יום שבת, 3 במאי 2014

חוק גאוס המוכלל ג' (פתרון נקי ואלגנטי)


כל הקרדיט על הפתרון המקורי והנקי-להפליא המובא כאן מגיע לאורי פלג, תלמידי בכיתת ההעמקה בחמד"ע (כיתה י"א), שהתעקש בפני על נכונותו ועל כלליותו. לקח קצת זמן אבל בסוף נפל לי האסימון... אשתדל להיצמד לאופן שבו אורי הציג בפני את הפיתרון, ארחיב ואעמיק היכן שמתבקש לצורך שלמות ובהירות התיאור.

ברשימה הקודמת הצגתי סִפְתָּח טופולוגי החיוני להבנת הפתרון המוגש כאן. אם טרם קראתם אותו ואינכם מתמצאים בחומר או בטרמינולוגיה, ממליץ מאוד לעבור עליו בטרם תקראו על הפיתרון.

מפתח מונחים וסימונים:
\begin{aligned}\begin{array}{rl}\text{מטען חשמלי הכלוא בתוך מעטפת גאוסית נתונה}&Q\\\text{שדה חשמלי ממימד המרחב בו הוא משובץ}&\boldsymbol{E}\\\text{(מימד המרחב  האאוקלידי בעולם דמיוני רב-מימדי (מספר טבעי}&n\\\text{מימדי-\(n\) תחום נפחי במרחב}&\Omega_{n}\\\text{מעטפת התחום הנפחי, יריעה ממימד אחד נמוך יותר ממימד המרחב}&\partial\Omega_{n}\\(\text{$0\leq{d}\leq{n}$) מימד קונפיגורציית המטען שאת השדה שהיא משרה אנו בודקים}&d\\(\text{$0\leq{p}\leq{n}$) מימד החלל הגאוסי הממולא מטען חשמלי }&p\\\text{\(p\) כדור ממימד}&B^{p}\\\text{ \(p\)  יריעה ספירית ממימד}&S^{p}\\\text{ \(n-p\)  מרחב קרטזי ממימד}&R^{n-p}\\\text{$p$ רדיוס של כדור ממימד}&\mathcal{R}\\\text{$B^{p}$ קואורדינטה רדיאלית על}&r\\\text{מכפלה קרטזית}&\times\end{array}\end{aligned}

השערת פלג-גת (ע"ש אורי פלג ומאיה גת שהגוה לראשונה): תהא \(r\) קואורדינטה רדיאלית בתת-מרחב ממימד \(0\leq{p}\leq{n}\) של המרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}^{n}\). אזי, התפלגות מטען חשמלי ממימד \(d=n-p\) המכבדת את הסימטריה הרדיאלית דלעיל, משרה במרחב זה שדה חשמלי \(n\)-מימדי המצביע בכיוון הרדיאל הנ"ל, והוא דועך כמו
\begin{aligned}{E}_{r}\left(r\right)\propto\frac{1}{r^{\,n-d-1}}\end{aligned}

חוק גאוס המוכלל: שטף השדה החשמלי דרך מעטפת גאוסית סגורה (ממימד n−1) שווה למטען הכולל הכלוא על ידי המעטפת חלקי \(\epsilon_{0}\). הקבוע האוניברסלי \(\epsilon_{0}\) הוא המאפיין החשמלי של הואקום ונחיצותו מגיעה ממקום אחר לגמרי (תורת היחסות הפרטית). בניסוח מתמטי:
\begin{aligned}\oint_{\partial\Omega_{n}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}\end{aligned}

הגדרה: יהא \(\left\{x_{1},x_{2},\ldots{x}_{p},x_{p+1},\ldots{x}_{n-1},x_{n}\right\}\) סט של קורדינטות קרטזיות במרחב אאוקלידי \(n\)-מימדי \(\mathbb{E}^{n}\). על-גליל רב-צירי ברדיוס \(\mathcal{R}\) ומימד \(n\) יוגדר כאוסף כל הנקודות המקיים:

\begin{aligned}\begin{array}{rclr}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{p}^{2}\leq\mathcal{R}^{2}&\Rightarrow&B^{p}&\quad\text{\(p\) כדור ממימד}\\\\\left.\begin{array}{r}-\infty\leq{x}_{p+1}\leq\infty\\\vdots\hspace{.5in}\\-\infty\leq{x}_{n-1}\leq\infty\\-\infty\leq{x}_{n\phantom{+1}}\leq\infty\end{array}\right\}&\Rightarrow&R^{n-p}&\quad\text{\(n-p\) מרחב קרטזי ממימד}\end{array}\end{aligned}

כלומר מדובר בהכללה של הגליל המוכר משלושה מימדים להיפר-גליל רב-צירי בו כל חתך הניצב לצירים הוא כדור מלא ממימד \(p\), מספר הצירים הוא \(n-p\), כל הצירים ניצבים זה לזה (כמו גם לרדיוס החתך הכדורי) והם נמתחים ממינוס אינסוף לאינסוף.

הבהרה: במרחב התלת-מימדי המוכר לנו לגליל יש ציר אחד ואילו חתך הגליל הוא דיסקה שהיא כידוע כדור בשני מימדים. הכללה לכל מימד, ובפרט למימד גבוה יותר יכולה לבוא הן מכיוון החתך והן מכיוון הציר: החתך הוא עתה כדור ממימד כלשהו, ומספר הצירים שווה למימד המרחב פחות מימד הכדור. ובכל מקרה, כל הכיוונים הפורשים את העל-גליל אורתוגונליים זה לזה.

העל-גליל הוא המכפלה הקרטזית \({C}^{(p,n-p)}:=B^{p}\times{R}^{n-p}\); המקרה הפרטי של גליל בשלושה מימדים יכתב מעתה כ- \(C^{(2,1)}\). מעטפת העל-גליל מתקבלת מאחלול החתך ("אחלול" - פועל מומצא שמשמעותו "הפיכתו לחלול"), כלומר מהמכפלה הקרטזית של המעטפת הספרית \(S^{p}\) של החתך הכדורי של העל-גליל בצירים האורתוגונליים:  \begin{aligned}\partial{C}^{(p,n-p)}=(\partial{B}^{p})\times{R}^{n-p}=S^{p}\times{R}^{n-p}\end{aligned}
להזכירכם, הספירה ה-\(p\)-מימדית \(S^{p}\) היא אוסף כל הנקודות בתת-המרחב ה-\(p\)-מימדי המקיימות את המשוואה \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{p}^{2}=\mathcal{R}^{2}\) והיא כמובן יריעה \((p-1)\)-מימדית. לכן מימד מעטפת העל-גליל כולו הוא \((p-1)+(n-p)=n-1\) כלומר היא נפרשת ב-\((n-1)\) כיוונים ניצבים. למעשה, המעטפת של העל-גליל נפרשת לכל הכיוונים פרט לכיוון הרדיאלי \(r\).

הגדרה: על-גליל יקרא טעון חשמלית בהתפלגות אחידה אם כל חתך כדורי ממימד \(p\) של העל-גליל טעון במטען חשמלי המפולג על פניו בהתפלגות אחידה (המשותפת לכל החתכים).

במקרה זה מתקבלת התפלגות מטען \(n\)-מימדית המכבדת סימטריה על-גלילית. כלומר השדה קורן רדיאלית מהחתך הכדורי החוצה ושוטף בניצב למעטפת הכדור ובניצב לצירים, ואך ורק בניצב להם. שהרי אם חתך הממוקם במקום מסויים לאורך הצירים תורם מרכיב מקביל של שדה חשמלי לאחד הצירים היכנשהו, הרי שבהכרח קיים חתך אחר הממוקם "מנגד לו" ואשר תורם את המרכיב ההפוך, בדיוק כמו שמתרחש בשלושה מימדים.

לכן, אם נבנה סביב העל-גליל הטעון מעטפת גאוסית על-גלילית \((n-1)\)-מימדית מהסוג \(\partial{C}^{(p,n-p)}=S^{p}\times{R}^{n-p}\) ברדיוס \(r>\mathcal{R}\), ועם צירים שכל אחד מהם בעל אורך סופי \(L\), הרי שהשדה החשמלי ישטוף עם כיוון הרדיאל ובניצב לכל \(n-p\) צירי המעטפת. בטרמינולוגיה תלת-מימדית השדה החשמלי שוטף אך ורק דרך מעטפת הגליל ולא דרך בסיסיו.

זאת ועוד: מאחר ואין על המעטפת הזו ש"רדיוסה" \(\mathcal{R}\) ו"גובהה" \(L^{n-d}\) כל נקודה מיוחסת, הרי שהשדה החשמלי על פניה קבוע בעצמתו (וכאמור גם רדיאלי בכיוונו). היות וכך, נוכל לחשב את השטף פשוט על-ידי הכפלת השדה בשטח פני המעטפת, ואז לשלוף את עצמת השדה באמצעות הצבה בחוק גאוס.

חישוב השטף: ובכן, שטח ספירה ממימד \(p\) ברדיוס \(r\) מתכונתי ל-\(r^{p-1}\) עם קבוע מתכונת התלוי במימד של הספירה \(\alpha\left(p\right)\). "גובה" הגליל הוא \(L^{n-d}\). השדה כאמור שוטף אך ורק לאורך הקואורדינטה הרדיאלית \(r\) ולכן השדה החשמלי הווקטורי ה-\(n\)-מימדי הוא רדיאלי. הואיל והוא קבוע על המעטפת הגאוסית נקבל:
\begin{aligned}\underbrace{S_{(n,p-1)}}_{\text{שטח}\atop\text{המעטפת}}\underbrace{E_{r}\left(r\right)}_{\text{שדה קבוע}\atop\text{על המעטפת}}=\underbrace{L^{n-p}}_{\text{"גובה"}\atop\text{העל-גליל}}\underbrace{\alpha\left(p\right)r^{\,p-1}}_{\text{"היקף"}\atop\text{"הבסיס"}}E_{r}\left(r\right)\end{aligned}
זהו אגף שמאל של חוק גאוס.

ביטוי עבור המטען: נסמן את צפיפות המטען החשמלי על החתך הכדורי ב-\(\rho\). בהתחשב בביטוי עבור הנפח של כדור \(p\)-מימדי אותו חישבנו ברשימה הקודמת, כמות המטען הכלואה בתוך המעטפת הגאוסית שלנו היא
\begin{aligned}Q=\underbrace{L^{n-p}}_{\text{"גובה"}\atop\text{העל-גליל}}\;\underbrace{\frac{\alpha\left(p\right)}{p}\mathcal{R}^{p}}_{\text{"שטח בסיס"}\atop\text{העל-גליל}}\rho\end{aligned}
נציג את השטף באגף שמאל של חוק גאוס המוכלל, את המטען באגף ימין, נצמצם מכפלות זהות משני אגפי המשוואה ונקבל לבסוף:
\begin{aligned}E_{r}\left(r\right)=\underbrace{\left(\frac{\rho\,\mathcal{R}^{p}}{p\,\epsilon_{0}}\right)}_{\displaystyle\equiv\;\kappa_{(p)}}\frac{1}{r^{(p-1)}}\,,\qquad{p}\neq0\end{aligned}
כלומר השדה דועך כמו אחד חלקי המרחק בחזקת \(p-1\) עם מקדם \(\kappa_{(p)}\) התלוי במימד החתך הכדורי \(p\). כל זה די ברור וגם סטנדרטי למדי (אם כי דורש קצת דמיון...)

שאלת תם ושאינו יודע לחשוב: מה לכל הרוחות הקשר בין השדה הנוצר ע"י על-גליל טעון לבין השערת פלג-גת בדבר השדה החשמלי השוטף מקונפיגורציית מטען \(d\)-מימדית? (זו השאלה שניסרה בראשי כשאורי הציג בפני לראשונה את הפתרון שלו...) והרי על-גליל טעון חשמלית מבטא התפלגות מטען \(n\)-מימדית (ולא \(d\)-מימדית) עם סימטריה מאוד מוגדרת, דהיינו סימטריה על-גלילית.. לכאורה, אפילו את השדה של מטען נקודתי ב-\(\mathbb{E}^{n}\) לא נצליח לגזור ממנו (היות וזהו המקרה המתאים ל- \(p=0\)). ובכן...

הטריק: לכל התפלגות מטען חשמלי סימטרית ממימד \(d\) המשובצת במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}^{n}\) נתאים על-גליל מהסוג \(C^{(n-d,d)}\). זהו על-גליל שמספר ציריו הוא \(d\) ומימד החתך הכדורי שלו הוא \(p=n-d\), כך שהתפלגות המטען שאת השדה המושרה ממנה אנו מעוניינים לחשב 'מרוחה' דווקא על מעטפת הגליל ולא על החתך!

היות והתפלגות המטען החשמלי אחידה, והיא מרוחה על מעטפת הנמתחת מאינסוף לאינסוף, הרי שהשדה החשמלי המושרה ממנה קורן בניצב לצירי הגליל וללא תלות במרחק מהם. עם זאת, השדה בהחלט עשוי להיות תלוי במרחק הרדיאלי מהחתך הכדורי.

ועתה פאנץ'-ליין: אם נטען עתה את החתך הכדורי של על-הגליל דלעיל במטען חשמלי, בדיוק באותה צפיפות מטען חשמלי בה מרוחה המעטפת נקבל את על-הגליל הטעון חשמלית עבורו חישבנו קודם לכן את השדה החשמלי השוטף ממנו. כפי שראינו, עבור על-גליל זה, ובמונחים של הפרמטרים \(n\) ו-\(d\) נקבל (פשוט הציבו \(p=n-d\)):

\begin{aligned}E_{r}\left(r\right)=\frac{\kappa_{(n,d)}}{r^{n-d-1}}\,,\qquad\kappa_{(n,d)}=\frac{\rho\mathcal{R}^{n-d}}{\left(n-d\right)\epsilon_{0}}\end{aligned}

משמעות הדבר: התוספת הכדורית הטעונה (ממימד \(n-d\)) מקרינה שטף בכיוון הרדיאלי. זוהי תרומה אחידה וזהה לכל צירי המעטפת, בכל מקום ומקום על גבי הצירים, ותמיד בניצב להם. ברי שהתוספת הזו אינה משנה כלל את התנהגות השדה כפונקציה של הקואורדינטה הרדיאלית (אמירה זו תובן מיד מתוך הדוגמאות).

זאת ועוד: אפשר לתרגם את תוספת המטען הכדורית לעיבוי של המטען החשמלי המקורי המרוח על כל ציר וציר מצירי הגליל, עיבוי המתרחש בכיוון הרדיאלי, ובאופן אחיד לכל אורך הציר. בזה מסתכמת כל תרומתה של התוספת הכדורית. במילים אחרות, ההשפעה שלה מתבטאת אך ורק בהגדרה מחדש של המטען, מעין החלפת שם ותו-לאו, וזה מאפשר לחשב מפורשות את הקבוע \(\kappa_{(n,d)}\).

הבה נדגים כל זאת במפורש ובפרוטרוט לכל אחד מארבעת המקרים בשלושה מימדים:

חלקיק נקודתי הטעון במטען חשמלי \(Q\) קולון: כאן התפלגות המטען היא ממימד \(0\), לכן \(p=n-d=3-0=3\), ועל-הגליל המתאים הוא מהסוג \(C^{(3,0)}\) כלומר כדור תלת-מימדי ברדיוס סופי כלשהו \(\mathcal{R}\). זהו עיבוי כדורי תלת-מימדי של מטען ממימד אפס לעבר שלושת כיווני המרחב האאוקלידי (הניצבים "לציר" העל-גליל). המטען קורן החוצה מהחתך התלת מימדי של על-הגליל, ועצמת השדה דועכת כמו
\begin{aligned}E_{r}\left(r\right)=\frac{\kappa_{(3,0)}}{r^{\left(3-0-1\right)}}=\frac{\kappa_{(3,0)}}{r^{2}}\end{aligned}
כיצד נפרש את הקבוע המתאים \(\kappa_{(3,0)}\)? נכייל את צפיפות המטען הכדורי \(\rho\) כך שהמטען הכלוא בכדור מתלכד עם המטען הנקודתי המקורי, כלומר \(Q=(4\pi\mathcal{R}^{3}/3)\rho\). נחלץ מכאן את \(\rho\), נציג ב-\(\kappa_{(3,0)}\) ונקבל:
\begin{aligned}\kappa_{(3,0)}=\left(\frac{3Q}{4\pi\mathcal{R}^{3}}\right)\left(\frac{\mathcal{R}^{3}}{3\epsilon_{0}}\right)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}=:KQ\,.\end{aligned} 
תייל אינסופי טעון בצפיפות מטען אחידה \(\lambda\) קולון ליחידת אורך: התפלגות המטען עתה היא ממימד אחד, לכן \(p=n-d=3-1=2\). על הגליל המתאים הוא מהסוג \(C^{(2,1)}\) הווה אומר, הגליל המוכר לנו משלושה מימדים. החתך הכדורי של הגליל (\(p=2\)) הוא עיבוי דיסקי של המטען החשמלי הקווי בכל נקודה על ציר הגליל. המטען קורן את השדה בניצב לציר הגליל ובכיוון הרדיאלי של הדיסקה ועוצמתו דועכת כמו
\begin{aligned}E_{r}\left(r\right)=\frac{\kappa_{(3,1)}}{r^{\left(3-1-1\right)}}=\frac{\kappa_{(3,1)}}{r}\end{aligned}
באשר \(r\) היא הקואורדינטה הרדיאלית על הדיסקה.

הבה נחשב במפורש מהו הקבוע המתאים \(\kappa_{(3,1)}\): נשווה את כמות המטען על הדיסקה כולה לזו היושבת על נקודה על התייל המנקב אותה, \(\pi\mathcal{R}^{2}\rho=\lambda\). שימו לב שאין פה בעיית יחידות (וזאת למה?). ובכן, נציג \(\rho=\lambda/(\pi\mathcal{R}^{2})\) בביטוי עבור \(\kappa_{(3,1)}\) ונקבל
\begin{aligned}\kappa_{(3,1)}=\left(\frac{\lambda}{\pi\mathcal{R}^{2}}\right)\left(\frac{\mathcal{R}^{2}}{2\epsilon_{0}}\right)=\frac{2\lambda}{4\pi\epsilon_{0}}=:2K\lambda\end{aligned} 
משטח אינסופי טעון בצפיפות מטען חשמלי משטחית אחידה \(\sigma\) קולון ליחידת שטח: כאן \(d=2\) ולכן מימד החתך הכדורי הוא \(p=n-d=3-2=1\). אנו דנים בעל-גליל מהצורה \(C^{(1,2)}\), חתך הגליל הוא עיבוי מטען קווי בציר הניצב למישור הטעון. במילים אחרות, הציר הרדיאלי כאן מתלכד עם אותו ציר קרטזי ב-\(\mathbb{E}^{3}\) הניצב למישור הטעון. השדה החשמלי ניתן ע"י
\begin{aligned}E_{r}\left(r\right)=\frac{\kappa_{(3,2)}}{r^{\left(3-2-1\right)}}={\kappa_{(3,2)}}\end{aligned}
כלומר, מתקבל שדה אחיד. החשבון של \(\kappa_{(3,2)}\) פשוט ומתקבל מהשוואת המטען על "החתך הכדורי" שגודלו \(2\mathcal{R}\rho\) (למה?) ל-\(\sigma\). אזי נקבל: 
\begin{aligned}\kappa_{(3,2)}=\left(\frac{\sigma}{2\mathcal{R}}\right)\left(\frac{\mathcal{R}}{\epsilon_{0}}\right)=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\end{aligned} 
שדה בתוך כדור טעון בעל רדיוס סופי. כאן מדובר בקונפיגורצית מטען קומפקטית ולכן מספר צירי העל-גליל עליהם מרוח המטען הוא אפס(!) בדיוק כמו במקרה של המטען הנקודתי. לכן הפרמטריזציה הנכונה עבור מקרה זה היא \(n=3\), \(d=0\), \(p=3\). אבל, להבדיל מהמקרה של מטען נקודתי כאן \(\kappa\) אינו קבוע התלוי רק במימדים של הגליל, אלא עתה הוא פונקציה של \(r\) (ראו תרגיל מספר 2):
\begin{aligned}\kappa_{(n,d)}\left(r\right)=\frac{\rho{r}^{n-d}}{\left(n-d\right)\epsilon_{0}}\qquad(1)\end{aligned}
השוו זאת למבנה של \(\kappa_{(n,d)}\) עבור \(r>\mathcal{R}\); זהו אותו מבנה של נוסחא אלא שעתה \(\mathcal{R}\) מוחלף ב-\(r\). נציג כל זאת בנוסחא עבור השדה ונקבל:
\begin{aligned}E_{r}\left(r\right)=\left(\frac{\rho}{3\epsilon_{0}}\right)\,r\,.\end{aligned}

לסיכום: הפתרון האנליטי של אורי מוכיח את נכונותה של השערה המושכלת המקורית ומספק כלי רב ערך לחישוב מדוייק של השדה החשמלי מתוך חוק גאוס המוכלל בתנאים בהם התפלגות המטען החשמלי מכבדת סמטריה על-גלילית.

תרגילים:
  1. מישור דו-מימדי ואינסופי טעון בצפיפות מטען אחידה \(\sigma\) קולון ליחידת שטח. המישור משובץ במרחב אאוקלידי ממימד עשר. הגדירו קואורדינטה רדיאלית בבעיה וקבלו במדוייק את השדה החשמלי המושרה מהמטען כפונקציה של אותה קואורדינטה רדיאלית. מה תוכלו לאמר על השדה המושרה מ"מישור" טעון ממימד תשע?
  2. אמתו את טענה \(\left(1\right)\) למעלה לכל קונפיגורציית מטען חשמלי בעלת צפיפות אחידה ממימד \(n\) עם \(d\) צירים קרטזיים. ובפרט, קבלו במפורש את השדה החשמלי בתוך גליל תלת-מימדי מלא הטעון בצפיפות מטען אחידה. 

לא רואים תגובות? נערו את הדף!