יום רביעי, 6 באוגוסט 2014

מבוא לכוחות משמרים

הרשימה הזו נכתבה בסגנון רב-שיח או משהו בדומה (כפי שזה עשוי להשמע בכיתה במהלך דיון ער) ואני באמת מקווה שזה לא ישמע לחלקכם צורם קמעא...

שאלה: מהו כוח משמר?

תשובה: יש כמה דרכים שקולות להגדיר כוח משמר, אני הייתי מעדיף להגדירו כשדה כוח אותו ניתן לרשום כגרדיאנט של שדה סקלרי, 
\begin{align}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)=-\nabla\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\end{align}
סימן המינוס הוא עניין של נוחות שיבוא לידי ביטוי במשפט עבודה-אנרגיה ובחוק שימור האנרגיה המכנית. לשדה הסקלרי \(\phi\) יש יחידות של אנרגיה (היווכחו בכך) ונהוג לכנותו "אנרגיה פוטנציאלית"; לכן כוח משמר הוא כוח המתקבל כמינוס הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית. ובפרט, במימד אחד כוח משמר הוא כוח הניתן לרישום כנגזרת של פונקציה, \(f=-\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}x\). דרך-אגב, אנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען מכונה פוטנציאל, אבל אנו לא נעשה שימוש במושג הזה כאן.

תמיהה: מה כל כך מיוחד בכוח אותו ניתן לרשום באופן זה? על מה כל הטרחה? ובפרט, האנרגיה הפוטנציאלית הניתנת באופן זה מוגדרת רק עד כדי קבוע...

מענה: לכוח המתקבל כגרדיאנט של פונקציה סקלרית יש שתי משמעויות מרחיקות לכת הקשורות זו בזו, שתיהן בעלות אופי גלובלי מובהק... ומה בנוגע לקבוע? אכן כן, אנרגיה פוטנציאלית מוגדרת תמיד ביחס למשטח יחוס כלשהו, חופשי לבחירתכם, \(\phi_{0}=\text{const.}\) (רואים שמדובר במשטח?). מי לא מכיר את הצורך לבחור מישור ייחוס בשאלות הנוגעות לאנרגיה פוטנציאלית כבידתית? ואולם הפרש האנרגיות הפוטנציאליות תמיד עומד בפני עצמו ואינו תלוי בבחירת משטח הייחוס...

הסתייגות: אופי גלובלי?... ההגדרה של כוח משמר כפי שהצגנו כאן היא לחלוטין לוקלית, מנוסחת נקודתית. כיצד אתה מגיע מהגדרה מקומית לטענות בעלות אופי גלובלי?

הסבר: שתי המשמעויות הנובעות ישירות ממהגדרה הן
  1. העבודה שמבצע כוח משמר לאורך מסילה אינה תלוייה בתוואי המסילה.
  2. העבודה שמבצע הכוח משמר לאורך מסילה סגורה בהכרח מתאפסת. 
ובלי ספק שתי הטענות הללו הן בעלות אופי לא מקומי... אגב, יש כאלו המעדיפים להגדיר כוח משמר ככוח המקיים את שתי הדרישות הללו (ולמעשה מספיקה הראשונה, היות והשנייה נובעת ממנה), ומכאן להסיק שהמבנה שלו הוא בהכרח זה הניתן במשוואה \(1\).

ולראָיה?

הנה: הבה נבחן את העבודה שמבצע כוח משמר בהעברת גוף מנקודה כלשהי \(\boldsymbol{r}_{1}\) לנקודה אחרת \(\boldsymbol{r}_{2}\). העבודה ניתנת ע"י האינטגרל הקוי של הכוח לאורך מסלול התנועה ולכן,

\begin{aligned}W&\;=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\stackrel{\text{מההגדרה}\atop\downarrow}{=}-\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\nabla\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\mathrm{d}\phi\\&\;=\;\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)-\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\end{aligned}
כלומר יוצא שהעבודה מתקבלת כהפרש האנרגיות הפוטנציאליות: האנרגיה הפוטנציאלית בנקודת ההתחלה פחות האנרגיה הפוטנציאלית בנקודת הסיום, וזאת ללא כל קשר למסלול שהוליך אותנו בין שתי הנקודות. נדמה לי שבמתמטיקה קוראים לזה המשפט הבסיסי של החשבון האינטגרלי... מכל מקום, שימו לב שהעבודה אינה תלוייה בבחירת מישור היחוס של האנרגיה הפוטנציאלית.

רגע אחד...  המעבר מאינטגרציה לפי המקום על הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית לאינטגרציה על דיפרנציאל השלם של האנרגיה הפוטנציאלית לא לגמרי נהיר...

הסבר: זה קל מאוד... בקואורדינטות קרטזיות,
\begin{aligned}\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\;\;&=\left(\frac{\partial\phi}{\partial{x}}\widehat{\boldsymbol{x}}+\frac{\partial\phi}{\partial{y}}\widehat{\boldsymbol{y}}+\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\cdot\left(\mathrm{d}x\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\mathrm{d}y\,\widehat{\boldsymbol{y}}+\mathrm{d}z\,\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\\&=\frac{\partial\phi}{\partial{x}}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial{y}}\mathrm{d}y+\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\mathrm{d}z\;=\;\mathrm{d}\phi\end{aligned}
בשיטות טנזוריות באנליזה וקטורית זה אפילו עוד יותר פשוט, \(\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\partial_{i}\phi\,\mathrm{d}x^{i}=\mathrm{d}\phi\). ממליץ לכם מאוד לסגל לעצמכם את הטכניקות האלו שמלבד היותן יפות, הן גם מאוד שימושיות...

יפה... ומה בנוגע לטענה השנייה?

תשובה: מרגע שהוכחנו הראשונה, השנייה מתקבלת באופן מיידי. על פני מסילה סגורה \(C\),
\begin{aligned}W=\oint_{C}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-\oint_{C}\mathrm{d}\phi=0\end{aligned}
מאחר ולכל מסלול אינטגרציה, נקודת ההתחלה והסיום מתלכדות, בהנחה כמובן ש- \(\phi\) היא חד ערכית על המסילה.

שאלה: איפה אנו מוצאים בטבע כוחות משמרים?

תשובה: בכל מקום שבו הכוח בו מדובר הוא כוח מרכזי. דוגמאות מהפיזיקה הקלאסית: כוח קולון, חוק הכבידה של ניוטון... אלו הם כוחות המצביעים רדיאלית מהמטען המשרה אותם, תלויים אך ורק במרחק ממקור הכוח, ולכן כוחות מרכזיים. זאת ועוד, כל כוח שהמתקבל כסופרפוזיציה (או אינטגרל) של כוחות משמרים גם הוא משמר; טענה זו נובעת מתכונת הלינאריות שמקיים אופרטור הגרדיאנט:
\begin{aligned}\nabla\left(a_{1}\phi_{1}+a_{2}\phi_{2}+\cdots\right)= a_{1}\nabla\phi_{1}+a_{2}\nabla\phi_{2}+\cdots\end{aligned}

תמיהה: האם *כל* כוח מרכזי הוא בהכרח כוח משמר?

מענה: נראה שכן, וההוכחה לכך היא תרגיל קל באינפי; הביטוי הכללי ביותר עבור כוח מרכזי הוא מהצורה
\begin{aligned}\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)=f\left(r\right)\widehat{\boldsymbol{r}}=\frac{f\left(r\right)}{r}\,\boldsymbol{r}\end{aligned}
כלומר זהו כוח המצביע תמיד בכיוון הרדיאל (פנימה או החוצה) והוא לכל היותר תלוי במרחק מהראשית, היכן שיושב מקור הכוח והיכן שהכוח עצמו סינגולרי (האם נקודה זו מובנת?). האם \(\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)\) ניתן לרישום כגרדיאנט של פונקציה סקלרית? בהחלט כן. הבה ניווכח: ניעזר בהגדרה של אינטגרל לא מסויים ונרשום אותו באופן הבא:
\begin{aligned}\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left[-\int^{r}_{r_{0}}f\left(r'\right)\mathrm{d}r'\right]\equiv-\nabla\phi\left(r\right)\end{aligned}
היכן שהגרדיאנט נתון בקואורדינטות כדוריות, ו- \(\phi\left(r\right)\) היא (מינוס) הפונקציה הקדומה של \(f\left(r\right)\).

לא לגמרי מובן...

תזכורת: בקואורדינטות כדוריות אופרטור הגרדיאנט ניתן ע"י
\begin{aligned}\nabla=\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{r}}+\widehat{\boldsymbol{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\widehat{\boldsymbol{\varphi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\end{aligned}
ואם נפעילו על פונקציה התלוייה אך ורק בקוארדינטה הרדיאלית \(r\) נישאר רק עם האיבר הראשון כפי שקורה במקרה של כוח מרכזי, כלומר \(\nabla\phi\left(r\right)=\widehat{\boldsymbol{r}}\left(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}r\right)\).

תובנה: לא פלא שכוח מרכזי הוא בהכרח משמר, היות ואין לו מרכיב עירבולי...

אמת. היות והרוטור של הגרדיאנט מתאפס באופן זהותי, לשדה כוח משמר אין ולא יכול להיות מרכיב עירבולי. לחליפין, אם לשדה כוח כלשהו יש מרכיב עירבולי הרי שהמרכיב הזה בהכרח אינו משמר, מאחר והאינטגרל המסלולי שלו ע"פ מסלול סגור אינו מתאפס. דרך פשוטה איפה לוודא שכוח נתון הוא אכן משמר היא לבדוק שמתקיים התנאי \(\nabla\times\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}\), הואיל ומשוואה זו נפתרת באופן לא טריוויאלי על ידי \(\boldsymbol{f}=-\nabla\phi\)  (סימן המינוס הוא רק עניין של מוסכמה).

אפשר בבקשה להראות שוב מניין הזהות \(\nabla\times\left(\nabla\phi\right)\equiv\boldsymbol{0}\) באה? ומנין באה גם הזהות האחות \(\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)=0\)?

בבקשה: בקאורדינטות קרטזיות זה ישיר אבל קצת ארוך ואני משאיר זאת לכם כתרגיל... כנספח. בשיטות טנזוריות זה עוד יותר ישיר וגם מיידי,
\begin{aligned}\left(\nabla\times\nabla\phi\right)_{i}&\:=\epsilon_{ijk}\partial_{j}\partial_{k}\phi\stackrel{{\text{בהכרח}\atop\text{(?למה)}}\atop\downarrow}{\equiv}0\\\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)&\:=\epsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}v_{k}\;\equiv\;0.\end{aligned}
המשמעות של הזהות הראשונה היא שגרדיאנט הוא בהכרח שדה קורן (ולכן נטול עירבוליות) והמשמעות של הזהות השנייה היא ששדה וקטורי עירבולי אינו קורן.

שאלה: הזכרת את משפט עבודה-אנרגיה ואת חוק שימור האנרגיה בהקשר של בחירת הסימן בהגדרה של כוח משמר. תוכל לבאר?

בודאי: כזכור, משפט עבודה אנרגיה מספר לנו שהעבודה הכוללת הנעשית ע"י סך כל הכוחות הפועלים על גוף שווה להפרש האנרגיות הקינטיות של הגוף. אם \(\boldsymbol{f}\) הוא השקול של כל הכוחות הללו אזי,

\begin{aligned}W&\;=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\boldsymbol{f}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\frac{1}{m}\int_{\boldsymbol{p}_{1}}^{\boldsymbol{p}_{2}}\boldsymbol{p}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{p}\\&\;=E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)-E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)\end{aligned}
(השלימו בעצמכם את המעברים הלא מפורשים). כפי שראינו קודם לכן, במקרה שמדובר על כוח משמר העבודה היא גם הפרש האנרגיות הפוטנציאליות עם סימן הפוך; מכאן מתקבלת המשוואה:
\begin{aligned}\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)-\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)=E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)-E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)\end{aligned}
כמובן, אם מדובר על עבודתם הסימולטנית של כמה כוחות משמרים פשוט החליפו בכל מקום \(\phi\to\phi_{1}+\phi_{2}+\cdots\). נעביר עתה אגפים ונקבל את חוק שימור האנרגיה המכנית (קינטית + פוטנציאלית):
\begin{aligned}\underbrace{\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)+E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)}_{\text{האנרגיה המכנית}\atop\text{בתחילת התהליך}}=\underbrace{\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)+E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)}_{\text{האנרגיה המכנית}\atop\text{בסוף התהליך}}\end{aligned}
מכאן קל גם להבין מדוע בחרנו בסימן המינוס עבור ההגדרה של כוח משמר... שימו לב שחוק שימור האנרגיה המכנית אינו תלוי בבחירת משטח היחוס לאנרגיה הפוטנציאלית וגם לא במערכת היחוס ממנה נמדדת האנרגיה הקינטית.


תוספת מאוחרת: בכל זאת, לטובת אלו שלא מורגלים בשיטות טנזוריות באנליזה וקטורית, הנה הפיתוח של שתי הזהויות המפורסמות \(\text{curl}\,\text{grad}\equiv\boldsymbol{0}\) ו- \(\text{div}\,\text{curl}\equiv0\).

יהא \(\phi\left(x,y,z\right)\) שדה סקלרי חלק, ויהיה \(\boldsymbol{v}\left(x,y,z\right)\) שדה וקטורי חלק. אזי, מהקומוטטיביות של הנגזרות החלקיות,

\begin{aligned}&\nabla\times\left(\nabla\phi\right)\;=\begin{vmatrix}\widehat{\boldsymbol{x}}&\widehat{\boldsymbol{y}}&\widehat{\boldsymbol{z}}\\\frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\\frac{\partial\phi}{\partial{x}}&\frac{\partial\phi}{\partial{y}}&\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\end{vmatrix}\;=\\\;=\;\;&\widehat{\boldsymbol{x}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{z}\partial{y}}\right)+\widehat{\boldsymbol{y}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{x}\partial{z}}\right)+\widehat{\boldsymbol{z}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{y}\partial{x}}\right)\;\equiv\;\,\boldsymbol{0}\,,\end{aligned}
\begin{aligned}&\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)\;=\\=&\;\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{v}_{z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{v}_{y}}{\partial{z}}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{v}_{x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{v}_{z}}{\partial{x}}\right)+\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{v}_{y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{v}_{x}}{\partial{y}}\right)\\=&\;\frac{\partial^{2}v_{z}}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^{2}v_{y}}{\partial{x}\partial{z}}+\frac{\partial^{2}v_{x}}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^{2}v_{z}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^{2}v_{y}}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^{2}v_{x}}{\partial{z}\partial{y}}\;\equiv\;0\,.\end{aligned}
שימו לב שאלו הן זהויות (זהות וקטורית וזהות סקלארית, בהתאמה) במובן זה שהשוויונים אינם תלויים כלל בשדות \(\phi\) ו-\(\boldsymbol{v}\). 






אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה