יום שני, 17 בפברואר 2014

נפילה (לא ממש) חפשית

ברשימה שעסקה בפרדוקס התאומים נוכחנו לדעת שמהירותה של מערכת מאיצה כפי שהיא ניצפת ממערכת התמד, שואפת אסימפטוטית למהירות האור כמו טנגנס היפרבולי. מסתבר שהפונקציה הזו מככבת בסיטואציה הרבה יותר ארצית, במה שמקובל לכנות 'צניחה חופשית'. בזאת יעסוק החיבור הנכחי.

הבה נקדים ונאמר:
נפילה חופשית מוגדרת כתנועה לא מופרעת בנוכחות שדה כבידה. 
השמש נופלת חופשית בשדה הכבידה של הגלקסיה, כדור הארץ נופל חופשית בשדה הכבידה של הגלקסיה ומערכת השמש. הירח כמו גם מעבדת החלל הבינלאומית נופלים חופשית בשדה הכבידה של השמש, ושדה הכבידה של כדור הארץ אינו משמש כאן אלא הפרעה... למען האמת, וככל שהדבר ישמע מופרך לאוזן לא מיומנת, מערכת בנפילה חופשית (היא ורק היא) מגדירה מערכת התמד באופן לוקאלי; אין הגדרה עקבית אחרת למערכת התמד, אבל לא בזה עניינו עתה.

מה קורה לגבי מי שקופץ מראש צוק? מה קורה לגבי זה המבצע מה שמכונה "צניחה חופשית"? ובכן, אותו אחד *אינו* נופל חופשית היות והחיכוך עם האוויר מפעיל עליו כוח גרר המנוגד לכוח המשיכה. ובטרם נצלול לתוך החשבון המפורש ראו הסירטון מטה, מומלץ ב-high-definition (רוב תודות לאורן פרבר שערך אותו עבורי מתוך הסרטון המקורי הנמצא כאן):




במודלים ריאלים לנפילה לא חופשית בתווך אטמוספרי, גודלו של כוח ההתנגדות של האוויר מתכונתי לריבוע מהירות הגוף הנופל, \({f}=-\,\beta{v}^{2}\), וכאן מקדם הפרופורציה \(\beta\) תלוי בעיקר בצפיפות האוויר ובשטח החתך של הגוף. שימו לב שכוח זה מפעיל משוב הפוך על תהליך הנפילה: ככל שהמהירות גדלה כך גם הכוח המתנגד גדל, הכוח השקול בכיוון מטה קטן, התאוצה מטה קטנה ובעיקבותיה קצב גדילת המהירות בכיוון מטה קטן. בסופו של דבר מושג איזון בין כוח המשיכה להתנגדות האוויר, שקול הכוחות מתאפס כך ש- \(mg=\beta{v}^{2}\), ובסופו של דבר מתקבלת מהירות תנועה קבועה \(\bar{v}=\sqrt{mg/\beta}\), המכונה "מהירות טרמינלית".

הבה נעריך את ערכו של המקדם \(\beta\) עבור בת-אדם בצניחה חפשית. מהירותה הטרמינלית של "צונחת חפשית טיפוסית" במשקל כ-\(60\) ק"ג ובסגנון "נפילת בטן" היא מסדר גודל של שישים מטר לשניה (\(216\) קמ"ש). כוח המשיכה הפועל עליה הוא כ-\(600\) ניוטון (\(mg\approx60\times10=600_{N}\)) ולכן \(\beta\approx600/60/60=1/6\) ביחידות ק"ג חלקי מטר.

