יום ראשון, 16 במרץ 2014

המפה הספינורית של חבורת לורנץ

ברשימה קודמת מצאנו את האופן שבו טרנספורמציות לורנץ פועלות על וקטורי קואורדינטות מהסוג \(\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)\) במרחב זמן. בשפה מתמטית נאותה, מצאנו הצגה ממימד ארבע לענף האורתוכרונולגי (= משמר כיוון הזמן) של חבורת לורנץ, \(SO^{+}\left(3,1\right)\) במרחב מינקובסקי \(\mathbb{M}_{4}\); סימן הפלוס בא בשביל האורתוכרונולוגיה, אני אתעלם מהדקות הזו ואסלק אותו להבא מהרישום. ברשימה הנוכחית אביא בפניכם את המפה הספינורית של חבורת לורנץ שהיא אלגנטית ויפה להפליא ורלוונטית מאין-כמוה לתיאור הפן הספינורי של החלקיקים החומריים.

הבה נתבונן באוסף המטריצות מסדר \(2\times2\) הצמודות לעצמן, היינו בכל אותן מטריצות הרמיטיות \(h\) מסדר \(2\times2\) המקיימות את הקשר \(h^{\dagger}=h\) באשר סימן הפגיון מתאר צימוד הרמיטי כלומר \(h^{\dagger}=(h^{\ast})^{T}\); הכוכבית מייצגת צימוד קומפלקסי כך שמתקיים \((h^{\ast})_{ij}=h^{\ast}_{ij}\) והקפיטל-\(T\) מייצג את פעולת הטרנספוזיציה המחליפה שורות בעמודות, \((h^{T})_{ij}=h_{ji}\). קל מאוד להיווכח (ואתם מוזמנים להיווכח) שכל מטריצה הרמיטית \(h\) מסדר \(2\times2\) היא בהכרח מהצורה \(\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha&z^{\ast}\\z&\beta\end{smallmatrix}\bigr)\) היכן ש- \(\alpha,\beta\) מספרים ממשיים ו- \(z\) מספר מרוכב.

יהא \({X}=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)\) וקטור הקוארדינטות של מאורע כלשהו במרחב מינקובסקי. לכל 4-וקטור כזה נתאים מטריצה הרמיטית \(h\left(X\right)\) כך ש-
\begin{aligned}h\left(X\right)=\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}\end{aligned} ובאמת, מטריצה זו אינווריאנטית תחת הצמדה היות וארבעת המרכיבים של וקטור המאורע ממשיים. לחליפין, כל מטריצה הרמיטית ניתנת לפרמטריזציה המוצעת מעלה היות וארבעת הקואורדינטות של כל מאורע הם גדלים בלתי תלויים. לכן, אם \(\mathbb{M}_{4}\) מייצג את מרחב מינקובסקי ו-\(H\) את קבוצת המטריצות הצמודות לעצמן מסדר \(2\times2\), נוכל לראות את \(h\) ואת \(X\) כמפה עם הופכי: 
\begin{aligned}\forall\;X\in\mathbb{M}_{4},\;h\left(X\right)\in{H}\;\;\text{and}\;\;\forall\;h\in{H},\;X\left(h\right)\in\mathbb{M}_{4}\end{aligned} 
תרגיל 1: נתונה המטריצה ההרמיטית \(h=\left(\begin{smallmatrix}\alpha&z^{\ast}\\z&\beta\end{smallmatrix}\right)\), באשר \(z=\gamma+i\delta\). קבלו במפורש את \(X\left(h\right)\); כלומר רישמו את המאורע המתאים למטריצה זו.

היות ומרחב מינקובסקי רציף, אפשר לשאול את השאלה כיצד \(h\left(X\right)\) משתנית עם שינוי אינפיניטסימלי ב- \(X\). ובפרט, בהתיחסנו אל ארבעת המרכיבים של \(X\) כאל קואורדינטות רציפות במרחב מינקובסקי נוכל לחשב את הדיפרנציאל של \(h\) לפי
\begin{aligned}\mathrm{d}h=\frac{\partial{h}}{\partial{x}^{0}}\mathrm{d}x^{0}+\frac{\partial{h}}{\partial{x}^{1}}\mathrm{d}x^{1}+\frac{\partial{h}}{\partial{x}^{2}}\mathrm{d}x^{2}+\frac{\partial{h}}{\partial{x}^{3}}\mathrm{d}x^{3}\end{aligned}
מה שמוביל אותנו למטריצה ההרמיטית המייצגת את 4-הוקטור של מרווחים אינפיניטסימליים \(\mathrm{d}X=\left(\mathrm{d}x^{0},\mathrm{d}x^{1},\mathrm{d}x^{2},\mathrm{d}x^{3}\right)\) במרחב מינקובסקי,
\begin{aligned}\mathrm{d}h=\begin{pmatrix}\mathrm{d}{x}^{0}+\mathrm{d}{x}^{3}&\mathrm{d}{x}^{1}-i\mathrm{d}{x}^{2}\\\mathrm{d}{x}^{2}+i\mathrm{d}{x}^{2}&\mathrm{d}{x}^{0}-\mathrm{d}{x}^{3}\end{pmatrix}\end{aligned} לא זאת אף זאת, חשבון פשוט מראה ש- \(\det{h\left(X\right)}=X^{T}\eta\,{X}=:X^{2}\) באשר \(\eta\) מייצגת את הטנזור המטרי במרחב מינקובסקי, \(\eta=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)\), וזהו כמובן גודל שהוא אינווריאנט תחת טרנספורמצית לורנץ. באופן דומה מ-\(\det\left(\mathrm{d}h\right)\) נקבל את אלמנט האורך האינפינטסימלי במרחב מינקובסקי \(\det\left(\mathrm{d}h\right)=\left(\mathrm{d}s\right)^{T}\eta\,\left(\mathrm{d}s\right)=\left(\mathrm{d}s\right)^{2}\), אולי האינווריאנט החשוב ביותר בתורה.

תרגיל 2: בסיס נוח למרחב המטריצות \(2\times2\) הצמודות לעצמן (שהוא מרחב וקטורי ארבע-מימדי מעל הממשיים) ניתן ע"י שלוש מטריצות פאולי בתוספת מטריצת היחידה (אותה נסמן כאן כ- \(\sigma_{0}\)): \begin{aligned}\begin{array}{cc}\sigma_{0}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}&\sigma_{1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\\sigma_{2}=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}&\sigma_{3}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\end{array}\end{aligned} א. הראו שכל מטריצה הרמיטית בפרמטריזציה המוצעת מעלה ניתנת לפרישה בבסיס הזה לפי \begin{aligned}h=x^{0}\sigma_{0}+{x}^{1}\sigma_{1}+{x}^{2}\sigma_{2}+{x}^{3}\sigma_{3}\quad\left(:=x^{\alpha}\sigma_{\alpha}\right)\end{aligned} ב. הראו ש- \(\text{Tr}\left(\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}\right)=2\delta_{\alpha\beta}\), וכן \(\text{Tr}\left(h\right)=2x^{0}\); כרגיל \(\delta_{\alpha\beta}\) היא הדלתא של קרוניקר. הראו גם ש- \(\frac{1}{2}\text{Tr}\,\sigma^{\alpha}=\delta^{\alpha}_{0}\).

תרגיל 3: קל להוכיח שהערכים העצמיים של מטריצות הרמיטיות הם בהכרח ממשיים (תוכלו להראות זאת?). ובפרט, הראו שבמקרה שלנו ניתנים שני הערכים העצמים של \(h\) על ידי \begin{aligned}\lambda_{1,2}=x^{0}\pm{r}\end{aligned} באשר \(r^{2}=(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}+(x^{3})^{2}\). להזכירכם, הדטרמיננט הוא אינווריאנט תחת לכסון, לכן מכפלת שני הערכים העצמיים היא אורך של 4-וקטור, \(\lambda_{1}\lambda_{2}=X^{T}\eta\,{X}\).

הלאה: תהא \(\ell\) מטריצה מסדר \(2\times2\) מעל המרוכבים, כללית כמעט ככל שתחפצו, למעט הדרישה שהדטרמיננט שלה הוא אחד, \(\det\ell=\det\ell^{\dagger}=1\). קל מאוד להיווכח שאוסף המטריצות הללו מהווה חבורה: מטריצת היחידה היא איבר יחידה, מאחר והדטרמיננט אינו מתאפס הרי שלכל איבר קיים הופכי שהדטרמיננט שלו גם הוא אחד (שהרי \(\det\ell^{-1}=1/\det\ell\)), ומכפלת כל שתי מטריצות כאלו גם היא כזו היות ודטרמיננט המכפלה שווה למכפלת הדטרמיננטים.

לחבורה המיוחדת הזו קוראים  \(SL\left(2,\mathbb{C}\right)\). צמד האותיות "\(SL\)" בא בשביל Special Linear, המילה Special לכבוד העובדה שכל האלמנטים מיוצגים באמצעות מטריצה שהדטרמיננט שלה בגודל אחד, המילה Linear לכבוד העובדה שכל מטריצה כזו היא מיפוי לינארי על המישור המרוכב. אפשר לומר שהחבורה מקיפה את כל האלמנטים בגרעין של המיפוי \(\det\) כשהוא ממפה את המטריצות מסדר \(2\times2\) מעל המרוכבים לנקודות במישור המרוכב, והיא מהווה תת חבורה לאוסף הטרנספורמציות הלינאריות הממפות את המישור \(\mathbb{C}_{2}\) לעצמו.

הבה נציג עתה חוק פעולה של המטריצות הלינאריות מסדר \(2\times2\) עם דטרמיננט אחד במרחב המטריצות ההרמיטיות מאותו הסדר: לכל \(\ell\in{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)\) ולכל \(h\in{H}\),
\begin{aligned}\mathcal{L}_{\ell}\left(h\right)=\ell{h}\ell^{\dagger}:=h'\end{aligned}
הנה ארבע טענות:
  1. \(h'\) הרמיטית. הוכחה: מאחר ו-\(h\) הרמיטית, והיות והטרנספוזיציה של מכפלה שווה למכפלת הטרנספוזיציות בסדר הפוך, \((h')^{\dagger}=(\ell{h}\ell^{\dagger})^{\dagger}=\ell^{\dagger\dagger}h^{\dagger}\ell^{\dagger}=\ell{h}\ell^{\dagger}=h'\)
  2. \(\det{h'}=\det{h}\). הוכחה: \(\det{h'}=\det(\ell{h}\ell^{\dagger})=\det\ell\det{h}\det\ell^{\dagger}=\det{h}\).
  3.  \(\mathcal{L}^{-1}_{\ell}=\mathcal{L}_{\ell^{-1}}\). הוכחה: מאחר ו- \((\ell^{-1})^{\dagger}=(\ell^{\dagger})^{-1}\) (מאיפה זה מגיע?) נקבל: \(\mathcal{L}_{\ell^{-1}}(\mathcal{L}_{\ell}(h))=\ell^{-1}(\ell{h}\ell^{\dagger})(\ell^{-1})^{\dagger}=(\ell^{-1}\ell)h(\ell^{\dagger}(\ell^{\dagger})^{-1})=h\) מכאן נובע ש- \(\mathcal{L}_{\ell^{-1}}\mathcal{L}_{\ell}=\text{Id}\) ולכן \(\mathcal{L}_{\ell^{-1}}=\mathcal{L}^{-1}_{\ell}\).
  4.  \(\mathcal{L}_{-\ell}=\mathcal{L}_{\ell}\). (מיידי)
מהטענה הראשונה עולה שהפעולה שהגדרנו מסמלצת את המיפוי של מרחב מינקובסקי לעצמו. מהטענה השניה עולה שהפעולה דלעיל משמרת את אלמנט האורך במרחב מינקובסקי ולכן מבטאת סיבוב במרחב זה. בהקשר לזה (מה ההקשר?) הוכיחו לעצמכם של-\(h\) ול- \(h'\) אותם ערכים עצמיים. כזכור, סיבוב במרחב מנקובסקי מתקבל על ידי טרנספורמצית לורנץ והוא מבטא מעבר ממערכת התמד אחת לרעותה. הטענה השלישית מספרת לנו שההופכי של הפעולה שהגדרנו הוא \(\mathcal{L}_{\ell^{-1}}\) וזה שקול לקשר ההפוך \(h=\ell^{-1}{h'}(\ell^{-1})^{\dagger}\).

אם נחפוץ נוכל לרשום את המטריצה \(\ell\) כאקספוננט מהצורה \(\ell=e^{\mu}\) באשר \(\mu\) מטריצה מאוד מסויימת... מתוך הדרישה לדטרמיננט יחידה, מהזהות היפהפיה \(\det=\exp\text{Tr}\) והואיל ושלושת מטריצות פאולי בלתי תלויות זו בזו וחסרות עקבה נקבל:  \begin{aligned}&1=\det\ell=\det{e^{\mu}}=e^{\text{Tr}\left(\mu\right)}\;\Rightarrow\;\text{Tr}\left(\mu\right)=0\;\Rightarrow\;\mu=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{\sigma},\quad\boldsymbol{a}\in\mathbb{C}_{3}\end{aligned}
כלומר \(\boldsymbol{a}\) וקטור תלת מימדי כלשהו מעל המרוכבים. שימו לב שאם \(\boldsymbol{a}\) היה וקטור עם מרכיבים מדומים (כלומר ללא חתיכה ממשית), היתה אז המטריצה \(\ell\) יוניטרית, אבל לא זה המצב כאן. נוכל עתה לחשב את האקספוננט במפורש באמצעות פיתוח לטור חזקות; נרשום \(\boldsymbol{a}=a\widehat{\boldsymbol{a}}\) ומאחר ו- \((\widehat{\boldsymbol{a}}\cdot\boldsymbol{\sigma})^{2n}=\mathbb{1}\) וכן \((\widehat{\boldsymbol{a}}\cdot\boldsymbol{\sigma})^{2n+1}=\widehat{\boldsymbol{a}}\cdot\boldsymbol{\sigma}\) נקבל את הביטוי הקומפקטי
\begin{aligned}e^{a(\widehat{\boldsymbol{a}}\cdot\boldsymbol{\sigma})}=\left(\cosh{a}\right)\mathbb{1}+\left(\sinh{a}\right)\,\widehat{\boldsymbol{a}}\cdot\boldsymbol{\sigma}\,.\end{aligned}
זה יכול להוביל אותנו לזהות במפורש את הצגות של היוצרים של חבורת לורנץ (סיבובים ובוסטים) במרחב המטריצות ההרמיטיות מסדר \(2\times2\), אבל לא זו מטרתנו כאן;

במקום זאת ניגש לבנות את המפה הספינורית ישירות, כלומר לבנות 'פיזית' את המיפוי מ- \(SL\left(2,\mathbb{C}\right)\) לענף האורתוכרונולוגי של חבורת לורנץ \(SO^{+}\left(3,1\right)\). מכאן ואילך אינדקסים חופשיים מתייחסים למערכת ההתמד \(S\), אינדקסים מתוייגים מתייחסים למערכת ההתמד \(S'\) כך ש-\begin{aligned} S\overset{\scriptsize{L}}{\underset{\scriptsize{L^{-1}}}{\rightleftharpoons}}{S}'.\end{aligned} כמו תמיד, נעשה שימוש בהסכם הסכימה, נעלה ונוריד אינדקסים באמצעות הטנזור המטרי \(\eta\) בהבחיננו בין רכיבים קו-ווריאנטים לרכיבים קונטרא-ווריאנטים של ארבע-וקטור, וניעזר בזהות \(\text{Tr}\left(\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}\right)=2\delta_{\alpha\beta}\); 
\begin{aligned}x^{\beta}&=\delta^{\beta}_{\alpha}x^{\alpha}=\eta^{\beta\gamma}\delta_{\gamma\alpha}x^{\alpha}=\eta^{\beta\gamma}\frac{1}{2}\text{Tr}(\sigma_{\gamma}\sigma_{\alpha})x^{\alpha}\\&=\eta^{\beta\gamma}\frac{1}{2}\text{Tr}(\sigma_{\gamma}(\sigma_{\alpha}x^{\alpha}))=\eta^{\beta\gamma}\frac{1}{2}\text{Tr}\left(\sigma_{\gamma}h\right)=\eta^{\beta\gamma}\frac{1}{2}\text{Tr}(\sigma_{\gamma}(\ell^{-1}\,h'\,(\ell^{-1})^{\dagger}))\\&=\eta^{\beta\gamma}\frac{1}{2}\text{Tr}(\sigma_{\gamma}\ell^{-1}\,(\sigma_{\alpha\,'}x^{\alpha\,'})\,(\ell^{-1})^{\dagger})=\eta^{\beta\gamma}\frac{1}{2}\text{Tr}(\sigma_{\gamma}\ell^{-1}\,\sigma_{\alpha\,'}\,(\ell^{-1})^{\dagger})x^{\alpha\,'}\\&=L^{\beta}_{\alpha\,'}x^{\alpha\,'}\end{aligned}
ולכן לסיכום, (הסבירו את ההשמה השנייה!)
\begin{aligned}L^{\beta}_{\alpha\,'}&=\eta^{\beta\gamma}\frac{1}{2}\text{Tr}\left(\sigma_{\gamma}\ell^{-1}\,\sigma_{\alpha\,'}(\ell^{-1})^{\dagger}\right)\\L^{\alpha\,'}_{\beta}&=\eta^{\alpha\,'\gamma}\frac{1}{2}\text{Tr}\left(\sigma_{\gamma}\ell\,\sigma_{\beta}\ell^{\dagger}\right)\end{aligned}
כך ש- \(L^{\alpha}_{\beta'}L^{\beta'}_{\gamma}=\delta^{\alpha}_{\gamma}\).
רואים מייד ש- \(L\left(\ell\right)=L\left(-\ell\right)\) כלומר לכל טרנספורמצית לורנץ במרחב מינקובסקי מתאימות שתי טרנספורמציות במרחב הספין, זו המתקבלת ע"י הצמדה באמצעות \(\ell\), וזו המתקבלת ע"י הצמדה באמצעות \(-\ell\).  

באופן כללי, כל האלמנטים בחבורה המתחלפים עם כל אברי החבורה מכונים "המרכז" של החבורה (או ה-center בלע"ז) והם מהווים תת-חבורה בפני עצמה.  במקרה של החבורה \(SL\left(2,\mathbb{C}\right)\), המרכז מכיל בדיוק שני אלמנטים, \(\pm\mathbb{1}\), כלומר פלוס-מינוס מטריצת היחידה מסדר \(2\times2\). נסמן אותו כ- \(\mathbb{Z}_{2}\) ונקבל ש- \(SO\left(3,1\right)\approx{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)/\mathbb{Z}_{2}\) בהקשר זה (ומסיבות מובנות) אנו אומרים שהחבורה \(SL\left(2,\mathbb{C}\right)\) היא הכיסוי הכפול של חבורת לורנץ.


תרגיל 4: הראו שלכל מטריצה הרמיטית \(h\) ולכל שתי מטריצות \(\ell_{1},\ell_{2}\in{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)\) מתקיים \(\left(\ell_{2}\ell_{1}\right)h\,\left(\ell_{2}\ell_{1}\right)^{\dagger}=\ell_{2}(\ell_{1}h\,\ell_{1}^{\dagger})\ell_{2}^{\dagger}\) והסיקו מכך שהמפה הספינורית טרנזיטיבית (כלומר המפה היא group homomorphism). 

תרגיל 5: תהא \(\beta\) המהירות המנורמלת המתאימה לטרנספורמצית לורנץ \(L\left(\beta\right)\) במרחב מינקובסקי. הראו שהמפה הספינורית אשר דמותה היא \(L(\beta)\) ניתנת ע"י המטריצה
\begin{aligned}\ell=\pm\begin{pmatrix}\cosh{\beta/2}&-\sinh{\beta/2}\\-\sinh{\beta/2}&\cosh{\beta/2}\end{pmatrix}\in{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)\end{aligned}