפרט, \(dt\to\mathrm{d}t=:\mathrm{d}x^{0}/c\), \(dz\to\mathrm{d}z=:\mathrm{d}x^{3}\), \(dy\to\mathrm{d}y=:\mathrm{d}x^{2}\), \(dx\to\mathrm{d}x=:\mathrm{d}x^{1}\), והאופרטור \(\star\) פועל ביחס לקו-בסיס \(\left(\mathrm{d}x^{0},\mathrm{d}x^{1},\mathrm{d}x^{2},\mathrm{d}x^{3}\right)\) בתוספת הכפלה באדמיטנס \(\sqrt{\epsilon_{0}/\mu_{0}}\).


א) הרכבות מרחב-זמניות: 
\begin{alignat}{4}J:=\rho-j\wedge\mathrm{d}t&&\qquad&&\text{תלת-תבנית המקורות}\\G:=D-H\wedge\mathrm{d}t&&\qquad&&\text{דו-תבנית שדה העירורים}\\F:=B+E\wedge\mathrm{d}t&&\qquad&&\text{דו-תבנית העקמומיות}\end{alignat}
קל מאוד להיווכח שהתבניות \(G\) ו- \(F\) מתלכדות עם הטנזורים המוכרים מהניסוח הקווריאנטי של המסורתי של התורה, ושתלת-תבנית המקורות מתלכדת עם ארבע-וקטור המקורות. 


ב) משוואות מקסוול + שימור מטען:
  1. משוואת הרציפות: \begin{align}\mathrm{d}J&=\mathrm{d}\rho-\mathrm{d}j\wedge\mathrm{d}t\\&=-\frac{\partial\rho}{\partial{t}}\wedge\mathrm{d}t-\left(dj\right)\wedge\mathrm{d}t\,\equiv\,0\end{align}
  2. הזוג הראשון של משוואות מקסוול: \begin{align}\mathrm{d}G&=\mathrm{d}D-\mathrm{d}H\wedge\mathrm{d}t\\&=dD+\frac{\partial{}D}{\partial{}t}\wedge\mathrm{d}t-\frac{\partial{}D}{\partial{}t}\wedge\mathrm{d}t-j\wedge\mathrm{d}t\\&=\rho-j\wedge\mathrm{d}t\,=\,J\end{align}
  3. הזוג השני של משוואות מקסוול:  \begin{align}\mathrm{d}F&=\mathrm{d}B+dE\wedge\mathrm{d}t\\&=dB+\frac{\partial{}B}{\partial{}t}\wedge\mathrm{d}t-\frac{\partial{}B}{\partial{}t}\wedge\mathrm{d}t\,=\,0\end{align}
כלומר,
  • משוואת הרציפות תירשם \(\mathrm{d}J=0\), הזוג הראשון של משוואות מקסוול ירשם \(\mathrm{d}G=J\) והזוג השני של משוואות מקסוול ירשם כ- \(\mathrm{d}F=0\).
  • קשרי המבנה של הואקום מבוטאים באמצעות המיפוי \(G=\star{F}\) (תרגיל בית).

ג) גיאומטריה:
  1. התבנית \(F\) מקבלת פרשנות של עקמומיות המושרת על אגד של סיבים חד-מימדיים עם הפעולה של החבורה האבלית \(U\left(1\right)\) "לאורך הסיב". איברי החבורה הם פאזות תלויות-מקום מהצורה \(u=e^{i\phi\left(x\right)}\) היכן ש- \(x\) מבטא נקודת על יריעת הבסיס, היא המרחב-זמן \(M_{n}\). 
  2. הזוג השני של משוואות מקסוול מתמצא בטענה שדו-תבנית העקמומיות \(F\) סגורה ולכן לוקלית גם מדוייקת, כלומר \(F=:\mathrm{d}A\). כשהטופולוגיה של האגד טריוויאלית, דו-תבנית העקמומיות מדוייקת גם באופן גלובלי.
  3. לכן, אם \(F\) מקבלת פרשנות של דו-תבנית עקמומיות על אגד סיבים, הרי ש- \(A\) היא חד תבנית הקישורת המתאימה (connection one-form), והסגירות של \(F\) היא הגשמה של זהות ביאנקי.
  4. תהא \(\phi\) תבנית חלקה מסדר אפס. תחת טרנספורמציית כיול אבלית מהצורה \(A\mapsto{}A+\mathrm{d}\phi\) דו-תבנית העקמומיות נשמרת: \(F\mapsto{}F\), לכן בהכרח גם \(G\mapsto{}G\). מהמשוואה \(\mathrm{d}G=J\) נובע שתלת-תבנית המקורות \(J\) היא אינווריאט של טרנספורמציית כיול.
  5. הנגזרת הקווריאנטית החיצונית ניתנת על-ידי \(\mathrm{d}_{A}:=\mathrm{d}-iA\). מובן, היות ומדובר בחבורה אבלית, \(\mathrm{d}_{A}A=\mathrm{d}A\). 
  6. תהא \(\psi\) תבנית כלשהי, חתך על האגד וכן \(u\in{}U\left(1\right)\). תחת פעולה לינארית של אלמנטים בחבורה על החתך, \(\psi\mapsto{}u\,\psi\), גם הנגזרת הקווריאנטית החיצונית של החתך עוברת לינארית: \(\mathrm{d}_{A}\psi\mapsto{u}\,\mathrm{d}_{A}\psi\).
  7. ב-QED חד-התבנית \(A\) הוא בוזון הכיול הקשור בתורת הכיול \(U\left(1\right)\) והוא "מתווך" באינטראקציה בין החלקיקים החומריים המרכיבים את המקורות. זהו אם-כן הפוטון של תורת השדות האבלית המקוונטטת (אך לא של המודל הסטנדרטי היות ושם חבורת הכיול רחבה יותר);

ד) המבנה הקוהומולוגי של התורה**:


המבנה הקוהומולגי של התורה השלמה
שרשרת מדוייקת של כיול טהור (\(F\equiv0\))


ה) תרשים הרציונאל הפיזיקלי (כיתוב מתחת) והמתמטי (כיתוב מעל):
\begin{align}\overbrace{\underbrace{\mathrm{d}J=0}_{\text{שימור מקורות}\atop\text{חשמליים}}}^{\text{המקורות הם}\atop\text{תבנית סגורה}}\quad\Rightarrow\quad\overbrace{\underbrace{{J}=\mathrm{d}G}_{\text{משוואת שדה}\atop\text{העירורים}}}^{\text{ולכן מקומית}\atop\text{גם מדוייקת}}\quad\Rightarrow\quad\underbrace{\overbrace{G=\star{}F}^{\text{הגיאומטריה של}\atop\text{המרחב-זמן}}}_{\text{המבנה של}\atop\text{הואקום}}\quad\Leftarrow\quad\overbrace{\underbrace{0=\mathrm{d}F}_{\text{אין מטענים}\atop\text{מגנטיים}}}^{\text{זהות ביאנקי}\atop\phantom{\text{כלום}}}\quad\Leftarrow\quad\underbrace{\overbrace{F=\mathrm{d}A}^{\text{העקמומיות}\atop\text{על האגד}}}_{\text{הגדרת תבנית}\atop\text{הפוטנציאל}}\end{align}

ו) אינטגרציות:

(אף שאין בזה הכרח) נפרוש את המרחב-זמן לעלים דמויי-מרחב, כלומר נבצע עלעול (פוליאציה) של המרחב-זמן. 
  1. נאסכם את משוואת העירורים \(\mathrm{d}G=J\) על שרשרת תלת מימדית המכבדת את העלעול ונקבל \(\oint_{\partial\Omega}G=\int_{\Omega}J\). הנה כי כן, הזוג הראשון של משוואות מקסוול מתגשם כחוק גאוס "החשמלי" במרחב-זמן.
  2. נאסכם עתה את זהות ביאנקי \(\mathrm{d}F=0\) על שרשרת תלת-מימדית המכבדת את העלעול ונקבל \(\oint_{\partial\Omega}F=0\). יוצא איפה שהזוג השני של משוואות מקסוול מתגשם כחוק גאוס "המגנטי" (נטול מקורות) במרחב-זמן.
  3. לאותה תוצאה נוכל להגיע גם אם נשתמש במשוואת העקמומיות \(F=\mathrm{d}A\): נאסכם את שני אגפי המשוואה על שרשרת דו-מימדית סגורה \(\partial\Omega\) המונחת על עלה ונקבל \(\oint_{\partial\Omega}F=\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}A=\oint_{\partial\partial\Omega}A=0\) היות ו- \(\partial\partial\equiv\emptyset\). 
  4. מאחר והקשר בין תבנית המקורות לתבנית העקמומיות נקבע באמצעות האנזץ \(G=\star{}F\), והיות והקשר הזה תלוי במבנה המטרי של יריעת הבסיס (עד כדי דילטציה? איני יודע, נושא זה דורש בירור) יוצא שהניסוח של התורה האלקטרומגנטית אדיש לגיאומטריה של המרחב-זמן.
  5. ולבסוף נאסכם את משוואת הרציפות \(\mathrm{d}J=0\) על שרשרת ארבע-מימדית \(M_{4}\ni{}\) ונקבל \(\oint_{\partial{}M_{4}}J=0\) כלומר המקורות אינם "זולגים" החוצה מהמרחב-זמן או פנימה אל המרחב-זמן.


ז) משוואות השדה - סיכום:
\begin{alignat}{5}\text{כינוי}&&\qquad&&\text{תצורה מקומית}&&\qquad&&\text{תצורה גלובלית}\\\text{גאוס חשמלי מרחב-זמני}&&\qquad&&\mathrm{d}G=J&&\quad&&\oint_{\partial\Omega}G=\int_{\Omega}J\\\text{גאוס מגנטי מרחב-זמני}&&\qquad&&\mathrm{d}F=0&&\quad&&\oint_{\partial\Omega}F=0\\\text{שימור מקורות מרחב-זמני}&&\qquad&&\mathrm{d}J=0&&\qquad&&\oint_{\partial{}M_{4}}J=0\end{alignat}
ועל כך יש להוסיף את האנזץ בדבר קשרי המבנה של הוואקום, \(G=\star{}F\).


ח) הצפיפות הלגרנג'יאנית ומשוואות לגראנג' עבור תבנית הפוטנציאל
  1. הצפיפות הלגרנג'יאנית החפשית במונחים של דרגות החופש הבסיסיות היא ארבע-התבנית \(\mathcal{L}_{\text{free}}=\frac{1}{2}\mathrm{d}t\wedge\left(B\wedge{}H-E\wedge{}D\right)\).
  2. ואולם במונחים של דו-תבנית שדה העירורים ודו-תבנית העקמומיות מקבלת הצפיפות הלגרנג'יאנית החפשית את הצורה הקומפקטית (תרגיל בית), \begin{align}\mathcal{L}_{\text{free}}=\frac{1}{2}F\wedge\star{}F=\frac{1}{2}\mathrm{d}A\wedge\star\mathrm{d}A\end{align}
  3. עיקרון הצימוד המינימלי בתורות שדה: איבר האינטראקציה בין "נשא הכוח" (היינו, חד-תבנית הפוטנציאל) ובין תלת-תבנית מקורות השדה האלקטרומגנטי ניתן באמצעות הצימוד המינימלי \(\mathcal{L}_{\text{int}}=A\wedge{}J=A\wedge\star\left(\star{}J\right)\), גם הוא כמובן ארבע-תבנית.
  4. תהא \(M_{4}\) יריעה קומפקטית סגורה \(\Upsilon\), כך ש- \(\partial\Upsilon=\emptyset\). אזי איבר הפעולה הכללי ניתן ע"י סכום המכפלות הפנימיות\begin{align}I&=\oint_{\Upsilon}\left(\frac{1}{2}F\wedge\star{}F+A\wedge{}J\right)=\frac{1}{2}\left<\mathrm{d}A,\mathrm{d}A\right>+\left<A,\star{}J\right>\\&=\frac{1}{2}\left<A,\mathrm{d}^{\dagger}\mathrm{d}A\right>+\left<A,\star{}J\right>\end{align}
  5. מהן אם-כן משוואות אויילר-לגראנג' של הפוטנציאל \(A\)? הפעולה היא פונקציונאל של שני המשתנים, \(A\) ו- \(\mathrm{d}A\), יש לקחת איפה ווריאציה ביחס לשניהם ולסכם. אלא שקל מאוד להיווכח שהווריאציה ביחס ל- \(\mathrm{d}A\) מתאפסת (תרגיל בית; רמז? \(\mathrm{d}\delta=\delta\mathrm{d}\). עוד רמז? \(\mathrm{d}^{2}\equiv0\)), מה שמשאיר אותנו עם המשוואה \begin{align}0=\frac{\delta{}I}{\delta{}A}\end{align}
  6. היות ו-\(A\) אינו תלוי במטריקה הרי שהוריאציה של \(A\) מתחלפת עם מיפוי הודג' של \(A\). ניקח במפורש את הווריאציה של הפעולה לפי התבנית \(A\) ונקבל: \begin{align}\delta{}I&=\left<\delta{}A,\mathrm{d}^{\dagger}\mathrm{d}A\right>+\left<\delta{}A,\star{}J\right>\end{align} 
  7. כל זה מוביל אותנו במישרין למשוואה \(\mathrm{d}^{\dagger}\mathrm{d}A=-\star{}J\). היות ועומד לרשותנו החופש לכייל את \(A\) כרצוננו, נוכל לבחור את הכיול \(\mathrm{d}^{\dagger}A=0\) (מכונה כיול לורנץ) כך שמשוואת אויילר-לגראנג' עבור \(A\) תקבל את הצורה הקומפקטית  \begin{align}-\Box\,A=\star{}J.\end{align}

לסיכום:

הצגנו כאן נוסח שלם עקבי ויחיד של תורה אלקטרומגנטית על מרחב-זמן מכל מימד \(\leq\) \(4\) המצוייד בקואורדינטה דמויית-זמן אחת ובמטריקה כלשהי \(g\). נוסח זה אחיד ותקף לכל מערכת קואורדינטות, ועל כל גיאומטריה רימנית (ואף פוסט-רימנית) של יריעת הבסיס. הילכך התורה האלקטרומגנטית בניסוחה זה משתלבת בהרמוניה מלאה עם כל תורת כבידה שתהיה מבוססת על הגיאומטריה של המרחב-זמן. 

ועם-זאת, לא כל יריעת מרחב-זמן תומכת בהצגות ספינוריות ובהגשמה לינארית של חבורת האיזומטריה. למעשה, המרחב-זמן היחיד התומך בכך, ואשר יש לו קוארדינטה דמויית זמן אחת בלבד, הוא מרחב-זמן ממימד ארבע. הבאה בתור לתמוך בהצגות ספינוריות של חבורת האיזומטריה היא יריעה רימנית ממימד שש עם שתי קוארדינטות דמויות-זמן (במקרה זה חבורת האיזומטריה היא החבורה הקונפורמית החמש-עשרה-פרמטרית המכילה בוסטים, רוטציות, טרנסלציות, טרנספורמציות קונפורמיות ודילטציה). לכן, אף שהתורה שניסחנו כללית מאוד כשלעצמה, הרי שאילוצים מסימטריית הכיול של חבורת הספין מובילים אותנו לתורה הרלוונטית רק למימד ארבע.


** הדיאגרמות לקוחות מרשימות שהכנתי בעבר ואולי מתישהו ייצאו לאור כספר לימוד.




יום ראשון, 2 באוגוסט 2015

אטום המימן ג' - מהסימטריות לספקטרום האנרגיות ולניוונים

תקציר הפרקים הקודמים (הראשון והשני):

  • יהא \(\boldsymbol{L}\) וקטור התנע הזוויתי ו- \(\boldsymbol{\theta}\)  וקטור ציר סיבוב. אזי \(\boldsymbol{\mathcal{O}}\) יקרא אופרטור וקטורי אם הוא מקיים את יחס החילוף \(\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{\mathcal{O}}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{\mathcal{O}}\right)\).
  • התנע הזוויתי \(\boldsymbol{L}\)  וכן וקטור רונגה-לנץ \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) הם אופרטורים וקטוריים. 
  • כל ששת הרכיבים של האופרטורים הנ"ל מתחלפים עם ההמילטוניאן של המימן, והם מקיימים סגירות תחת יחסי החילוף \begin{align}\left[L,L\right]&\subset{L},\quad\left[\mathcal{A},{L}\right]\subset\mathcal{A},\quad\left[\mathcal{A},\mathcal{A}\right]\subset{L}\end{align}
יחסי החילוף הללו מזכירים "קצת" את האלגברה של חבורת לורנץ \(O(3,1)\): במונחים של יוצרים, סיבובים סגורים על עצמם, הקומוטטור של בוסט עם סיבוב הוא בוסט, ובוסט עם בוסט נותן סיבוב (עם סימן מינוס)... ובכל זאת, יש הבדל קטנטן ומקורו ביחסי החילוף של רכיבי \(\mathcal{A}\) עם עצמם.

הבה נדקדק בפרטים. מחד גיסא יוצרי התנע הזוויתי האורביטלי ווקטור רונגה לנץ מקיימים (כל אחד בפני עצמו) יחסי חילוף "נקיים" ובאמת הם מזכירים מאוד את יחסי החילוף בין סיבובים לסיבובים ובין סיבובים לבוסטים:
\begin{align}\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_{k}\,,\quad\left[L_{i},\mathcal{A}_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}\mathcal{A}_{k}\end{align}
מאידך גיסא, יחסי החילוף בין רכיבי \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) לבין עצמם נראים "פחות נקיים" שהרי הם מנפקים קבועי מבנה בהם משובץ "מטען דינמי" בדמותו של ההמילטוניאן (תוצאה זו מצריכה חשבון קצת מלאה, ראו שעורי הבית ברשימה הקודמת):
\begin{align}\left[\mathcal{A}_{i},\mathcal{A}_{j}\right]=\frac{-2i\hbar\mathcal{H}}{mK^{2}}\,\epsilon_{ijk}L_{k}\end{align}

מעתה והלאה, ובלי לפגוע בכלליות הדיון, אנו נצמצם עצמנו למרחב העצמי \(\mathscr{H}(E)\) הנפרש על ידי הוקטורים העצמיים המשוייכים לערך עצמי ספציפי (והמנוון בד"כ) \(E\) של ההמילטוניאן \(\mathcal{H}\). מדוע יש לנו את החופש לעשות זאת? הואיל והאופרטורים הווקטורים \(\boldsymbol{L}\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) מתחלפים עם ההמילטוניאן הלא מוגבל, הרי שהם "מקבעים" את תת-המרחב \(\mathscr{H}(E)\). רוצה לאמר, אם \(\left|\psi\right>\in\mathscr{H}(E)\) אז גם \(L_{i}\left|\psi\right>\) וגם \(\mathcal{A}_{i}\left|\psi\right>\) שייכים ל- \(\mathscr{H}(E)\). כך למשל,
\begin{align}\mathcal{H}\left(L_{i}\left|\psi\right>\right)=L_{i}\left(\mathcal{H}\left|\psi\right>\right)=E\left(L_{i}\left|\psi\right>\right)\quad\Rightarrow\quad{L}_{i}\left|\psi\right>\in\mathscr{H}\left(E\right)\end{align}. 
ובפרט, ההמילטוניאן המצומצם לתת המרחב \(\mathscr{H}(E)\) הוא פשוט אופרטור ההכפלה ב-\(E\)  היינו אופרטור מסוג c-number:
\begin{aligned}\mathcal{H}\left|_{\mathscr{H}(E)}\right.\left|\psi\right>=E\left|\psi\right>.\end{aligned}
החופש הזה מאפשר לנו "לנרמל" את וקטור רונגה לנץ באמצעות "ספיגת ההמילטוניאן" במרכיבי הוקטור. הבה נגדיר אם כן אופרטור דמוי רונגה-לנץ באמצעות

\begin{align}\boldsymbol{A}\stackrel{\text{def}}{=}\sqrt{\frac{mK^{2}}{-2E}}\,\boldsymbol{\mathcal{A}}\tag{d1}\end{align}
אם מדובר בערך עצמי שלילי המאפיין מצב קשור של פרוטון ואלקטרון - היינו אטום מימן - הרי שההגדרה המחודשת (\(d1\)) מובילה אותנו מייד אל המבנה האלגברי הנקי
\begin{align}\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_{k}\,,\quad\left[L_{i},A_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}A_{k}\,,\quad\left[A_{i},A_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_{k}\end{align}
זוהי בדיוק האלגברה של יוצרי חבורת הסיבובים בארבעה מימדים \(SO\left(4\right)\) המעתיקה מיקומן של נקודות על הספירה התלת-מימדת \(S_{3}\). שימו לב שעבור ערך עצמי חיובי המתאים לאטום המיונן מתקבלת דווקא האלגברה של יוצרי חבורת לורנץ (הראו זאת), אם כי לעניות דעתי אין לזה הרבה משמעות שהרי האטום המיונן הוא לא אחר מאשר פרוטון ואלקטרון חופשיים (ואז ממילא אין כל צורך באיבר אינטראקציה כדי לתארם).

טוב ויפה. אלא שחבורת הסימטריה \(SO\left(4\right)\) של המימן איזומורפית באופן מקומי לחבורת המכפלה של סחרורים (ספינים) \(SU\left(2\right)\times{SU}\left(2\right)\) כלומר אותה אלגברת Lie בת שישה יוצרים יוצרת את שתי החבורות וכל ההבדל בינהן (ברמת האלגברה) מתמצא לכל היותר בשינוי בסיס. בואו וניווכח בזה: נבנה סט של יוצרים חדשים, צירופים לינארים של הותיקים באופן הבא:
\begin{align}M_{i}=\frac{1}{2}\left(L_{i}+A_{i}\right)\quad{N}_{i}=\frac{1}{2}\left(L_{i}-A_{i}\right)\end{align}
בדיקה ישירה של יחסי החילוף בין ה-\(M\)-ים לבין ה-\(N\)-ים ובינם לבין עצמם מראה עתה:
\begin{align}\left[M_{i},M_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}M_{k}\,,\quad\left[N_{i},N_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}N_{k}\,,\quad\left[M_{i},N_{j}\right]=0\end{align}
קיבלנו אם-כן שתי אלגברות-לי מסוג \(\mathsf{su}(2)\) המתחלפות זו בזו ומשום כך יוצרות שני עותקים בלתי תלויים של חבורת הסחרור \(SU(2)\) המסחררת בשלושה מימדים. מכאן הטענה לאיזומורפיזם בין יוצרי \(O(4)\) ליוצרי \(SU(2)\times{SU}(2)\) המבוטא בקשר \(so(4)={su}(2)\oplus{su}(2)\). תנו דעתכם על כך שהפקטור \(\hbar\)  המופיע בקבועי המבנה ניתן להעלמה בין אם בבחירה מתאימה של יחידות "טבעיות" בהן \(\hbar=1\), או פשוט נירמול היוצרים באמצעות חלוקה ב-\(\hbar\).

שתי האלגברות \(su(2)\) דלעיל אמנם בלתי תלויות, ובכל זאת מקיימות קשר אינטימי: בתרגיל (h2) ברשימה הקודמת נוכחנו לדעת שאופרטור התנע הזוויתי ואופרטור רונגה-לנץ הם "אורתוגונלים" במובן זה ש- \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}=0\). זה מוביל אותנו מייד ליחס הזהות \(M^{2}=N^{2}\) עבור הקזימירים של שתי החבורות אשר מעתה והלאה (ומסיבות מובנות) יקראו הקזימירים של המימן. מאחר ומדובר באופרטורים דמויי תנע זוויתי, הרי שהמצבים העצמיים המשותפים להם מאופיינים ע"י המספר הקוונטי \(\ell\) ומקיימים
\begin{aligned}M^{2}\left|\ell\right>=N^{2}\left|\ell\right>=\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)\left|\ell\right>\,\quad\ell=0,1/2,1,3/2,2,\ldots\end{aligned}
והיות ו- \(\left[M,\mathcal{H}\right]=\left[N,\mathcal{H}\right]=0\) הרי שהערכים העצמיים של שני אלו הם גם הערכים העצמיים של ההמילטוניאן והם מאפיינים את ספקטרום האנרגיות של המערכת. בשפה 'חבורתית' נאמר שרמות האנרגיה של המערכת של המימן עוברות כמו \(\left(\ell,\ell\right)\) תחת \(SU\left(2\right)\times{SU}\left(2\right)\). אבל מהיכרותנו עם חבורת הסיבובים אנו גם יודעים שכל ערך של ספין \(\ell\) מנוון \(2\ell+1\) פעמים על-פי מספר ההטלות האפשריות של אופרטור הסחרור על "ציר \(z\)"; הילכך ובהתאם לזאת הניוון של כל רמת אנרגיה באטום המימן יהיה מסדר \(n^{2}=\left(2\ell+1\right)^{2}\).

עתה נשתמש בזהות שהוכחנו בתרגיל הבית (h3) ברשימה הקודמת כדי לשלוף מפורשות את מבנה ספקטרום האנרגיות של המימן. ובכן, שם הראנו שאופרטור רונגה-לנץ, אופרטור התנע הזוויתי וההמילטוניאן מקיימים את הקשר
\begin{align}\mathcal{A}^{2}=\frac{2\mathcal{H}\left(L^{2}+\hbar^{2}\right)}{mK^{2}}+1\end{align}
נעבור לאופרטור רונגה לנץ "המנורמל" \(\boldsymbol{A}\) המתקבל ממשוואה (d1) למעלה עם \(E=\mathcal{H}\), נבצע קצת אלגברה ונקבל את אותה משוואה, הפעם במונחי הקזימירים של המימן (קבלו זאת):
\begin{align}\mathcal{H}\left(N^{2}+\frac{\hbar^{2}}{4}\right)=-\frac{mK^{2}}{8}\,.\tag{d2}\end{align}

בשלב זה אנו כבר נמצאים מרחק פסיעה מאפיון מלא של כל המצבים הקוונטים של אטום המימן ומאפיון מלא של כל הניוונים. כזכור לכם, הצגנו קודם לכן \(n=2\ell+1\) עבור ניוון המרחב העצמי המשוייך לערך העצמי \(\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)\) המשותף לשני התאומים הקזימירים \(N^{2}=M^{2}\). הואיל וערכי הסחרור האפשריים עבור כל אחד מהם הם \(\ell=0,1/2,1,3/2,\ldots\) הרי ש- \(n\) מקבל כערך מספרים טבעיים בלבד, \(n=1,2,3,4,\ldots\). הבה נרשום את הערכים העצמיים במונחים של \(n\): ובכן, \(\ell=\frac{1}{2}\left(n-1\right)\), ובפרט
\begin{aligned}\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)=\frac{\hbar^{2}}{4}\left(n^{2}-1\right)\,;\end{aligned} הילכך משוואת הערכים העצמיים עבור האופרטור \(N^{2}+\frac{\hbar^{2}}{4}\) המופיע באגף שמאל במשוואה (d2) ניתנת לרישום כ-
\begin{align}\left(N^{2}+\frac{\hbar^{2}}{4}\right)\left|n=m\right>=\frac{\hbar^{2}n^{2}}{4}\left|n=m\right>\end{align}
כאן כל וקטור מצב מאופיין על-ידי \(n=m\) היות ושני הקזימירים התאומים חולקים בדיוק את אותו \(\ell\). נחלק עתה את משוואה (d2) באופרטור \(N^{2}+\frac{\hbar^{2}}{4}\), ניעזר בתכונה המוכרת שאם \(\alpha\) ערך עצמי של \(\mathscr{A}\) אז \(f\left(\alpha\right)\) הוא ערך עצמי של \(f(\mathscr{A})\) ונקבל בסופו של חשבון את משוואת הערכים העצמים השלימה עבור ההמילטוניאן של המימן
\begin{align}\mathcal{H}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>=E_{n}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>\end{align}
באשר (הציבו \(K=e^{2}/4\pi\epsilon_{0}\))
\begin{aligned}E_{n}=\frac{-mK^{2}}{8}\:\frac{1}{\displaystyle\frac{\hbar^{2}n^{2}}{4}}=\frac{-13.6\,{\text{eV}}}{n^{2}}\,.\end{aligned}
צמד המספרים הקוונטים \(\left(n_{z},m_{z}\right)\) המאפיין כל מצב עצמי \(\left|\psi\right>=\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>\) של \(\mathcal{H}\) מאנדקס את הניוונים המתקבלים משני הקזימירים: לכל ערך עצמי \(\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)\) של \(M^{2}\) ולכל ערך עצמי \(\hbar^{2}\ell\left(\ell+1\right)\) של \(N^{2}\) המערכת של המימן מנוונת בדיוק \(n^{2}=\left(2\ell+1\right)\times\left(2\ell+1\right)\) פעמים, \(\left(2\ell+1\right)\) פעמים עבור ההטלה של האופרטור הוקטורי \(\boldsymbol{N}\) על "ציר \(z\)" כפול \(\left(2\ell+1\right)\) פעמים עבור ההטלה של האופרטור הוקטורי \(\boldsymbol{M}\) על "ציר \(z\)". היות ומדובר בסמטריות סחרור, הרי שהמספרים הקוונטים המאנדקסים את ההטלות רצים מ-\(-\ell\) ל-\(\ell\) כלומר:
\begin{aligned}n_{z},m_{z}\in\left\{-\ell,-\left(\ell-1\right),\ldots,-1,0,1,\ldots,\left(\ell-1\right),\ell\right\}\end{aligned}
וכידוע לנו מעולם התנע הזוויתי, את ההטלות של \(\boldsymbol{N}\) ו- \(\boldsymbol{M}\) מתארות שתי משוואת הערכים העצמיים
\begin{aligned}N_{z}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>&=\hbar\,{n}_{z}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>\\M_{z}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>&=\hbar\,{m}_{z}\left|n=m,n_{z},m_{z}\right>.\end{aligned}

לסיכום שלושת הפרקים בנושא: פרמנו את הפיזיקה של אטום המימן באמצעות הסימטריות שהמערכת שלו מקיימת. במובן מסויים עשינו זאת באופן דומה לזה שבו פתרנו את המערכת (הפשוטה בהרבה) של האוסצילטור ההרמוני כלומר מצאנו את המספרים הקוונטים הקשורים בסימטריות שמקיים ההמילטוניאן. במקרה של המימן עיקר הקושי היה בחשיפת הסימטריות, אך משעה שנחשפו נפתחה הדרך לפתרון מלא וממצא.



יום שבת, 11 באפריל 2015

אטום המימן ב' - האופרטור הוקטורי רונגה-לנץ


וקטור רונגה-לנץ מוכר לכל סטודנט לתואר ראשון שהתמודד באופן מכובד עם ההמילטוניאן הקפלריאני במסגרת המכניקה האנליטית (אודה ואתוודה: אני לא נמנתי על הגיבורים הללו). בקווים כלליים אך לא מחייבים הוקטור מוגדר באמצעות \(\boldsymbol{\mathcal{A}}=\alpha\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\right)-\widehat{\boldsymbol{r}}\), באשר \(\alpha\) פרמטר המאפיין את המערכת (ראו המשך). תוכלו לקרוא עליו בהקשר הזה בויקיפדיה ואף להיווכח שהוא קבוע של התנועה. היות ואטום המימן הקלאסי מתואר באמצעות המילטוניאן קפלריאני הרי שהייצוג האופרטורי של וקטור רונגה-לנץ במסגרת המכניקה הקוונטית משחק תפקיד מרכזי בפתרון אטום המימן הקוונטי הלא-יחסותי.

