יום ראשון, 17 באוגוסט 2014

על טבען של היחידות הטבעיות

כידוע, כמעט כל גודל פיזיקלי בא עם מהות פיזיקאלית כלשהי. אנו נוהגים לכנות את המהויות מהסוג הזה בשם 'מימדים' אבל כמובן אין לזה כל קשר למימדים הפורשים מרחב וקטורי או משהו בדומה. כך למשל, למיקום יש מימדים של אורך היות ואנו מודדים אותו כמרחק מראשית כלשהי. לזמן יש מימדים של... זמן ולאינרציה מימדים של מסה; למהירות יש מימדים של אורך חלקי זמן, לעבודה יש מימדים של כוח כפול אורך, למתקף כוח כפול זמן, וכיו"ב.

ישנם גדלים שאנו משייכים להם מימד משלהם אף שלכאורה אין בכך צורך היות וניתן לבטא אותם באמצעות מימדים שכבר קיימים. למשל על פי החוק השני של ניוטון לכוח יש מימדים של מסה כפול אורך חלקי זמן בריבוע... אבל יש פה קץ'. במסגרת הפיזיקה הגלילאנית לחוק השני של ניוטון יש תוקף של חוק יסוד המקשר באופן לגמרי לא טריוויאלי בין שני סקטורים שונים של המציאות: הסקטור הדינאמי (שקול הכוחות) והסקטור הקינמטי (מסה כפול תאוצה). חלק מהמשמעות של חוק היסוד הזה הוא הזהות הלא-מובנת-מאליה בין מימדים של כוח למימדים של מסה כפול אורך חלקי זמן בריבוע.

הצגת המימדים כשלעצמה עדיין אינה מספקת. את הסרגלים השונים יש כמובן לכייל ואנו עושים זאת באופן שרירותי לחלוטין! כך למשל על סרגל הזמן יש לצייר שנתות של זמן, על סרגל האורך שנתות של אורך, על סרגל הכוח שנתות של כוח וכיו"ב. למרווחים בין השנתות הללו אנו קוראים יחידות מדידה והבחירה בהן נתונה למשוגותינו וכאמור שרירותית. ואולם מרגע שבחרנו סט של יחידות מדידה עלינו לדבוק בו במהלך כל חשבון שנעשה, אחרת נהפוך ליצרנים מדופלמים של ג'בריש במקרה הטוב ולמרסקי מטוסים וממוטטי גשרים במקרה הפחות טוב.

מערכת יחידות שרירותית כזו היא ה- Système international d'unités, ובר"ת (SI), ובה בחר לעבוד כל עולם ההנדסה (חוץ מזה האמריקני). במערכת זו המרחק בין שנתות על סרגל האורך נתון במטרים, המרחק בין שנתות על סרגל הזמן נתון בשניות, המרחק בין שנתות על סרגל המסה בק"ג, הטמפרטורה במעלות קלווין, והזרם החשמלי באמפר. האמריקאים משום מה הלכו על רגליים אונקיות ומעלות פרנהייט... לכאורה בחירה מוזרה אבל למען האמת היא מוזרה בדיוק כמו המטר הק"ג והשנייה. הללו נקבעו כפי שנקבעו בנסיבות היסטוריות שונות ומשונות שאין להן כמעט דבר עם הטבע. מן הסתם, יש אינסוף אפשרויות לבחור יחידות מדידה ובסופו של יום כל הבחירות מוזרות באותה מידה.

כמה זה שנייה אחת? כמה זה מטר אחד? כמה שהחליטו! מעבר לכך, אין לזה כל משמעות. ועם זאת, הסכמה על יחידות מדידה היא הכרחית עד מאוד מבחינה פרקטית. דומה הדבר לעבודה עם מטבעות. הישראלים סוחרים בשקלים, האירופאים הגדירו לעצמם את האירו והאמריקנים עובדים על כולם בדולרים. אין כל בעיה לנהל כלכלה בכל אחת מהמטבעות הללו אבל אי אפשר לנהל כלכלה עם שני מטבעות, אלא אם מקפידים תמיד על המרה מתאימה. הוא הדין לגבי יחידות פיזיקליות: ערבוב בין שני סטים של יחידות מבלי לבצע המרה מתאימה מוביל לאבדן היכולת לתאר דברים כמותית ובאופן עקבי.

בניית מערכת יחידות "טבעיות" היא נסיון לעבוד במערכת יחידות הכי פחות שרירותית שיש, ובאופן כמעט לגמרי שרירותי (...) הוחלט שזו תהיה מערכת יחידות שבה ערכם הנומרי של גדלים מכוננים בטבע יהיה פשוט \(1\). שימו לב, בשלב זה אנו מדברים רק על ערך נומרי, לא על המימדיות. מי הם הגדלים המוכוננים הללו? מהירות האור \(c\), קבוע הכבידה של ניוטון \(G\), קבוע החשמליות של קולון \(K_{E}\), הקבוע של פלאנק \(\hbar\), וקבוע בולצמן \(K_{B}\). את המוסכמה הזו קבע לראשונה מקס פלאנק בשלהי המאה התשע-עשרה ועל כן קרויה הבחירה הזו על שמו. באותו אופן בדיוק יכול היה פלאנק לקבוע שחמשת הקבועים יכוילו ל-\(7\) או ל- \(1,2,3,4,5\) לפי הסדר, ואפילו ל- \(e,\pi,e\pi,e/\pi, e^{\pi}\)...

ובכל זאת המספר \(1\) עדיף בשל היותו "שקוף" תחת מכפלה: לא רואים אותו כשהוא מכפיל גודל מסויים. ובכן, בזה רב כוחו ובמידה מסויימת גם חולשתו, ועל כך מייד. ברגע שקבענו שגודלה של מהירות האור הוא \(1\), יצקנו בסיס למושגים כמו מרחק פלאנק \(\Delta{\ell}_{p}\) וזמן פלאנק \(\Delta{t}_{p}\). אלו הם בדיוק אותם אינטרוולים של מרחק ושל זמן (בהתאמה) שמנתם היא אחד: \(c=\Delta\ell_{p}/\Delta{t}_{p}=1\). באותה בחירה נוחה של יחידות גם \(K_{E}=1/4\pi\epsilon_{0}=1\) וזה אומר שהקבוע הדיאלקטרי של הריק - היינו טביעת האצבע החשמלית של הואקום - בהכרח מקבל את הערך הנומרי \(\epsilon_{0}=1/4\pi\). והואיל ו- \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}=1\) הרי שהחדירות של הריק - היינו טביעת האצבע המגנטית של הואקום - מקבלת את הערך הנומרי \(\mu_{0}=4\pi\).

אליה וקוץ בה. במקורם שני הקבועים האוניברסליים הללו אינם מספרים טהורים (כלומר חסרי מימדים) כפי שמישהו עלול לסבור בשגגה אלא גדלים הנושאים עימם מהות פיזיקלית, שאמנם עתה היא מוסווית מעיננו אבל בהחלט עדיין שם. דוגמא להמחשת ההסוואה מתקבלת ממשוואת מסה-תנע-אנרגיה לחלקיק יחסותי הניתנת ע"י \(E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\); בבחירה של פלאנק מקבלים קשר פשוט ונוח להפליא, \(E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\), ועם זאת עשוי להטעות: למסה תנע ואנרגיה מימדים שונים בניגוד לרושם המתקבל מהמשוואה.

הפיזיקאים של אנרגיות גבוהות מתגברים על הקושי הזה על-נקלה באמצעות טריק מלאכותי אותו ניתן אולי לכנות "האחדת מהויות", שמשמעותו זיהוי בין מימדים שונים. לדוגמא, אם נחליט "על דעת עצמנו" ששניה אחת שקולה לחלוטין ל- \(3\times10^{8}\) מטרים (בקירוב) נקבל עבור מהירות האור \(c=1\) כמספר טהור, חסר מימדים, וחסר יחידות. במקרה זה מספרת לנו המשוואה \(E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\) שלמסה תנע ואנרגיה יש בדיוק את אותם מימדים... באופן דומה, אם נקבע ("על דעת עצמנו"...) את הקבוע של פלאנק \(\hbar=1\) להיות מספר טהור חסר מימדים וחסר יחידות, הרי שמהקשר \(E=\hbar\omega\) המתאר מנה בדידה של אנרגיה באינטראקציה שבין קרינה לחומר, נקבל שהמימד של אנרגיה מתלכד (גם) עם זה של אחד חלקי זמן, המתלכד מצידו עם אחד חלקי אורך.

פעמיים רשמתי למעלה "על דעת עצמנו" כמשקל נגד ל"דעת המקום" היות ולעולם התופעות יש בעניין הזה אמירה משלו; אחרי ככל הכל, זמן ומקום מסה תנע ואנרגיה הם מהויות פיזיקליות נפרדות גם אם ניתן להרכיב מהן בנקל "חיות" היברידיות דוגמת ארבע-וקטורים, טנזור-תנע-אנרגיה ועוד. הבחירה ביחידות פלאנק בתוספת האחדת מהויות שקולה לניסוח המשוואות הבסיסיות ללא הקבועים הפיזיקליים \(c,G,K_{E},\hbar,K_{B}\), שהרי עתה הם כולם המספר הטהור \(1\). את השנתות המתקבלות מהשילוב המנצח הזה מקובל לכנות בשם "יחידות טבעיות".** בפועל זה עשוי להקל מאוד על ניהול החשבונות, אבל בה-בעת עלול להוביל לבלבול וערפול כתוצאה מטשטוש הגבול הטבעי הקיים בין מהויות שונות. הבה נתבונן בדוגמא הבאה הלקוחה מהתורה האלקטרומגנטית;

כפי שנוכחנו לדעת, ביחידות טבעיות נוכל לרשום \(\mu_{0}=1/\epsilon_{0}=4\pi\) שהרי אם \(K_{E}\) הוא מספר טהור אז בהכרח \(\epsilon_{0}\) ו- \(\mu_{0}\) חסרי מימדים. במצב זה נוכל לאחד את שני קשרי האתר - \(\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\) ו- \(\mu_{0}\boldsymbol{\mathcal{H}}=\boldsymbol{B}\) - עם הזוג הראשון של משוואות מקסוול לכדי שתי משוואות "נקיות" עבור השדה האלקטרומגנטי:

\begin{aligned}\begin{array}{rcl}\left.\begin{array}{rcl}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=&\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}+\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&=&\boldsymbol{j}\end{array}\;\right\}&\stackrel{\text{ביחידות  טבעיות}\atop{\displaystyle\downarrow}}{\Longrightarrow}&\left\{\;\begin{array}{rcl}\nabla\cdot\boldsymbol{E}&=&\rho^{\star}\\\nabla\times\boldsymbol{B}+\displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}}&=&\boldsymbol{j}^{\star}\end{array}\right.\end{array}\end{aligned}

היכן שהצגנו \(\rho^{\star}\equiv4\pi\rho\) ו- \(\boldsymbol{j}^{\star}\equiv4\pi\boldsymbol{j}\) - מעין הגדרה מחודשת של המקורות.

בדיקה קלה של הצמד הימני מראה כי לשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\) ולהשראה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) אותם מימדים של מטען ליחידת שטח, שהרי לזמן ולאורך יש עתה את אותה מימדיות. על פניו זה נראה נפלא, אבל לעניות דעתי לא כך: ביסודם, השדה החשמלי וההשראה המגנטית הם שתי מהויות השונות עד מאוד זו מזו; שונות מבחינה פיזיקלית כפי שאפשר להיווכח מאופי האינטראקציה שלהן עם מקורות (\(\boldsymbol{F}=\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B}\)), ושונות אפילו יותר מבחינת המבנה המתמטי המשמש לתאר אותן.*** העבודה ביחידות טבעיות מעמעמת את השוני החיוני הזה. 

ומנגד, אם ניוותר עם הסרגל של פלאנק אבל נוותר על הטריק של האחדת המהויות, הרי שהשדה החשמלי וההשראה המגנטית שוב לא יהיו בעלי אותה מימדיות. במקרה זה מתקבלת אשליה כאילו צמד המשוואות עצמו אינו קונסיסטנטי מבחינת יחידות (היווכחו בזאת בעצמכם)... אבל כאמור זו רק אשליה. הפקטור \(4\pi\) המופיע פעמיים בסקטור המקורות שבאגף ימין נושא עימו עתה יחידות, ועבור כל אחת משתי המשוואות - יחידות אחרות. זאת ועוד, הנגזרת הזמנית של השדה החשמלי במשוואה השנייה מכפלת ב- \(1/c^{2}=1\) וכשלוקחים כל זאת בחשבון אשלית אי-העקביות מתפוגגת.

שורה תחתונה: לא הייתי ממהר להיפתר מהקבועים הפיזיקליים. במקום זאת הייתי משתדל להטמיעם בדרגות החופש הדינמיות. למשל, בעבודה עם 4-וקטורים הייתי משתמש ב- \(x^{0}=ct\) עבור 4-וקטור המקום ועם \(p^{0}=E/c\) עבור 4-וקטור התנע, ובתוך כדי כך שומר על \(c\) כמות שהוא כדי להבחין בין זמן למקום, ובין תנע לאנרגיה, וכיו"ב. 

-----------------------------------------------------------
**לעיתים קרובות נהוג לזהות את היחידות הטבעיות עם "יחידות פלאנק". למען הבהירות בחרתי להפריד בין שלב כיול הסרגלים (אצלי: "יחידות פלאנק") לשלב האחדת המהויות, בעיקבותיו מתנדפים כל חמשת הקבועים \(c,G,K_{E},\hbar,K_{B}\)
***למביני דבר, השדה החשמלי במהותו מתואר נכון באמצעות חד-תבנית בעוד שההשראה המגנטית במהותה מתוארת נכון באמצעות דו-תבנית. על ההבדלים הללו ועל המשמעויות שלהם תוכלו לקרוא ברשימה המתקדמת יותר "התיאור השלם של התורה האלקטרומגנטית".





יום רביעי, 6 באוגוסט 2014

מבוא לכוחות משמרים

הרשימה הזו נכתבה בסגנון רב-שיח או משהו בדומה (כפי שזה עשוי להשמע בכיתה במהלך דיון ער) ואני באמת מקווה שזה לא ישמע לחלקכם צורם קמעא...

שאלה: מהו כוח משמר?

תשובה: יש כמה דרכים שקולות להגדיר כוח משמר, אני הייתי מעדיף להגדירו כשדה כוח אותו ניתן לרשום כגרדיאנט של שדה סקלרי, 
\begin{align}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)=-\nabla\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\end{align}
סימן המינוס הוא עניין של נוחות שיבוא לידי ביטוי במשפט עבודה-אנרגיה ובחוק שימור האנרגיה המכנית. לשדה הסקלרי \(\phi\) יש יחידות של אנרגיה (היווכחו בכך) ונהוג לכנותו "אנרגיה פוטנציאלית"; לכן כוח משמר הוא כוח המתקבל כמינוס הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית. ובפרט, במימד אחד כוח משמר הוא כוח הניתן לרישום כנגזרת של פונקציה, \(f=-\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}x\). דרך-אגב, אנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען מכונה פוטנציאל, אבל אנו לא נעשה שימוש במושג הזה כאן.

תמיהה: מה כל כך מיוחד בכוח אותו ניתן לרשום באופן זה? על מה כל הטרחה? ובפרט, האנרגיה הפוטנציאלית הניתנת באופן זה מוגדרת רק עד כדי קבוע...

מענה: לכוח המתקבל כגרדיאנט של פונקציה סקלרית יש שתי משמעויות מרחיקות לכת הקשורות זו בזו, שתיהן בעלות אופי גלובלי מובהק... ומה בנוגע לקבוע? אכן כן, אנרגיה פוטנציאלית מוגדרת תמיד ביחס למשטח יחוס כלשהו, חופשי לבחירתכם, \(\phi_{0}=\text{const.}\) (רואים שמדובר במשטח?). מי לא מכיר את הצורך לבחור מישור ייחוס בשאלות הנוגעות לאנרגיה פוטנציאלית כבידתית? ואולם הפרש האנרגיות הפוטנציאליות תמיד עומד בפני עצמו ואינו תלוי בבחירת משטח הייחוס...

הסתייגות: אופי גלובלי?... ההגדרה של כוח משמר כפי שהצגנו כאן היא לחלוטין לוקלית, מנוסחת נקודתית. כיצד אתה מגיע מהגדרה מקומית לטענות בעלות אופי גלובלי?

הסבר: שתי המשמעויות הנובעות ישירות ממהגדרה הן
  1. העבודה שמבצע כוח משמר לאורך מסילה אינה תלוייה בתוואי המסילה.
  2. העבודה שמבצע הכוח משמר לאורך מסילה סגורה בהכרח מתאפסת. 
ובלי ספק שתי הטענות הללו הן בעלות אופי לא מקומי... אגב, יש כאלו המעדיפים להגדיר כוח משמר ככוח המקיים את שתי הדרישות הללו (ולמעשה מספיקה הראשונה, היות והשנייה נובעת ממנה), ומכאן להסיק שהמבנה שלו הוא בהכרח זה הניתן במשוואה \(1\).

ולראָיה?

הנה: הבה נבחן את העבודה שמבצע כוח משמר בהעברת גוף מנקודה כלשהי \(\boldsymbol{r}_{1}\) לנקודה אחרת \(\boldsymbol{r}_{2}\). העבודה ניתנת ע"י האינטגרל הקוי של הכוח לאורך מסלול התנועה ולכן,

\begin{aligned}W&\;=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\stackrel{\text{מההגדרה}\atop\downarrow}{=}-\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\nabla\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\mathrm{d}\phi\\&\;=\;\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)-\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\end{aligned}
כלומר יוצא שהעבודה מתקבלת כהפרש האנרגיות הפוטנציאליות: האנרגיה הפוטנציאלית בנקודת ההתחלה פחות האנרגיה הפוטנציאלית בנקודת הסיום, וזאת ללא כל קשר למסלול שהוליך אותנו בין שתי הנקודות. נדמה לי שבמתמטיקה קוראים לזה המשפט הבסיסי של החשבון האינטגרלי... מכל מקום, שימו לב שהעבודה אינה תלוייה בבחירת מישור היחוס של האנרגיה הפוטנציאלית.

רגע אחד...  המעבר מאינטגרציה לפי המקום על הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית לאינטגרציה על דיפרנציאל השלם של האנרגיה הפוטנציאלית לא לגמרי נהיר...

הסבר: זה קל מאוד... בקואורדינטות קרטזיות,
\begin{aligned}\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\;\;&=\left(\frac{\partial\phi}{\partial{x}}\widehat{\boldsymbol{x}}+\frac{\partial\phi}{\partial{y}}\widehat{\boldsymbol{y}}+\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\cdot\left(\mathrm{d}x\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\mathrm{d}y\,\widehat{\boldsymbol{y}}+\mathrm{d}z\,\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\\&=\frac{\partial\phi}{\partial{x}}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial{y}}\mathrm{d}y+\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\mathrm{d}z\;=\;\mathrm{d}\phi\end{aligned}
בשיטות טנזוריות באנליזה וקטורית זה אפילו עוד יותר פשוט, \(\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\partial_{i}\phi\,\mathrm{d}x^{i}=\mathrm{d}\phi\). ממליץ לכם מאוד לסגל לעצמכם את הטכניקות האלו שמלבד היותן יפות, הן גם מאוד שימושיות...

יפה... ומה בנוגע לטענה השנייה?

תשובה: מרגע שהוכחנו הראשונה, השנייה מתקבלת באופן מיידי. על פני מסילה סגורה \(C\),
\begin{aligned}W=\oint_{C}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-\oint_{C}\mathrm{d}\phi=0\end{aligned}
מאחר ולכל מסלול אינטגרציה, נקודת ההתחלה והסיום מתלכדות, בהנחה כמובן ש- \(\phi\) היא חד ערכית על המסילה.

שאלה: איפה אנו מוצאים בטבע כוחות משמרים?

תשובה: בכל מקום שבו הכוח בו מדובר הוא כוח מרכזי. דוגמאות מהפיזיקה הקלאסית: כוח קולון, חוק הכבידה של ניוטון... אלו הם כוחות המצביעים רדיאלית מהמטען המשרה אותם, תלויים אך ורק במרחק ממקור הכוח, ולכן כוחות מרכזיים. זאת ועוד, כל כוח שהמתקבל כסופרפוזיציה (או אינטגרל) של כוחות משמרים גם הוא משמר; טענה זו נובעת מתכונת הלינאריות שמקיים אופרטור הגרדיאנט:
\begin{aligned}\nabla\left(a_{1}\phi_{1}+a_{2}\phi_{2}+\cdots\right)= a_{1}\nabla\phi_{1}+a_{2}\nabla\phi_{2}+\cdots\end{aligned}

תמיהה: האם *כל* כוח מרכזי הוא בהכרח כוח משמר?

מענה: נראה שכן, וההוכחה לכך היא תרגיל קל באינפי; הביטוי הכללי ביותר עבור כוח מרכזי הוא מהצורה
\begin{aligned}\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)=f\left(r\right)\widehat{\boldsymbol{r}}=\frac{f\left(r\right)}{r}\,\boldsymbol{r}\end{aligned}
כלומר זהו כוח המצביע תמיד בכיוון הרדיאל (פנימה או החוצה) והוא לכל היותר תלוי במרחק מהראשית, היכן שיושב מקור הכוח והיכן שהכוח עצמו סינגולרי (האם נקודה זו מובנת?). האם \(\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)\) ניתן לרישום כגרדיאנט של פונקציה סקלרית? בהחלט כן. הבה ניווכח: ניעזר בהגדרה של אינטגרל לא מסויים ונרשום אותו באופן הבא:
\begin{aligned}\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left[-\int^{r}_{r_{0}}f\left(r'\right)\mathrm{d}r'\right]\equiv-\nabla\phi\left(r\right)\end{aligned}
היכן שהגרדיאנט נתון בקואורדינטות כדוריות, ו- \(\phi\left(r\right)\) היא (מינוס) הפונקציה הקדומה של \(f\left(r\right)\).

לא לגמרי מובן...

תזכורת: בקואורדינטות כדוריות אופרטור הגרדיאנט ניתן ע"י
\begin{aligned}\nabla=\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{r}}+\widehat{\boldsymbol{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\widehat{\boldsymbol{\varphi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\end{aligned}
ואם נפעילו על פונקציה התלוייה אך ורק בקוארדינטה הרדיאלית \(r\) נישאר רק עם האיבר הראשון כפי שקורה במקרה של כוח מרכזי, כלומר \(\nabla\phi\left(r\right)=\widehat{\boldsymbol{r}}\left(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}r\right)\).

תובנה: לא פלא שכוח מרכזי הוא בהכרח משמר, היות ואין לו מרכיב עירבולי...

אמת. היות והרוטור של הגרדיאנט מתאפס באופן זהותי, לשדה כוח משמר אין ולא יכול להיות מרכיב עירבולי. לחליפין, אם לשדה כוח כלשהו יש מרכיב עירבולי הרי שהמרכיב הזה בהכרח אינו משמר, מאחר והאינטגרל המסלולי שלו ע"פ מסלול סגור אינו מתאפס. דרך פשוטה איפה לוודא שכוח נתון הוא אכן משמר היא לבדוק שמתקיים התנאי \(\nabla\times\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}\), הואיל ומשוואה זו נפתרת באופן לא טריוויאלי על ידי \(\boldsymbol{f}=-\nabla\phi\)  (סימן המינוס הוא רק עניין של מוסכמה).

אפשר בבקשה להראות שוב מניין הזהות \(\nabla\times\left(\nabla\phi\right)\equiv\boldsymbol{0}\) באה? ומנין באה גם הזהות האחות \(\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)=0\)?

בבקשה: בקאורדינטות קרטזיות זה ישיר אבל קצת ארוך ואני משאיר זאת לכם כתרגיל... כנספח. בשיטות טנזוריות זה עוד יותר ישיר וגם מיידי,
\begin{aligned}\left(\nabla\times\nabla\phi\right)_{i}&\:=\epsilon_{ijk}\partial_{j}\partial_{k}\phi\stackrel{{\text{בהכרח}\atop\text{(?למה)}}\atop\downarrow}{\equiv}0\\\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)&\:=\epsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}v_{k}\;\equiv\;0.\end{aligned}
המשמעות של הזהות הראשונה היא שגרדיאנט הוא בהכרח שדה קורן (ולכן נטול עירבוליות) והמשמעות של הזהות השנייה היא ששדה וקטורי עירבולי אינו קורן.

שאלה: הזכרת את משפט עבודה-אנרגיה ואת חוק שימור האנרגיה בהקשר של בחירת הסימן בהגדרה של כוח משמר. תוכל לבאר?

בודאי: כזכור, משפט עבודה אנרגיה מספר לנו שהעבודה הכוללת הנעשית ע"י סך כל הכוחות הפועלים על גוף שווה להפרש האנרגיות הקינטיות של הגוף. אם \(\boldsymbol{f}\) הוא השקול של כל הכוחות הללו אזי,

\begin{aligned}W&\;=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\boldsymbol{f}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\frac{1}{m}\int_{\boldsymbol{p}_{1}}^{\boldsymbol{p}_{2}}\boldsymbol{p}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{p}\\&\;=E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)-E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)\end{aligned}
(השלימו בעצמכם את המעברים הלא מפורשים). כפי שראינו קודם לכן, במקרה שמדובר על כוח משמר העבודה היא גם הפרש האנרגיות הפוטנציאליות עם סימן הפוך; מכאן מתקבלת המשוואה:
\begin{aligned}\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)-\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)=E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)-E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)\end{aligned}
כמובן, אם מדובר על עבודתם הסימולטנית של כמה כוחות משמרים פשוט החליפו בכל מקום \(\phi\to\phi_{1}+\phi_{2}+\cdots\). נעביר עתה אגפים ונקבל את חוק שימור האנרגיה המכנית (קינטית + פוטנציאלית):
\begin{aligned}\underbrace{\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)+E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)}_{\text{האנרגיה המכנית}\atop\text{בתחילת התהליך}}=\underbrace{\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)+E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)}_{\text{האנרגיה המכנית}\atop\text{בסוף התהליך}}\end{aligned}
מכאן קל גם להבין מדוע בחרנו בסימן המינוס עבור ההגדרה של כוח משמר... שימו לב שחוק שימור האנרגיה המכנית אינו תלוי בבחירת משטח היחוס לאנרגיה הפוטנציאלית וגם לא במערכת היחוס ממנה נמדדת האנרגיה הקינטית.


תוספת מאוחרת: בכל זאת, לטובת אלו שלא מורגלים בשיטות טנזוריות באנליזה וקטורית, הנה הפיתוח של שתי הזהויות המפורסמות \(\text{curl}\,\text{grad}\equiv\boldsymbol{0}\) ו- \(\text{div}\,\text{curl}\equiv0\).

יהא \(\phi\left(x,y,z\right)\) שדה סקלרי חלק, ויהיה \(\boldsymbol{v}\left(x,y,z\right)\) שדה וקטורי חלק. אזי, מהקומוטטיביות של הנגזרות החלקיות,

\begin{aligned}&\nabla\times\left(\nabla\phi\right)\;=\begin{vmatrix}\widehat{\boldsymbol{x}}&\widehat{\boldsymbol{y}}&\widehat{\boldsymbol{z}}\\\frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\\frac{\partial\phi}{\partial{x}}&\frac{\partial\phi}{\partial{y}}&\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\end{vmatrix}\;=\\\;=\;\;&\widehat{\boldsymbol{x}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{z}\partial{y}}\right)+\widehat{\boldsymbol{y}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{x}\partial{z}}\right)+\widehat{\boldsymbol{z}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{y}\partial{x}}\right)\;\equiv\;\,\boldsymbol{0}\,,\end{aligned}
\begin{aligned}&\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)\;=\\=&\;\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{v}_{z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{v}_{y}}{\partial{z}}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{v}_{x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{v}_{z}}{\partial{x}}\right)+\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{v}_{y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{v}_{x}}{\partial{y}}\right)\\=&\;\frac{\partial^{2}v_{z}}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^{2}v_{y}}{\partial{x}\partial{z}}+\frac{\partial^{2}v_{x}}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^{2}v_{z}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^{2}v_{y}}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^{2}v_{x}}{\partial{z}\partial{y}}\;\equiv\;0\,.\end{aligned}
שימו לב שאלו הן זהויות (זהות וקטורית וזהות סקלארית, בהתאמה) במובן זה שהשוויונים אינם תלויים כלל בשדות \(\phi\) ו-\(\boldsymbol{v}\).