יום חמישי, 23 באוקטובר 2014

הכוח המגנטי בין שני מטענים בתנועה יחסית


ברשימה זו אקבל ביטוי סגור עבור הכוח המגנטי הפועל בין שני מטענים נקודתיים טעונים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה ואראה במפורש שהחוק השלישי של ניוטון במקרה זה ממש מתנפץ לרסיסים. לא מאמינים? קדימה לדרך. 

נקודת המוצא שלנו הוא חוק ביו-סבארט להשראה המגנטית (שדה מגנטי בלשון העם) הנובעת מצפיפות זרם כלשהי \(\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t\right)=\rho\left(\boldsymbol{r},t\right)\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r},t\right)\), היכן ש- \(\rho\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מייצג את צפיפות המטען המרחבית, ו- \(\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מייצג את שדה המהירויות של צפיפות המטען הזו:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}',t\right)\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\end{align}
באשר \(\Omega\) מייצגת את תחום האינטגרציה המכיל את צפיפות הזרם (או את כל המרחב, אם תרצו).

הערה חשובה: חוק ביו-סבארט הוא רק קירוב מנוון-משהו ולא יחסותי של "הדבר האמיתי", היינו של אחת משתי משוואות ג'פימנקו המנפקות באופן פורמלי את הפתרונות הכללים ביותר למשוואות השדה האלקטרומגנטי, זאת בלא כל הנחות מקלות. בסוף הרשימה אציג את משוואת ג'פימנקו להשראה המגנטית ואייחד כמה מילים לתיקונים המתחייבים ממנה.

צפיפות המטען הנגרמת מנוכחותו של מטען בודד הטעון במטען חשמלי \(q\) וממוקם בראשית הצירים \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) ניתנת ע"י \(\rho\left(\boldsymbol{r}\right)=q\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}\right)\) באשר "\(\delta^{3}\)" מייצגת את פונקציית הדלתא המרחבית של דיראק. עובדה: אינטגרציה מרחבית על צפיפות המטען משחזרת את המטען כולו. הילכך, צפיפות הזרם של חלקיק בודד הנמצא בתנועה לאורך המסלול \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) ניתנת ע"י

\begin{align}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t\right)=q\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right).\end{align}

נתאר לעצמנו שני מטענים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה; כדי שחוק ביו-סבארט יהיה תקף עלינו להשית מגבלות מסויימות בנוגע לסוג התנועה, אבל כפי שנראה בהמשך הסטייה מ"הדבר האמיתי" - כל עוד לא מדובר במהירויות יחסותיות - זניחה לחלוטין. בהמשך נתייג את שני המטענים במספרים "\(1\)" ו- "\(2\)" וכך גם את וקטורי מיקומם, וקטורי מהירותם ואת ההשראה המגנטית שהם משרים.

פונקציית הדלתא המרחבית מקלה עלינו עד-מאוד את החשבונות. הצבה ואינטגרציה מנפקות מיד את השראה המגנטית שכל אחד מהמטענים מייצר סביבו:

\begin{align}\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r},t\right)&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{1}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}_{1}\right)\boldsymbol{v}_{1}\left(\boldsymbol{r}'\right)\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\nonumber\\&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{1}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\\\nonumber\\\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r},t\right)&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{2}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{2}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\end{align}

לצורכי קריאות ובהירות השתמשנו בקיצורים \(\boldsymbol{v}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)=:\boldsymbol{v}_{1}\),  \(\boldsymbol{r}_{1}\left(t\right)=:\boldsymbol{r}_{1}\) וכ'. בביטוי דלעיל \(\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) היא ההשראה המגנטית בכל נקודה \(\boldsymbol{r}\) ובכל זמן \(t\) הנגרמת מתנועתו של מטען מס' \(1\) הממוקם בזמן \(t\) במקום \(\boldsymbol{r}_{1}\left(t\right)\) ווקטור מהירותו ברגע זה הוא \(\boldsymbol{v}_{1}\left(t\right)\); ובהתאמה מלאה \(\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מקבל את אותה פרשנות עבור מטען מס' \(2\).

מטען מס' \(2\) 'חש' בהשראה המגנטית שמייצר מטען מספר \(1\) במקום בו הוא נמצא, כלומר מטען מס' \(2\) 'חש' את \(\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\). הילכך, הכוח המגנטי המופעל עליו ע"י מטען מס' \(1\) ניתן על ידי

\begin{align}\boldsymbol{F}_{1\to2}&\;=\;q_{2}\boldsymbol{v}_{2}\times\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\nonumber\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{2}q_{1}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\left[\frac{\left(\boldsymbol{v}_{2}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)\right)\boldsymbol{v}_{1}-\left(\boldsymbol{v}_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{1}\right)\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\right]\nonumber\end{align}

בשלב האחרון השתמשנו בזהות הוקטורית  \(\boldsymbol{a}\times\left(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}\right)=\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)\boldsymbol{b}-\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)\boldsymbol{c}\). באופן דומה, מטען מס' \(1\) 'חש' בהשראה המגנטית שמייצר מטען מספר \(2\) במקום בו הוא נמצא, כלומר מטען מס' \(1\) 'חש' את \(\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\). הילכך, הכוח המגנטי המופעל עליו ע"י מטען מס' \(2\) ניתן על ידי

\begin{align}\boldsymbol{F}_{2\to1}&\;=\;q_{1}\boldsymbol{v}_{1}\times\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\nonumber\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\left[\frac{\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)\right)\boldsymbol{v}_{2}-\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}\right)\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\right]\nonumber\\\end{align}

הבה נסכם עתה את מה שקיבלנו: לכוח שמטען מס' \(1\) מפעיל על מטען מס' \(2\) יש מרכיב אחד בכיוון המהירות של מטען מס' \(1\) (כלומר "סוג" של כוח גורר) ומרכיב שני בכיוון הקו המחבר את שני המטענים, לעבר מטען מס' \(2\) (כלומר "סוג" של כוח דוחה). באופן דומה, לכוח שמטען מס' \(2\) מפעיל על מטען מס' \(1\) יש מרכיב אחד בכיוון המהירות של מטען מס' \(2\)  ומרכיב שני בכיוון הקו המחבר את שני המטענים, לעבר מטען מס' \(1\). היות וההיטל של מהירותו של כל אחד מהמטענים על הוקטור המחבר ביניהם שונה מזה של השני, הרי שגודלו של המרכיב הראשון בנוסחת הכוח שונה בשני המקרים, כלומר \begin{align}\left|\boldsymbol{F}_{1\to2}^{(1)}\right|\neq\left|\boldsymbol{F}_{2\to1}^{(1)}\right|\,;\end{align}
הבה נבחן מקרה פרטי, פשוט ונוח לטיפול: חלקיק מס' \(1\) נע במהירות \(\boldsymbol{v}_{1}=v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}\) על ציר \(z\), וחלקיק מספר \(2\) נע במהירות \(\boldsymbol{v}_{2}=v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}\) על ציר \(x\). כלומר החלקיקים נעים על מסלולים ישרים ניצבים. במקרה זה המהירויות ניצבות \(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}=0\) ואנו נשארים רק עם האיבר הראשון בנוסחת הכוח:

\begin{align}\boldsymbol{F}_{1\to2}&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{\left(v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}\cdot\left(x\widehat{\boldsymbol{x}}-z\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\right)v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}}{\left|x\widehat{\boldsymbol{x}}-z\widehat{\boldsymbol{z}}\right|^{3}}\nonumber\\&\;=\:\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{v_{2}v_{1}x\,\widehat{\boldsymbol{z}}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\\&\nonumber\\\boldsymbol{F}_{2\to1}&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{\left(v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}\cdot\left(z\widehat{\boldsymbol{z}}-x\widehat{\boldsymbol{x}}\right)\right)v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}}{\left|z\widehat{\boldsymbol{z}}-x\widehat{\boldsymbol{x}}\right|^{3}}\nonumber\\&\;=\:\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{v_{1}v_{2}z\,\widehat{\boldsymbol{x}}}{\left(z^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}\end{align}

הנה כי כן, לא זו בלבד שהכוחות מצביעים בכיוונים ניצבים, עוצמתם שונה בעטיו של המרחק של כל אחד מהמטענים מהראשית. ומנגד, הפקטור המשותף בעוצמת שני הכוחות הוא מכפלת המהירויות מחולקת בחזקה השלישית של מרחקם זה מזה. והרי לכם דוגמא מפורשת להפרה חריפה של החוק השלישי של ניוטון... כוחות הפעולה והתגובה באינטראקציה מגנטית בין שני חלקיקים טעונים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה שונים זה מזה בגודלם ובכיוונם.

אבל כאמור חוק ביו-סבארט איננו הדבר האמיתי, אלא רק ביטוי מקורב. ההשראה המגנטית הנגרמת בעטיה של צפיפות זרם כלשהי, כללית ככל שתהיה, נתונה במדוייק באמצעות משוואת ג'פימנקו:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t_{R}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}+\frac{1}{c\,\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{2}}\frac{\partial\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}',t_{R}\right)}{\partial{t}}\right]\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\nonumber\\\phantom{space}\end{align}
באשר \(t_{R}=t-\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|/c\) הוא הזמן הקדום (בלע"ז: retarded time) בו השרתה מעצמה צפיפות הזרם את ההשפעה המגנטית, השפעה שהגיע רק עתה אל הנקודה \(\boldsymbol{r}\); מדוע רק עתה? הואיל וההשראה מתפשטת במהירות האור \(c\). פתרון ג'פימנקו מתקבל ישירות ממשוואות הפוטנציאלים הכלליות ביותר (ראו כאן) והיא יחסותית באופן מובנה היות והתורה האלקטרומגנטית בלישדה היא תורה יחסותית.

הבה נבחן את התיקונים לתוצאות שקיבלנו קודם לכן. האיבר הראשון הוא חוק ביו-סבארט המוכר, הלוקח בחשבון את העובדה שהמידע מהמקורות מגיע לנקודה \(\boldsymbol{r}\) במהירות האור ולא באופן מיידי. במהלך הזמן הזה כל אחד מהמטענים כבר עשה כברת דרך קטנה בטרם הגיעה השפעתו אל חברו. כמובן שעבור מהירויות לא יחסותיות כברת הדרך הזו אינה קטנה אלא קטנטנה ולמעשה בלתי מורגשת, והתיקון בטל בשישים. האיבר השני בביטוי הנ"ל לכאורה אינו ראוי להיזנח היות והנגזרת הזמנית של פונקציית הדלתא המופיעה בצפיפות הזרם אינה מתאפסת. אבל שימו לב שהביטוי כולו מונחת בפקטור \(c\). לכן אם השינוי בצפיפות הזרם איננו מסדר גודל של מהירות האור, גם האיבר הזה בטל בשישים. כך שבסיכומו של דבר התוצאות שקיבלנו באמצעות חוק ביו-סבארט תקפות לגמרי עבור התחום הלא-יחסותי. תם ונשלם.

שאלה: כיצד הייתם מיישבים את התוצאה שהתקבלה עם חוק שימור התנע? (אפשר להסתפק בנפנוף ידיים, אין צורך לערוך חשבונות...) 



יום שבת, 11 באוקטובר 2014

זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב


משפט הדיברגנס ומשפט קלווין-סטוקס מוכרים לכל סטודנט לפיזיקה בתואר ראשון, פשוט אי-אפשר בלעדיהם. ברשימה הקצרה הזו אציג שתי גרסאות נוספות וקצת פחות מוכרות של כל אחד מהמשפטים הללו, ומשלל הגרסאות אגזור זהויות אינטגרליות נוספות להנאתכם ולשימושכם.

יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי חלק בתוך התחום \(\Omega\in\mathbb{E}_{3}\), כמו גם על שפת התחום \(\partial\Omega\); באמרנו "שדה חלק" כוונתנו היא: נגזרותיו קיימות ורציפות. אלמנט נפח אינפיניטסימלי בתחום \(\Omega\) יסומן \(\mathrm{d}V\), ואלמנט שטח אינפיניטסימלי על \(\partial\Omega\) יסומן \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\). זה האחרון הוא וקטור שגודלו כגודל האריח האינפיניטסימלי תלוי-המקום \(\mathrm{d}S\) וכיוונו בניצב למשטח האריח. כנהוג, אינטגרציה על משטח ללא שפה (משטח קומפקטי) או על מסלול ללא קצה (לולאה סגורה) תסומל באמצעות סימן האינטגרל ומעגל קטן במרכזו,  \(\oint_{\partial\Sigma}\oint_{\partial\Omega}\).

ראשית, הבה ניזכר במשפט הדיברגנס:
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{X}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V\tag{1}\end{align}
ובמילים עבריות: השטף של שדה וקטורי חלק הבוקע מקליפת תחום נפחי כלשהו במרחב האאוקלידי שווה להצטברות השפיעה המקומית של השדה בתוך התחום. נכנה זאת "הגירסא הסקלרית" של משפט הדיברגנס (סקלרית, על שום מה?).

יהא \(\boldsymbol{a}\) שדה וקטורי קבוע ושרירותי, ויהא \(\phi\) שדה סקלרי "שמתנהג יפה" בתוך התחום \(\Omega\) ועל שפת התחום \(\partial\Omega\). באמרנו "מתנהג יפה" כוונתנו היא שהשדה חלק וחד ערכי. אזי, בהתבסס על הגירסא הסקלרית דלעיל של משפט הדיברגנס, ועל הזהות האופרטורית \(\nabla\cdot\!\left(\boldsymbol{v}\phi\right)=\nabla\phi\cdot\boldsymbol{v}+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{v}\right)\), נקבל:
\begin{align*}\boldsymbol{a}\cdot\left(\oint_{\partial\Omega}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{S}\right)&=\oint_{\partial\Omega}\left(\boldsymbol{a}\phi\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\&\stackrel{\text{מש'} 1}{=}\int_{\Omega}\big[\nabla\cdot\!\left(\boldsymbol{a}\phi\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\int_{\Omega}\big[\nabla\phi\cdot\boldsymbol{a}+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{a}\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\;\boldsymbol{a}\cdot\int_{\Omega}\nabla\phi\,\mathrm{d}V,\end{align*}
זאת מאחר והדיוורגנס של \(\boldsymbol{a}\) מתאפס בהיותו שדה קבוע. ולבסוף, היות והשדה הקבוע \(\boldsymbol{a}\) הוא גם שרירותי, אנו נשארים עם הגרסא הוקטורית (וקטורית, על שום מה?) למשפט הדיברגנס:
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{\Omega}\nabla\phi\,\mathrm{d}V.\tag{2}\end{align}

הלאה. יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי המתנהג יפה בתוך התחום המרחבי \(\Omega\) כמו גם על שפת התחום \(\partial\Omega\), ויהא \(\boldsymbol{a}\) שדה קבוע שרירותי כמקודם. אזי, בהתבסס על הציקליות של המכפלה המשולשת \(\boldsymbol{u}\cdot\left(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\right)=\boldsymbol{v}\cdot\left(\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{u}\right)=\boldsymbol{w}\cdot\left(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\right)\), ועל הפיתוח של הדיברגנס של מכפלה וקטורית \(\nabla\cdot\left(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\right)=\boldsymbol{w}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)-\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{w}\right)\), נקבל:
\begin{align*}\boldsymbol{a}\cdot\left(\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{X}\right)&=\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\left(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{a}\right)\\&\stackrel{\text{מש'} 1}{=}\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{a}\right)\mathrm{d}V\\&=\int_{\Omega}\big[\boldsymbol{a}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)-\boldsymbol{X}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{a}\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\;\boldsymbol{a}\cdot\left(\int_{\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V\right)\end{align*}
זאת מכיוון שהרוטור של \(\boldsymbol{a}\) מתאפס בהיותו שדה קבוע. הואיל והשדה הקבוע \(\boldsymbol{a}\) הוא גם שרירותי נקבל לבסוף את הניסוח האקסיאלי (אקסיאלי? מדוע אקסיאלי?) של משפט הדיברגנס,
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{X}=\int_{\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V.\tag{3}\end{align}

מעתה ואילך (וכמו תמיד) \(\boldsymbol{r}\) ייצג את וקטור המקום, והוא מצביע לעבר נקודות על שפת התחום או שפת המשטח. הציגו \(\phi:=1\) במשוואה \((2)\), \(\boldsymbol{X}:=\boldsymbol{r}\) במשוואה \((3)\), ו-\(\boldsymbol{X}=:\nabla\times\boldsymbol{Y}\) במשוואה \((1)\), וקבלו את שלוש הזהויות הבאות (הראשונה והשלישית הן לטעמי מאוד אינטואיטיביות),
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv\boldsymbol{0}\tag{4}\\\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv\boldsymbol{0}\tag{5}\\\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{Y}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv0\,.\tag{6}\\\end{align}

עתה נעבור למשפט קלווין-סטוקס. לתזכורת: יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי חלק המוגדר על משטח דו-מימדי כלשהו \(\Sigma\in\mathbb{E}_{3}\), כמו גם על המסילה הסגורה המגדירה את שפת המשטח, \(\partial\Sigma\). במקרה זה,
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{X}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\Sigma}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\tag{7}\end{align}
ובמילים עבריות: ההצטברות של שדה וקטורי חלק על גבי מסילה סגורה במרחב אאוקלידי שווה לשטף של הערבוליות המקומית של השדה דרך משטח (כלשהו) התחום על ידי המסילה.

נשתמש בציקליות של המכפלה המשולשת ונרשום את משפט קלווין-סטוקס באופן שיראה אולי "קצת עקום", אבל כפי שנווכח מייד גם מאוד מועיל:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{X}\;=\int_{\Sigma}\left(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\right)\cdot\boldsymbol{X}\tag{7a}\end{align}
היות ולא הגבלנו עצמנו לשדה ספציפי (היינו, \(\boldsymbol{X}\) שדה שרירותי ולגמרי כללי) נוכל להציג באופן פורמלי את הזהות האינטגרלית האופרטורית:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\;=\int_{\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\tag{8}\end{align}
שימו לב: יש חלל חסר באינטגראנד משמאל אותו יש למלא עם האובייקט עליו פועל האינטגראנד מימין, ורק אז יש לבצע אינטגרציה. זוהי כאמור זהות אופרטורית והיא חסרת משמעות כל עוד לא מפעילים אותה על "משהו". ובפרט, אם נפעיל אותה על השדה הסקלרי \(\phi\) נקבל את הגרסא השנייה של משפט קלווין-סטוקס
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\phi\,.\tag{9}\end{align}
כעקרון לא חלה עלינו כל מגבלה להפעיל את הזהות האופרטורית \((8)\) גם באמצעות מכפלה וקטורית; אם-כן, נבצע זאת על השדה החלק \(\boldsymbol{Y}\) ונקבל גרסא שלישית:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{Y}=\int_{\Sigma}\left(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\right)\times\boldsymbol{Y}\tag{10}\end{align}
שימו לב: אין כאן כל דמיון מבני לגרסא המקורית \((7)\) של משפט קלווין-סטוקס: המכפלה הווקטורית איננה אסוציאטיבית, הילכך באגף ימין יש קודם לחשב במפורש את האופרטור \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\), רק לאחר מכן להפעילו על השדה \(\boldsymbol{Y}\), ולבסוף לקחת את האינטגרל המשטחי.

הציגו עתה \(\phi=1\) במשוואה \((9)\), וכן \(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}:=\boldsymbol{r}\) במשוואות \((7)\) ו- \((10)\), וקבלו עוד שתי זהויות חביבות (לפחות הראשונה מאוד אינטואיטבית לטעמי...), וגם אתגר קטן לעצמכם (תרגיל מס' 1 למטה):
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;\equiv\boldsymbol{0}\tag{11}\\\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;\equiv{0}\tag{12}\\\frac{1}{2}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;=S_{\Sigma}\tag{13}\end{align}

ולסיום: משפט הדיברגנס ומשפט קלווין-סטוקס הם שני מקרים פרטיים של אחד המשפטים היפים והכלליים (לטעמי ולעניות דעתי) בגיאומטריה דיפרנציאלית ובטופולוגיה אלגברית, המכונה משפט סטוקס. אבל זהו נושא מתקדם, עולם שלם בפני עצמו, ואולי אייחד לכך רשימה מיוחדת בעתיד.

תרגילים:
  1. כזכור, אנו ב-\(\mathbb{E}_{3}\). נסמן ב- \(S_{\Sigma}\) את שטחו של המשטח הפתוח (הלא בהכרח שטוח) \(\Sigma\), וב- \(V_{\Omega}\) את נפחו של התחום \(\Omega\). קבלו את שתי הנוסחאות האלגנטיות והכלליות: \begin{align}S_{\Sigma}&\;=\frac{1}{2}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}\tag{14}\\V_{\Omega}&\;=\frac{1}{3}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\tag{15}\end{align} רמז לנוסחת השטח: למה שווה \((\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\nabla)\,\boldsymbol{r}\)? אגב, שימו לב עד כמה הנוסחאות הכלליות הללו מעניינות: בשני המקרים אנו מחשבים "נפח" באמצעות אינטגרל על "השפה". כלומר המידע על הנפח (והשטח) יושב על השפה. אנו מכירים זאת מהמשפט הבסיסי של החשבון האינטגרלי: השטח מתחת לפונקציה מתקבל מחיסור ערכי הפונקציה הקדומה בנקודות הקצה. 
  2. חשבו באמצעות שתי נוסחאות אלו את נפחו של כדור ברדיוס \(R\), ואת שטחה של אליפסה שציריה הם \(a,b\), ואשר תיאורה הפרמטרי ניתן ע"י ההשמות \(x=a\cos\theta\), \(y=b\sin\theta\).
  3. קבלו את הזהות האינטגרלית, \begin{align}\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;+\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\times\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;=\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\boldsymbol{X}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\nonumber\\\phantom{a}\tag{16}\end{align}