יום חמישי, 4 בדצמבר 2014

דיאגרמת מינקובסקי


רשימה תמציתית זו משמשת מעין נספח לרשימה קודמת בשם טרנספורמציות לורנץ במרחב מינקובסקי. כל הדיאגרמות המוצגות כאן - למעט שתיים - נלקחו מדפי ויקיפדיה, מהערכים Special RelativityMinkowski Diagram ו-מרחב-זמן. הדיאגרמה על קו העולם נלקחה מכאןהדיאגרמה המופיעה בתרגיל נלקחה מכאן ועליה בצעתי כמה שינויים לצורך התאמתה לתרגיל. כמה מילים על הרמן מינקובסקי אדון הדיאגרמה ועל עבודתו - כאן

דיאגרמת מינקובסקי מתארת את המרחב-זמן מנקודת מבט יחסותית, והיא מאפשרת להסיק באופן גרפי ובקלות יחסית כיצד יתוייג מאורע מסויים (או אוסף מאורעות) במערכות התמד שונות. הדיאגרמה היא דו-מימדית היות ורק שני צירים באמת "מעניינים": הציר שלאורכו מתבצע הבוסט, וציר הזמן; זאת מכיוון שטרנספורמציית לורנץ "מערבבת" רק בין שני כיוונים אלו. הילכך, האבסיסה (כינוי עתיק לציר ה-"\(x\)") מתארת את ציר המקום לאורכו נעות המערכות, נניח \(x^{1}\), והאורדינטה (כינוי עתיק לציר ה-"\(y\)") את הציר דמויי הזמן, \(x^{0}=ct\).



מהירות האור על הגרף הזה מקיימת את הקשר \(x=ct\), או \(x^{0}=x^{1}\), ולכן היא מתוארת באמצעות הישר העובר דרך הראשית ושיפועו \(\pi\)-רבע רדיאנים. מאורע הוא נקודה על הגרף (אינווריאנט) וכל קרני האור היוצאות ממנו פורשות את קונוס האור, היינו קונוס המאורעות הנמצאים בקשר סיבתי עימו; שהרי מידע בין מאורעות יכול לנוע לכל היותר במהירות האור; שני מאורעות הנמצאים מחוץ לקונוס האור זה של זה בהכרח אינם נמצאים בקשר סיבתי. דיאגרמת מינקובסקי היא לפיכך חתך מישורי של החרוט באמצעות המישור הנפרש ע"י הכיוונים \(x\) ו- \(ct\).

מקובל לכנות את המאורעות הנמצאים בתוך קונוס האור של מאורע מסויים בשם "דמויי-זמן" (time-like), את אלו הנמצאים מחוץ לקונוס האור של אותו מאורע בשם דמויי מרחב (space-like), ואת אלו הנמצאים על קונוס האור עצמו בשם דמויי-אור (light-like). לצורך נוחות התאור אנו נתמקד במאורע היושב בראשית הצירים ונבדוק כל דבר ביחס איליו. כל חלקיק הנמצא בתנועה מתואר בדיאגרמת מינקובסקי ע"י עקום המכונה קו העולם של החלקיק (ראו התרשים השמאלי). קו העולם של פוטון הוא קו ישר המונח על קונוס האור. קו עולם של חלקיק מסיבי יכול להיות כל עקום ובלבד שהוא מוגבל בתחומו לקונוס האור (שלו עצמו); הפרמטריזציה של העקום מתבצעת באמצעות הזמן העצמי \(\tau\).


דיאגרמת מינקובסקי איננה מוגבלת לתאור המציאות רק ממערכת התמד אחת; למעשה, כל מערכות ההתמד ניתנות לתיאור על גבי אותה דיאגרמה. הבה נתמקד בשתי מערכות התמד: המערכת \(O\) היא המערכת ממנה אנו מתבוננים על המציאות והיא מתוארת ע"ג הדיאגרמה באמצעות הצירים הניצבים \(x\) ו- \(ct\), והמערכת \(O'\) אשר ציר ה- \(x'\) שלה מחליק לאור ציר ה-\(x\) במהירות קצובה \(v\). את "המרקחת" נבשל כך שציר \(y'\) מתלכד עם ציר \(y\), ציר \(z'\) מתלכד עם ציר \(z\), והראשית של שתי המערכות מתלכדת בזמן \(t=t'=0\).




כיצד יראו מאורעות מנקודת המבט של צופה מ- \(O'\)? אין כל בעיה. באופן כללי כל שעלנו לעשות הוא לבצע טרנספורמציית לורנץ ממערכת \(O\) למערכת \(O'\) ובכך "לדחוק" את נקודת המבט שלנו ל- \(O'\). המקבילה לכך בדיאגרמת מינקובסקי היא לקבל את התאור הנכון של הצירים \(x'\) ו-\(ct'\) בדיאגרמה הנפרשת ע"י הצירים \(x\) ו- \(ct\). הבה נבצע זאת: ציר המקום \(x'\) ב- \(O'\) הוא משוואת הקו \(ct'=0\). נציג זאת בטרנספורמציית לורנץ (ראו כאן) ונקבל:
\begin{aligned}0=ct'=\gamma(ct)-\gamma\beta{x}\quad\Rightarrow\quad{ct}=\beta{x}\end{aligned}
באופן דומה, ציר ה-\(ct'\) הוא הקו \(x'=0\) ומטרנספורמציית לורנץ נקבל:
\begin{aligned}0=x'=-\gamma\beta(ct)+\gamma{x}\quad\Rightarrow\quad{ct}=\frac{1}{\beta}x\end{aligned}
משתי המשוואות הללו נובע שהזוויות \(\alpha,\bar{\alpha}\) של הצירים \(x',ct'\) (בהתאמה) ביחס לציר ה-\(x\), מקיימות את הקשרים \(\tan\bar{\alpha}=1/\beta\) ו- \(\tan\alpha=\beta\), ולכן גם \(\alpha=\pi/2-\bar{\alpha}\), שהרי \(\tan\alpha=\cot\bar{\alpha}=\tan\left(\pi/2-\bar{\alpha}\right)\). אנו מקבלים אם כך שצירי מערכת \(O'\) רוכנים באופן סימטרי לעבר קו העולם של האור (המשותף כמובן לשתי המערכות). כל מאורע יתוייג במערכת זו באמצעות העברת מקבילים לצירים ובדיקת נקודות החיתוך המתאימות:


ראינו איפה שהצירים המתארים את המערכת המתוייגת נוטים באותה זווית ביחס לצירים המקוריים. קונוס האור נשאר כמובן כמות שהוא היות וקווי העולם של האור הם אינווריאנטים. באופן דומה נוכל להציג כל מערכת ומערכת על גבי אותה דיאגרמה; ככל שמהירותה של המערכת גבוהה יותר ביחס לזו בה אנו נמצאים, כך תתעצם נטיית הצירים המתייגים אותה לעבר קונוס האור. בתרשים מטה החיצים הצבועים בסיאן מתארים מערכת הנעה מהר יותר מזו המתוארת באמצעות החיצים הצבועים כחול.


קחו שני מאורעות על ציר המקום המתוייג. אלו הם מאורעות בו-זמניים במערכת המתוייגת; ועם זאת, ניכר מיד לעין שאין הם בו-זמניים במערכת המקורית! לחליפין, מאורעות בו-זמניים במערכת המקורית אינם עוד בו-זמניים במערכת המתוייגת. מושג ההוה הוא איפה תלוי-צופה; לא קיים הווה אוניברסלי (באותו מובן שמאורע הוא בעל אופי אוניברסלי). באופן דומה, קחו שני מאורעות על ציר הזמן המתוייג; אלו הם מאורעות עוקבים המתרחשים באותו מקום במערכת המתוייגת. והנה, שני מאורעות אלו מתרחשים בשני מקומות שונים לגמרי במערכת המקורית!     


האם הצירים השונים מתכיילים באותו האופן? ודאי שלא. טרנספורמציית לורנץ אינה משמרת אורך ואין כל סיבה להניח שהמרווחים בין שתי שנתות נשמרים. ובכל זאת, כיצד נכייל את הצירים המתוייגים? פיס אוף קייק. באמצעות האינווריאנטים החשובים ביותר בתורה, הלא הם אלמנטי האורך. חישבו על משפחת ההיפרבולות האינווריאנטיות 
\begin{aligned}\left(\mathrm{d}s\right)^{2}=\left(ct\right)^{2}-x^{2}=\,n^{2}=\;\text{(invariant) שמורה}\end{aligned}
היכן ש- \(n\in\mathbb{N}\) (כלומר \(n\) מספר טבעי). ראו האיור מטה.



מאחר וכל היפרבולה והיפרבולה היא אינווריאנט, משמשות אלו לכיול אחיד של צירי הדיאגרמה (בין אם הם מוטים ובין אם לאו). המרחק בין כל שני מספרים טבעיים עוקבים על ההיפרבולות (למשל) מצייר שנתות על כל מערכת צירים, מתוייגת או לא מתוייגת, והמרחק בינהן מבטא את האופן שבו אינטרוול עובר ממערכת למערכת. הנה, מקרוב זה נראה פחות או יותר כך:



תרגיל: בדיאגרמה הבאה הנקודה P היא מאורע והקווים המקווקוים מתארים את התיוג שלו בשתי מערכות התמד בעלות ראשית משותפת, מתוייגת ולא מתוייגת. הקו הכתום הנטוי מתאר מוט המונח בידיו של צופה הממוקם במערכת המתוייגת. הדיאגרמה מתארת את תופעות התמתחות הזמן והתקצרות האורך כפי שהן נצפות במערכת הלא מתוייגת. א. זהו בדיאגרמה את שתי התופעות האלו במפורש, וחלצו מהן בעזרת הגרף את המהירות היחסית בין המערכות ב. אם במטה קסם נעלם פתאום המוט מידיו של הצופה (בו זמנית מנקודת ראותו), כיצד תיראה היעלמותו של המוט במערכת הלא מתוייגת? ג. הניחו עתה את אותו מוט בידי צופה הנמצא במערכת הלא מתוייגת והראו את התמתחות הזמן והתקצרות האורך כפי שהן נצפות מהמערכת המתוייגת.






אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה