יום ראשון, 14 בדצמבר 2014

אופק אירועים ביחסות פרטית?


ועוד איך! על כך הרשימה הנוכחית.

הבה נזכר בכמה הגדרות ותוצאות מרשימה שפרסמתי בעבר על פרדוקס התאומים: צופה יקרא מאיץ אם הוא מודד תאוצה על מד התאוצה שלו עצמו, כלומר אם הוא מודד "תאוצה עצמית" \(g\left(\tau\right)\) שהיא פועל יוצא של כוחות מדומים המורגשים במערכת המנוחה שלו; כאז כן עתה, \(\tau\) מייצג את הזמן העצמי הנמדד על שעונו של הצופה המאיץ. ברשימה ההיא גם נוכחנו לדעת שמהירותו הרגעית (המנורמלת, \(\beta=v/c\)) של הצופה המאיץ ניתנת ע"י 
\begin{aligned}\beta\left(\tau\right)=\tanh\psi\left(\tau\right),\quad\text{where}\quad\psi\left(\tau\right)\equiv\frac{1}{c}\int_{\tau_{0}}^{\tau}g\left(\tau'\right)\mathrm{d}\tau',\end{aligned}
וכן שקו העולם שלו מתקבל מאינטגרציה של שתי המשוואות הדיפרנציאליות 
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}&\,=c\sinh\psi\left(\tau\right)\\\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}&\,=\cosh\psi\left(\tau\right)\end{aligned}
ובפרט, עבור תאוצה הקבועה בזמן \(g\left(\tau\right)\equiv{g}\) נקבל את התיאור הפרמטרי של קו העולם באמצעות הזמן העצמי:
\begin{aligned}ֿֿ\Delta{x}&\,=\frac{c^{2}}{g}\left[\cosh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)-1\right]\\\Delta{t}&\,=\frac{c}{g}\sinh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)\end{aligned}
באשר \(\Delta{x}=x-x_{0}\), \(\Delta{t}=t-t_{0}\), \(x_{0}=x\left(\tau=\tau_{0}\right)\), \(t_{0}=t\left(\tau=\tau_{0}\right)\). עד כאן תוצאות שקיבלנו שם ורלוונטיות לעינייננו.

קל מאוד לראות שקו העולם של הצופה המאיץ מצייר היפרבולה על גבי דיאגרמת מינקובסקי: נבחר עבור תנאי ההתחלה \(x_{0}=t_{0}=0\), נארגן טיפה, נעלה בריבוע, נחסר ונקבל:
\begin{aligned}\left(x+\frac{c^{2}}{g}\right)^{2}-\left(ct\right)^{2}=\left(\frac{c^{2}}{g}\right)^{2}\end{aligned}
הבה נתמקד בענף הימני של ההיפרבולה המייצג תנועה בכיוון החיובי של ציר ה-\(x\). ציר ההיפרבולה הוא כמובן ציר ה-\(x\), בנקודת ההיפוך שלה היא נושקת לציר דמוי הזמן \(ct\), שתי האסימפטוטות להיפרבולה הן הישרים \(ct=\pm{x}+c^{2}/g\), הנחתכים ממש על ציר ה-\(x\) בנקודה \(\bar{x}=-c^{2}/g\). יוצא איפה ששתי האסימפטוטות פורשות קונוס אור הנפרש לעתיד בדיוק מנקודה זו.

עתה תנו דעתכם על הדבר המדהים הבא: כזכור, שני התאומים נפרדים זה מזה בראשית המקום, \(x=x'=0\), ובראשית הציר דמוי הזמן \(ct=ct'=0\). הבה נניח שהתאום המאיץ מתמיד בתאוצתו עד סוף כל הדורות, ושהתאום הנייח יושב בנחת ושותה תה לאט לאט... עד סוף כל הדורות. קו העולם של התאום המאיץ מתלכד עם ההיפרבולה מלמעלה, וקו העולם של התאום הנייח מתלכד עם ציר \(ct\). מתישהו (מתי? בזמן \(t=c/g\)) חותך קו העולם של התאום הנייח את האסימפטוטה להיפרבולה של התאום המאיץ, ומנקודה זו ואילך לא יוכל הראשון לשלוח כל מסר אל האחרון, שהרי מרגע זה ואילך נמצאת ההיפרבולה של האח המאיץ מחוץ לקונוס האור של האח הנייח... והרי לכם מפגש מרגש עם אופק ארועים אמיתי עוד לפני שנאמרה מילה אחת על כבידה!

מנקודת ראותו של הצופה הנייח זמן ההגעה אל אופק הארועים הוא כמובן סופי, וכפי שראינו שווה בדיוק ל- \(c/g\). ואולם מנקודת ראותו של הצופה המאיץ קורה הדבר למרבה הפלא רק בסוף כל הדורות... וזאת למה? כדי לענות על כך נראה כיצד מיוצג הזמן העצמי של התאום המאיץ במרחב מינקובסקי. ובכן, נבודד את הסינש והקוש במשוואות הפרמטריות של קו העולם, נחלקם זה בזה ונקבל (לצרכי נוחות הצגנו \(\tau_{0}=0\)):
\begin{aligned}\underbrace{\tanh\left(\frac{g\tau}{c}\right)}_{=\;\beta\left(\tau\right)}=\frac{ct}{x+c^{2}/g}\quad\Rightarrow\quad{ct}=\beta\left(x-\bar{x}\right)\end{aligned}
כלומר לכל ערך נתון של הזמן העצמי \(\tau\) מתקבלת קרן שיוצאת מהנקודה \(\bar{x}=-c^{2}/g\) ושיפועה הוא המהירות המנורמלת \(\beta\left(\tau\right)=\tanh\left(g\tau/c\right)<1\). ככל שהקריאה בשעון של האח המאיץ מאוחרת יותר כך גם גדל שיפוע הקרן, ועבור ערכים גדולים של \(\tau\) הולכת הקרן ומתקרבת לאסימפטוטה להיפרבולה. למרות שהתקרבות מהירה יחסית (פועל יוצא של התנהגות הטאנש), הרי שהתלכדות מוחלטת מתקבלת רק ב- \(\tau\to\infty\), וזו כמובן הסיבה לכך שחציית אופק הארועים של האח הנייח (המתרחשת בעת התלכדות קו העולם שלו עם האסימפטוטה להיפרבולה של התאום המאיץ) מתרחשת עבור התאום המאיץ רק בקץ כל העיתים.


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה