יום שלישי, 15 באפריל 2014

חוק גאוס המוכלל ב' (נגיעות טופולוגיות)


לחלק הראשון

חוק גאוס בעולם אאוקלידי \(n\)-מימדי, אותו נכנה מכאן ואילך חוק גאוס המוכלל, מבטא בדיוק את אותו תוכן פיזיקלי שהוא מבטא במקרה הפרטי של שלושה מימדים, רק בהכללה מתאימה ל-\(n\) מימדים. זאת לאמור: שטף השדה החשמלי דרך מעטפת גאוסית סגורה ממימד \(n-1\) שווה למטען הכולל הכלוא על ידי המעטפת הזו בנפח \(n\)-מימדי. בשפה מתמטית נקייה,
\begin{aligned}\oint_{\partial\Omega_{n}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}\end{aligned}
(תוכלו לומר מה מציין כל סימן?). התפלגות המטען \(Q\) בתוך הנפח \(\Omega_{n}\) עשוייה להיות מכל מימד \(d\) כך ש- \(d\leq{n}\).

ראשית חכמה נרצה לבדוק מהו השדה החשמלי המושרה ממטען חשמלי נקודתי (\(d=0\)) של \(q\) קולון המשובץ במרחב אאוקלידי \(n\)-מימדי באמצעות חוק גאוס המוכלל. לצורך זה נבנה סביב המטען שלנו מעין מעטפת ספירית \(n-1\) מימדית ברדיוס סופי כלשהו \(r\). היות ואין כל נקודה מיוחסת על המעטפת הזו, השדה החשמלי על פניה קבוע והוא בהכרח מצביע בכיוון הרדיאל. אך מהו בכלל רדיוס ב-\(n\) מימדים, ומהי מעטפת ספרית ב-\(n\) מימדים? אלו הן שאלות מתחום הטופולוגיה ולפני שאמשיך עם חוק גאוס המוכלל הכרח להקדיש להן כמה מילים;

למה אנו מתכוונים באומרנו "גוף בעל \(n\) מימדים"? ובכן, אנו מתכוונים לגוף אשר לצורך תיאורו המלא נדרשות \(n\) קואורדינטות. מדוע אנו מתעקשים על מרחב אאוקלידי? היות ושטף השדה החשמלי (ולכן גם חוק גאוס) מוגדר דרך המכפלה סקלרית המוכרת, ומרחב קרטזי \(n\)-מימדי הטעון במכפלה סקלרית מכונה מרחב אאוקלידי. כל נקודה במרחב אאוקלידי \(n\)-מימדי תתואר באמצעות \(n\) קווארדינטות אותן אסמן ב- \(x_{1},x_{2},\ldots,{x}_{n}\). כך למשל במישור דו מימדי \(x_{1}\equiv{x}\) ו- \(x_{2}\equiv{y}\), ובמרחב התלת מימדי \(x_{1}\equiv{x}\), \(x_{2}\equiv{y}\), \(x_{3}\equiv{z}\). וקטור במרחב אאוקלידי  \(n\) מימדי הוא "חץ" במרחב הזה וגם לתיאורו של זה נדרשות \(n\) קואורדינטות (כשם שלתאור חץ בשלושה מימדים נדרשות שלוש קוארדינטות). 

נגדיר עתה כדור ומעטפתו בכל מימד. כדור בעל רדיוס \(R\) במימד אחד מוגדר באופן קנוני דרך אי-השוויון \(x_{1}^{2}\leq{R}^{2}\). זהו אם כן קו באורך \(2R\). מעטפת הכדור החד מימדי הזה (...) מכילה רק שתי הנקודות \(\pm{R}\) המהוות את גבולות הקו. כדור בשני מימדים מוגדר קנונית דרך אי השוויון \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq{R}^{2}\) כלומר דיסקה ברדיוס \(R\). מעטפת הכדור הדו-מימדי (כלומר מעטפת הדיסקה) מכילה את כל הנקודות במישור אשר מרחקם מהראשית הוא \(R\), כלומר מעגל ברדיוס \(R\). כדור בשלושה מימדים מוגדר קנונית באמצעות האי-שוויון \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq{R}^{2}\), ומעטפתו היא אוסף כל הנקודות במרחב התלת-מימדי הנמצאות במרחק \(R\) מהראשית, היינו קליפה כדורית (ספירה) ברדיוס \(R\). ובהכללה ל-\(n\) מימדים,

\begin{aligned}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+{x}_{n}^{2}&\leq{R}^{2}&&\text{כדור מלא}\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+{x}_{n}^{2}&={R}^{2}&&\text{מעטפת הכדור}\end{aligned}

שימו לב שמעטפת הכדור היא תמיד ממימד אחד יותר נמוך מהמרחב בו משובץ הכדור. למשל, מעטפת של דיסקה (שני מימדים) היא מעגל (מימד אחד), מעטפת של כדור (שלושה מימדים) היא יריעה ספרית (שני מימדים); מעטפת של כדור ממימד \(n\) היא יריעה ספרית \((n-1)\)-מימדית. 

מקובל לסמן כדור \(n\)-מימדי כ- \(B^{n}\) וספירה \(n\)-מימדית כ- \(S^{n}\). כך למשל מעגל מסומן כ-\(S^{1}\), דיסקה כ-\(B^{1}\) וכ'. מהמבנים הללו ניתן להרכיב מבנים ממימד גבוה יותר באמצעות מכפלה קרטזית \(\times\). למשל, הטורוס (בייגלה מעגלי) מתקבל ממכפלה קרטזית של שני מעגלים: \(T^{2}=S^{1}\times{S}^{1}\), ואילו בייגלה \(n\)-מימדי מתקבל מהמכפלה הקרטזית \(T^{n}=\underbrace{T^{1}\times{T}^{1}\times\cdots\times{T}^{1}}_{\text{פעמים $n$}}\).

את השפה התוחמת גוף נפחי כלשהו (יהא מימדו אשר יהא) מסמנים באמצעות הסימול \(\partial\). השפה התוחמת היא בעצמה יריעה ממימד אחד נמוך יותר. אחד המשפטים הבסיסיים ביותר בטופולוגיה מספר לנו שיריעה שהיא שפה (של גוף כלשהו) היא בעצמה בהכרח נטולת שפה. במילים אחרות, \(\partial\partial=\emptyset\) באשר \(\emptyset\) מסמל את הקבוצה הריקה (נהוג גם לרשום \(\partial^{2}=0\)). ובפרט, עבור הכדורים שדנו בהם מתקיים:
\begin{aligned}S^{n-1}=\partial{B}^{n},\qquad\partial S^{n}=\partial\partial{B}^{n+1}=\emptyset\end{aligned} 
כיצד נגדיר גליל בכל מימד? ובכן, כמו בכדורים זה קל גם בגלילים... נתחיל ממה שאנו מכירים: גליל בשלושה מימדים הוא דיסקה ( דו-מימדית) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq{R}^{2}\) לכל ערך של \({x}_{3}\) בתחום מסויים, באשר \(x_{3}\) הוא הציר שלאורכו נמתח הגליל. ובהכללה: גליל ממימד \(n\) הוא כדור ממימד \(n-1\), כלומר \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+{x}_{n-1}^{2}\leq{R}^{2}\) לכל ערך של הקורדינטה \(x_{n}\) בתחום מסויים, המייצגת את הציר שלאורכו נמתח הגליל.

מבחינה טופולוגית גליל \(n\)-מימדי מתקבל מהמכפלה הקרטזית \(C^{n}=B^{n-1}\times{L}\) באשר \(L\) מייצג את אורך הגליל. וכיצד נתאר את המעטפת העוטפת גליל כזה (לא כולל "הבסיסים")? בשלושה מימדים מתקבלת המעטפת מהכפלה קרטזית של מעטפת הדיסקה (היינו מעגל ברדיוס \(R\)) באורך הגליל, \(\partial{C}^{2}=S^{1}\times{L}\),  ובהכללה ל-\(n\) מימדים תהיה זו מעטפתו של הכדור ה-\(n-1\) מימדי (והיא ממימד \(n-2\) כמובן) באורך ציר הגליל כלומר \(\partial{C}^{n}=S^{n-1}\times{L}\). 

יהיה \(B^{n}\) כדור \(n\)-מימדי ברדיוס \(R\). אפשר להראות (אך לא אראה זאת כאן) ששטח המעטפת שלו מתכונתי ל- \(R^{n-1}\) כאשר יחס המתכונת תלוי במספר המימדים \(n\). ובמפורש (הבחינו בין כתיב תחתון \(S_{n-1}\) לכתיב עליון \(S^{n-1}\)), אם \(S_{n-1}\) ייצג את שטח הספרה \(S^{n-1}=\partial{B}^{n}\), אזי \(S_{n-1}(r)=\alpha\left(n\right)r^{n-1}\) היכן ש-\(\alpha\left(n\right)\) הוא מספר הנקבע על-פי מימד המרחב \(n\). הבה נדמיין את הכדור ה- \(n\)-מימדי שלנו כמורכב מאינסוף קליפות ספריות דקיקות באופן אינסופי המקננות זו בתוך זו ממש כמו סידור הקליפות בבצל. נפח כל קליפה כזו ניתן ע"י \(\mathrm{d}V_{n}\left(r\right)=S_{n-1}\left(r\right)\mathrm{d}r\) (כלומר שטח הקליפה כפול עובייה), ולכן נפח הכדור ה- \(n\)-מימדי כולו יתקבל מאינטגרציה על כל הקליפות מ- \(r=0\) ועד \(r=R\):
\begin{aligned}V_{n}=\int_{0}^{R}S_{n-1}\left(r\right)\mathrm{d}r=\alpha\left(n\right)\int_{0}^{R}r^{n-1}\mathrm{d}r=\frac{\alpha\left(n\right)R^{n}}{n}\end{aligned}
לכן לכל מימד \(n\) במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}_{n}\), הנפח \(V_{n}\) של \(B^{n}\) והשטח \(S_{n-1}\) של \(S^{n-1}=\partial{B}^{n}\) מקיימים את הקשר הפשוט
\begin{aligned}V_{n}=\frac{S_{n-1}}{n}\,R\,.\end{aligned}

סוף כל סוף אנו חוזרים עתה למטען החשמלי הנקודתי \(q\) המשובץ במרחב \(n\)-מימדי. כזכור, הקפנו אותו במעטפת גאוסית ספרית \(S^{n-1}\) ברדיוס \(r\), כך שהמטען יושב במרכזה, כלומר בנקודה \(r=0\). משיקולי סימטריה מיידיים השדה החשמלי על פני המעטפת קבוע בגודלו ומצביע בכיוון הרדיאל, הווה אומר בכיוון הקואורדינטה \(r\) המוגדרת דרך הקשר \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+{x}_{n}^{2}=r^{2}\).  היות וכך, שימוש בחוק גאוס המוכלל ייתן עתה:
\begin{aligned}S_{n-1}E=\frac{q}{\epsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad{E}\left(r\right)=\frac{q}{\epsilon_{0}S_{n-1}\left(r\right)}\quad\Rightarrow\quad{E}\left(r\right)\propto{r}^{1-n}\end{aligned}
שהרי \(S_{n-1}\left(r\right)=\alpha\left(n\right){r}^{n-1}\). קל להיווכח שכך גם מתנהג השדה החשמלי מחוץ לכדור (\(n\)-מימדי) טעון חשמלית, או מחוץ לקליפה ספרית ממימד \(n-1\) טעונה חשמלית, השיקולים הם אותם שיקולים המתקבלים במקרה של מטען חשמלי נקודתי.

ובכן, הטיעונים ההיוריסטים של אורי קלעו בול במטרה; שדה של מטען נקודתי המשובץ במרחב ממימד גבוה דועך כמו אחד חלקי המרחק בחזקת מימד המרחב מינוס אחת. אבל מה בנוגע להשערה המושכלת של אורי ומאיה בנוגע לשדה החשמלי הנגרם מהתפלגות מטען ממימד \(d\leq{n}\); האם הוא מציית לכלל \(E\left(r\right)\propto{r}^{d-n+1}\)? ברשימה הבאה בנושא ארחיב את הדיון למקרה הזה ככל שדמיוני המוגבל יאפשר זאת (...) ואנסה לבחון את ההשערה.

לחלק השלישי

לא רואים תגובות? נערו את הדף!



2 comments:

  1. בעצם ההנחה של קיום חוק גאוס במרחב n מימדי אתה מניח שדה הדועך מהמקור כתלות בהופכי של המרחק מהמקור בחזקת n-1.

    השבמחק
    תשובות
    1. מסכים שבסופו של דבר הטענות שקולות. אלא שהניסוח של חוק גאוס (לדעתי) "ראשוני" יותר במובן זה שהוא מדבר בשפה היולית יותר, כלומר בשפת הדימויים הפיזיקלים. לדעתי מושג השטף ראשוני יותר מתאור אופן הדעיכה של שדה.

      מחק