ההמילטוניאן של המימן ניתן ע"י 
\begin{align}\tag{h1}\mathcal{H}=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{K}{r}\end{align}
באשר \(m\) היא מסת האלקטרון ו- \(K\) עצמת הפוטנציאל החשמלי (למשל בשיטת SI נקבל \(K=e^{2}/4\pi\epsilon_{0}\) באשר \(e\) מטען האלקטרון בקולונים). היות ומדובר בכוח מרכזי ובפוטנציאל רדיאלי, אנו מצפים שאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי בגודלו יתחלף עם ההמילטוניאן. למען האמת, חשבון פשוט מראה שכל אחד מרכיבי התנע הזוויתי בנפרד מתחלף עם ההמילטוניאן, קל וחומר \(L^{2}=L_{i}L_{i}\). הבה נראה זאת מפורשות: ראשית נשים לב ש-
 \begin{align}\left[p_{i},1/r\right]&=-i\hbar\,\partial_{i}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-1/2}=-\frac{-{i}\hbar}{2}\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}\left(\left(\partial_{i}x_{j}\right)x_{j}+x_{j}\left(\partial_{i}x_{j}\right)\right)\nonumber\\&=i\hbar\,\left(x_{j}x_{j}\right)^{-3/2}x_{i}\tag{f1}\end{align} 
ניעזר בזאת בחישוב יחס החילוף של מרכיבי התנע הזוויתי האורביטלי עם ההמילטוניאן ונקבל,

\begin{align}\left[L_{i},\mathcal{H}\right]&=\epsilon_{ijk}\left[x_{j}p_{k},\mathcal{H}\right]\nonumber\\&=\frac{1}{2m}\,\epsilon_{ijk}\left[x_{j}p_{k},p_{m}p_{m}\right]-K\epsilon_{ijk}\left[x_{j}p_{k},1/r\right]\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{m}\,\epsilon_{ijk}p_{j}p_{k}-i\hbar\,K\epsilon_{ijk}\frac{x_{j}x_{k}}{r^{3}}\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{m}\,\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{p}\right)_{i}-\frac{i\hbar\,K}{r^{3}}\,\left(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}\right)_{i}\tag{c1}\end{align}

ואולם שכפי שנוכחנו לדעת בתרגיל 2 ברשימה הקודמת בנושא,  \(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{p}=\boldsymbol{0}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}\), כך שבסופו של חשבון \(\left[L_{i},\mathcal{H}\right]=0\). התאפסות יחסי החילוף בין כל מרכיבי התנע הזוויתי לבין ההמילטוניאן של המימן קשורה בניוונים האורביטליים המוכרים מהטיפול הסטנדרטי ולא אדון בזאת כאן ועתה אלא אייחד לכך דיון לא סטנדרטי ברשימה הבאה.

הבה נציג עתה את אופרטור רונגה לנץ:

\begin{align}\tag{a1}\boldsymbol{\mathcal{A}}=\frac{1}{2mK}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)-\frac{\boldsymbol{r}}{r}\end{align}

תוכלו להיווכח בנקל שזהו גודל חסר יחידות. לשם מה אנטי-סמטריזציה במכפלה הוקטורית? היות ובאופרטורים וקטוריים עסקינן מכפלות וקטוריות אינן עוד אנטי-חילופיות; בשל כך האופרטור \(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\) לבדו אינו הרמיטי ורק אנטי-סימטריזציה מתאימה תתקן זאת. הבה נראה זאת מפורשות: נסתמך על ההרמיטיות של \(\boldsymbol{L}\) ושל \(\boldsymbol{p}\) ונקבל:

\begin{align*}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\right)_{i}^{\dagger}&=\epsilon_{ijk}\left(p_{j}L_{k}\right)^{\dagger}=\epsilon_{ijk}L_{k}p_{j}=\epsilon_{ikj}L_{j}p_{k}=-\epsilon_{ijk}L_{j}p_{k}\\&=-\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{i}\end{align*}

כיצד נראים קרביו של האופרטור על-שם רונגה ולנץ? כלומר מהו המבנה האופרטורי המפורש שלו? נפתח את המכפלה האנטי-סימטרית בזהירות רבה תוך שאנו מקפידים על סדר האופרטורים במכפלה:

\begin{align*}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\right)_{i}&=\epsilon_{ijk}p_{j}L_{k}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{k\ell{m}}p_{j}x_{\ell}p_{m}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{\ell{m}k}p_{j}x_{\ell}p_{m}\nonumber\\&=\big(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}\big)p_{j}x_{\ell}p_{m}=p_{j}x_{i}p_{j}-p_{j}x_{j}p_{i}\nonumber\\&\phantom{klum}\\\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{i}&=\epsilon_{ijk}L_{j}p_{k}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{j\ell{m}}x_{\ell}p_{m}p_{k}=\epsilon_{jki}\epsilon_{j\ell{m}}x_{\ell}p_{m}p_{k}\nonumber\\&=\big(\delta_{k\ell}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{i\ell}\big)x_{\ell}p_{m}p_{k}=x_{j}p_{i}p_{j}-x_{i}p_{j}p_{j}\nonumber\\&\phantom{klum}\end{align*}
נחזור ונבנה את החתיכה האנטי-סימטרית כמקשה אחת, ניעזר ביחס החילוף בין אופרטור המקום לאופרטור התנע ונקבל:

\begin{align*}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{i}&=p_{j}x_{i}p_{j}-p_{j}x_{j}p_{i}-x_{j}p_{i}p_{j}+x_{i}p_{j}p_{j}\nonumber\\&=p_{j}x_{i}p_{j}-p_{j}x_{j}p_{i}-\left(i\hbar\,\delta_{ji}+p_{i}x_{j}\right)p_{j}+\left(i\hbar\,\delta_{ij}+p_{j}x_{i}\right)p_{j}\nonumber\\&=2\,p_{j}x_{i}p_{j}-\left(p_{j}x_{j}p_{i}+p_{i}x_{j}p_{j}\right)\nonumber\\&\phantom{klum}\end{align*}
השתמשו בזהות \(\left(xyz\right)^{\dagger}=z^{\dagger}y^{\dagger}x^{\dagger}\) וראו אין זה פלא, הרמיטיות של החתיכה האנטי-סימטרית קופצת לעין. עם שעמלנו על הפיתוח המלא הרווחנו ביטוי מפורש עבור מרכיביו (ושמא קרביו) של האופרטור הוקטורי:

\begin{align}\mathcal{A}_{i}=\underbrace{\frac{1}{mK}\left(p_{j}x_{i}p_{j}\right)}_{\equiv\;\mathcal{A}_{i}^{(1)}}-\underbrace{\frac{1}{2mK}\left(p_{j}x_{j}p_{i}+p_{i}x_{j}p_{j}\right)}_{\equiv\;\mathcal{A}_{i}^{(2)}}-\underbrace{\frac{x_{i}}{(x_{j}x_{j})^{1/2}}}_{\equiv\;\mathcal{A}_{i}^{(3)}}\nonumber\\&\tag{a2}\end{align}

בתרגיל מספר 4 בפרק הקודם נוכחנו לדעת שהמכפלה הוקטורית של שני אופרטורים וקטוריים ביחס לתנע הזוויתי האורביטלי גם היא אופרטור וקטורי ביחס לתנע הזוויתי האורביטלי (ראו משוואה (h4) שם). מאחר וגם התנע וגם התנע הזוויתי הם אופרטורים וקטוריים הרי שמכפלתם הוקטורית גם היא כזו. יוצא איפה ש-

\begin{align}\left[L_{i},\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{j}\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)_{k}\tag{c2}\end{align}
עתה נשאלת השאלה האם גם \(\widehat{\boldsymbol{r}}\) עובר כמו אופרטור וקטורי תחת התנע הזוויתי האורביטלי. על פניו נראה שאין כל סיבה שלא, הרי וקטור המקום עובר כך, אבל יש כמובן צורך לגבות זאת בחשבון (אם מישהו יכול לנמק זאת ללא חשבון, אשמח לשמוע!). ראשית נבדוק את יחס החילוף של אופרטור התנע הקווי עם המרכיבים הקרטזים של \(\widehat{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{r}/r\):

\begin{align*}\left[p_{i},\widehat{r}_{j}\right]&=\left(-i\hbar\partial_{i}\right)\left\{\frac{x_{j}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{1/2}}\right\}-\frac{x_{j}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{1/2}}\left(-i\hbar\partial_{i}\right)\\&=\frac{-i\hbar\,\delta_{ij}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{1/2}}+\frac{i\hbar\left(\delta_{ik}{x}_{k}+x_{k}\delta_{ik}\right){x}_{j}}{2\left(x_{k}x_{k}\right)^{3/2}}+\underbrace{\widehat{r}_{j}p_{i}-\widehat{r}_{j}p_{i}}_{\equiv\;0}\\&=\frac{-i\hbar\,\delta_{ij}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{1/2}}+\frac{i\hbar\,{x}_{i}{x}_{j}}{\left(x_{k}x_{k}\right)^{3/2}}\end{align*}

עתה נוכל לגשת ליחס החילוף של אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי עם מרכיבי אופרטור היחידה של המקום. היות ורכיבי המקום מתחלפים בינם לבין עצמם ועם כל פונקציה שלהם נקבל:

\begin{align*}\left[L_{i},\widehat{r}_{j}\right]&=\epsilon_{ik\ell}\left[x_{k}p_{\ell},\widehat{r}_{j}\right]=\epsilon_{ik\ell}x_{k}\left[p_{\ell},\widehat{r}_{j}\right]\\&=\epsilon_{ik\ell}x_{k}\left\{\frac{-i\hbar\,\delta_{\ell{j}}}{\left(x_{m}x_{m}\right)^{1/2}}+\frac{i\hbar\,{x}_{\ell}{x}_{j}}{\left(x_{m}x_{m}\right)^{3/2}}\right\}\end{align*}
הואיל ו- \(x_{k}x_{\ell}=x_{\ell}x_{k}\) מתקבל ש- \(\epsilon_{ik\ell}x_{k}x_{\ell}x_{j}\equiv0\). רה-ארגון של האינדקסים באיבר הראשון נותן מייד \([L_{i},\widehat{r}_{j}]=i\hbar\epsilon_{ijk}\widehat{r}_{j}\) כצפוי וכרצוי; וקטור היחידה של המקום - כמו וקטור המקום עצמו - גם הוא אופרטור וקטורי. בסופו של יום, אם-כן, 

\begin{align}\left[L_{i},\mathcal{A}_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}\mathcal{A}_{k}\tag{c3}\end{align}

כלומר וקטור רונגה-לנץ הוא אופרטור וקטורי... (טוב, ברור שאף אחד לא מופתע מכך).

הרלונטיות של האופרטור הוקטורי רונגה-לנץ לאטום המימן עולה מיחסי החילוף שלו עם עצמו ועם ההמילטוניאן, ואולם חישובים אלו אינם בני שורה אחת... אני אעשה לעצמי את החיים קלים ואסתפק בלחשב את יחס החילוף של אופרטור רונגה-לנץ עם ההמילטוניאן. את החישוב החצי-סיזיפי הקשור ביחס החילוף שלו עם עצמו אשאיר כתירגול לקורא המסור והקשוח. ועכשיו לעבודה:

\begin{align}\left[\mathcal{A}_{i}^{(1)},\mathcal{H}\right]&=\left[\frac{p_{j}x_{i}p_{j}}{mK},\frac{p_{k}p_{k}}{2m}-\frac{K}{r}\right]\nonumber\\&=\frac{1}{2m^{2}K}\,p_{j}\left(\left[x_{i},p_{k}\right]p_{k}+p_{k}\left[x_{i},p_{k}\right]\right)p_{j}-\frac{1}{m}\left(\left[p_{j},1/r\right]x_{i}p_{j}+p_{j}x_{i}\left[p_{j},1/r\right]\right)\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{m^{2}K}\,p_{j}p_{i}p_{j}-\frac{i\hbar}{m}\left(\frac{x_{j}x_{i}}{r^{3}}p_{j}+p_{j}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{3}}\right)\nonumber\\&=\frac{i\hbar\,p^{2}p_{i}}{m^{2}K}-\frac{i\hbar}{m}\left\{\frac{x_{i}}{r^{3}}\,\left(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p}\right)+\left(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}\right)\,\frac{x_{i}}{r^{3}}\right\}\tag{c4a}\\&\nonumber\\\left[\mathcal{A}_{i}^{(2)},\mathcal{H}\right]&=\left[\frac{p_{j}x_{j}p_{i}+p_{i}x_{j}p_{j}}{2mK},\frac{p_{k}p_{k}}{2m}-\frac{K}{r}\right]\nonumber\\&=\frac{1}{4m^{2}K}\left\{p_{j}\left(\left[x_{j},p_{k}\right]p_{k}+p_{k}\left[x_{j},p_{k}\right]\right)p_{i}+p_{i}\left(\left[x_{j},p_{k}\right]p_{k}+p_{k}\left[x_{j},p_{k}\right]\right)p_{j}\right\}\nonumber\\&\phantom{=}\;-\frac{1}{2m}\left\{\left(\left[p_{j},1/r\right]x_{j}p_{i}+p_{j}x_{j}\left[p_{i},1/r\right]\right)+\left(\left[p_{i},1/r\right]x_{j}p_{j}+p_{i}x_{j}\left[p_{j},1/r\right]\right)\right\}\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{2m^{2}K}\left(p_{j}p_{j}p_{i}+p_{i}p_{j}p_{j}\right)-\frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{x_{j}x_{j}}{r^{3}}p_{i}+p_{j}\frac{x_{j}x_{i}}{r^{3}}+\frac{x_{i}x_{j}}{r^{3}}p_{j}+p_{i}\frac{x_{j}x_{j}}{r^{3}}\right)\nonumber\\&=\frac{i\hbar\,p^{2}p_{i}}{m^{2}K}-\frac{i\hbar}{2m}\left\{\frac{1}{r}p_{i}+\left(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}\right)\frac{x_{i}}{r^{3}}+\frac{x_{i}}{r^{3}}\left(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p}\right)+p_{i}\frac{1}{r}\right\}\tag{c4b}\\&\nonumber\\\left[\mathcal{A}_{i}^{(3)},\mathcal{H}\right]&=\left[\frac{x_{i}}{r},\frac{p_{j}p_{j}}{2m}-\frac{K}{r}\right]=-\frac{1}{2m}\left[p_{j}p_{j},\frac{x_{i}}{r}\right]\nonumber\\&=-\frac{1}{2m}\left(\left[p_{j},\frac{x_{i}}{r}\right]p_{j}+p_{j}\left[p_{j},\frac{x_{i}}{r}\right]\right)\nonumber\\&=-\frac{1}{2m}\left\{\left(\left[p_{j},x_{i}\right]\frac{1}{r}+x_{i}\left[p_{j},\frac{1}{r}\right]\right)p_{j}+p_{j}\left(\left[p_{j},x_{i}\right]\frac{1}{r}+x_{i}\left[p_{j},\frac{1}{r}\right]\right)\right\}\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{1}{r}p_{i}-\frac{x_{i}x_{j}}{r^{3}}p_{j}+p_{i}\frac{1}{r}-p_{j}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{3}}\right)\nonumber\\&=\frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{1}{r}p_{i}-\frac{x_{i}}{r^{3}}\left(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{p}\right)+p_{i}\frac{1}{r}-\left(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}\right)\frac{x_{i}}{r^{3}}\right)\tag{c4c}\end{align}

נסכם הכל ונקבל:

\begin{align}\left[\mathcal{A}_{i},\mathcal{H}\right]=\left[\mathcal{A}_{i}^{(1)}-\mathcal{A}_{i}^{(2)}-\mathcal{A}_{i}^{(3)},\mathcal{H}\right]=0\,.\tag{c5}\end{align}

אהה! פלא פלאים... שלשת מרכיביו של אופרטור רונגה-לנץ (\(i=1,2,3\)) באופן בלתי תלוי מתחלפים עם ההמילטוניאן של אטום המימן. כלומר חשפנו פה סימטריה סמוייה ומקור לניוון נוסף (נוסף על הניוון הנגרם מהסימטריה תחת התנע הזוויתי האורביטלי). אם כן, מה הלאה? מה ניתן לעשות עם הסימטריות הללו? ובכן, לא מעט ועל כך ברשימה הבאה בנושא.


תרגילים:
  1.  הוכיחו את השוויונים: \begin{align}\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}&=0\tag{h2}\\\mathcal{A}^{2}&=\frac{2\mathcal{H}\left(L^{2}+\hbar^{2}\right)}{mK^{2}}+1\tag{h3}\end{align}
  2. (לקשוחים ולעמידים): חשבו במפורש את יחס החילוף בין רכיבי אופרטור רונגה-לנץ והראו (או תקנו...): \begin{align}\left[\mathcal{A}_{i},\mathcal{A}_{j}\right]=\frac{-2i\mathcal{H}}{mK^{2}}\epsilon_{ijk}L_{k}\ldots\tag{h4}\end{align}

לפרק השלישי



יום שלישי, 17 במרץ 2015

אטום המימן א' - אופרטורים וקטוריים במרחב הילברט


בשלוש הרשימות הבאות לטובה אעזר בקזימירים של המימן ובסימטריות שמקיים ההמילטוניאן על מנת להגיע לפתרון מלא וממצה של ספקטרום האנרגיות. ברשימה הנוכחית אגדיר את המושג "אופרטורים וקטוריים ב- \(\mathscr{H}\)" ואחקור את תכונותיהם; ברשימה השנייה אפשפש בקרביו האלגבראים של האופרטור הוקטורי רונגה-לנץ, ובשלישית אגיש את הפתרון היפהפה והלא שגרתי (אך המוכר מזה עידן ועידנים) של המימן בהתבסס על הסימטריה המושלמת שהוא מקיים.

יהא \(\boldsymbol{r}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\) האפרטור המתאים לווקטור המקום של חלקיקי קוונטי נקודתי (האלקטרון באטום המימן, למשל), ויהא \(\boldsymbol{p}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)\) האופרטור המתאים לווקטור התנע הקווי שלו, שניהם פועלים במרחב המצבים \(\mathscr{H}\) של החלקיק, ולכן אובייקטים של \(\mathbb{E}_{3}\times\mathscr{H}\). ובפרט, בהצגת המקום אופרטור המקום פועל כמכפלה והתנע הקווי פועל כאופרטור גזירה: \(\boldsymbol{p}=-i\hbar\nabla\). כידוע, הן שלושת מרכיבי אופרטור המקום והן שלושת מרכיבי אופרטור התנע הם הרמיטיים (תוכלו להראות זאת במפורש?).

מכאן והלאה כל האינדקסים מקבלים ערכים שבין אחד לשלוש והסכם הסומציה בתוקף. יחסי החילוף המכוננים בין המרכיבים (האופרטוריים) של הוקטורים הללו הם כמובן \begin{align}\tag{a1}\left[x_{i},p_{j}\right]&=i\hbar\,\delta_{ij}\\\left[x_{i},x_{j}\right]&=\left[p_{i},p_{j}\right]\nonumber=0.\tag{a2}\end{align}ובפרט, יחסי החילוף בין אופרטור המקום ואופרטור התנע המשוייכים לקואורדינטות שונות מתאפסים. כזכור, מאופרטורי המקום והתנע ניתן להרכיב אופרטורי יצירה והשמדה ולהיעזר בם בשאלת האוסצילטור הקוונטי, אבל לא בזה חפצנו כאן.

האופרטור המתאים לתנע הזוויתי האורביטלי ניתן ע"י \(\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\). שימו לב, לא מדובר בוקטורים קלסיים ולכן אין לנו לצפות שהזהויות הוקטוריות המוכרות לנו מהפיזיקה הקלאסית עודן מתקיימות במתכונתן המוכרת. בשפה רכיבית, \begin{align}\tag{b}L_{i}=\epsilon_{ijk}x_{j}p_{k}\end{align} ובהצגת המקום, \(L_{i}=-i\hbar\,\epsilon_{ijk}x_{j}\partial_{k}\). נוכל להיווכח בנקל ששלושת המרכיבים של התנע הזוויתי האורביטלי הרמיטיים היות ושלושת האינדקסים בהכרח שונים זה מזה (כפי שמכתיב אפסילון לוי-צ'יוויטה) ואופרטורים המשוייכים לרכיבים שונים מתחלפים:
\begin{align*}L_{i}^{\dagger}=\epsilon_{ijk}\left(x_{j}p_{k}\right)^{\dagger}=\epsilon_{ijk}p_{k}^{\dagger}x_{j}^{\dagger}=\epsilon_{ijk}p_{k}x_{j}\stackrel{j\neq{k}}{=}\epsilon_{ijk}x_{j}p_{k}=L_{i}\end{align*}
מהם יחסי החילוף בין התנע הזוויתי האורביטלי לבין אופרטורי המקום והתנע הקווי? ובכן, בהסתמך על משוואה (a) והגדרה (b) החשבון מיידי:

\begin{align}\left[L_{i},x_{j}\right]&=\epsilon_{ik\ell}\left[x_{k}p_{\ell},x_{j}\right]=\epsilon_{ik\ell}x_{k}\left[p_{\ell},x_{j}\right]=\epsilon_{ik\ell}x_{k}\left(-i\hbar\,\delta_{\ell{j}}\right)\nonumber\\&\tag{c1}=i\hbar\,\epsilon_{ijk}x_{k}\\\left[L_{i},p_{j}\right]&=\epsilon_{ik\ell}\left[x_{k}p_{\ell},p_{j}\right]=\epsilon_{ik\ell}\left[x_{k},p_{j}\right]p_{\ell}=i\hbar\,\epsilon_{ik\ell}\left(\delta_{kj}\right)p_{\ell}\nonumber\\&\tag{c2}=i\hbar\,\epsilon_{ijk}p_{k}\end{align}

יהא \(\boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3}\right)\) וקטור אוילר אשר מרכיביו הם שלשת זוויות אוילר. וקטור זה אינו אופרטור אלא שלשה של c-numbers; מרכיביו מספרים ממשיים, סקלרים במרחב הילברט, והם מתחלפים עם כל אופרטור. נכפול אם כן סקלרית את \(\boldsymbol{\theta}\) ביחס החילוף של \(\boldsymbol{L}\) עם \(x_{i}\) ונקבל:

\begin{align*}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),x_{j}\right]&=\left[\theta_{i}L_{i},x_{j}\right]=\theta_{i}\left[L_{i},x_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}\theta_{i}x_{k}=-i\hbar\,\epsilon_{jik}\theta_{i}x_{k}\\&=-i\hbar\,\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{r}\right)_{j}\end{align*}
בשפה וקטורית,
\begin{align}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{r}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{r}\right)\quad\text{and also}\quad\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{p}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{p}\right)\nonumber\\\phantom{klum}\tag{d}\end{align}
את התוצאות הללו נהוג לתרגם למשפט: אופרטורי המקום והתנע מתנהגים כמו וקטורים ביחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי. במקרה זה מקבלים האופרטורים את השם "אופרטורים וקטוריים" אבל אין לבלבל זאת עם אותו השם בדיוק שמקבל האופרטור הוקטורי \(\nabla\) באנליזה הוקטורית (באלקטרומגנטיות למשל).

מהם יחסי החילוף בין שלשת מרכיבי התנע הזוויתי האורביטלי לבין עצמם? בבקשה:
\begin{align*}\left[L_{i},L_{j}\right]&=\epsilon_{i\ell{m}}\epsilon_{jkn}\left[x_{\ell}p_{m},x_{k}p_{n}\right]\nonumber\\&=\epsilon_{i\ell{m}}\epsilon_{jkn}\big(x_{\ell}\left[p_{m},x_{k}\right]p_{n}+x_{k}\left[x_{\ell},p_{n}\right]p_{m}\big)\nonumber\\&=i\hbar\,\epsilon_{i\ell{m}}\epsilon_{jkn}\left(-\delta_{mk}x_{\ell}p_{n}+\delta_{\ell{n}}x_{k}p_{m}\right)\nonumber\\&=i\hbar\,\epsilon_{i\ell{k}}\epsilon_{jnk}x_{\ell}p_{n}-i\hbar\,\epsilon_{im\ell}\epsilon_{jk\ell}x_{k}p_{m}\nonumber\\&=i\hbar\left(\delta_{ij}\delta_{\ell{n}}-\delta_{in}\delta_{\ell{j}}\right)x_{\ell}p_{n}-i\hbar\left(\delta_{ij}\delta_{mk}-\delta_{ik}\delta_{mj}\right)x_{k}p_{m}\nonumber\\&=i\hbar\left(x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\right)\end{align*}
ואולם (הראו זאת) \(x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}=\epsilon_{ijk}L_{k}\), ולכן בסופו של יום:
\begin{align}\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}L_{k}\quad\stackrel{\text{eqs. (d)}}{\Longrightarrow}\quad\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{L}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{L}\right).\nonumber\\&\phantom{klum}\tag{e}\end{align}
באופן לא מפתיע מרכיבי התנע הזוויתי האורביטלי מקיימים את האלגברה של יוצרי חבורת הסיבובים \(SO(3)\). האופרטור המייצג במרחב הילברט את הסיבובים במרחב האאוקלידי \(U\in SO(3)\) נתון בביטוי
\begin{align}\tag{f}U\left(\boldsymbol{\theta}\right)=\exp\left[\frac{i\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right)}{\hbar}\right].\end{align}
\(\boldsymbol{\theta}\) מגדירה את ציר הסיבוב ואת גודלו. היות ואופרטור התנע הזוויתי האורביטלי הרמיטי, \(U\) הוא בהכרח יוניטרי והוא משמר בה-בעת את הנורמה במרחב האאוקלידי, ואת הנורמה של המצבים במרחב הילברט.

כיצד פועלים אלמנטי החבורה \(SU\left(3\right)\) על אופרטורים וקטוריים במרחב הילברט? באמצעות טרנספורמציית דמיון: יהא \(\boldsymbol{Y}\) אופרטור וקטורי שרירותי כלשהו. אזי, תחת הפעולה של אלמנט \(U\) בחבורה, \(\boldsymbol{Y}\mapsto\boldsymbol{Y}'=U\boldsymbol{Y}U^{-1}\) (הראו זאת בשורה אחת!). וכיצד מתגשמת הפעולה הזו במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}_{3}\)? פה החשבון אלגנטי להפליא: ניעזר בפיתוח של בייקר והאוסדורף
\begin{align}e^{X}Ye^{-X}&=Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots.\nonumber\\&\phantom{klum}\tag{g0}\end{align}
ובקשר המכונן \(\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]=-i\hbar\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\) ונקבל:

\begin{align}\boldsymbol{Y}'&=\;U\left(\boldsymbol{\theta}\right)\boldsymbol{Y}U\left(-\boldsymbol{\theta}\right)=U\left(\boldsymbol{\theta}\right)\boldsymbol{Y}U^{-1}\left(\boldsymbol{\theta}\right)\nonumber\\&=\phantom{+}\boldsymbol{Y}\;+\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{1!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{2!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]\right]\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{3!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{3}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]\right]\right]\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{4!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{4}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{L}\right),\boldsymbol{Y}\right]\right]\right]\right]\nonumber\\&\phantom{=}\;\,\vdots\nonumber\\&=\;\boldsymbol{Y}+\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}+\frac{1}{2!}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)+\frac{1}{3!}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)\nonumber\\&\phantom{=}+\frac{1}{4!}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)\right)\;+\;\cdots\nonumber\\&\tag{g1}\end{align}
הבה 'נפרום' את המונומים (זיכרו ש-\(\boldsymbol{\theta}\) מתחלפת עם \(\boldsymbol{Y}\) וש- \(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{\theta}\equiv\boldsymbol{0}\)):

\begin{align*}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)&=\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\boldsymbol{\theta}-\theta^{2}\boldsymbol{Y}\\\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)&=-\theta^{2}\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\\\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)\right)&=-\theta^{2}\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\\\phantom{\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\left(\boldsymbol{\theta}\times\boldsymbol{Y}\right)\right)\right)\right)}&=-\theta^{2}\left[\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\boldsymbol{\theta}-\theta^{2}\boldsymbol{Y}\right]\\&=-\theta^{2}\left(\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\boldsymbol{\theta}+\theta^{4}\boldsymbol{Y}\\&\;\,\vdots\end{align*}
בשלב זה כבר נוכל לקבץ את האברים במשוואה (g1) כדי לקבל נוסחא סגורה לטרנספורמציה של אופרטור וקטורי במרחב האאוקלידי:

\begin{align}\boldsymbol{Y}'&=\;\boldsymbol{Y}+\theta\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\times\boldsymbol{Y}\right)+\frac{\theta^{2}}{2!}\left[\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{Y}\right]-\frac{\theta^{3}}{3!}\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\times\boldsymbol{Y}\right)\nonumber\\&\phantom{=\;}-\frac{\theta^{4}}{4!}\left[\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}-\boldsymbol{Y}\right]\;+\;\cdots\nonumber\\&=\;\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\cdots\right)\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\times\boldsymbol{Y}\right)+\left(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots\right)\boldsymbol{Y}\nonumber\\&\phantom{=\;}-\left(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\cdots\right)\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}+\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}\nonumber\\\nonumber\\&=\;\sin\theta\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\times\boldsymbol{Y}\right)+\cos\theta\,\boldsymbol{Y}+\left(1-\cos\theta\right)\left(\widehat{\boldsymbol{\theta}}\cdot\boldsymbol{Y}\right)\widehat{\boldsymbol{\theta}}.\nonumber\\&\phantom{klum}\tag{g2}\end{align}


  • תוצאות חביבות וחשובות להמשך (תירגול):
  1. הראו שלכל אופרטור וקטורי \(\boldsymbol{Y}\) מתקיים \(\boldsymbol{Y}\times\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{Y}=2i\hbar\,\boldsymbol{Y}\) והסתמכו על כך כדי להסיק שאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי מקיים: \begin{align}\tag{h1a}\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{L}=&i\hbar\,\boldsymbol{L}\end{align}
  2. הסתמכו על \(\left[x_{i},x_{j}\right]=\left[p_{i},p_{j}\right]=0\) כדי להראות שהאופרטורים הוקטורים של המקום והתנע מקיימים: \begin{align}\tag{h2}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}=\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{p}\end{align}
  3. הראו שלכל שלושה אופרטורים וקטורים שרירותיים מתקיימת הזהות \(\boldsymbol{Y}\cdot\left(\boldsymbol{G}\times\boldsymbol{R}\right)\equiv\left(\boldsymbol{Y}\times\boldsymbol{G}\right)\cdot\boldsymbol{R}\). העזרו בזאת כדי להראות: \begin{align}\tag{h3}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{r}=\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}\cdot\boldsymbol{p}=0\end{align} 
  4. עתה קבלו: \begin{align}\boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}\right)&=0\tag{h4a}\\\boldsymbol{p}\cdot\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{p}\right)&=2i\hbar\,p^{2}\tag{h4b}\end{align}
  5. הראו שמכפלה וקטורית של אופרטורים וקטוריים ביחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי גם היא אופרטור וקטורי ביחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי, כלומר \begin{align}\tag{h5}\left[L_{i},\left(\boldsymbol{Y}\times\boldsymbol{G}\right)_{j}\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}\left(\boldsymbol{Y}\times\boldsymbol{G}\right)_{k}\end{align}
  6. רק התחממתם? בא לכם עוד?... הוכיחו את הפיתוח (g0) של בקר והאוסדורף... רמז? בבקשה: \(f\left(\lambda\right)=e^{i\lambda{X}}Ye^{-i\lambda{X}}\). זהו.

לפרק השני