מה קורה טרם השגת המהירות הטרמינלית? ובכן, כל עוד לא הושגה מהירות טרמינלית שקול הכוחות הפועלים על הגוף הנופל שונה מאפס ואז כמובן תקף החוק השני של ניוטון:
\begin{aligned}ma=mg-\beta{v}^{2}\end{aligned}
לצורך נוחות הטיפול האנליטי נציג את הפרמטר \(\alpha^{2}=\beta/mg\); היות ו- \(a=\dot{v}\) מתקבלת מן החוק השני משוואה דיפרנציאלית פשוטה מסדר ראשון עבור המהירות הרגעית \(v\):
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=g\left(1-\alpha^{2}{v}^{2}\right)\end{aligned}
הבה נפתור את המשוואה תחת תנאי ההתחלה \(v(t=0)=0\). נבצע הפרדת משתנים: נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-\(\mathrm{d}t\), נחלק ב- \(\left(1-\alpha^{2}v^{2}\right)\),  נכפול את הכל ב-\(\alpha\), והואיל ו- \(\alpha\,\mathrm{d}v=\mathrm{d}\left(\alpha{v}\right)\) נקבל:
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}\left(\alpha{v}\right)}{1-\left(\alpha{v}\right)^{2}}=\alpha{g}\,\mathrm{d}t\end{aligned}
מאחר והפרדנו את המשתנים ניתן להוציא אינטגרל לשני האגפים; אם קמתם על צד שמאל הבוקר - גשו לטבלאות האינטגרלים או השתמשו בתכנה סימבולית. אם לאו, עיברו למשתנה \(\phi\) המוגדר דרך הקשר \(\alpha{v}=\tanh\phi\). אנו יודעים שעבור כל פונקציה של משתנה יחיד \(y\left(x\right)\) מוגדר הדיפרנציאל של \(y\) דרך הקשר \(\mathrm{d}y=y'\left(x\right)\mathrm{d}x\). ניישם זאת עבור המקרה הפרטי שלנו ונקבל: \begin{aligned}\mathrm{d}\left(\alpha{v}\right)=\mathrm{d}\left(\tanh{\phi}\right)=\mathrm{d}\phi/\cosh^{2}\phi\end{aligned} אזי האינטגרל כולו מצטמצם ל- \(\int\mathrm{d}\phi\) (הראו זאת!) והאינטגרציה המיידית נותנת \(\phi=\alpha{gt}+C\) כך שבהתחשב בתנאי ההתחלה,
\begin{aligned}\tanh^{-1}\left(\alpha{v}\right)=\alpha{g}t\,.\end{aligned}
נחלץ את המהירות (קחו פונקציה הפוכה) ובסופו של יום נקבל את התוצאה הנקייה (חזרנו לפרמטרים המקוריים): \begin{aligned}v\left(t\right)=\sqrt{\frac{mg}{\beta}}\:\tanh\left(\sqrt{\frac{\beta{g}}{m}}\:t\right)\end{aligned}
פונקציית הטאנש שואפת אסימפטוטית לערכים \(\pm1\) ולכן המהירות הרגעית שואפת אסימפטוטית למהירות הטרמינלית, \(\sqrt{mg/\beta}\). אלא שהשאיפה הזו מהירה למדי. כך למשל, עבור הצונחת החופשית שלנו: \(\bar{v}=\sqrt{mg/\beta}\approx60\;\text{m/sec}\), \(\sqrt{\beta{g}/m}\approx{1/6}\;\text{sec}^{-1}\), ואז
 \begin{aligned}v\left(t\right)=60\,\tanh\left(t/6\right)\,.\end{aligned}
שימו לב שוב לקצב ההתכנסות המהיר לערך של המהירות הטרמינלית: בחלוף שש שניות נקבל \(v(t=6_{\text{שניות}})=45.7\;\text{m/sec}\) ובחלוף שתיים עשרה שניות אנחנו או-טו-טו במהירות קצובה, \(v(t=12_{\text{שניות}})=57.8\;\text{m/sec}\).

ומה בנוגע להעתק? ובכן, גם כאן החשבון פשוט למדי. נחזור לפרמטריזציה הקומפקטית (באמצעות \(\alpha\)), נבצע הפרדת משתנים, נרשום \(v=\mathrm{d}z/\mathrm{d}t\) ונקבל:
\begin{aligned}\mathrm{d}z&=\frac{1}{\alpha}\tanh\left(\alpha{g}t\right)\;\mathrm{d}t=\frac{1}{\alpha}\;\frac{\sinh\left(\alpha{g}t\right)\,\mathrm{d}t}{\cosh\left(\alpha{g}t\right)}\\&=\frac{1}{\alpha^{2}g}\frac{\mathrm{d}\left(\cosh\alpha{g}t\right)}{\cosh{\alpha{g}t}}\end{aligned} 
שהרי \(\mathrm{d}\left(\cosh\,\alpha{gt}\right)=\left(\cosh{\alpha{gt}}\right)'\mathrm{d}t=\alpha{g}\sinh\left(\alpha{gt}\right)\,\mathrm{d}t\). נאמנים להרגלינו לבחור תנאי התחלה נוחים נבחר \(z\left(t=0\right)=0\); האינטגרציה היא מיידית ובמונחים של הפרמטרים המקוריים נקבל
\begin{aligned}z\left(t\right)=\frac{m}{\beta}\,\ln\,\cosh\left(\sqrt{\frac{\beta{g}}{m}}\;t\right)\end{aligned}
עבור ערכים גדלים של המשתנה \(t\) פונקצית ה-\(\cosh\) שואפת די מהר למחצית פונקצית האקספוננט (למה וכמה מהר?) ואז המקום \(z\) תלוי לינארית בזמן כפי שאנו מצפים מתנועה קצובה (שהרי אז \(\ln{\cosh{x}}\to\ln\left(e^{x}/2\right)=\ln\,e^{x}-\ln2=x-\ln2\)). ובפרט, בתום שש שניות נקבל \(z(6)\approx156\;\text{m}\) ובתום שתים-עשרה שניות,  \(z(12)\approx477\;\text{m}\).

אם אינני טועה, גובהו של הצוק בסרטון המצורף מעלה עולה על קילומטר כך שהקופצים שם מגיעים קרוב מאוד למהירות הטרמינלית כבר במחצית הגובה... אבל איפה משתחרר רוב האדרנלין? בשניה הראשונה כמובן, היכן שהתאוצה ביחס למערכת כדה"א מקסימלית והמראה עוצר נשימה :)





אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה