יום ראשון, 27 ביולי 2014

ההצגות של (gl(n,R במרחב פוק

ברשימה זו אבנה את ההצגות במרחב פוק של \(m^{2}\) יוצרי חבורת הטרנספורמציות הלינאריות הכלליות מעל הממשיים, הפועלת במרחב מטרי ממימד \(m\) (הוא מרחב ההצגה) עם המטריקה
 \begin{aligned}\eta=\text{diag}\big(\underbrace{\underbrace{+,+,\cdots,+}_{p\text{ time-like}},\underbrace{-,-,\cdots,-}_{q\text{ space-like}}}_{p+q=m}\big)\end{aligned}
הטיפול אמנם כללי מאוד אבל המוטיבציה פיזיקלית: מכאן אפשר יהיה לשלוף על-נקלה את ההצגות במרחב פוק של היוצרים של סימטריות מרחב-זמן במרחב מינקובסקי (כלומר טרנספורמציות לורנץ, גזירות ודילטציה), אבל הטיפול הזה יחכה לרשימה הבאה בנושא.

הערות: הנושא הזה קצת מתקדם, הטקסט די טכני ובפרט אינו מומלץ לקריאה למי שאלרגי לאינדקסים או לחשבונות במרחבי פוק. זהו אחד הרעיונות שהגיתי בזמן היותי תלמיד-מחקר, ככל הידוע לי הוא מקורי***, אבל אף פעם לא מצאתי לנכון לשבצו בתזה מפאת שוליותו היחסית וחוסר שייכותו לסיפור המרכזי.

חלק ראשון: האלגברה של החבורה הלינארית הכללית.

לחבורה של הטרנספורמציות הלינאריות הכלליות במרחב וקטורי מעל הממשיים, המסומנת \(GL\left(m,\mathbb{R}\right)\), משוייכת אלגברת-לי מתאימה אותה מסמנים כ- \(\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\), והיא מכילה \(m^{2}\) יוצרים
\begin{aligned}\left\{C_{\alpha}^{\beta}\right\}\in\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right),\quad\alpha,\beta=1,2,\ldots,m\end{aligned}
הללו פורשים מרחב וקטורי ממימד \(m^{2}\) המכונה מרחב החבורה והוא מאכלס וקטורים מהצורה \(\boldsymbol{\omega}=\omega^{\alpha}_{\beta}C^{\beta}_{\alpha}\) (כמקובל בטקסטים מסוג זה אנו נעשה שימוש בהסכם הסומציה). האלגברה סגורה כמובן תחת יחסי חילוף, \([\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\omega}']\in\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\) ואברי החבורה ניתנים ע"י
\begin{aligned}L\left(\boldsymbol{\omega}\right)=e^{i\boldsymbol{\omega}}.\end{aligned}
בכדי להבטיח שבסופו של יום נקבל טרנספורמציות ממשיות, על האומגות כולן לקיים \(\boldsymbol{\omega}^{\star}=-\boldsymbol{\omega}\); לכן, אם נדרוש שווקטור הקואורדינטות \(\omega^{\alpha}_{\beta}\) יהיה ממשי, אזי לכל זוג אינדקסים \(\left(\alpha,\beta\right)\) ולכל יוצר באלגברה מתקיים  \((C_{\alpha}^{\beta})^{\star}=-C_{\alpha}^{\beta}\).

ההצגה הפשוטה ביותר של יוצרי החבורה שכל בר-דעת יכול להעלות על דעתו (המקיימת את הדרישה דלעיל) היא זו של \(m^{2}\) המטריצות מסדר \(m\times{m}\), כל אחת ואחת מהן מכילה \(m^{2}-1\) כניסות מאופסות ואת המספר המדומה \(i\) בכניסה ה-\(\left(\alpha,\beta\right)\), כלומר בהצגה זו
\begin{aligned}(C^{\alpha}_{\beta})^{\gamma}_{\delta}=i\,\delta^{\alpha}_{\delta}\delta^{\gamma}_{\beta}\end{aligned}
למעשה, הצגה זו מגדירה את הבסיס הסטנדרטי במרחב החבורה ובהקשר של חבורות-לי הוא מכונה גם בסיס Weyl-Cartan. שימו לב שהיוצרים לא מקיימים כל סימטריה בניהם, ובפרט \(C^{\alpha}_{\beta}\neq\pm{C}^{\beta}_{\alpha}\). בבניה זו שיבצנו את \(m^{2}\) היוצרים בתבנית ריבועית מסדר \(m\times{m}\) על מנת להשמישה לטיפול אנליטי במרחב ההצגה, שהוא כאמור מרחב מטרי לכל דבר ועניין.

הואיל ומדובר במרחב וקטורי הטעון במטריקה, אינדקסים מורידים ומעלים באמצעות הטנזור המטרי \(\eta_{\alpha\beta}\) (או ההופכי שלו). רישום נוקדני היה מחייב אותנו להשתמש באינדקסים מתוייגים, למשל ב-\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}=1,2,\ldots,m\) היכן שהתג הצמוד לכל אינדקס מסמן את מיקומו הסידורי של האינדקס על גבי הרכיב הטנזורי אליו הוא צמוד.

לדוגמא, בגישה הנוקדנית היה הטנזור המטרי נרשם כ- \(\eta_{\alpha_{1}\alpha_{2}}\) ואילו הצגת האלגברה בבסיס הסטנדרטי היתה נרשמת כ- \((C^{\alpha_{1}}_{\alpha_{2}})^{\alpha_{3}}_{\alpha_{4}}=i\,\delta^{\alpha_{1}}_{\alpha_{4}}\delta^{\alpha_{3}}_{\alpha_{2}}\). אלא שרישום זה היה הופך את הטקסט המתמטי למסובך לקריאה ולכן במקום לתייגם בחרתי (כמקובל) לתת לאינדקסים השונים שמות שונים. בחירה זו מחייבת אותנו להיזהר שבעתיים במיקומים בזמן העלאה והורדה;

בואו נערוך תרגיל קצרצר בהעלאה והורדה של האינדקסים הצמודים ליוצרים כדי לראות כיצד זה עובד: נסדרם משמאל לימין ומלמעלה למטה בסדר עולה (בחירה שרירותית) ונקבל,
\begin{aligned}(C^{\alpha\lambda})_{\sigma\delta}=\eta^{\beta\lambda}\eta_{\gamma\sigma}(C^{\alpha}_{\beta})^{\gamma}_{\delta}=i\,\eta^{\beta\lambda}\eta_{\gamma\sigma}\delta^{\alpha}_{\delta}\delta^{\gamma}_{\beta}=i\,\delta^{\alpha}_{\delta}\delta^{\lambda}_{\sigma}=(C^{\alpha}_{\sigma})^{\lambda}_{\delta}\end{aligned} כלומר בנינו התאמה חד-חד ועל בין המרכיב ה-\(\sigma\delta\) של היוצר ה-\(\alpha\lambda\) ברישום החדש (בו רק מרכיבים קונטרא-ווריאנטים במרחב החבורה ורק מרכיבים קו-ווריאנטים במרחב ההצגה) למרכיב ה-\(\lambda\delta\) של היוצר ה- \(\alpha\sigma\) ברישום הישן (עם מרכיבים מעורבים בכל אחד מהמרחבים). שימו לב שבטנזור המטרי אין משמעות לסידור האינדקסים היות ו- \(\eta_{\alpha\beta}=\eta_{\beta\alpha}\).

ובפרט, ברצוננו נוכל לרשום \(\omega^{\alpha}_{\beta}C^{\beta}_{\alpha}=\eta^{\alpha\gamma}\omega_{\gamma\beta}C^{\beta\delta}\eta_{\delta\alpha}=\omega_{\gamma\beta}C^{\beta\delta}\delta^{\gamma}_{\delta}=\omega_{\gamma\beta}C^{\beta\gamma}\). תצורה זו קצת יותר מקובלת היות וכאן קל יותר להבחין בין אינדקסים במרחב החבורה לאינדקסים במרחב ההצגה:
\begin{aligned}L^{\gamma}_{\delta}\left(\boldsymbol{\omega}\right)=[e^{(i\,\omega_{\alpha\beta}\,C^{\beta\alpha})}]^{\,\gamma}_{\,\delta}\end{aligned}
הערת-אגב: אם באגד משיקי חפצנו אז \(\omega_{\alpha\beta}=\omega_{\alpha\beta}\left(x\right)\) באשר \(x\) נקודה על יריעת הבסיס, ובמקרה זה אברי החבורה פועלים באופן מקומי, היינו \(L\left(x\right)=e^{i\boldsymbol{\omega}\left(x\right)}\); הואיל ודיוננו נסוב סביב האלגברה, אין זה משנה אם בטרנספורמציות גלובליות חפצנו או לוקליות ומבחינתנו אפשר להתייחס ל- \(\boldsymbol{\omega}\) כגודל קבוע.

מהו יחס החילוף המאפיין את האלגברה \(\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\) ומהם קבועי המבנה שלה? ובכן, קל מאוד - כמעט טריויאלי - לברר זאת כל עוד אנו עובדים בבסיס הסטנדרטי. הבה נראה; כל שמוטל עלינו הוא להקפיד לכל אורך חשבוננו הקצרצר ש- \(\gamma\) ו- \(\lambda\) יציינו אינדקסים במרחב ההצגה ונקבל:

\begin{aligned}&(C^{\alpha}_{\beta})^{\gamma}_{\delta}(C^{\mu}_{\nu})^{\delta}_{\lambda}-(C^{\mu}_{\nu})^{\gamma}_{\delta}(C^{\alpha}_{\beta})^{\delta}_{\lambda}\;=\;-\,\delta^{\alpha}_{\delta}\delta^{\gamma}_{\beta}\delta^{\mu}_{\lambda}\delta^{\delta}_{\nu}+\delta^{\mu}_{\delta}\delta^{\gamma}_{\nu}\delta^{\alpha}_{\lambda}\delta^{\delta}_{\beta}\\&\quad\qquad\;=\;-\,\delta^{\alpha}_{\nu}\delta^{\gamma}_{\beta}\delta^{\mu}_{\lambda}+\delta^{\mu}_{\beta}\delta^{\gamma}_{\nu}\delta^{\alpha}_{\lambda}\;=\;i\,\delta^{\alpha}_{\nu}(C^{\mu}_{\beta})^{\gamma}_{\lambda}-i\,\delta^{\mu}_{\beta}(C^{\alpha}_{\nu})^{\gamma}_{\lambda}\\&\quad\qquad\;=\;i\left(\delta^{\alpha}_{\nu}\delta^{\mu}_{\varphi}\delta_{\beta}^{\vartheta}-\delta^{\mu}_{\beta}\delta_{\varphi}^{\alpha}\delta^{\vartheta}_{\nu}\right)(C^{\varphi}_{\vartheta})_{\lambda}^{\gamma}\end{aligned}

בכתיב מטריצי (או מנקודת מבט אלגברית טהורה) קיבלנו את יחס החילוף

\begin{aligned}\left[C^{\alpha}_{\beta},C^{\mu}_{\nu}\right]=\underbrace{i\left(\delta^{\alpha}_{\nu}\delta^{\mu}_{\varphi}\delta_{\beta}^{\vartheta}-\delta^{\mu}_{\beta}\delta_{\varphi}^{\alpha}\delta^{\vartheta}_{\nu}\right)}_{\displaystyle{\equiv\underbrace{f^{\alpha\mu\vartheta}_{\beta\nu\varphi}}_{{\text{קבועי המבנה}\atop\text{של החבורה}}}}}C^{\varphi}_{\vartheta}\end{aligned}

ברצוננו, נוכל עתה להעלות את הרכיבים הקווריאנטים של היוצרים באמצעות (ההופכי של) הטנזור המטרי שרכיביו הם \(\eta^{\alpha\beta}\) ולקבל
\begin{aligned}\left[C^{\alpha\beta},C^{\mu\nu}\right]={f^{\alpha\beta\mu\nu}}_{\vartheta\varphi}C^{\varphi\vartheta}\end{aligned}
עם קבועי מבנה טיפ-טיפה שונים המקודדים עתה את המבנה המטרי של מרחב ההצגה באופן מובנה:
\begin{aligned}{f^{\alpha\beta\mu\nu}}_{\vartheta\varphi}&=\eta^{\beta\kappa}\eta^{\nu\sigma}\eta_{\vartheta\lambda}f^{\alpha\mu\lambda}_{\kappa\sigma\varphi}\\&=i\,\eta^{\beta\kappa}\eta^{\nu\sigma}\eta_{\vartheta\lambda}\left(\delta^{\alpha}_{\sigma}\delta^{\mu}_{\varphi}\delta^{\lambda}_{\kappa}-\delta^{\mu}_{\kappa}\delta^{\alpha}_{\varphi}\delta^{\lambda}_{\sigma}\right)\\&=i\left(\eta^{\beta\kappa}\eta^{\nu\alpha}\eta_{\vartheta\kappa}\delta^{\mu}_{\varphi}-\eta^{\beta\mu}\eta^{\nu\sigma}\eta_{\vartheta\sigma}\delta^{\alpha}_{\varphi}\right)\\&=i\left(\eta^{\nu\alpha}\delta^{\beta}_{\vartheta}\delta^{\mu}_{\varphi}-\eta^{\beta\mu}\delta^{\nu}_{\vartheta}\delta^{\alpha}_{\varphi}\right).\end{aligned}

תרגיל: חשבו במפורש את \(\boldsymbol{\omega}'=e^{i\boldsymbol{\omega}}\boldsymbol{\omega}e^{-i\boldsymbol{\omega}}\) עבור טרנספורמציות אינפיניטסמליות.

חלק שני: ההצגה של היוצרים במרחב פוק:

אנו הולכים לבצע עתה התאמה לא שגרתית... זיכרו שוב שאנו עובדים במרחב מטרי עם הסיגנטורה \(\left(p,q\right)\):
\begin{aligned}\eta=\text{diag}\big(\underbrace{\underbrace{+,+,\cdots,+}_{\text{קואורדינטות}\;p\atop\text{דמויות זמן}},\underbrace{-,-,\cdots,-}_{\text{קואורדינטות}\;q\atop\text{דמויות מרחב}}}_{p+q=m}\big)\end{aligned}
למשל, עבור מרחב מינקובסקי \(\eta=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)\). לכל קורדינטה במרחב המטרי (בין אם היא דמויית זמן ובין אם דמויית מרחב) נשייך אוסצילטור הרמוני הבא עם צמד אופרטורי יצירה והשמדה. שימו לב שאופרטורי יצירה והשמדה של אוסצילטורים שונים (המשוייכים לקואורדינטות שונות) מתחלפים זה עם זה.

הבה נתמקד לרגע בתת-המרחב דמוי הזמן. נסמן את צמדי האופרטורים המשוייכים ל-\(p\) האוסצילטורים השונים באמצעות האינדקסים \(\alpha,\beta=1,\ldots,p\), ונקבל את יחס החילוף
\begin{aligned}\left[a_{\alpha},a^{\dagger}_{\beta}\right]=\delta_{\alpha\beta}\end{aligned}
באשר \(a^{\dagger}\) מציין אופרטור יצירה, ו-\(a\) אופרטור השמדה (פה ושם אשמיט האינדקסים הצמודים לאופרטורים לצרכי בהירות הקריאה). בכל אחד ממרחבי הילברט של הצמדים הללו, ובבסיס בו אופרטור המספר \(N=a^{\dagger}a\) מתלכסן, מתקבלים אלמנטי המטריצה
\begin{aligned}a_{jk}&\;=\left<j\right|a\left|k\right>=\sqrt{k}\left<j\right|\left.k-1\right>=\sqrt{k}\:\delta_{j,k-1}\\a^{\dagger}_{jk}&\;=\left<j\right|a^{\dagger}\left|k\right>=\sqrt{k+1}\left<j\right|\left.k+1\right>=\sqrt{k+1}\:\delta_{j,k+1}\\N_{jk}&\;=\left<j\right|a^{\dagger}a\left|k\right>=\sqrt{k}\left<j\right|a^{\dagger}\left|k-1\right>=\sqrt{k}\sqrt{k}\left<j\right|\left.k\right>=k\:\delta_{jk}\end{aligned}  
עתה נתמקד בתת-המרחב המשלים: כל אוסצילטור המשוייך לקואורדינטה דמויית-מרחב בא עם צמד אופרטורי יצירה והשמדה סטנדרטים, אלא שהפעם נסמלם בסימול "הפוך": \(a\) עבור אופרטור יצירה ו- \(a^{\dagger}\) עבור אופרטור השמדה. בסימול זה, לכל צמד אינדקסים \(\alpha,\beta=p+1,\ldots,m\), מתקיים עתה
\begin{aligned}\left[a_{\alpha},a^{\dagger}_{\beta}\right]=-\delta_{\alpha\beta}\end{aligned}
שימו לב שאין פה שום דבר מיוחד פרט לצורת רישום הפוכה מהמקובל: האופרטורים בסקטור דמוי המרחב הם בסך הכל הצימוד ההרמיטי של אופרטורי יצירה והשמדה סטנדרטים של אוסצילטור הרמוני. הילכך, אלמנטי המטריצה בסקטור הזה ניתנים ע"י
\begin{aligned}a_{jk}&\;=\left<j\right|a\left|k\right>=\sqrt{k+1}\left<j\right|\left.k+1\right>=\sqrt{k+1}\:\delta_{j,k+1}\\a^{\dagger}_{jk}&\;=\left<j\right|a^{\dagger}\left|k\right>=\sqrt{k}\left<j\right|\left.k-1\right>=\sqrt{k}\:\delta_{j,k-1}\\N_{jk}&\;=\left<j\right|a^{\dagger}a\left|k\right>=\sqrt{k+1}\left<j\right|a^{\dagger}\left|k+1\right>\\&\;=\;\sqrt{k+1}\sqrt{k+1}\left<j\right|\left.k\right>=\left(k+1\right)\delta_{jk}\end{aligned}  
שימו לב עתה לדבר החביב הבא: את יחסי החילוף בין *כל* אופרטורי היצירה וההשמדה נוכל לסכם במשוואה אחת ויחידה:
\begin{aligned}\left[a_{\alpha},a^{\dagger}_{\beta}\right]=\eta_{\alpha\beta}\,,\quad\alpha,\beta=1,\ldots,m\end{aligned}
כלאמר ה-C-number שבאגף ימין מתקבל מאלמנטי המטריציה של הטנזור המטרי, לא מהדלתא של קרוניקר. שימו לב שיחס החילוף דווקא סימטרי תחת החלפת האינדקסים \(\alpha\leftrightarrow\beta\); האנטי-סימטריה של יחס החילוף היא ביחס להחלפת מיקומי האופרטורים, לא מיקומי האינדקסים.

כל אוסצילטור הרמוני המתוייג באמצעות התג \(\alpha=1,\ldots,m\) מתואר באמצעות מרחב הילברט \(\mathcal{H}_{\alpha}\) הנפרש ע"י אוסף המצבים האפשריים בהם הוא יכול להימצא. ובפרט, הבסיס בו מלוכסן אופרטור המספר של אותו אסצילטור נפרש ע"י אוסף המצבים \(\left\{\left|n_{\alpha}\right>\right\}\) היכן ש- \(n_{\alpha}\in\mathbb{N}\). אסופת האוסצילטורים כולה מתוארת באמצעות מרחב המכפלה של כל מרחבי הילברט הללו,
\begin{aligned}\mathcal{F}_{m}=\mathcal{H}_{1}\times\mathcal{H}_{2}\times\cdots\times\mathcal{H}_{m}\end{aligned}
מרחב מכפלה זה הוא מקרה פרטי של מרחב פוק, ובבסיס בו מלוכסנים כל אופרטורי המספר של האוסצילטורים הבודדים, הוא נפרש על ידי ``\(\mathbb{N}^{m}\)`` המצבים
\begin{aligned}\left|n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\right>&=\left|n_{1}\right>\otimes\left|n_{2}\right>\otimes\cdots\otimes\left|n_{m}\right>\end{aligned}
באשר \(n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\in\mathbb{N}\). כאמור, כל כיוון במרחב המכפלה הנ"ל הוא מרחב הילברט בפני עצמו הנפרש ע"י המצבים העצמיים של אופרטור המספר של האוסצילטור המשוייך אליו. מצבים אלו הם כידוע גם ניצבים זה לזה וגם מנורמלים, כלומר מקיימים \(\left<n_{\alpha}|\,n_{\alpha}'\right>=\delta_{n_{\alpha}n_{\alpha}'}\), ולכן המצבים הפורשים את מרחב המכפלה כולו גם הם אורתונורמליים:
\begin{aligned}\left<n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\left.\right|n_{1}',n_{2}',\ldots,n_{m}'\right>=\delta_{n_{1}n_{1}'}\delta_{n_{2}n_{2}'}\cdots\delta_{n_{m}n_{m}'}\end{aligned}

הלאה. הבה נציג \(m^{2}\) אופרטורים היברידים מהצורה 
\begin{aligned}N_{\alpha\beta}=-i\,a_{\alpha}^{\dagger}a_{\beta}\end{aligned}
הללו מקיימים את התכונה \(N_{\alpha\beta}^{\dagger}=-N_{\beta\alpha}\) ובפרט, \(N_{\alpha\alpha}^{\dagger}=-N_{\alpha\alpha}\) כלומר אלו היושבים "על האלכסון" הם אנטי-הרמיטיים. עבור \(p\) האוסצילטורים המשוייכים לקואורדינטות דמויות-זמן, כל אופרטור \(N_{\alpha\alpha}\) הוא \(-i\) כפול אופרטור המספר המתאים. עבור \(q=m-p\) האוסצילטורים המשוייכים לקואורדינטות דמויות-מרחב, האופרטור \(N_{\alpha\alpha}\) הוא \(-i\) כפול אופרטור המספר ועוד אחת (למה?); לכן, הואיל והערכים העצמיים של אופרטורי המספר הם המספרים הטבעיים,
\begin{aligned}N_{\alpha\alpha}\left|n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\right>=\left\{\begin{array}{rcl}-i\,n_{\alpha}\left|n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\right>&&1\leq\alpha\leq{p}\\-i\left(n_{\alpha}+1\right)\left|n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\right>&&p<\alpha\leq{m}\end{array}\right.\end{aligned}
באשר \(n_{\alpha}\in\mathbb{N}\) לכל \(\alpha\). מן הסתם, עבור \(\alpha\neq\beta\) האופרטורים \(N_{\alpha\beta}\) אינם מלוכסנים ומיד נגיע גם לזה.

שאלה מתבקשת עתה היא מהם יחסי החילוף בין כל \(m^{2}\) האופרטורים ההיברידים הללו? ובכן, זאת קל עד מאוד לחשב:
\begin{aligned}\left[N_{\alpha\beta},N_{\mu\nu}\right]&=-\left[a^{\dagger}_{\alpha}a_{\beta},a^{\dagger}_{\mu}a_{\nu}\right]\\&=-a^{\dagger}_{\alpha}\left[a_{\beta},a^{\dagger}_{\mu}\right]a_{\nu}-a^{\dagger}_{\mu}\left[a^{\dagger}_{\alpha},a_{\nu}\right]a_{\beta}\\&=-i\eta_{\beta\mu}N_{\alpha\nu}+i\eta_{\alpha\nu}N_{\mu\beta}\\&=i\left(\eta_{\alpha\nu}\delta^{\varphi}_{\mu}\delta^{\vartheta}_{\beta}-\eta_{\beta\mu}\delta^{\varphi}_{\alpha}\delta_{\nu}^{\vartheta}\right)N_{\varphi\vartheta}\end{aligned}

טוב, עתה כבר כל בר-דעת רואה בעיניים לאן העניינים מתכנסים... קיבלנו אם כן שסט האופרטורים \(\left\{N_{\alpha\beta}\right\}\) מקיים את יחסי החילוף
\begin{aligned}\left[N_{\alpha\beta},N_{\mu\nu}\right]=f_{\alpha\beta\mu\nu}^{\phantom{\alpha\beta\mu\nu}\vartheta\varphi}N_{\varphi\vartheta}\end{aligned}
בדיוק עם אותם קבועי המבנה של האלגברה \(\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\); במילים אחרות, מצאנו ייצוג של האלגברה \(\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\) במרחב המכפלה \(\mathcal{F}_{m}\) וזה באמת דבר נפלא היות ונפתחה בפנינו דרך ליצג מפורשות את הטרנספורמציות הללו בפועלן על משתנים דינמיים שיש להם ייצוג במרחב פוק, למשל על מדידים במכניקה הקוונטית הנושאים אינדקסים של מרחב-זמן.

מנקודה זו בניית אלמנטי המטריצה של היוצרים בבסיס בו אופרטורי המספר מלוכסנים היא כבר עניין טכני ואני לגמרי לא בטוח שהאופן בו אציג זאת כאן הוא האלגנטי ביותר אבל זה מה שעולה לי בראש. אני איעזר בפונקצית המדרגה המוכרת, המוגדרת דרך
\begin{aligned}\Theta\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rcl}0&&x<0\\1&&x>0\end{array}\right.\end{aligned}
אזי, אלמנטי המטריצה יתקבלו כך (אם החשבון לא לגמרי נכנס אצלכם ברוחב העמוד, אתם מוזמנים להשלים את החסר בעצמכם\(\ldots\)).
\begin{aligned}&\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|N_{\alpha\beta}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}',\ldots,n_{\beta}',\ldots,n_{m}'\big>=\\&=\,-i\,\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|a^{\dagger}_{\alpha}a_{\beta}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}',\ldots,n_{\beta}',\ldots,n_{m}'\big>\\&=\,-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\sqrt{n_{\beta}'}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|a^{\dagger}_{\alpha}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}',\ldots,n_{\beta}'-1,\ldots,n_{m}'\big>\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\sqrt{n_{\beta}'+1}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|a^{\dagger}_{\alpha}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}',\ldots,n_{\beta}'+1,\ldots,n_{m}'\big>\\&=\,-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\Theta\left(p-\alpha\right)\sqrt{n_{\beta}'(n_{\alpha}'+1)}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}'+1,\ldots,n_{\beta}'-1,\ldots,n_{m}'\big>\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\Theta\left(\alpha-p\right)\sqrt{n_{\beta}'n_{\alpha}'}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}'-1,\ldots,n_{\beta}'-1,\ldots,n_{m}'\big>\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\Theta\left(p-\alpha\right)\sqrt{(n_{\beta}'+1)(n_{\alpha}'+1)}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}'+1,\ldots,n_{\beta}'+1,\ldots,n_{m}'\big>\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\Theta\left(\alpha-p\right)\sqrt{(n_{\beta}'+1)\,n_{\alpha}'}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}'-1,\ldots,n_{\beta}'+1,\ldots,n_{m}'\big>\\&=\,-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\Theta\left(p-\alpha\right)\sqrt{n_{\beta}'(n_{\alpha}'+1)}\;\delta_{n_{1}n_{1}'}\cdots\;\delta_{n_{\alpha},n_{\alpha}'+1}\cdots\;\delta_{n_{\beta},n_{\beta}'-1}\cdots\;\delta_{n_{m}n_{m}'}\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\Theta\left(\alpha-p\right)\sqrt{n_{\beta}'n_{\alpha}'}\;\delta_{n_{1}n_{1}'}\cdots\;\delta_{n_{\alpha},n_{\alpha}'-1}\cdots\;\delta_{n_{\beta},n_{\beta}'-1}\cdots\;\delta_{n_{m}n_{m}'}\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\Theta\left(p-\alpha\right)\sqrt{(n_{\beta}'+1)(n_{\alpha}'+1)}\;\delta_{n_{1}n_{1}'}\cdots\;\delta_{n_{\alpha},n_{\alpha}'+1}\cdots\;\delta_{n_{\beta},n_{\beta}'+1}\cdots\;\delta_{n_{m}n_{m}'}\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\Theta\left(\alpha-p\right)\sqrt{(n_{\beta}'+1)\,n_{\alpha}'}\;\delta_{n_{1}n_{1}'}\cdots\;\delta_{n_{\alpha},n_{\alpha}'-1}\cdots\;\delta_{n_{\beta},n_{\beta}'+1}\cdots\;\delta_{n_{m}n_{m}'}\end{aligned} 

התוצאה הזו אולי ניראת לכם קצת מסורבלת אבל אני סבור שאין זה כך עבור מי שרואה בעיני רוחו את הרעיון הכללי. בסופו של דבר תעניינה אותנו ההצגות של הטרנספורמציות הלינאריות במרחב מינקובסקי עם מטריקה לורנציאנית והיות וכאן מדובר בסה"כ בארבע מימדים, קל יהיה לרשום אותן במפורש. על האופן שבו שולפים את האלגברה של חבורת לורנץ (יוצרי הבוסטים והסיבובים) במרחב מינקובסקי מתוך \(\mathfrak{gl}\left(4,\mathbb{R}\right)\), כמו גם את את יוצרי הגזירות (shears) והיוצר של הדילטציות - בפעם אחרת.


***עדכון: על-פי עופר אייל, ג'וליאן שווינגר פיתח דבר דומה לפני חצי יובל שנים...




אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה