יום ראשון, 16 בנובמבר 2014

לנץ ופארדיי - בחינה פתורה


שאלה 1: מציבים מסגרת מלבנית מוליכה ששטחה \(S=10_{\text{מ"ר}}\) בתוך שדה מגנטי אחיד מרחבית שגודלו משתנה כפונקציה של הזמן. השדה המגנטי מאונך למישור המסגרת ויוצא החוצה מתוך מישור הדף. ראו את המסגרת כבעלת התנגדות חשמלית זניחה פרט לנגד באורך של \(1.5_{\text{מטר}}\) שהתנגדותו היא \(R=10_{\Omega}\), המוצב על צלעה השמאלית כמתואר בתרשים הימני. הגרף משמאל מתאר את עוצמת השדה המגנטי ביחידות של טסלה כפונקציה של הזמן במהלך חמש שניות נתונות.


א. באיזה מבין הרגעים \(t_{1}\) או \(t_{2}\) מתקבל זרם גדול יותר דרך המסגרת? נמקו ללא חישוב מספרי.

תשובה: מחוק אוהם ומחוק פארדי, הזרם מתקבל מ- \(i=\mathcal{E}/R=-\dot{\Phi}_{\boldsymbol{B}}/R\). הילכך ככל שהשינו בשטף השדה המגנטי דרך המסגרת גדול יותר, כך גדל גם הזרם. במקרה שלנו השינוי בשטף המגנטי דרך המסגרת נגרם אך ורק כתוצאה מהשינוי בשדה המגנטי, והוא גדול יותר בזמן \(t_{1}\) היכן ששיפוע הגרף תלול יותר; לכן זהו הזמן בו גם הזרם גדול יותר.

ב. מהו כיוון הזרם דרך הנגד? מ-\(N\) ל- \(M\) או להיפך? נמקו.

תשובה: היות ועצמת השדה המגנטי גדלה עם הזמן, גם השטף דרך המסגרת גדל עם הזמן, והזרם הזורם בה יזרום במגמה שבה השדה המגנטי המושרה ממנו ינגוד את הגידול בשטף. על פי בורג יד ימין, כאשר הזרם זורם עם כיוון השעון השדה המגנטי המושרה ממנו נכנס לתוך הדף ובכך נוגד את מגמת הגידול בשטף. לכן הזרם החשמלי יזרום מ-\(M\) ל-\(N\). שימול לב: השטף אמנם גדל עם הזמן אבל מגמת הגידול בשטף קטנה ועצמת הזרם מתכונתית דווקא למגמת הגידול.

ג. עתה נתון כי עוצמת השדה המגנטי כפונקציה של הזמן היא \(B\left(t\right)=10t-t^{2}\). אמנם רק חמש השניות הראשונות של תלות זו מתוארות בגרף, אך השדה מתנהג בהתאם לביטוי הנ"ל גם לאחר מכן.

ג0. מהם יחידות מקדמי הפולינום במשתנה הזמן?

תשובה: היות ואנו עובדים בשיטת היחידות SI, יחידותיו של המקדם של האיבר הריבועי בזמן (שגודלו הנומרי הוא \(-1\)) הן טסלה לשניה בריבוע, ויחידותיו של המקדם של האיבר הלינארי בזמן (שגודלו הנומרי הוא \(10\)) הן טסלה לשניה.


ג1. מיצאו את עצמת הזרם במסגרת כפונקציה של הזמן.

תשובה: מאחר והשדה המגנטי ניצב למישור המסגרת הרי ששטף השדה המגנטי דרך המסגרת מתקבל ממכפלת השדה בשטח המסגרת. לכן,
\begin{aligned}i\left(t\right)=-\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\Phi_{\boldsymbol{B}}}{\mathrm{d}t}=-\frac{S}{R}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}}{\mathrm{d}t}=2t-10\end{aligned} 
והזרם מתקבל כמובן באמפר.

ג2. באיזה רגע בניסוי מתהפך כיוון השדה המגנטי? האם ברגע זה מתהפך גם כיוון הזרם החשמלי שבמסגרת? אם כן, הסבירו מדוע. אם לא, האם קיים זמן אחר בו כיוון הזרם מתהפך?  אם קיים זמן כזה מיצאו מהו.

תשובה: על פי הנתונים השדה המגנטי מחליף סימן כאשר \(10t-t^{2}=t\left(10-t\right)=0\) כלומר בשני הזמנים \(t=0_{\text{ש}}\) ו- \(t=10_{\text{ש}}\). לא, הזרם לא משנה את כיוונו בשני זמנים אלו היות והנגזרת של השדה המגנטי בזמנים הללו לא מחליפה סימן; המעבר משטף הגדל עם הזמן לשטף הקטן עם הזמן מתרחש דווקא בזמן \(t=5_{\text{ש}}\) ורק אז משנה הזרם את כיוונו, כפי שניתן גם לראות מהתשובה לסעיף ג1. אמנם ב- \(t=10_{\text{ש}}\) השדה המגנטי עצמו מחליף סימן כך שכיוון השטף מתהפך, אלא שהגדלת השטף בכיוון ההפוך היא "המשך טבעי" של הקטנת השטף בכיוון המקורי. 

ד. החליטו למדוד את הכוח שמפעיל השדה המגנטי על הנגד כתלות בזמן (עם זאת - הנגד אינו חופשי לנוע).

ד1. הסבירו מדוע יפעל כוח על הנגד.

תשובה: על צפיפות זרם בשדה מגנטי פועל המרכיב המגנטי של כוח לורנץ \(\boldsymbol{F}_{m}=\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B}\). על צפיפות מטען בשדה מגנטי פועל המרכיב החשמלי של כוח לורנץ \(\boldsymbol{F}_{e}=\rho\boldsymbol{E}\). במקרה שלנו קיים רק המרכיב המגנטי (יש צפיפות זרם, אין צפיפות מטען). חשבון מדוקדק מראה שהכוח הפועל על מוט ישר נושא זרם המונח בשדה מגנטי ניתן בביטוי \(\boldsymbol{F}=i\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{B}\right)\).

ד2. מהו שקול הכוחות (כפונקציה של הזמן) הפועל על הנגד ועל המסגרת כולה?

תשובה: כאמור, על הנגד פועל הכוח \(\boldsymbol{F}=i\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{B}\right)\) וכאן \(\boldsymbol{L}\) הוא וקטור המצביע בכיוון זרימת הזרם בנגד וגודלו מבטא את אורך הנגד. היות והנגד ניצב לשדה נקבל \begin{aligned}F\left(t\right)=(3/2)(10t-t^{2})(2t-10)=-3t^{3}+45t^{2}-150t.\end{aligned} שימוש בכלל היד הימנית מורה על כך שעד \(t=5_{\text{ש}}\) הכוח על הנגד פועל ימינה, ולאחר מכן שמאלה. משיקולי סימטריה הכוח השקול הפועל על המסגרת כולה הוא אפס (ועם זאת, מומנט הסיבוב הנוצר שונה מאפס).


שאלה 2: מוט מוליך שמסתו \(m\) מחליק בין שני תילים מוליכים המחוברים ביניהם בשני הצדדים ע"י נגדים - בצד שמאל נגד שהתנגדותו \(R\), ובצד ימין נגד שהתנגדותו \(4R\) (ראו תרשים). המוט שאורכו \(L\) והתנגדותו \(r=R/5\), נע במהירות קבועה \(v\) שמאלה באזור בו השדה המגנטי \(\boldsymbol{B}\) אחיד וכיוונו לתוך הדף. הזניחו את השדה המגנטי של כדור הארץ וענו על השאלות הבאות באופן פרמטרי תוך שאתם מנמקים תשובותיכם.

א1. מהו הכא"מ המושרה המתפתח בין קצותיו של המוט?

תשובה: במקרה שלא נסגר מעגל (המוט מחליק על פסים מבודדים) מתקבל קיטוב אשר בשיווי משקל מקיים \(vB=E\). השדה החשמלי לאורך המוט אחיד (מכיוון שמהירות המוט ועצמת השדה המגנטי קבועים) ולכן הכא"מ המתפתח בין קצותיו הוא \(\mathcal{E}=EL\). נציג את \(E\) מהביטוי הקודם ונקבל \(\mathcal{E}=vBL\).
 
א2. מה כוון הזרם העובר בכל אחד מהנגדים?

תשובה: השטף המגנטי בלולאה השמאלית קטן מפאת הקטנת השטח התחום ע"י הלולאה. על פי לנץ הזרם יזרום עם כיוון השעון כך שהשדה המגנטי המושרה ממנו ינגוד את מגמת הקיטון בשטף. ומנגד, השטף המגנטי בלולאה הימנית גדל מפאת הגדלת השטח התחום ע"י הלולאה. הזרם בלולאה יזרום נגד כיוון השעון כך שהשדה המגנטי המושרה ממנו ינגוד את מגמת הגידול בשטף. יוצא איפה שהזרמים משתי הלולאות יתנקזו לתוך המוט, ומלמעלה למטה.

א3. בטאו את עוצמת הזרם במוט וציין את כוונו.

תשובה: היות ושני הנגדים הגדולים יושבים על אותו מתח (כלומר על אותו הפרש פוטנציאלים), הם מתחברים במקביל, וסכומם זה מתחבר בטור להתנגדות המוט (המזכיר במקרה זה סוג של התנגדות פנימית של סוללה). על פי מרשם זה ההתנגדות הכוללת של המעגל היא
\begin{aligned}R_{T}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}+r=\frac{(4R)R}{4R+R}+\frac{R}{5}=R\end{aligned}
והזרם במעגל כולו (המתבטא בזרימה דרך המוט) ניתן ע"י \(i=vBL/R\). כאמור, שני הנגדים הגדולים יושבים על אותו מתח ולכן הזרמים הזורמים דרכם מקיימים \(i_{1}R_{1}=i_{2}R_{2}\) ומכאן \(i_{1}=4i_{2}\). הואיל ו- \(i=i_{1}+i_{2}=5i_{2}\) נקבל לבסוף \(i_{2}=vBL/5R\) ו- \(i_{1}=4vBL/5R\).

א4. האם יש להפעיל כוח חיצוני על המוט בזמן שהוא נע במהירות קבועה? אם כן, באיזה כיוון?

תשובה: בודאי... על המוט מופעל כוח לורנץ נגד כיוון התנועה ויש להפעיל כוח נגדי על מנת להתגבר עליו. לכן יש לדחוף את המוט כל העת (בכוח שגודלו בדיוק \(iBL\)) על מנת שיתמיד בתנועתו.

עתה הופכים את המערכת, כך שמישור המסגרת מאונך לפני הקרקע (ראו תרשים) ומשחררים את המוט ממנוחה כך שמתאפשר לו להחליק מטה בהשפעת הכבידה.

ב1. הסבירו מדוע בשלב מסוים מגיע המוט למהירות קבועה. מהי המהירות הקבועה?

תשובה: תחילה (\(t=0\)) המוט נופל מטה בהשפעת הכבידה. אלא שהזרם המושרה בו נע בניצב לשדה המגנטי ומופעל כוח מעלה המתנגד לכוח המשיכה ומקטין את תאוצת המוט, וכך הלאה. תאוצת  המוט תתאפס כאשר שקול הכוחות יתאפס, כלומר כאשר \(iBL=mg\). נציג בביטוי זה \(i=vBL/R\) ונקבל שהמהירות הסופית (המכונה גם מהירות טרמינלית) היא \(v=mgR/B^{2}L^{2}\).

ב2. קבלו את המשוואה (הדיפרנציאלית) אליה כפופה המהירות של המוט. פיתרו אותה וקבלו את מהירות המוט כפונקציה של הזמן.
 
תשובה: החוק השני של ניוטון מנפק את המשוואה הדיפרנציאלית \(m\ddot{x}=mg-iBL\). היות ו-\(iBL\) מתכונתי למהירות המוט \(v\) מקבלת המשוואה את הצורה \(\dot{v}=g-\beta{v}\) עם "מקדם הצמיגות" \(\beta=L^{2}B^{2}/mR\). משוואה זו נפתרת על-נקלה באמצעות הפרדת משתנים. ובפרט, עבור תנאי ההתחלה \(v\left(0\right)=0\) מקבלים:
\begin{aligned}v\left(t\right)=\frac{g}{\beta}\left(1-e^{-\beta{t}}\right).\end{aligned}
מתמטית המהירות הטרמינלית לעולם לא תושג אבל בפרקטיקה היא תגיע די מהר (תוכלו להעריך כמה מהר?)

ב3. כמה חום התפתח במערכת החל מהרגע \(t=0\) ועד הרגע \(t=T\) במהלך הירידה?

תשובה: ההספק המתפתח במערכת ניתן ע"י \(P=\mathcal{E}i=v^{2}B^{2}L^{2}/R\), והחום המתפתח ניתן ע"י האינטגרל (בזמן) על ההספק. לכן,

\begin{aligned}\text{E}&\;=\int_{t=0}^{t=T}P\,\mathrm{d}{t}=\left(\frac{B^{2}L^{2}}{R}\right)\left(\frac{m^{2}g^{2}R^{2}}{L^{4}B^{4}}\right)\int_{t=0}^{t=T}\left(1-2e^{-\beta{t}}+e^{-2\beta{t}}\right)\mathrm{d}t\\&\;=\frac{m^{2}g^{2}R}{L^{2}B^{2}}\left.\left(t+\frac{2}{\beta}e^{-\beta{t}}-\frac{1}{2\beta}e^{-2\beta{t}}\right)\right|_{t=0}^{t=T}\\&\;=\frac{mg^{2}}{\beta}\left[T+\frac{2}{\beta}\left(e^{-\beta{T}}-1\right)-\frac{1}{2\beta}\left(e^{-2\beta{T}}-1\right)\right].\end{aligned}

שימו לב שהאנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית מומרת במהלך הנפילה לאנרגיה קינטית ולאנרגיית חום. בשלב המהירות הטרמינלית האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית מומרת כולה לחום ואז כמות החום המתקבלת בפרק הזמן \(T\) שווה ל- \(mg^{2}T/\beta=mg(vT)=mgh\).





אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה