יום שבת, 11 באוקטובר 2014

זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב


משפט הדיברגנס ומשפט קלווין-סטוקס מוכרים לכל סטודנט לפיזיקה בתואר ראשון, פשוט אי-אפשר בלעדיהם. ברשימה הקצרה הזו אציג שתי גרסאות נוספות וקצת פחות מוכרות של כל אחד מהמשפטים הללו, ומשלל הגרסאות אגזור זהויות אינטגרליות נוספות להנאתכם ולשימושכם.

יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי חלק בתוך התחום \(\Omega\in\mathbb{E}_{3}\), כמו גם על שפת התחום \(\partial\Omega\); באמרנו "שדה חלק" כוונתנו היא: נגזרותיו קיימות ורציפות. אלמנט נפח אינפיניטסימלי בתחום \(\Omega\) יסומן \(\mathrm{d}V\), ואלמנט שטח אינפיניטסימלי על \(\partial\Omega\) יסומן \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\). זה האחרון הוא וקטור שגודלו כגודל האריח האינפיניטסימלי תלוי-המקום \(\mathrm{d}S\) וכיוונו בניצב למשטח האריח. כנהוג, אינטגרציה על משטח ללא שפה (משטח קומפקטי) או על מסלול ללא קצה (לולאה סגורה) תסומל באמצעות סימן האינטגרל ומעגל קטן במרכזו,  \(\oint_{\partial\Sigma}\oint_{\partial\Omega}\).

ראשית, הבה ניזכר במשפט הדיברגנס:
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{X}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V\tag{1}\end{align}
ובמילים עבריות: השטף של שדה וקטורי חלק הבוקע מקליפת תחום נפחי כלשהו במרחב האאוקלידי שווה להצטברות השפיעה המקומית של השדה בתוך התחום. נכנה זאת "הגירסא הסקלרית" של משפט הדיברגנס (סקלרית, על שום מה?).

יהא \(\boldsymbol{a}\) שדה וקטורי קבוע ושרירותי, ויהא \(\phi\) שדה סקלרי "שמתנהג יפה" בתוך התחום \(\Omega\) ועל שפת התחום \(\partial\Omega\). באמרנו "מתנהג יפה" כוונתנו היא שהשדה חלק וחד ערכי. אזי, בהתבסס על הגירסא הסקלרית דלעיל של משפט הדיברגנס, ועל הזהות האופרטורית \(\nabla\cdot\!\left(\boldsymbol{v}\phi\right)=\nabla\phi\cdot\boldsymbol{v}+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{v}\right)\), נקבל:
\begin{align*}\boldsymbol{a}\cdot\left(\oint_{\partial\Omega}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{S}\right)&=\oint_{\partial\Omega}\left(\boldsymbol{a}\phi\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\&\stackrel{\text{מש'} 1}{=}\int_{\Omega}\big[\nabla\cdot\!\left(\boldsymbol{a}\phi\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\int_{\Omega}\big[\nabla\phi\cdot\boldsymbol{a}+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{a}\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\;\boldsymbol{a}\cdot\int_{\Omega}\nabla\phi\,\mathrm{d}V,\end{align*}
זאת מאחר והדיוורגנס של \(\boldsymbol{a}\) מתאפס בהיותו שדה קבוע. ולבסוף, היות והשדה הקבוע \(\boldsymbol{a}\) הוא גם שרירותי, אנו נשארים עם הגרסא הוקטורית (וקטורית, על שום מה?) למשפט הדיברגנס:
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{\Omega}\nabla\phi\,\mathrm{d}V.\tag{2}\end{align}

הלאה. יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי המתנהג יפה בתוך התחום המרחבי \(\Omega\) כמו גם על שפת התחום \(\partial\Omega\), ויהא \(\boldsymbol{a}\) שדה קבוע שרירותי כמקודם. אזי, בהתבסס על הציקליות של המכפלה המשולשת \(\boldsymbol{u}\cdot\left(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\right)=\boldsymbol{v}\cdot\left(\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{u}\right)=\boldsymbol{w}\cdot\left(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\right)\), ועל הפיתוח של הדיברגנס של מכפלה וקטורית \(\nabla\cdot\left(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\right)=\boldsymbol{w}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)-\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{w}\right)\), נקבל:
\begin{align*}\boldsymbol{a}\cdot\left(\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{X}\right)&=\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\left(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{a}\right)\\&\stackrel{\text{מש'} 1}{=}\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{a}\right)\mathrm{d}V\\&=\int_{\Omega}\big[\boldsymbol{a}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)-\boldsymbol{X}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{a}\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\;\boldsymbol{a}\cdot\left(\int_{\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V\right)\end{align*}
זאת מכיוון שהרוטור של \(\boldsymbol{a}\) מתאפס בהיותו שדה קבוע. הואיל והשדה הקבוע \(\boldsymbol{a}\) הוא גם שרירותי נקבל לבסוף את הניסוח האקסיאלי (אקסיאלי? מדוע אקסיאלי?) של משפט הדיברגנס,
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{X}=\int_{\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V.\tag{3}\end{align}

מעתה ואילך (וכמו תמיד) \(\boldsymbol{r}\) ייצג את וקטור המקום, והוא מצביע לעבר נקודות על שפת התחום או שפת המשטח. הציגו \(\phi:=1\) במשוואה \((2)\), \(\boldsymbol{X}:=\boldsymbol{r}\) במשוואה \((3)\), ו-\(\boldsymbol{X}=:\nabla\times\boldsymbol{Y}\) במשוואה \((1)\), וקבלו את שלוש הזהויות הבאות (הראשונה והשלישית הן לטעמי מאוד אינטואיטיביות),
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv\boldsymbol{0}\tag{4}\\\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv\boldsymbol{0}\tag{5}\\\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{Y}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv0\,.\tag{6}\\\end{align}

עתה נעבור למשפט קלווין-סטוקס. לתזכורת: יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי חלק המוגדר על משטח דו-מימדי כלשהו \(\Sigma\in\mathbb{E}_{3}\), כמו גם על המסילה הסגורה המגדירה את שפת המשטח, \(\partial\Sigma\). במקרה זה,
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{X}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\Sigma}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\tag{7}\end{align}
ובמילים עבריות: ההצטברות של שדה וקטורי חלק על גבי מסילה סגורה במרחב אאוקלידי שווה לשטף של הערבוליות המקומית של השדה דרך משטח (כלשהו) התחום על ידי המסילה.

נשתמש בציקליות של המכפלה המשולשת ונרשום את משפט קלווין-סטוקס באופן שיראה אולי "קצת עקום", אבל כפי שנווכח מייד גם מאוד מועיל:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{X}\;=\int_{\Sigma}\left(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\right)\cdot\boldsymbol{X}\tag{7a}\end{align}
היות ולא הגבלנו עצמנו לשדה ספציפי (היינו, \(\boldsymbol{X}\) שדה שרירותי ולגמרי כללי) נוכל להציג באופן פורמלי את הזהות האינטגרלית האופרטורית:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\;=\int_{\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\tag{8}\end{align}
שימו לב: יש חלל חסר באינטגראנד משמאל אותו יש למלא עם האובייקט עליו פועל האינטגראנד מימין, ורק אז יש לבצע אינטגרציה. זוהי כאמור זהות אופרטורית והיא חסרת משמעות כל עוד לא מפעילים אותה על "משהו". ובפרט, אם נפעיל אותה על השדה הסקלרי \(\phi\) נקבל את הגרסא השנייה של משפט קלווין-סטוקס
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\phi\,.\tag{9}\end{align}
כעקרון לא חלה עלינו כל מגבלה להפעיל את הזהות האופרטורית \((8)\) גם באמצעות מכפלה וקטורית; אם-כן, נבצע זאת על השדה החלק \(\boldsymbol{Y}\) ונקבל גרסא שלישית:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{Y}=\int_{\Sigma}\left(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\right)\times\boldsymbol{Y}\tag{10}\end{align}
שימו לב: אין כאן כל דמיון מבני לגרסא המקורית \((7)\) של משפט קלווין-סטוקס: המכפלה הווקטורית איננה אסוציאטיבית, הילכך באגף ימין יש קודם לחשב במפורש את האופרטור \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\), רק לאחר מכן להפעילו על השדה \(\boldsymbol{Y}\), ולבסוף לקחת את האינטגרל המשטחי.

הציגו עתה \(\phi=1\) במשוואה \((9)\), וכן \(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}:=\boldsymbol{r}\) במשוואות \((7)\) ו- \((10)\), וקבלו עוד שתי זהויות חביבות (לפחות הראשונה מאוד אינטואיטבית לטעמי...), וגם אתגר קטן לעצמכם (תרגיל מס' 1 למטה):
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;\equiv\boldsymbol{0}\tag{11}\\\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;\equiv{0}\tag{12}\\\frac{1}{2}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;=S_{\Sigma}\tag{13}\end{align}

ולסיום: משפט הדיברגנס ומשפט קלווין-סטוקס הם שני מקרים פרטיים של אחד המשפטים היפים והכלליים (לטעמי ולעניות דעתי) בגיאומטריה דיפרנציאלית ובטופולוגיה אלגברית, המכונה משפט סטוקס. אבל זהו נושא מתקדם, עולם שלם בפני עצמו, ואולי אייחד לכך רשימה מיוחדת בעתיד.

תרגילים:
  1. כזכור, אנו ב-\(\mathbb{E}_{3}\). נסמן ב- \(S_{\Sigma}\) את שטחו של המשטח הפתוח (הלא בהכרח שטוח) \(\Sigma\), וב- \(V_{\Omega}\) את נפחו של התחום \(\Omega\). קבלו את שתי הנוסחאות האלגנטיות והכלליות: \begin{align}S_{\Sigma}&\;=\frac{1}{2}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}\tag{14}\\V_{\Omega}&\;=\frac{1}{3}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\tag{15}\end{align} רמז לנוסחת השטח: למה שווה \((\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\nabla)\,\boldsymbol{r}\)? אגב, שימו לב עד כמה הנוסחאות הכלליות הללו מעניינות: בשני המקרים אנו מחשבים "נפח" באמצעות אינטגרל על "השפה". כלומר המידע על הנפח (והשטח) יושב על השפה. אנו מכירים זאת מהמשפט הבסיסי של החשבון האינטגרלי: השטח מתחת לפונקציה מתקבל מחיסור ערכי הפונקציה הקדומה בנקודות הקצה. 
  2. חשבו באמצעות שתי נוסחאות אלו את נפחו של כדור ברדיוס \(R\), ואת שטחה של אליפסה שציריה הם \(a,b\), ואשר תיאורה הפרמטרי ניתן ע"י ההשמות \(x=a\cos\theta\), \(y=b\sin\theta\).
  3. קבלו את הזהות האינטגרלית, \begin{align}\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;+\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\times\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;=\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\boldsymbol{X}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\nonumber\\\phantom{a}\tag{16}\end{align}


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה