יום שלישי, 15 באפריל 2014

חוק גאוס המוכלל ב' (נגיעות טופולוגיות)


לחלק הראשון

חוק גאוס בעולם אאוקלידי \(n\)-מימדי, אותו נכנה מכאן ואילך חוק גאוס המוכלל, מבטא בדיוק את אותו תוכן פיזיקלי שהוא מבטא במקרה הפרטי של שלושה מימדים, רק בהכללה מתאימה ל-\(n\) מימדים. זאת לאמור: שטף השדה החשמלי דרך מעטפת גאוסית סגורה ממימד \(n-1\) שווה למטען הכולל הכלוא על ידי המעטפת הזו בנפח \(n\)-מימדי. בשפה מתמטית נקייה,
\begin{aligned}\oint_{\partial\Omega_{n}}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}\end{aligned}
(תוכלו לומר מה מציין כל סימן?). התפלגות המטען \(Q\) בתוך הנפח \(\Omega_{n}\) עשוייה להיות מכל מימד \(d\) כך ש- \(d\leq{n}\).

ראשית חכמה נרצה לבדוק מהו השדה החשמלי המושרה ממטען חשמלי נקודתי (\(d=0\)) של \(q\) קולון המשובץ במרחב אאוקלידי \(n\)-מימדי באמצעות חוק גאוס המוכלל. לצורך זה נבנה סביב המטען שלנו מעין מעטפת ספירית \(n-1\) מימדית ברדיוס סופי כלשהו \(r\). היות ואין כל נקודה מיוחסת על המעטפת הזו, השדה החשמלי על פניה קבוע והוא בהכרח מצביע בכיוון הרדיאל. אך מהו בכלל רדיוס ב-\(n\) מימדים, ומהי מעטפת ספרית ב-\(n\) מימדים? אלו הן שאלות מתחום הטופולוגיה ולפני שאמשיך עם חוק גאוס המוכלל הכרח להקדיש להן כמה מילים;

למה אנו מתכוונים באומרנו "גוף בעל \(n\) מימדים"? ובכן, אנו מתכוונים לגוף אשר לצורך תיאורו המלא נדרשות \(n\) קואורדינטות. מדוע אנו מתעקשים על מרחב אאוקלידי? היות ושטף השדה החשמלי (ולכן גם חוק גאוס) מוגדר דרך המכפלה סקלרית המוכרת, ומרחב קרטזי \(n\)-מימדי הטעון במכפלה סקלרית מכונה מרחב אאוקלידי. כל נקודה במרחב אאוקלידי \(n\)-מימדי תתואר באמצעות \(n\) קווארדינטות אותן אסמן ב- \(x_{1},x_{2},\ldots,{x}_{n}\). כך למשל במישור דו מימדי \(x_{1}\equiv{x}\) ו- \(x_{2}\equiv{y}\), ובמרחב התלת מימדי \(x_{1}\equiv{x}\), \(x_{2}\equiv{y}\), \(x_{3}\equiv{z}\). וקטור במרחב אאוקלידי  \(n\) מימדי הוא "חץ" במרחב הזה וגם לתיאורו של זה נדרשות \(n\) קואורדינטות (כשם שלתאור חץ בשלושה מימדים נדרשות שלוש קוארדינטות). 

נגדיר עתה כדור ומעטפתו בכל מימד. כדור בעל רדיוס \(R\) במימד אחד מוגדר באופן קנוני דרך אי-השוויון \(x_{1}^{2}\leq{R}^{2}\). זהו אם כן קו באורך \(2R\). מעטפת הכדור החד מימדי הזה (...) מכילה רק שתי הנקודות \(\pm{R}\) המהוות את גבולות הקו. כדור בשני מימדים מוגדר קנונית דרך אי השוויון \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq{R}^{2}\) כלומר דיסקה ברדיוס \(R\). מעטפת הכדור הדו-מימדי (כלומר מעטפת הדיסקה) מכילה את כל הנקודות במישור אשר מרחקם מהראשית הוא \(R\), כלומר מעגל ברדיוס \(R\). כדור בשלושה מימדים מוגדר קנונית באמצעות האי-שוויון \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq{R}^{2}\), ומעטפתו היא אוסף כל הנקודות במרחב התלת-מימדי הנמצאות במרחק \(R\) מהראשית, היינו קליפה כדורית (ספירה) ברדיוס \(R\). ובהכללה ל-\(n\) מימדים,

\begin{aligned}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+{x}_{n}^{2}&\leq{R}^{2}&&\text{כדור מלא}\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+{x}_{n}^{2}&={R}^{2}&&\text{מעטפת הכדור}\end{aligned}

שימו לב שמעטפת הכדור היא תמיד ממימד אחד יותר נמוך מהמרחב בו משובץ הכדור. למשל, מעטפת של דיסקה (שני מימדים) היא מעגל (מימד אחד), מעטפת של כדור (שלושה מימדים) היא יריעה ספרית (שני מימדים); מעטפת של כדור ממימד \(n\) היא יריעה ספרית \((n-1)\)-מימדית. 

מקובל לסמן כדור \(n\)-מימדי כ- \(B^{n}\) וספירה \(n\)-מימדית כ- \(S^{n}\). כך למשל מעגל מסומן כ-\(S^{1}\), דיסקה כ-\(B^{1}\) וכ'. מהמבנים הללו ניתן להרכיב מבנים ממימד גבוה יותר באמצעות מכפלה קרטזית \(\times\). למשל, הטורוס (בייגלה מעגלי) מתקבל ממכפלה קרטזית של שני מעגלים: \(T^{2}=S^{1}\times{S}^{1}\), ואילו בייגלה \(n\)-מימדי מתקבל מהמכפלה הקרטזית \(T^{n}=\underbrace{T^{1}\times{T}^{1}\times\cdots\times{T}^{1}}_{\text{פעמים $n$}}\).

את השפה התוחמת גוף נפחי כלשהו (יהא מימדו אשר יהא) מסמנים באמצעות הסימול \(\partial\). השפה התוחמת היא בעצמה יריעה ממימד אחד נמוך יותר. אחד המשפטים הבסיסיים ביותר בטופולוגיה מספר לנו שיריעה שהיא שפה (של גוף כלשהו) היא בעצמה בהכרח נטולת שפה. במילים אחרות, \(\partial\partial=\emptyset\) באשר \(\emptyset\) מסמל את הקבוצה הריקה (נהוג גם לרשום \(\partial^{2}=0\)). ובפרט, עבור הכדורים שדנו בהם מתקיים:
\begin{aligned}S^{n-1}=\partial{B}^{n},\qquad\partial S^{n}=\partial\partial{B}^{n+1}=\emptyset\end{aligned} 
כיצד נגדיר גליל בכל מימד? ובכן, כמו בכדורים זה קל גם בגלילים... נתחיל ממה שאנו מכירים: גליל בשלושה מימדים הוא דיסקה ( דו-מימדית) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq{R}^{2}\) לכל ערך של \({x}_{3}\) בתחום מסויים, באשר \(x_{3}\) הוא הציר שלאורכו נמתח הגליל. ובהכללה: גליל ממימד \(n\) הוא כדור ממימד \(n-1\), כלומר \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+{x}_{n-1}^{2}\leq{R}^{2}\) לכל ערך של הקורדינטה \(x_{n}\) בתחום מסויים, המייצגת את הציר שלאורכו נמתח הגליל.

מבחינה טופולוגית גליל \(n\)-מימדי מתקבל מהמכפלה הקרטזית \(C^{n}=B^{n-1}\times{L}\) באשר \(L\) מייצג את אורך הגליל. וכיצד נתאר את המעטפת העוטפת גליל כזה (לא כולל "הבסיסים")? בשלושה מימדים מתקבלת המעטפת מהכפלה קרטזית של מעטפת הדיסקה (היינו מעגל ברדיוס \(R\)) באורך הגליל, \(\partial{C}^{2}=S^{1}\times{L}\),  ובהכללה ל-\(n\) מימדים תהיה זו מעטפתו של הכדור ה-\(n-1\) מימדי (והיא ממימד \(n-2\) כמובן) באורך ציר הגליל כלומר \(\partial{C}^{n}=S^{n-1}\times{L}\). 

יהיה \(B^{n}\) כדור \(n\)-מימדי ברדיוס \(R\). אפשר להראות (אך לא אראה זאת כאן) ששטח המעטפת שלו מתכונתי ל- \(R^{n-1}\) כאשר יחס המתכונת תלוי במספר המימדים \(n\). ובמפורש (הבחינו בין כתיב תחתון \(S_{n-1}\) לכתיב עליון \(S^{n-1}\)), אם \(S_{n-1}\) ייצג את שטח הספרה \(S^{n-1}=\partial{B}^{n}\), אזי \(S_{n-1}(r)=\alpha\left(n\right)r^{n-1}\) היכן ש-\(\alpha\left(n\right)\) הוא מספר הנקבע על-פי מימד המרחב \(n\). הבה נדמיין את הכדור ה- \(n\)-מימדי שלנו כמורכב מאינסוף קליפות ספריות דקיקות באופן אינסופי המקננות זו בתוך זו ממש כמו סידור הקליפות בבצל. נפח כל קליפה כזו ניתן ע"י \(\mathrm{d}V_{n}\left(r\right)=S_{n-1}\left(r\right)\mathrm{d}r\) (כלומר שטח הקליפה כפול עובייה), ולכן נפח הכדור ה- \(n\)-מימדי כולו יתקבל מאינטגרציה על כל הקליפות מ- \(r=0\) ועד \(r=R\):
\begin{aligned}V_{n}=\int_{0}^{R}S_{n-1}\left(r\right)\mathrm{d}r=\alpha\left(n\right)\int_{0}^{R}r^{n-1}\mathrm{d}r=\frac{\alpha\left(n\right)R^{n}}{n}\end{aligned}
לכן לכל מימד \(n\) במרחב האאוקלידי \(\mathbb{E}_{n}\), הנפח \(V_{n}\) של \(B^{n}\) והשטח \(S_{n-1}\) של \(S^{n-1}=\partial{B}^{n}\) מקיימים את הקשר הפשוט
\begin{aligned}V_{n}=\frac{S_{n-1}}{n}\,R\,.\end{aligned}

סוף כל סוף אנו חוזרים עתה למטען החשמלי הנקודתי \(q\) המשובץ במרחב \(n\)-מימדי. כזכור, הקפנו אותו במעטפת גאוסית ספרית \(S^{n-1}\) ברדיוס \(r\), כך שהמטען יושב במרכזה, כלומר בנקודה \(r=0\). משיקולי סימטריה מיידיים השדה החשמלי על פני המעטפת קבוע בגודלו ומצביע בכיוון הרדיאל, הווה אומר בכיוון הקואורדינטה \(r\) המוגדרת דרך הקשר \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+{x}_{n}^{2}=r^{2}\).  היות וכך, שימוש בחוק גאוס המוכלל ייתן עתה:
\begin{aligned}S_{n-1}E=\frac{q}{\epsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad{E}\left(r\right)=\frac{q}{\epsilon_{0}S_{n-1}\left(r\right)}\quad\Rightarrow\quad{E}\left(r\right)\propto{r}^{1-n}\end{aligned}
שהרי \(S_{n-1}\left(r\right)=\alpha\left(n\right){r}^{n-1}\). קל להיווכח שכך גם מתנהג השדה החשמלי מחוץ לכדור (\(n\)-מימדי) טעון חשמלית, או מחוץ לקליפה ספרית ממימד \(n-1\) טעונה חשמלית, השיקולים הם אותם שיקולים המתקבלים במקרה של מטען חשמלי נקודתי.

ובכן, הטיעונים ההיוריסטים של אורי קלעו בול במטרה; שדה של מטען נקודתי המשובץ במרחב ממימד גבוה דועך כמו אחד חלקי המרחק בחזקת מימד המרחב מינוס אחת. אבל מה בנוגע להשערה המושכלת של אורי ומאיה בנוגע לשדה החשמלי הנגרם מהתפלגות מטען ממימד \(d\leq{n}\); האם הוא מציית לכלל \(E\left(r\right)\propto{r}^{d-n+1}\)? ברשימה הבאה בנושא ארחיב את הדיון למקרה הזה ככל שדמיוני המוגבל יאפשר זאת (...) ואנסה לבחון את ההשערה.

לחלק השלישי

לא רואים תגובות? נערו את הדף!



יום שני, 7 באפריל 2014

חוק גאוס המוכלל א' (מקרה שהיה כך היה)

כיצד ניעזר בחוק גאוס על מנת לחשב את השדה החשמלי הנגרם מהתפלגות מטען סימטרית ממימד \(d\) המשובצת במרחב אאוקלידי ממימד \(n\)? על כך בסיפור הבא (בן שלושת החלקים) הלקוח מהמציאות:

בשיעור על חוק גאוס שהעברתי בשבוע שעבר בפני כיתת העמקה בחמד"ע הראתי לתלמידיי ששימוש בחוק זה עבור התפלגויות סימטריות של מטען חשמלי ממימדים \(d=0\) עד \(d=3\) המשרות שדה חשמלי המכבד את אותן סימטריות, מוביל לניסוח הכללי
\begin{aligned}E\left(r\right)\propto{r}^{d-2}\end{aligned} 
בביטוי זה \(E\left(r\right)\) מייצג את עוצמת השדה החשמלי במרחק \(r\) מהתפלגות המטען, לאורך הקואורדינטה המבטאת הכי טוב שאפשר "מרחק". עוד הוספתי וטענתי (כלאחר יד ומבלי להוכיח) שנוכל להכליל את הכלל הזה לכל \(d>3\)... אלא שבכיתת העמקה טענות שנאמרות כלאחר יד עשויות להידחות בשתי ידיים...

ראשית, הבה נזכר מה אומר חוק גאוס. ובכן, החוק מספר לנו ששטף השדה החשמלי דרך מעטפת גאוסית כלשהי שווה למטען הכלוא בין כתלי המעטפת מחולק בקבוע הדיאלקטרי של הריק. במערכת היחידות הסטנדרטיות הבין-לאומית ינוסח החוק כך:
\begin{aligned}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}\end{aligned}
באשר \(\Omega\) מייצגת נפח מרחבי במרחב התלת-מימדי, \(\partial\Omega\) היא המעטפת הדו-מימדית התוחמת את הנפח הזה, \(Q\) הוא המטען החשמלי הכולל הכלוא על-ידי המעטפת, תהא התפלגותו אשר תהא, ו- \(\boldsymbol{E}\) הוא השדה החשמלי במרחב (שדה וקטורי כמובן). כידוע, \(\epsilon_{0}\) הוא הקבוע הדיאלקטרי של הריק; זהו קבוע אוניברסלי והוא קשור בקבוע של חוק קולון דרך הקשר \(K=1/(4\pi\epsilon_{0})\). אגב, חוק גאוס הוא למעשה הנוסח האינטגרלי של משוואת מקסוול הראשונה, ראו למשל כאן.

כיצד בכלל הגענו לכלל דלעיל? הנה בקצרה ממש:
  • במימד אפס: חלקיק נקודתי הטעון במטען סופי של \(q\) קולון. נבנה מעטפת גאוסית ספרית (קליפה כדורית) סביב המטען. משיקולי סימטריה עצמת השדה קבועה בכל נקודה על פני המעטפת וכיוונו של השדה מצביע בכיוון הרדיאל במקרה של מטען חיובי. השטף הוא איפה גודל השדה מוכפל בשטח המעטפת ומחוק גאוס נקבל \(\left(4\pi{r}^{2}\right)E=q/\epsilon_{0}\). נחלץ מהמשוואה את עצמת השדה \(E\) ונקבל: \(E\left(r\right)=Kq/r^{2}\).
  • במימד אחד: קו אינסופי ישר טעון בצפיפות מטען אחידה \(\lambda\) קולון ליחידת אורך. נבנה מעטפת גאוסית גלילית כאשר ציר הגליל מתלכד עם הקן הטעון. היות ואין נקודה מיוחסת על המעטפת הרי שעוצמת השדה שם קבועה ומצביעה בכיוון הרדיאלי, הלאה מהציר. השטף יוצא איפה רק מהמעטפת (ולא מבסיסי הגליל) ולכן מחוק גאוס, \(\left(2\pi{r}h\right)E=\lambda{h}/\epsilon_{0}\). נחלץ את עצמת השדה, נכפיל מונה ומכנה בשניים, ונקבל \(E\left(r\right)=2K\lambda/r\).
  • בשני מימדים: מישור אינסופי טעון בצפיפות מטען אחידה \(\sigma\) קולון ליחידת שטח. גם כאן ניעזר במעטפת גלילית שרדיוסה \(\mathcal{R}\). המישור האינסופי חוצה את הגליל לשניים. משיקולי סימטריה שטף השדה החשמלי עתה הוא דרך שני בסיסי הגליל ובניצב להם; כל מרכיב המקביל למישור בהכרח מתאפס. היות וכל המטען החשמלי הכלוא על ידי המעטפת הגאוסית הגלילית הוא זה הנמצא על הפרוסה העגולה ברדיוס \(\mathcal{R}\) שהגליל חתך מהמישור הטעון נקבל \((2\pi{\mathcal{R}}^{2})E=(\pi{\mathcal{R}}^{2}\sigma)/\epsilon_{0}\) ומכאן, \(E=\sigma/2\epsilon_{0}\), כלומר שדה אחיד המצביע בניצב לפני המישור. 
  • בשלושה מימדים: כדור מבודד טעון ברדיוס סופי \(\mathcal{R}\) ובצפיפות מטען אחידה \(\rho\) קולון ליחידת נפח. נבנה מעטפת גאוסית ספירית קונצנטרית למרחב הכדורי ובעלת רדיוס \(r<\mathcal{R}\); משיקולי סימטריה השדה על פני המעטפת אחיד ורדיאלי (הניחו \(\mathcal{R}\gg{r}\)) שהרי לא נוכל למצוא נקודה מיוחסת או חתך מיוחס על גבי מעטפת זו. המטען המוכל בתוכה שווה לנפח הכלוא על ידי המעטפת כפול צפיפות המטען החשמלי (הקבועה) המוכל בה. נציג בחוק גאוס ונקבל \(\left(4\pi{r}^{2}\right)E=\left(4\pi{r}^{3}/3\right)\rho/\epsilon_{0}\). נחלץ את עוצמת השדה ונקבל \(E\left(r\right)=\left(\rho/3\epsilon_{0}\right)r\). כלומר עצמת השדה גדלה לינארית עם המרחק. 
קל מאוד להיווכח ששדה חשמלי מחוץ לכדור טעון או מחוץ לקליפה כדורית טעונה במטען \(Q\) כמוהו כשדה של מטען נקודתי \(Q\) הממוקם במרכז הכדור או הקליפה, וכן שהשדה החשמלי בתוך הקליפה או בתוך מוליך כדורי טעון בהכרח מתאפס. זאת ועוד, קל לראות שארבעת החישובים הללו מצייתים לכלל  \begin{aligned}E\left(r\right)\propto{r}^{d-2}\end{aligned}
היכן ש- \(d=0,\ldots,3\) מיצג את מימד התפלגות המטען.

נחזור לשיעור. זחוח במידת-מה סיימתי ללמד את הפרק, אבל אז הורמה יד... אורי טען בנימוס אך בתוקף שלא ניתן להכליל את התוצאה שקיבלתי ל-\(d>3\) היות וחוק קולון רגיש למימד שבו משובץ המטען ולכן חשבונותיי המבוססים על שטף מתוך מעטפת דו-מימדית לא יהיו תקפים למרחב ממימד גבוה יותר. לביסוס טענתו גם סיפק הסבר די משכנע: כאשר המטען הנקודתי משובץ במימד אחד, היינו על קו, יוצאים ממנו שני "קווי שדה" בלבד והם לא 'דועכים' עם המרחק. שדה חשמלי של מטען נקודתי בעולם חד מימדי הוא לפיכך קבוע. כאשר מדובר במטען נקודתי המשובץ בשני מימדים, צפיפות קווי השדה החשמלי בהכרח דועכת כמו אחד חלקי המרחק הואיל ואורך הגזרה דרכה שוטף השדה גדל לינארית במרחק (\(\ell=r\theta\)) בעוד שמספר קווי השדה השוטפים דרך הגזרה נשאר קבוע. בשלושה מימדים דועך השדה ריבועית עם המרחק מאחר ושטח הגזרה הדו-מימדית דרכה שוטפים קווי השדה עתה גדל כמו ריבוע המרחק, וכך הלאה...

התלמידים כמעט כולם אימצו מיד את ההסתייגות של אורי, והוא ומאיה אף השכילו לנחש באופן מושכל נוסחא סגורה ואלגנטית: שדה של מטען חשמלי נקודתי מתנהג כמו \(E\left(r\right)\propto{r}^{1-n}\) היכן ש- \(n\) מייצג את מימד המרחב האאוקלידי בו משובץ המטען. ואם נרצה לשלב את התוצאה הזו באופן נאיבי עם הכלל שפיתחנו עבור התפלגות מטען ממימד \(d\) - הוסיפו השניים וטענו - נקבל את התלות
 \begin{aligned}E\left(r\right)\propto{r}^{d-\left(n-1\right)}={r}^{d-n+1}\end{aligned}
שהרי לפחות עבור המקרה \(n=3\) המתאים לעולם היום-יום שלנו נקבל את הכלל שקיבלנו קודם לכן, היינו \(E\left(r\right)\propto{r}^{d-2}\). מול הנימוקים המוצקים הללו נסוגו טענותיי לקרן זוית ואת מקומן תפסה חדווה מהסוג שרק מורים מכירים...

ובכל זאת, בסופו של יום ברור שיש כאן ניואנס שיש לתת עליו את הדעת, ואין כל ביטחון שהפתרון המוצע אכן תקף לכל \(n\) ולכל \(d\le{n}\)... הנה אם כן השאלה שעל הפרק מנוסחת בתמצתיות:
כיצד מתנהג שדה חשמלי המכבד את הסימטריה של התפלגות מטען אחידה וסימטרית ממימד \(d\)  המשובצת במרחב אאוקלידי ממימד \(n\) כך ש- \(d\leq{}n\)? 

תרגיל: קבלו ביטוי ווקטורי לשדה החשמלי בתוך כדור מבודד ברדיוס \(\mathcal{R}\) הטעון בצפיפות מטען חשמלי רדיאלית \(\rho\left(r\right)\) (אגב, באלו יחידות ניתן \(\rho\left(r\right)\) בשיטת SI?). ובפרט, חשבו את עצמת השדה החשמלי במרחק \(r<\mathcal{R}\) מהראשית עבור צפיפות מטען מהצורה \(\rho\left(r\right)=\rho_{0}e^{-r/\mathcal{R}}\). מה תהא אז עוצמת השדה עבור \(r>\mathcal{R}\)?