יום שני, 7 באפריל 2014

חוק גאוס המוכלל א' (מקרה שהיה כך היה)

כיצד ניעזר בחוק גאוס על מנת לחשב את השדה החשמלי הנגרם מהתפלגות מטען סימטרית ממימד \(d\) המשובצת במרחב אאוקלידי ממימד \(n\)? על כך בסיפור הבא (בן שלושת החלקים) הלקוח מהמציאות:

בשיעור על חוק גאוס שהעברתי בשבוע שעבר בפני כיתת העמקה בחמד"ע הראתי לתלמידיי ששימוש בחוק זה עבור התפלגויות סימטריות של מטען חשמלי ממימדים \(d=0\) עד \(d=3\) המשרות שדה חשמלי המכבד את אותן סימטריות, מוביל לניסוח הכללי
\begin{aligned}E\left(r\right)\propto{r}^{d-2}\end{aligned} 
בביטוי זה \(E\left(r\right)\) מייצג את עוצמת השדה החשמלי במרחק \(r\) מהתפלגות המטען, לאורך הקואורדינטה המבטאת הכי טוב שאפשר "מרחק". עוד הוספתי וטענתי (כלאחר יד ומבלי להוכיח) שנוכל להכליל את הכלל הזה לכל \(d>3\)... אלא שבכיתת העמקה טענות שנאמרות כלאחר יד עשויות להידחות בשתי ידיים...

ראשית, הבה נזכר מה אומר חוק גאוס. ובכן, החוק מספר לנו ששטף השדה החשמלי דרך מעטפת גאוסית כלשהי שווה למטען הכלוא בין כתלי המעטפת מחולק בקבוע הדיאלקטרי של הריק. במערכת היחידות הסטנדרטיות הבין-לאומית ינוסח החוק כך:
\begin{aligned}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}\end{aligned}
באשר \(\Omega\) מייצגת נפח מרחבי במרחב התלת-מימדי, \(\partial\Omega\) היא המעטפת הדו-מימדית התוחמת את הנפח הזה, \(Q\) הוא המטען החשמלי הכולל הכלוא על-ידי המעטפת, תהא התפלגותו אשר תהא, ו- \(\boldsymbol{E}\) הוא השדה החשמלי במרחב (שדה וקטורי כמובן). כידוע, \(\epsilon_{0}\) הוא הקבוע הדיאלקטרי של הריק; זהו קבוע אוניברסלי והוא קשור בקבוע של חוק קולון דרך הקשר \(K=1/(4\pi\epsilon_{0})\). אגב, חוק גאוס הוא למעשה הנוסח האינטגרלי של משוואת מקסוול הראשונה, ראו למשל כאן.

כיצד בכלל הגענו לכלל דלעיל? הנה בקצרה ממש:
  • במימד אפס: חלקיק נקודתי הטעון במטען סופי של \(q\) קולון. נבנה מעטפת גאוסית ספרית (קליפה כדורית) סביב המטען. משיקולי סימטריה עצמת השדה קבועה בכל נקודה על פני המעטפת וכיוונו של השדה מצביע בכיוון הרדיאל במקרה של מטען חיובי. השטף הוא איפה גודל השדה מוכפל בשטח המעטפת ומחוק גאוס נקבל \(\left(4\pi{r}^{2}\right)E=q/\epsilon_{0}\). נחלץ מהמשוואה את עצמת השדה \(E\) ונקבל: \(E\left(r\right)=Kq/r^{2}\).
  • במימד אחד: קו אינסופי ישר טעון בצפיפות מטען אחידה \(\lambda\) קולון ליחידת אורך. נבנה מעטפת גאוסית גלילית כאשר ציר הגליל מתלכד עם הקן הטעון. היות ואין נקודה מיוחסת על המעטפת הרי שעוצמת השדה שם קבועה ומצביעה בכיוון הרדיאלי, הלאה מהציר. השטף יוצא איפה רק מהמעטפת (ולא מבסיסי הגליל) ולכן מחוק גאוס, \(\left(2\pi{r}h\right)E=\lambda{h}/\epsilon_{0}\). נחלץ את עצמת השדה, נכפיל מונה ומכנה בשניים, ונקבל \(E\left(r\right)=2K\lambda/r\).
  • בשני מימדים: מישור אינסופי טעון בצפיפות מטען אחידה \(\sigma\) קולון ליחידת שטח. גם כאן ניעזר במעטפת גלילית שרדיוסה \(\mathcal{R}\). המישור האינסופי חוצה את הגליל לשניים. משיקולי סימטריה שטף השדה החשמלי עתה הוא דרך שני בסיסי הגליל ובניצב להם; כל מרכיב המקביל למישור בהכרח מתאפס. היות וכל המטען החשמלי הכלוא על ידי המעטפת הגאוסית הגלילית הוא זה הנמצא על הפרוסה העגולה ברדיוס \(\mathcal{R}\) שהגליל חתך מהמישור הטעון נקבל \((2\pi{\mathcal{R}}^{2})E=(\pi{\mathcal{R}}^{2}\sigma)/\epsilon_{0}\) ומכאן, \(E=\sigma/2\epsilon_{0}\), כלומר שדה אחיד המצביע בניצב לפני המישור. 
  • בשלושה מימדים: כדור מבודד טעון ברדיוס סופי \(\mathcal{R}\) ובצפיפות מטען אחידה \(\rho\) קולון ליחידת נפח. נבנה מעטפת גאוסית ספירית קונצנטרית למרחב הכדורי ובעלת רדיוס \(r<\mathcal{R}\); משיקולי סימטריה השדה על פני המעטפת אחיד ורדיאלי (הניחו \(\mathcal{R}\gg{r}\)) שהרי לא נוכל למצוא נקודה מיוחסת או חתך מיוחס על גבי מעטפת זו. המטען המוכל בתוכה שווה לנפח הכלוא על ידי המעטפת כפול צפיפות המטען החשמלי (הקבועה) המוכל בה. נציג בחוק גאוס ונקבל \(\left(4\pi{r}^{2}\right)E=\left(4\pi{r}^{3}/3\right)\rho/\epsilon_{0}\). נחלץ את עוצמת השדה ונקבל \(E\left(r\right)=\left(\rho/3\epsilon_{0}\right)r\). כלומר עצמת השדה גדלה לינארית עם המרחק. 
קל מאוד להיווכח ששדה חשמלי מחוץ לכדור טעון או מחוץ לקליפה כדורית טעונה במטען \(Q\) כמוהו כשדה של מטען נקודתי \(Q\) הממוקם במרכז הכדור או הקליפה, וכן שהשדה החשמלי בתוך הקליפה או בתוך מוליך כדורי טעון בהכרח מתאפס. זאת ועוד, קל לראות שארבעת החישובים הללו מצייתים לכלל  \begin{aligned}E\left(r\right)\propto{r}^{d-2}\end{aligned}
היכן ש- \(d=0,\ldots,3\) מיצג את מימד התפלגות המטען.

נחזור לשיעור. זחוח במידת-מה סיימתי ללמד את הפרק, אבל אז הורמה יד... אורי טען בנימוס אך בתוקף שלא ניתן להכליל את התוצאה שקיבלתי ל-\(d>3\) היות וחוק קולון רגיש למימד שבו משובץ המטען ולכן חשבונותיי המבוססים על שטף מתוך מעטפת דו-מימדית לא יהיו תקפים למרחב ממימד גבוה יותר. לביסוס טענתו גם סיפק הסבר די משכנע: כאשר המטען הנקודתי משובץ במימד אחד, היינו על קו, יוצאים ממנו שני "קווי שדה" בלבד והם לא 'דועכים' עם המרחק. שדה חשמלי של מטען נקודתי בעולם חד מימדי הוא לפיכך קבוע. כאשר מדובר במטען נקודתי המשובץ בשני מימדים, צפיפות קווי השדה החשמלי בהכרח דועכת כמו אחד חלקי המרחק הואיל ואורך הגזרה דרכה שוטף השדה גדל לינארית במרחק (\(\ell=r\theta\)) בעוד שמספר קווי השדה השוטפים דרך הגזרה נשאר קבוע. בשלושה מימדים דועך השדה ריבועית עם המרחק מאחר ושטח הגזרה הדו-מימדית דרכה שוטפים קווי השדה עתה גדל כמו ריבוע המרחק, וכך הלאה...

התלמידים כמעט כולם אימצו מיד את ההסתייגות של אורי, והוא ומאיה אף השכילו לנחש באופן מושכל נוסחא סגורה ואלגנטית: שדה של מטען חשמלי נקודתי מתנהג כמו \(E\left(r\right)\propto{r}^{1-n}\) היכן ש- \(n\) מייצג את מימד המרחב האאוקלידי בו משובץ המטען. ואם נרצה לשלב את התוצאה הזו באופן נאיבי עם הכלל שפיתחנו עבור התפלגות מטען ממימד \(d\) - הוסיפו השניים וטענו - נקבל את התלות
 \begin{aligned}E\left(r\right)\propto{r}^{d-\left(n-1\right)}={r}^{d-n+1}\end{aligned}
שהרי לפחות עבור המקרה \(n=3\) המתאים לעולם היום-יום שלנו נקבל את הכלל שקיבלנו קודם לכן, היינו \(E\left(r\right)\propto{r}^{d-2}\). מול הנימוקים המוצקים הללו נסוגו טענותיי לקרן זוית ואת מקומן תפסה חדווה מהסוג שרק מורים מכירים...

ובכל זאת, בסופו של יום ברור שיש כאן ניואנס שיש לתת עליו את הדעת, ואין כל ביטחון שהפתרון המוצע אכן תקף לכל \(n\) ולכל \(d\le{n}\)... הנה אם כן השאלה שעל הפרק מנוסחת בתמצתיות:
כיצד מתנהג שדה חשמלי המכבד את הסימטריה של התפלגות מטען אחידה וסימטרית ממימד \(d\)  המשובצת במרחב אאוקלידי ממימד \(n\) כך ש- \(d\leq{}n\)? 

תרגיל: קבלו ביטוי ווקטורי לשדה החשמלי בתוך כדור מבודד ברדיוס \(\mathcal{R}\) הטעון בצפיפות מטען חשמלי רדיאלית \(\rho\left(r\right)\) (אגב, באלו יחידות ניתן \(\rho\left(r\right)\) בשיטת SI?). ובפרט, חשבו את עצמת השדה החשמלי במרחק \(r<\mathcal{R}\) מהראשית עבור צפיפות מטען מהצורה \(\rho\left(r\right)=\rho_{0}e^{-r/\mathcal{R}}\). מה תהא אז עוצמת השדה עבור \(r>\mathcal{R}\)?


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה