יום חמישי, 23 באוקטובר 2014

הכוח המגנטי בין שני מטענים בתנועה יחסית


ברשימה זו אקבל ביטוי סגור עבור הכוח המגנטי הפועל בין שני מטענים נקודתיים טעונים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה ואראה במפורש שהחוק השלישי של ניוטון במקרה זה ממש מתנפץ לרסיסים. לא מאמינים? קדימה לדרך. 

נקודת המוצא שלנו הוא חוק ביו-סבארט להשראה המגנטית (שדה מגנטי בלשון העם) הנובעת מצפיפות זרם כלשהי \(\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t\right)=\rho\left(\boldsymbol{r},t\right)\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r},t\right)\), היכן ש- \(\rho\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מייצג את צפיפות המטען המרחבית, ו- \(\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מייצג את שדה המהירויות של צפיפות המטען הזו:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}',t\right)\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\end{align}
באשר \(\Omega\) מייצגת את תחום האינטגרציה המכיל את צפיפות הזרם (או את כל המרחב, אם תרצו).

הערה חשובה: חוק ביו-סבארט הוא רק קירוב מנוון-משהו ולא יחסותי של "הדבר האמיתי", היינו של אחת משתי משוואות ג'פימנקו המנפקות באופן פורמלי את הפתרונות הכללים ביותר למשוואות השדה האלקטרומגנטי, זאת בלא כל הנחות מקלות. בסוף הרשימה אציג את משוואת ג'פימנקו להשראה המגנטית ואייחד כמה מילים לתיקונים המתחייבים ממנה.

צפיפות המטען הנגרמת מנוכחותו של מטען בודד הטעון במטען חשמלי \(q\) וממוקם בראשית הצירים \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) ניתנת ע"י \(\rho\left(\boldsymbol{r}\right)=q\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}\right)\) באשר "\(\delta^{3}\)" מייצגת את פונקציית הדלתא המרחבית של דיראק. עובדה: אינטגרציה מרחבית על צפיפות המטען משחזרת את המטען כולו. הילכך, צפיפות הזרם של חלקיק בודד הנמצא בתנועה לאורך המסלול \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) ניתנת ע"י

\begin{align}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t\right)=q\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right).\end{align}

נתאר לעצמנו שני מטענים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה; כדי שחוק ביו-סבארט יהיה תקף עלינו להשית מגבלות מסויימות בנוגע לסוג התנועה, אבל כפי שנראה בהמשך הסטייה מ"הדבר האמיתי" - כל עוד לא מדובר במהירויות יחסותיות - זניחה לחלוטין. בהמשך נתייג את שני המטענים במספרים "\(1\)" ו- "\(2\)" וכך גם את וקטורי מיקומם, וקטורי מהירותם ואת ההשראה המגנטית שהם משרים.

פונקציית הדלתא המרחבית מקלה עלינו עד-מאוד את החשבונות. הצבה ואינטגרציה מנפקות מיד את השראה המגנטית שכל אחד מהמטענים מייצר סביבו:

\begin{align}\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r},t\right)&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{1}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}_{1}\right)\boldsymbol{v}_{1}\left(\boldsymbol{r}'\right)\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\nonumber\\&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{1}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\\\nonumber\\\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r},t\right)&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{2}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{2}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\end{align}

לצורכי קריאות ובהירות השתמשנו בקיצורים \(\boldsymbol{v}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)=:\boldsymbol{v}_{1}\),  \(\boldsymbol{r}_{1}\left(t\right)=:\boldsymbol{r}_{1}\) וכ'. בביטוי דלעיל \(\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) היא ההשראה המגנטית בכל נקודה \(\boldsymbol{r}\) ובכל זמן \(t\) הנגרמת מתנועתו של מטען מס' \(1\) הממוקם בזמן \(t\) במקום \(\boldsymbol{r}_{1}\left(t\right)\) ווקטור מהירותו ברגע זה הוא \(\boldsymbol{v}_{1}\left(t\right)\); ובהתאמה מלאה \(\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מקבל את אותה פרשנות עבור מטען מס' \(2\).

מטען מס' \(2\) 'חש' בהשראה המגנטית שמייצר מטען מספר \(1\) במקום בו הוא נמצא, כלומר מטען מס' \(2\) 'חש' את \(\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\). הילכך, הכוח המגנטי המופעל עליו ע"י מטען מס' \(1\) ניתן על ידי

\begin{align}\boldsymbol{F}_{1\to2}&\;=\;q_{2}\boldsymbol{v}_{2}\times\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\nonumber\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{2}q_{1}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\left[\frac{\left(\boldsymbol{v}_{2}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)\right)\boldsymbol{v}_{1}-\left(\boldsymbol{v}_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{1}\right)\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\right]\nonumber\end{align}

בשלב האחרון השתמשנו בזהות הוקטורית  \(\boldsymbol{a}\times\left(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}\right)=\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)\boldsymbol{b}-\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)\boldsymbol{c}\). באופן דומה, מטען מס' \(1\) 'חש' בהשראה המגנטית שמייצר מטען מספר \(2\) במקום בו הוא נמצא, כלומר מטען מס' \(1\) 'חש' את \(\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\). הילכך, הכוח המגנטי המופעל עליו ע"י מטען מס' \(2\) ניתן על ידי

\begin{align}\boldsymbol{F}_{2\to1}&\;=\;q_{1}\boldsymbol{v}_{1}\times\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\nonumber\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\left[\frac{\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)\right)\boldsymbol{v}_{2}-\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}\right)\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\right]\nonumber\\\end{align}

הבה נסכם עתה את מה שקיבלנו: לכוח שמטען מס' \(1\) מפעיל על מטען מס' \(2\) יש מרכיב אחד בכיוון המהירות של מטען מס' \(1\) (כלומר "סוג" של כוח גורר) ומרכיב שני בכיוון הקו המחבר את שני המטענים, לעבר מטען מס' \(2\) (כלומר "סוג" של כוח דוחה). באופן דומה, לכוח שמטען מס' \(2\) מפעיל על מטען מס' \(1\) יש מרכיב אחד בכיוון המהירות של מטען מס' \(2\)  ומרכיב שני בכיוון הקו המחבר את שני המטענים, לעבר מטען מס' \(1\). היות וההיטל של מהירותו של כל אחד מהמטענים על הוקטור המחבר ביניהם שונה מזה של השני, הרי שגודלו של המרכיב הראשון בנוסחת הכוח שונה בשני המקרים, כלומר \begin{align}\left|\boldsymbol{F}_{1\to2}^{(1)}\right|\neq\left|\boldsymbol{F}_{2\to1}^{(1)}\right|\,;\end{align}
הבה נבחן מקרה פרטי, פשוט ונוח לטיפול: חלקיק מס' \(1\) נע במהירות \(\boldsymbol{v}_{1}=v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}\) על ציר \(z\), וחלקיק מספר \(2\) נע במהירות \(\boldsymbol{v}_{2}=v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}\) על ציר \(x\). כלומר החלקיקים נעים על מסלולים ישרים ניצבים. במקרה זה המהירויות ניצבות \(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}=0\) ואנו נשארים רק עם האיבר הראשון בנוסחת הכוח:

\begin{align}\boldsymbol{F}_{1\to2}&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{\left(v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}\cdot\left(x\widehat{\boldsymbol{x}}-z\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\right)v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}}{\left|x\widehat{\boldsymbol{x}}-z\widehat{\boldsymbol{z}}\right|^{3}}\nonumber\\&\;=\:\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{v_{2}v_{1}x\,\widehat{\boldsymbol{z}}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\\&\nonumber\\\boldsymbol{F}_{2\to1}&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{\left(v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}\cdot\left(z\widehat{\boldsymbol{z}}-x\widehat{\boldsymbol{x}}\right)\right)v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}}{\left|z\widehat{\boldsymbol{z}}-x\widehat{\boldsymbol{x}}\right|^{3}}\nonumber\\&\;=\:\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{v_{1}v_{2}z\,\widehat{\boldsymbol{x}}}{\left(z^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}\end{align}

הנה כי כן, לא זו בלבד שהכוחות מצביעים בכיוונים ניצבים, עוצמתם שונה בעטיו של המרחק של כל אחד מהמטענים מהראשית. ומנגד, הפקטור המשותף בעוצמת שני הכוחות הוא מכפלת המהירויות מחולקת בחזקה השלישית של מרחקם זה מזה. והרי לכם דוגמא מפורשת להפרה חריפה של החוק השלישי של ניוטון... כוחות הפעולה והתגובה באינטראקציה מגנטית בין שני חלקיקים טעונים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה שונים זה מזה בגודלם ובכיוונם.

אבל כאמור חוק ביו-סבארט איננו הדבר האמיתי, אלא רק ביטוי מקורב. ההשראה המגנטית הנגרמת בעטיה של צפיפות זרם כלשהי, כללית ככל שתהיה, נתונה במדוייק באמצעות משוואת ג'פימנקו:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t_{R}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}+\frac{1}{c\,\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{2}}\frac{\partial\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}',t_{R}\right)}{\partial{t}}\right]\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\nonumber\\\phantom{space}\end{align}
באשר \(t_{R}=t-\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|/c\) הוא הזמן הקדום (בלע"ז: retarded time) בו השרתה מעצמה צפיפות הזרם את ההשפעה המגנטית, השפעה שהגיע רק עתה אל הנקודה \(\boldsymbol{r}\); מדוע רק עתה? הואיל וההשראה מתפשטת במהירות האור \(c\). פתרון ג'פימנקו מתקבל ישירות ממשוואות הפוטנציאלים הכלליות ביותר (ראו כאן) והיא יחסותית באופן מובנה היות והתורה האלקטרומגנטית בלישדה היא תורה יחסותית.

הבה נבחן את התיקונים לתוצאות שקיבלנו קודם לכן. האיבר הראשון הוא חוק ביו-סבארט המוכר, הלוקח בחשבון את העובדה שהמידע מהמקורות מגיע לנקודה \(\boldsymbol{r}\) במהירות האור ולא באופן מיידי. במהלך הזמן הזה כל אחד מהמטענים כבר עשה כברת דרך קטנה בטרם הגיעה השפעתו אל חברו. כמובן שעבור מהירויות לא יחסותיות כברת הדרך הזו אינה קטנה אלא קטנטנה ולמעשה בלתי מורגשת, והתיקון בטל בשישים. האיבר השני בביטוי הנ"ל לכאורה אינו ראוי להיזנח היות והנגזרת הזמנית של פונקציית הדלתא המופיעה בצפיפות הזרם אינה מתאפסת. אבל שימו לב שהביטוי כולו מונחת בפקטור \(c\). לכן אם השינוי בצפיפות הזרם איננו מסדר גודל של מהירות האור, גם האיבר הזה בטל בשישים. כך שבסיכומו של דבר התוצאות שקיבלנו באמצעות חוק ביו-סבארט תקפות לגמרי עבור התחום הלא-יחסותי. תם ונשלם.

שאלה: כיצד הייתם מיישבים את התוצאה שהתקבלה עם חוק שימור התנע? (אפשר להסתפק בנפנוף ידיים, אין צורך לערוך חשבונות...) 



3 תגובות:

  1. הי עופר, קצת שאלות לשנה החדשה.

    1. למיטב ידיעתי, כוח אלקטרומגנטי נישא עיי פוטונים.

    אם יש שני מגנטים או שני מטענים חשמליים סטטים, כיצד פועל הכוח שהם מפעילים זה על זה? אם באמצעות שיחלוף פוטונים ופוטונים וירטואלים, מהו אורך הגל של אותם פוטונים?

    2. מהי הנוסחה או הנוסחאות לקשר בין תאוצת מטען חשמלי לקרינה האלקטרומגנטית הנוצרת כתוצאה מהתאוצה?



    תודה.

    השבמחק
  2. שלום ישראל, להבא אנא מקד שאלותך/תגובותך בנושא הספציפי של הרשימה.
    הפרשנות של החלפת פוטונים באינטראקציה מגיעה מתורת השדות הקוונטים ורק במסגרת הזו אפשר לדון במשמעויותיה. רוצה לומר, לתאור הקלאסי של גל אלקטרומגנטי אין כמעט משמעות בדיון על החלפת פוטונים וירטואליים.
    בנוגע לשאלתך השנייה, ראה הקישור הבא:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Larmor_formula#Radiation_reaction

    השבמחק
  3. תודה על התשובה ושנה טובה.

    השבמחק