יום ראשון, 14 בדצמבר 2014

אופק אירועים ביחסות פרטית?


ועוד איך! על כך הרשימה הנוכחית.

הבה נזכר בכמה הגדרות ותוצאות מרשימה שפרסמתי בעבר על פרדוקס התאומים: צופה יקרא מאיץ אם הוא מודד תאוצה על מד התאוצה שלו עצמו, כלומר אם הוא מודד "תאוצה עצמית" \(g\left(\tau\right)\) שהיא פועל יוצא של כוחות מדומים המורגשים במערכת המנוחה שלו; כאז כן עתה, \(\tau\) מייצג את הזמן העצמי הנמדד על שעונו של הצופה המאיץ. ברשימה ההיא גם נוכחנו לדעת שמהירותו הרגעית (המנורמלת, \(\beta=v/c\)) של הצופה המאיץ ניתנת ע"י 
\begin{aligned}\beta\left(\tau\right)=\tanh\psi\left(\tau\right),\quad\text{where}\quad\psi\left(\tau\right)\equiv\frac{1}{c}\int_{\tau_{0}}^{\tau}g\left(\tau'\right)\mathrm{d}\tau',\end{aligned}
וכן שקו העולם שלו מתקבל מאינטגרציה של שתי המשוואות הדיפרנציאליות 
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}&\,=c\sinh\psi\left(\tau\right)\\\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}&\,=\cosh\psi\left(\tau\right)\end{aligned}
ובפרט, עבור תאוצה הקבועה בזמן \(g\left(\tau\right)\equiv{g}\) נקבל את התיאור הפרמטרי של קו העולם באמצעות הזמן העצמי:
\begin{aligned}ֿֿ\Delta{x}&\,=\frac{c^{2}}{g}\left[\cosh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)-1\right]\\\Delta{t}&\,=\frac{c}{g}\sinh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)\end{aligned}
באשר \(\Delta{x}=x-x_{0}\), \(\Delta{t}=t-t_{0}\), \(x_{0}=x\left(\tau=\tau_{0}\right)\), \(t_{0}=t\left(\tau=\tau_{0}\right)\). עד כאן תוצאות שקיבלנו שם ורלוונטיות לעינייננו.

קל מאוד לראות שקו העולם של הצופה המאיץ מצייר היפרבולה על גבי דיאגרמת מינקובסקי: נבחר עבור תנאי ההתחלה \(x_{0}=t_{0}=0\), נארגן טיפה, נעלה בריבוע, נחסר ונקבל:
\begin{aligned}\left(x+\frac{c^{2}}{g}\right)^{2}-\left(ct\right)^{2}=\left(\frac{c^{2}}{g}\right)^{2}\end{aligned}
הבה נתמקד בענף הימני של ההיפרבולה המייצג תנועה בכיוון החיובי של ציר ה-\(x\). ציר ההיפרבולה הוא כמובן ציר ה-\(x\), בנקודת ההיפוך שלה היא נושקת לציר דמוי הזמן \(ct\), שתי האסימפטוטות להיפרבולה הן הישרים \(ct=\pm{x}+c^{2}/g\), הנחתכים ממש על ציר ה-\(x\) בנקודה \(\bar{x}=-c^{2}/g\). יוצא איפה ששתי האסימפטוטות פורשות קונוס אור הנפרש לעתיד בדיוק מנקודה זו.

עתה תנו דעתכם על הדבר המדהים הבא: כזכור, שני התאומים נפרדים זה מזה בראשית המקום, \(x=x'=0\), ובראשית הציר דמוי הזמן \(ct=ct'=0\). הבה נניח שהתאום המאיץ מתמיד בתאוצתו עד סוף כל הדורות, ושהתאום הנייח יושב בנחת ושותה תה לאט לאט... עד סוף כל הדורות. קו העולם של התאום המאיץ מתלכד עם ההיפרבולה מלמעלה, וקו העולם של התאום הנייח מתלכד עם ציר \(ct\). מתישהו (מתי? בזמן \(t=c/g\)) חותך קו העולם של התאום הנייח את האסימפטוטה להיפרבולה של התאום המאיץ, ומנקודה זו ואילך לא יוכל הראשון לשלוח כל מסר אל האחרון, שהרי מרגע זה ואילך נמצאת ההיפרבולה של האח המאיץ מחוץ לקונוס האור של האח הנייח... והרי לכם מפגש מרגש עם אופק ארועים אמיתי עוד לפני שנאמרה מילה אחת על כבידה!

מנקודת ראותו של הצופה הנייח זמן ההגעה אל אופק הארועים הוא כמובן סופי, וכפי שראינו שווה בדיוק ל- \(c/g\). ואולם מנקודת ראותו של הצופה המאיץ קורה הדבר למרבה הפלא רק בסוף כל הדורות... וזאת למה? כדי לענות על כך נראה כיצד מיוצג הזמן העצמי של התאום המאיץ במרחב מינקובסקי. ובכן, נבודד את הסינש והקוש במשוואות הפרמטריות של קו העולם, נחלקם זה בזה ונקבל (לצרכי נוחות הצגנו \(\tau_{0}=0\)):
\begin{aligned}\underbrace{\tanh\left(\frac{g\tau}{c}\right)}_{=\;\beta\left(\tau\right)}=\frac{ct}{x+c^{2}/g}\quad\Rightarrow\quad{ct}=\beta\left(x-\bar{x}\right)\end{aligned}
כלומר לכל ערך נתון של הזמן העצמי \(\tau\) מתקבלת קרן שיוצאת מהנקודה \(\bar{x}=-c^{2}/g\) ושיפועה הוא המהירות המנורמלת \(\beta\left(\tau\right)=\tanh\left(g\tau/c\right)<1\). ככל שהקריאה בשעון של האח המאיץ מאוחרת יותר כך גם גדל שיפוע הקרן, ועבור ערכים גדולים של \(\tau\) הולכת הקרן ומתקרבת לאסימפטוטה להיפרבולה. למרות שהתקרבות מהירה יחסית (פועל יוצא של התנהגות הטאנש), הרי שהתלכדות מוחלטת מתקבלת רק ב- \(\tau\to\infty\), וזו כמובן הסיבה לכך שחציית אופק הארועים של האח הנייח (המתרחשת בעת התלכדות קו העולם שלו עם האסימפטוטה להיפרבולה של התאום המאיץ) מתרחשת עבור התאום המאיץ רק בקץ כל העיתים.


יום חמישי, 4 בדצמבר 2014

דיאגרמת מינקובסקי


רשימה תמציתית זו משמשת מעין נספח לרשימה קודמת בשם טרנספורמציות לורנץ במרחב מינקובסקי. כל הדיאגרמות המוצגות כאן - למעט שתיים - נלקחו מדפי ויקיפדיה, מהערכים Special RelativityMinkowski Diagram ו-מרחב-זמן. הדיאגרמה על קו העולם נלקחה מכאןהדיאגרמה המופיעה בתרגיל נלקחה מכאן ועליה בצעתי כמה שינויים לצורך התאמתה לתרגיל. כמה מילים על הרמן מינקובסקי אדון הדיאגרמה ועל עבודתו - כאן

דיאגרמת מינקובסקי מתארת את המרחב-זמן מנקודת מבט יחסותית, והיא מאפשרת להסיק באופן גרפי ובקלות יחסית כיצד יתוייג מאורע מסויים (או אוסף מאורעות) במערכות התמד שונות. הדיאגרמה היא דו-מימדית היות ורק שני צירים באמת "מעניינים": הציר שלאורכו מתבצע הבוסט, וציר הזמן; זאת מכיוון שטרנספורמציית לורנץ "מערבבת" רק בין שני כיוונים אלו. הילכך, האבסיסה (כינוי עתיק לציר ה-"\(x\)") מתארת את ציר המקום לאורכו נעות המערכות, נניח \(x^{1}\), והאורדינטה (כינוי עתיק לציר ה-"\(y\)") את הציר דמויי הזמן, \(x^{0}=ct\).



מהירות האור על הגרף הזה מקיימת את הקשר \(x=ct\), או \(x^{0}=x^{1}\), ולכן היא מתוארת באמצעות הישר העובר דרך הראשית ושיפועו \(\pi\)-רבע רדיאנים. מאורע הוא נקודה על הגרף (אינווריאנט) וכל קרני האור היוצאות ממנו פורשות את קונוס האור, היינו קונוס המאורעות הנמצאים בקשר סיבתי עימו; שהרי מידע בין מאורעות יכול לנוע לכל היותר במהירות האור; שני מאורעות הנמצאים מחוץ לקונוס האור זה של זה בהכרח אינם נמצאים בקשר סיבתי. דיאגרמת מינקובסקי היא לפיכך חתך מישורי של החרוט באמצעות המישור הנפרש ע"י הכיוונים \(x\) ו- \(ct\).

מקובל לכנות את המאורעות הנמצאים בתוך קונוס האור של מאורע מסויים בשם "דמויי-זמן" (time-like), את אלו הנמצאים מחוץ לקונוס האור של אותו מאורע בשם דמויי מרחב (space-like), ואת אלו הנמצאים על קונוס האור עצמו בשם דמויי-אור (light-like). לצורך נוחות התאור אנו נתמקד במאורע היושב בראשית הצירים ונבדוק כל דבר ביחס איליו. כל חלקיק הנמצא בתנועה מתואר בדיאגרמת מינקובסקי ע"י עקום המכונה קו העולם של החלקיק (ראו התרשים השמאלי). קו העולם של פוטון הוא קו ישר המונח על קונוס האור. קו עולם של חלקיק מסיבי יכול להיות כל עקום ובלבד שהוא מוגבל בתחומו לקונוס האור (שלו עצמו); הפרמטריזציה של העקום מתבצעת באמצעות הזמן העצמי \(\tau\).


דיאגרמת מינקובסקי איננה מוגבלת לתאור המציאות רק ממערכת התמד אחת; למעשה, כל מערכות ההתמד ניתנות לתיאור על גבי אותה דיאגרמה. הבה נתמקד בשתי מערכות התמד: המערכת \(O\) היא המערכת ממנה אנו מתבוננים על המציאות והיא מתוארת ע"ג הדיאגרמה באמצעות הצירים הניצבים \(x\) ו- \(ct\), והמערכת \(O'\) אשר ציר ה- \(x'\) שלה מחליק לאור ציר ה-\(x\) במהירות קצובה \(v\). את "המרקחת" נבשל כך שציר \(y'\) מתלכד עם ציר \(y\), ציר \(z'\) מתלכד עם ציר \(z\), והראשית של שתי המערכות מתלכדת בזמן \(t=t'=0\).




כיצד יראו מאורעות מנקודת המבט של צופה מ- \(O'\)? אין כל בעיה. באופן כללי כל שעלנו לעשות הוא לבצע טרנספורמציית לורנץ ממערכת \(O\) למערכת \(O'\) ובכך "לדחוק" את נקודת המבט שלנו ל- \(O'\). המקבילה לכך בדיאגרמת מינקובסקי היא לקבל את התאור הנכון של הצירים \(x'\) ו-\(ct'\) בדיאגרמה הנפרשת ע"י הצירים \(x\) ו- \(ct\). הבה נבצע זאת: ציר המקום \(x'\) ב- \(O'\) הוא משוואת הקו \(ct'=0\). נציג זאת בטרנספורמציית לורנץ (ראו כאן) ונקבל:
\begin{aligned}0=ct'=\gamma(ct)-\gamma\beta{x}\quad\Rightarrow\quad{ct}=\beta{x}\end{aligned}
באופן דומה, ציר ה-\(ct'\) הוא הקו \(x'=0\) ומטרנספורמציית לורנץ נקבל:
\begin{aligned}0=x'=-\gamma\beta(ct)+\gamma{x}\quad\Rightarrow\quad{ct}=\frac{1}{\beta}x\end{aligned}
משתי המשוואות הללו נובע שהזוויות \(\alpha,\bar{\alpha}\) של הצירים \(x',ct'\) (בהתאמה) ביחס לציר ה-\(x\), מקיימות את הקשרים \(\tan\bar{\alpha}=1/\beta\) ו- \(\tan\alpha=\beta\), ולכן גם \(\alpha=\pi/2-\bar{\alpha}\), שהרי \(\tan\alpha=\cot\bar{\alpha}=\tan\left(\pi/2-\bar{\alpha}\right)\). אנו מקבלים אם כך שצירי מערכת \(O'\) רוכנים באופן סימטרי לעבר קו העולם של האור (המשותף כמובן לשתי המערכות). כל מאורע יתוייג במערכת זו באמצעות העברת מקבילים לצירים ובדיקת נקודות החיתוך המתאימות:


ראינו איפה שהצירים המתארים את המערכת המתוייגת נוטים באותה זווית ביחס לצירים המקוריים. קונוס האור נשאר כמובן כמות שהוא היות וקווי העולם של האור הם אינווריאנטים. באופן דומה נוכל להציג כל מערכת ומערכת על גבי אותה דיאגרמה; ככל שמהירותה של המערכת גבוהה יותר ביחס לזו בה אנו נמצאים, כך תתעצם נטיית הצירים המתייגים אותה לעבר קונוס האור. בתרשים מטה החיצים הצבועים בסיאן מתארים מערכת הנעה מהר יותר מזו המתוארת באמצעות החיצים הצבועים כחול.


קחו שני מאורעות על ציר המקום המתוייג. אלו הם מאורעות בו-זמניים במערכת המתוייגת; ועם זאת, ניכר מיד לעין שאין הם בו-זמניים במערכת המקורית! לחליפין, מאורעות בו-זמניים במערכת המקורית אינם עוד בו-זמניים במערכת המתוייגת. מושג ההוה הוא איפה תלוי-צופה; לא קיים הווה אוניברסלי (באותו מובן שמאורע הוא בעל אופי אוניברסלי). באופן דומה, קחו שני מאורעות על ציר הזמן המתוייג; אלו הם מאורעות עוקבים המתרחשים באותו מקום במערכת המתוייגת. והנה, שני מאורעות אלו מתרחשים בשני מקומות שונים לגמרי במערכת המקורית!     


האם הצירים השונים מתכיילים באותו האופן? ודאי שלא. טרנספורמציית לורנץ אינה משמרת אורך ואין כל סיבה להניח שהמרווחים בין שתי שנתות נשמרים. ובכל זאת, כיצד נכייל את הצירים המתוייגים? פיס אוף קייק. באמצעות האינווריאנטים החשובים ביותר בתורה, הלא הם אלמנטי האורך. חישבו על משפחת ההיפרבולות האינווריאנטיות 
\begin{aligned}\left(\mathrm{d}s\right)^{2}=\left(ct\right)^{2}-x^{2}=\,n^{2}=\;\text{(invariant) שמורה}\end{aligned}
היכן ש- \(n\in\mathbb{N}\) (כלומר \(n\) מספר טבעי). ראו האיור מטה.



מאחר וכל היפרבולה והיפרבולה היא אינווריאנט, משמשות אלו לכיול אחיד של צירי הדיאגרמה (בין אם הם מוטים ובין אם לאו). המרחק בין כל שני מספרים טבעיים עוקבים על ההיפרבולות (למשל) מצייר שנתות על כל מערכת צירים, מתוייגת או לא מתוייגת, והמרחק בינהן מבטא את האופן שבו אינטרוול עובר ממערכת למערכת. הנה, מקרוב זה נראה פחות או יותר כך:



תרגיל: בדיאגרמה הבאה הנקודה P היא מאורע והקווים המקווקוים מתארים את התיוג שלו בשתי מערכות התמד בעלות ראשית משותפת, מתוייגת ולא מתוייגת. הקו הכתום הנטוי מתאר מוט המונח בידיו של צופה הממוקם במערכת המתוייגת. הדיאגרמה מתארת את תופעות התמתחות הזמן והתקצרות האורך כפי שהן נצפות במערכת הלא מתוייגת. א. זהו בדיאגרמה את שתי התופעות האלו במפורש, וחלצו מהן בעזרת הגרף את המהירות היחסית בין המערכות ב. אם במטה קסם נעלם פתאום המוט מידיו של הצופה (בו זמנית מנקודת ראותו), כיצד תיראה היעלמותו של המוט במערכת הלא מתוייגת? ג. הניחו עתה את אותו מוט בידי צופה הנמצא במערכת הלא מתוייגת והראו את התמתחות הזמן והתקצרות האורך כפי שהן נצפות מהמערכת המתוייגת.






יום ראשון, 16 בנובמבר 2014

לנץ ופארדיי - בחינה פתורה


שאלה 1: מציבים מסגרת מלבנית מוליכה ששטחה \(S=10_{\text{מ"ר}}\) בתוך שדה מגנטי אחיד מרחבית שגודלו משתנה כפונקציה של הזמן. השדה המגנטי מאונך למישור המסגרת ויוצא החוצה מתוך מישור הדף. ראו את המסגרת כבעלת התנגדות חשמלית זניחה פרט לנגד באורך של \(1.5_{\text{מטר}}\) שהתנגדותו היא \(R=10_{\Omega}\), המוצב על צלעה השמאלית כמתואר בתרשים הימני. הגרף משמאל מתאר את עוצמת השדה המגנטי ביחידות של טסלה כפונקציה של הזמן במהלך חמש שניות נתונות.


א. באיזה מבין הרגעים \(t_{1}\) או \(t_{2}\) מתקבל זרם גדול יותר דרך המסגרת? נמקו ללא חישוב מספרי.

תשובה: מחוק אוהם ומחוק פארדי, הזרם מתקבל מ- \(i=\mathcal{E}/R=-\dot{\Phi}_{\boldsymbol{B}}/R\). הילכך ככל שהשינו בשטף השדה המגנטי דרך המסגרת גדול יותר, כך גדל גם הזרם. במקרה שלנו השינוי בשטף המגנטי דרך המסגרת נגרם אך ורק כתוצאה מהשינוי בשדה המגנטי, והוא גדול יותר בזמן \(t_{1}\) היכן ששיפוע הגרף תלול יותר; לכן זהו הזמן בו גם הזרם גדול יותר.

ב. מהו כיוון הזרם דרך הנגד? מ-\(N\) ל- \(M\) או להיפך? נמקו.

תשובה: היות ועצמת השדה המגנטי גדלה עם הזמן, גם השטף דרך המסגרת גדל עם הזמן, והזרם הזורם בה יזרום במגמה שבה השדה המגנטי המושרה ממנו ינגוד את הגידול בשטף. על פי בורג יד ימין, כאשר הזרם זורם עם כיוון השעון השדה המגנטי המושרה ממנו נכנס לתוך הדף ובכך נוגד את מגמת הגידול בשטף. לכן הזרם החשמלי יזרום מ-\(M\) ל-\(N\). שימול לב: השטף אמנם גדל עם הזמן אבל מגמת הגידול בשטף קטנה ועצמת הזרם מתכונתית דווקא למגמת הגידול.

ג. עתה נתון כי עוצמת השדה המגנטי כפונקציה של הזמן היא \(B\left(t\right)=10t-t^{2}\). אמנם רק חמש השניות הראשונות של תלות זו מתוארות בגרף, אך השדה מתנהג בהתאם לביטוי הנ"ל גם לאחר מכן.

ג0. מהם יחידות מקדמי הפולינום במשתנה הזמן?

תשובה: היות ואנו עובדים בשיטת היחידות SI, יחידותיו של המקדם של האיבר הריבועי בזמן (שגודלו הנומרי הוא \(-1\)) הן טסלה לשניה בריבוע, ויחידותיו של המקדם של האיבר הלינארי בזמן (שגודלו הנומרי הוא \(10\)) הן טסלה לשניה.


ג1. מיצאו את עצמת הזרם במסגרת כפונקציה של הזמן.

תשובה: מאחר והשדה המגנטי ניצב למישור המסגרת הרי ששטף השדה המגנטי דרך המסגרת מתקבל ממכפלת השדה בשטח המסגרת. לכן,
\begin{aligned}i\left(t\right)=-\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\Phi_{\boldsymbol{B}}}{\mathrm{d}t}=-\frac{S}{R}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}}{\mathrm{d}t}=2t-10\end{aligned} 
והזרם מתקבל כמובן באמפר.

ג2. באיזה רגע בניסוי מתהפך כיוון השדה המגנטי? האם ברגע זה מתהפך גם כיוון הזרם החשמלי שבמסגרת? אם כן, הסבירו מדוע. אם לא, האם קיים זמן אחר בו כיוון הזרם מתהפך?  אם קיים זמן כזה מיצאו מהו.

תשובה: על פי הנתונים השדה המגנטי מחליף סימן כאשר \(10t-t^{2}=t\left(10-t\right)=0\) כלומר בשני הזמנים \(t=0_{\text{ש}}\) ו- \(t=10_{\text{ש}}\). לא, הזרם לא משנה את כיוונו בשני זמנים אלו היות והנגזרת של השדה המגנטי בזמנים הללו לא מחליפה סימן; המעבר משטף הגדל עם הזמן לשטף הקטן עם הזמן מתרחש דווקא בזמן \(t=5_{\text{ש}}\) ורק אז משנה הזרם את כיוונו, כפי שניתן גם לראות מהתשובה לסעיף ג1. אמנם ב- \(t=10_{\text{ש}}\) השדה המגנטי עצמו מחליף סימן כך שכיוון השטף מתהפך, אלא שהגדלת השטף בכיוון ההפוך היא "המשך טבעי" של הקטנת השטף בכיוון המקורי. 

ד. החליטו למדוד את הכוח שמפעיל השדה המגנטי על הנגד כתלות בזמן (עם זאת - הנגד אינו חופשי לנוע).

ד1. הסבירו מדוע יפעל כוח על הנגד.

תשובה: על צפיפות זרם בשדה מגנטי פועל המרכיב המגנטי של כוח לורנץ \(\boldsymbol{F}_{m}=\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B}\). על צפיפות מטען בשדה מגנטי פועל המרכיב החשמלי של כוח לורנץ \(\boldsymbol{F}_{e}=\rho\boldsymbol{E}\). במקרה שלנו קיים רק המרכיב המגנטי (יש צפיפות זרם, אין צפיפות מטען). חשבון מדוקדק מראה שהכוח הפועל על מוט ישר נושא זרם המונח בשדה מגנטי ניתן בביטוי \(\boldsymbol{F}=i\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{B}\right)\).

ד2. מהו שקול הכוחות (כפונקציה של הזמן) הפועל על הנגד ועל המסגרת כולה?

תשובה: כאמור, על הנגד פועל הכוח \(\boldsymbol{F}=i\left(\boldsymbol{L}\times\boldsymbol{B}\right)\) וכאן \(\boldsymbol{L}\) הוא וקטור המצביע בכיוון זרימת הזרם בנגד וגודלו מבטא את אורך הנגד. היות והנגד ניצב לשדה נקבל \begin{aligned}F\left(t\right)=(3/2)(10t-t^{2})(2t-10)=-3t^{3}+45t^{2}-150t.\end{aligned} שימוש בכלל היד הימנית מורה על כך שעד \(t=5_{\text{ש}}\) הכוח על הנגד פועל ימינה, ולאחר מכן שמאלה. משיקולי סימטריה הכוח השקול הפועל על המסגרת כולה הוא אפס (ועם זאת, מומנט הסיבוב הנוצר שונה מאפס).


שאלה 2: מוט מוליך שמסתו \(m\) מחליק בין שני תילים מוליכים המחוברים ביניהם בשני הצדדים ע"י נגדים - בצד שמאל נגד שהתנגדותו \(R\), ובצד ימין נגד שהתנגדותו \(4R\) (ראו תרשים). המוט שאורכו \(L\) והתנגדותו \(r=R/5\), נע במהירות קבועה \(v\) שמאלה באזור בו השדה המגנטי \(\boldsymbol{B}\) אחיד וכיוונו לתוך הדף. הזניחו את השדה המגנטי של כדור הארץ וענו על השאלות הבאות באופן פרמטרי תוך שאתם מנמקים תשובותיכם.

א1. מהו הכא"מ המושרה המתפתח בין קצותיו של המוט?

תשובה: במקרה שלא נסגר מעגל (המוט מחליק על פסים מבודדים) מתקבל קיטוב אשר בשיווי משקל מקיים \(vB=E\). השדה החשמלי לאורך המוט אחיד (מכיוון שמהירות המוט ועצמת השדה המגנטי קבועים) ולכן הכא"מ המתפתח בין קצותיו הוא \(\mathcal{E}=EL\). נציג את \(E\) מהביטוי הקודם ונקבל \(\mathcal{E}=vBL\).
 
א2. מה כוון הזרם העובר בכל אחד מהנגדים?

תשובה: השטף המגנטי בלולאה השמאלית קטן מפאת הקטנת השטח התחום ע"י הלולאה. על פי לנץ הזרם יזרום עם כיוון השעון כך שהשדה המגנטי המושרה ממנו ינגוד את מגמת הקיטון בשטף. ומנגד, השטף המגנטי בלולאה הימנית גדל מפאת הגדלת השטח התחום ע"י הלולאה. הזרם בלולאה יזרום נגד כיוון השעון כך שהשדה המגנטי המושרה ממנו ינגוד את מגמת הגידול בשטף. יוצא איפה שהזרמים משתי הלולאות יתנקזו לתוך המוט, ומלמעלה למטה.

א3. בטאו את עוצמת הזרם במוט וציין את כוונו.

תשובה: היות ושני הנגדים הגדולים יושבים על אותו מתח (כלומר על אותו הפרש פוטנציאלים), הם מתחברים במקביל, וסכומם זה מתחבר בטור להתנגדות המוט (המזכיר במקרה זה סוג של התנגדות פנימית של סוללה). על פי מרשם זה ההתנגדות הכוללת של המעגל היא
\begin{aligned}R_{T}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}+r=\frac{(4R)R}{4R+R}+\frac{R}{5}=R\end{aligned}
והזרם במעגל כולו (המתבטא בזרימה דרך המוט) ניתן ע"י \(i=vBL/R\). כאמור, שני הנגדים הגדולים יושבים על אותו מתח ולכן הזרמים הזורמים דרכם מקיימים \(i_{1}R_{1}=i_{2}R_{2}\) ומכאן \(i_{1}=4i_{2}\). הואיל ו- \(i=i_{1}+i_{2}=5i_{2}\) נקבל לבסוף \(i_{2}=vBL/5R\) ו- \(i_{1}=4vBL/5R\).

א4. האם יש להפעיל כוח חיצוני על המוט בזמן שהוא נע במהירות קבועה? אם כן, באיזה כיוון?

תשובה: בודאי... על המוט מופעל כוח לורנץ נגד כיוון התנועה ויש להפעיל כוח נגדי על מנת להתגבר עליו. לכן יש לדחוף את המוט כל העת (בכוח שגודלו בדיוק \(iBL\)) על מנת שיתמיד בתנועתו.

עתה הופכים את המערכת, כך שמישור המסגרת מאונך לפני הקרקע (ראו תרשים) ומשחררים את המוט ממנוחה כך שמתאפשר לו להחליק מטה בהשפעת הכבידה.

ב1. הסבירו מדוע בשלב מסוים מגיע המוט למהירות קבועה. מהי המהירות הקבועה?

תשובה: תחילה (\(t=0\)) המוט נופל מטה בהשפעת הכבידה. אלא שהזרם המושרה בו נע בניצב לשדה המגנטי ומופעל כוח מעלה המתנגד לכוח המשיכה ומקטין את תאוצת המוט, וכך הלאה. תאוצת  המוט תתאפס כאשר שקול הכוחות יתאפס, כלומר כאשר \(iBL=mg\). נציג בביטוי זה \(i=vBL/R\) ונקבל שהמהירות הסופית (המכונה גם מהירות טרמינלית) היא \(v=mgR/B^{2}L^{2}\).

ב2. קבלו את המשוואה (הדיפרנציאלית) אליה כפופה המהירות של המוט. פיתרו אותה וקבלו את מהירות המוט כפונקציה של הזמן.
 
תשובה: החוק השני של ניוטון מנפק את המשוואה הדיפרנציאלית \(m\ddot{x}=mg-iBL\). היות ו-\(iBL\) מתכונתי למהירות המוט \(v\) מקבלת המשוואה את הצורה \(\dot{v}=g-\beta{v}\) עם "מקדם הצמיגות" \(\beta=L^{2}B^{2}/mR\). משוואה זו נפתרת על-נקלה באמצעות הפרדת משתנים. ובפרט, עבור תנאי ההתחלה \(v\left(0\right)=0\) מקבלים:
\begin{aligned}v\left(t\right)=\frac{g}{\beta}\left(1-e^{-\beta{t}}\right).\end{aligned}
מתמטית המהירות הטרמינלית לעולם לא תושג אבל בפרקטיקה היא תגיע די מהר (תוכלו להעריך כמה מהר?)

ב3. כמה חום התפתח במערכת החל מהרגע \(t=0\) ועד הרגע \(t=T\) במהלך הירידה?

תשובה: ההספק המתפתח במערכת ניתן ע"י \(P=\mathcal{E}i=v^{2}B^{2}L^{2}/R\), והחום המתפתח ניתן ע"י האינטגרל (בזמן) על ההספק. לכן,

\begin{aligned}\text{E}&\;=\int_{t=0}^{t=T}P\,\mathrm{d}{t}=\left(\frac{B^{2}L^{2}}{R}\right)\left(\frac{m^{2}g^{2}R^{2}}{L^{4}B^{4}}\right)\int_{t=0}^{t=T}\left(1-2e^{-\beta{t}}+e^{-2\beta{t}}\right)\mathrm{d}t\\&\;=\frac{m^{2}g^{2}R}{L^{2}B^{2}}\left.\left(t+\frac{2}{\beta}e^{-\beta{t}}-\frac{1}{2\beta}e^{-2\beta{t}}\right)\right|_{t=0}^{t=T}\\&\;=\frac{mg^{2}}{\beta}\left[T+\frac{2}{\beta}\left(e^{-\beta{T}}-1\right)-\frac{1}{2\beta}\left(e^{-2\beta{T}}-1\right)\right].\end{aligned}

שימו לב שהאנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית מומרת במהלך הנפילה לאנרגיה קינטית ולאנרגיית חום. בשלב המהירות הטרמינלית האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית מומרת כולה לחום ואז כמות החום המתקבלת בפרק הזמן \(T\) שווה ל- \(mg^{2}T/\beta=mg(vT)=mgh\).





יום חמישי, 23 באוקטובר 2014

הכוח המגנטי בין שני מטענים בתנועה יחסית


ברשימה זו אקבל ביטוי סגור עבור הכוח המגנטי הפועל בין שני מטענים נקודתיים טעונים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה ואראה במפורש שהחוק השלישי של ניוטון במקרה זה ממש מתנפץ לרסיסים. לא מאמינים? קדימה לדרך. 

נקודת המוצא שלנו הוא חוק ביו-סבארט להשראה המגנטית (שדה מגנטי בלשון העם) הנובעת מצפיפות זרם כלשהי \(\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t\right)=\rho\left(\boldsymbol{r},t\right)\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r},t\right)\), היכן ש- \(\rho\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מייצג את צפיפות המטען המרחבית, ו- \(\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מייצג את שדה המהירויות של צפיפות המטען הזו:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}',t\right)\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\end{align}
באשר \(\Omega\) מייצגת את תחום האינטגרציה המכיל את צפיפות הזרם (או את כל המרחב, אם תרצו).

הערה חשובה: חוק ביו-סבארט הוא רק קירוב מנוון-משהו ולא יחסותי של "הדבר האמיתי", היינו של אחת משתי משוואות ג'פימנקו המנפקות באופן פורמלי את הפתרונות הכללים ביותר למשוואות השדה האלקטרומגנטי, זאת בלא כל הנחות מקלות. בסוף הרשימה אציג את משוואת ג'פימנקו להשראה המגנטית ואייחד כמה מילים לתיקונים המתחייבים ממנה.

צפיפות המטען הנגרמת מנוכחותו של מטען בודד הטעון במטען חשמלי \(q\) וממוקם בראשית הצירים \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) ניתנת ע"י \(\rho\left(\boldsymbol{r}\right)=q\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}\right)\) באשר "\(\delta^{3}\)" מייצגת את פונקציית הדלתא המרחבית של דיראק. עובדה: אינטגרציה מרחבית על צפיפות המטען משחזרת את המטען כולו. הילכך, צפיפות הזרם של חלקיק בודד הנמצא בתנועה לאורך המסלול \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) ניתנת ע"י

\begin{align}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t\right)=q\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right).\end{align}

נתאר לעצמנו שני מטענים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה; כדי שחוק ביו-סבארט יהיה תקף עלינו להשית מגבלות מסויימות בנוגע לסוג התנועה, אבל כפי שנראה בהמשך הסטייה מ"הדבר האמיתי" - כל עוד לא מדובר במהירויות יחסותיות - זניחה לחלוטין. בהמשך נתייג את שני המטענים במספרים "\(1\)" ו- "\(2\)" וכך גם את וקטורי מיקומם, וקטורי מהירותם ואת ההשראה המגנטית שהם משרים.

פונקציית הדלתא המרחבית מקלה עלינו עד-מאוד את החשבונות. הצבה ואינטגרציה מנפקות מיד את השראה המגנטית שכל אחד מהמטענים מייצר סביבו:

\begin{align}\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r},t\right)&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{1}}{4\pi}\int_{\Omega}\frac{\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}'-\boldsymbol{r}_{1}\right)\boldsymbol{v}_{1}\left(\boldsymbol{r}'\right)\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\nonumber\\&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{1}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\\\nonumber\\\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r},t\right)&\;=\,\frac{\mu_{0}q_{2}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{2}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\end{align}

לצורכי קריאות ובהירות השתמשנו בקיצורים \(\boldsymbol{v}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)=:\boldsymbol{v}_{1}\),  \(\boldsymbol{r}_{1}\left(t\right)=:\boldsymbol{r}_{1}\) וכ'. בביטוי דלעיל \(\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) היא ההשראה המגנטית בכל נקודה \(\boldsymbol{r}\) ובכל זמן \(t\) הנגרמת מתנועתו של מטען מס' \(1\) הממוקם בזמן \(t\) במקום \(\boldsymbol{r}_{1}\left(t\right)\) ווקטור מהירותו ברגע זה הוא \(\boldsymbol{v}_{1}\left(t\right)\); ובהתאמה מלאה \(\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מקבל את אותה פרשנות עבור מטען מס' \(2\).

מטען מס' \(2\) 'חש' בהשראה המגנטית שמייצר מטען מספר \(1\) במקום בו הוא נמצא, כלומר מטען מס' \(2\) 'חש' את \(\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\). הילכך, הכוח המגנטי המופעל עליו ע"י מטען מס' \(1\) ניתן על ידי

\begin{align}\boldsymbol{F}_{1\to2}&\;=\;q_{2}\boldsymbol{v}_{2}\times\boldsymbol{B}_{1}\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\nonumber\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{2}q_{1}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\left[\frac{\left(\boldsymbol{v}_{2}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)\right)\boldsymbol{v}_{1}-\left(\boldsymbol{v}_{2}\cdot\boldsymbol{v}_{1}\right)\left(\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}\right|^{3}}\right]\nonumber\end{align}

בשלב האחרון השתמשנו בזהות הוקטורית  \(\boldsymbol{a}\times\left(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}\right)=\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right)\boldsymbol{b}-\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)\boldsymbol{c}\). באופן דומה, מטען מס' \(1\) 'חש' בהשראה המגנטית שמייצר מטען מספר \(2\) במקום בו הוא נמצא, כלומר מטען מס' \(1\) 'חש' את \(\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\). הילכך, הכוח המגנטי המופעל עליו ע"י מטען מס' \(2\) ניתן על ידי

\begin{align}\boldsymbol{F}_{2\to1}&\;=\;q_{1}\boldsymbol{v}_{1}\times\boldsymbol{B}_{2}\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)\nonumber\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}_{1}\times\left(\boldsymbol{v}_{2}\times\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\\&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\left[\frac{\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)\right)\boldsymbol{v}_{2}-\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}\right)\left(\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right)}{\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{3}}\right]\nonumber\\\end{align}

הבה נסכם עתה את מה שקיבלנו: לכוח שמטען מס' \(1\) מפעיל על מטען מס' \(2\) יש מרכיב אחד בכיוון המהירות של מטען מס' \(1\) (כלומר "סוג" של כוח גורר) ומרכיב שני בכיוון הקו המחבר את שני המטענים, לעבר מטען מס' \(2\) (כלומר "סוג" של כוח דוחה). באופן דומה, לכוח שמטען מס' \(2\) מפעיל על מטען מס' \(1\) יש מרכיב אחד בכיוון המהירות של מטען מס' \(2\)  ומרכיב שני בכיוון הקו המחבר את שני המטענים, לעבר מטען מס' \(1\). היות וההיטל של מהירותו של כל אחד מהמטענים על הוקטור המחבר ביניהם שונה מזה של השני, הרי שגודלו של המרכיב הראשון בנוסחת הכוח שונה בשני המקרים, כלומר \begin{align}\left|\boldsymbol{F}_{1\to2}^{(1)}\right|\neq\left|\boldsymbol{F}_{2\to1}^{(1)}\right|\,;\end{align}
הבה נבחן מקרה פרטי, פשוט ונוח לטיפול: חלקיק מס' \(1\) נע במהירות \(\boldsymbol{v}_{1}=v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}\) על ציר \(z\), וחלקיק מספר \(2\) נע במהירות \(\boldsymbol{v}_{2}=v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}\) על ציר \(x\). כלומר החלקיקים נעים על מסלולים ישרים ניצבים. במקרה זה המהירויות ניצבות \(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}=0\) ואנו נשארים רק עם האיבר הראשון בנוסחת הכוח:

\begin{align}\boldsymbol{F}_{1\to2}&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{\left(v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}\cdot\left(x\widehat{\boldsymbol{x}}-z\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\right)v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}}{\left|x\widehat{\boldsymbol{x}}-z\widehat{\boldsymbol{z}}\right|^{3}}\nonumber\\&\;=\:\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{v_{2}v_{1}x\,\widehat{\boldsymbol{z}}}{\left(x^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\\&\nonumber\\\boldsymbol{F}_{2\to1}&\;=\;\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{\left(v_{1}\widehat{\boldsymbol{z}}\cdot\left(z\widehat{\boldsymbol{z}}-x\widehat{\boldsymbol{x}}\right)\right)v_{2}\widehat{\boldsymbol{x}}}{\left|z\widehat{\boldsymbol{z}}-x\widehat{\boldsymbol{x}}\right|^{3}}\nonumber\\&\;=\:\frac{\mu_{0}q_{1}q_{2}}{4\pi}\,\frac{v_{1}v_{2}z\,\widehat{\boldsymbol{x}}}{\left(z^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}\end{align}

הנה כי כן, לא זו בלבד שהכוחות מצביעים בכיוונים ניצבים, עוצמתם שונה בעטיו של המרחק של כל אחד מהמטענים מהראשית. ומנגד, הפקטור המשותף בעוצמת שני הכוחות הוא מכפלת המהירויות מחולקת בחזקה השלישית של מרחקם זה מזה. והרי לכם דוגמא מפורשת להפרה חריפה של החוק השלישי של ניוטון... כוחות הפעולה והתגובה באינטראקציה מגנטית בין שני חלקיקים טעונים הנמצאים בתנועה זה ביחס לזה שונים זה מזה בגודלם ובכיוונם.

אבל כאמור חוק ביו-סבארט איננו הדבר האמיתי, אלא רק ביטוי מקורב. ההשראה המגנטית הנגרמת בעטיה של צפיפות זרם כלשהי, כללית ככל שתהיה, נתונה במדוייק באמצעות משוואת ג'פימנקו:

\begin{align}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)\;=\;\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{\Omega}\left[\frac{\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},t_{R}\right)}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{3}}+\frac{1}{c\,\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|^{2}}\frac{\partial\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}',t_{R}\right)}{\partial{t}}\right]\times\!\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\nonumber\\\phantom{space}\end{align}
באשר \(t_{R}=t-\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right|/c\) הוא הזמן הקדום (בלע"ז: retarded time) בו השרתה מעצמה צפיפות הזרם את ההשפעה המגנטית, השפעה שהגיע רק עתה אל הנקודה \(\boldsymbol{r}\); מדוע רק עתה? הואיל וההשראה מתפשטת במהירות האור \(c\). פתרון ג'פימנקו מתקבל ישירות ממשוואות הפוטנציאלים הכלליות ביותר (ראו כאן) והיא יחסותית באופן מובנה היות והתורה האלקטרומגנטית בלישדה היא תורה יחסותית.

הבה נבחן את התיקונים לתוצאות שקיבלנו קודם לכן. האיבר הראשון הוא חוק ביו-סבארט המוכר, הלוקח בחשבון את העובדה שהמידע מהמקורות מגיע לנקודה \(\boldsymbol{r}\) במהירות האור ולא באופן מיידי. במהלך הזמן הזה כל אחד מהמטענים כבר עשה כברת דרך קטנה בטרם הגיעה השפעתו אל חברו. כמובן שעבור מהירויות לא יחסותיות כברת הדרך הזו אינה קטנה אלא קטנטנה ולמעשה בלתי מורגשת, והתיקון בטל בשישים. האיבר השני בביטוי הנ"ל לכאורה אינו ראוי להיזנח היות והנגזרת הזמנית של פונקציית הדלתא המופיעה בצפיפות הזרם אינה מתאפסת. אבל שימו לב שהביטוי כולו מונחת בפקטור \(c\). לכן אם השינוי בצפיפות הזרם איננו מסדר גודל של מהירות האור, גם האיבר הזה בטל בשישים. כך שבסיכומו של דבר התוצאות שקיבלנו באמצעות חוק ביו-סבארט תקפות לגמרי עבור התחום הלא-יחסותי. תם ונשלם.

שאלה: כיצד הייתם מיישבים את התוצאה שהתקבלה עם חוק שימור התנע? (אפשר להסתפק בנפנוף ידיים, אין צורך לערוך חשבונות...) 



יום שבת, 11 באוקטובר 2014

זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב


משפט הדיברגנס ומשפט קלווין-סטוקס מוכרים לכל סטודנט לפיזיקה בתואר ראשון, פשוט אי-אפשר בלעדיהם. ברשימה הקצרה הזו אציג שתי גרסאות נוספות וקצת פחות מוכרות של כל אחד מהמשפטים הללו, ומשלל הגרסאות אגזור זהויות אינטגרליות נוספות להנאתכם ולשימושכם.

יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי חלק בתוך התחום \(\Omega\in\mathbb{E}_{3}\), כמו גם על שפת התחום \(\partial\Omega\); באמרנו "שדה חלק" כוונתנו היא: נגזרותיו קיימות ורציפות. אלמנט נפח אינפיניטסימלי בתחום \(\Omega\) יסומן \(\mathrm{d}V\), ואלמנט שטח אינפיניטסימלי על \(\partial\Omega\) יסומן \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\). זה האחרון הוא וקטור שגודלו כגודל האריח האינפיניטסימלי תלוי-המקום \(\mathrm{d}S\) וכיוונו בניצב למשטח האריח. כנהוג, אינטגרציה על משטח ללא שפה (משטח קומפקטי) או על מסלול ללא קצה (לולאה סגורה) תסומל באמצעות סימן האינטגרל ומעגל קטן במרכזו,  \(\oint_{\partial\Sigma}\oint_{\partial\Omega}\).

ראשית, הבה ניזכר במשפט הדיברגנס:
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{X}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V\tag{1}\end{align}
ובמילים עבריות: השטף של שדה וקטורי חלק הבוקע מקליפת תחום נפחי כלשהו במרחב האאוקלידי שווה להצטברות השפיעה המקומית של השדה בתוך התחום. נכנה זאת "הגירסא הסקלרית" של משפט הדיברגנס (סקלרית, על שום מה?).

יהא \(\boldsymbol{a}\) שדה וקטורי קבוע ושרירותי, ויהא \(\phi\) שדה סקלרי "שמתנהג יפה" בתוך התחום \(\Omega\) ועל שפת התחום \(\partial\Omega\). באמרנו "מתנהג יפה" כוונתנו היא שהשדה חלק וחד ערכי. אזי, בהתבסס על הגירסא הסקלרית דלעיל של משפט הדיברגנס, ועל הזהות האופרטורית \(\nabla\cdot\!\left(\boldsymbol{v}\phi\right)=\nabla\phi\cdot\boldsymbol{v}+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{v}\right)\), נקבל:
\begin{align*}\boldsymbol{a}\cdot\left(\oint_{\partial\Omega}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{S}\right)&=\oint_{\partial\Omega}\left(\boldsymbol{a}\phi\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\\&\stackrel{\text{מש'} 1}{=}\int_{\Omega}\big[\nabla\cdot\!\left(\boldsymbol{a}\phi\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\int_{\Omega}\big[\nabla\phi\cdot\boldsymbol{a}+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{a}\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\;\boldsymbol{a}\cdot\int_{\Omega}\nabla\phi\,\mathrm{d}V,\end{align*}
זאת מאחר והדיוורגנס של \(\boldsymbol{a}\) מתאפס בהיותו שדה קבוע. ולבסוף, היות והשדה הקבוע \(\boldsymbol{a}\) הוא גם שרירותי, אנו נשארים עם הגרסא הוקטורית (וקטורית, על שום מה?) למשפט הדיברגנס:
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_{\Omega}\nabla\phi\,\mathrm{d}V.\tag{2}\end{align}

הלאה. יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי המתנהג יפה בתוך התחום המרחבי \(\Omega\) כמו גם על שפת התחום \(\partial\Omega\), ויהא \(\boldsymbol{a}\) שדה קבוע שרירותי כמקודם. אזי, בהתבסס על הציקליות של המכפלה המשולשת \(\boldsymbol{u}\cdot\left(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\right)=\boldsymbol{v}\cdot\left(\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{u}\right)=\boldsymbol{w}\cdot\left(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\right)\), ועל הפיתוח של הדיברגנס של מכפלה וקטורית \(\nabla\cdot\left(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\right)=\boldsymbol{w}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)-\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{w}\right)\), נקבל:
\begin{align*}\boldsymbol{a}\cdot\left(\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{X}\right)&=\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\left(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{a}\right)\\&\stackrel{\text{מש'} 1}{=}\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{a}\right)\mathrm{d}V\\&=\int_{\Omega}\big[\boldsymbol{a}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)-\boldsymbol{X}\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{a}\right)\big]\mathrm{d}V\\&=\;\boldsymbol{a}\cdot\left(\int_{\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V\right)\end{align*}
זאת מכיוון שהרוטור של \(\boldsymbol{a}\) מתאפס בהיותו שדה קבוע. הואיל והשדה הקבוע \(\boldsymbol{a}\) הוא גם שרירותי נקבל לבסוף את הניסוח האקסיאלי (אקסיאלי? מדוע אקסיאלי?) של משפט הדיברגנס,
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\boldsymbol{X}=\int_{\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}V.\tag{3}\end{align}

מעתה ואילך (וכמו תמיד) \(\boldsymbol{r}\) ייצג את וקטור המקום, והוא מצביע לעבר נקודות על שפת התחום או שפת המשטח. הציגו \(\phi:=1\) במשוואה \((2)\), \(\boldsymbol{X}:=\boldsymbol{r}\) במשוואה \((3)\), ו-\(\boldsymbol{X}=:\nabla\times\boldsymbol{Y}\) במשוואה \((1)\), וקבלו את שלוש הזהויות הבאות (הראשונה והשלישית הן לטעמי מאוד אינטואיטיביות),
\begin{align}\oint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv\boldsymbol{0}\tag{4}\\\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv\boldsymbol{0}\tag{5}\\\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{Y}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;&\equiv0\,.\tag{6}\\\end{align}

עתה נעבור למשפט קלווין-סטוקס. לתזכורת: יהא \(\boldsymbol{X}\) שדה וקטורי חלק המוגדר על משטח דו-מימדי כלשהו \(\Sigma\in\mathbb{E}_{3}\), כמו גם על המסילה הסגורה המגדירה את שפת המשטח, \(\partial\Sigma\). במקרה זה,
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{X}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\Sigma}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\tag{7}\end{align}
ובמילים עבריות: ההצטברות של שדה וקטורי חלק על גבי מסילה סגורה במרחב אאוקלידי שווה לשטף של הערבוליות המקומית של השדה דרך משטח (כלשהו) התחום על ידי המסילה.

נשתמש בציקליות של המכפלה המשולשת ונרשום את משפט קלווין-סטוקס באופן שיראה אולי "קצת עקום", אבל כפי שנווכח מייד גם מאוד מועיל:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{X}\;=\int_{\Sigma}\left(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\right)\cdot\boldsymbol{X}\tag{7a}\end{align}
היות ולא הגבלנו עצמנו לשדה ספציפי (היינו, \(\boldsymbol{X}\) שדה שרירותי ולגמרי כללי) נוכל להציג באופן פורמלי את הזהות האינטגרלית האופרטורית:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\;=\int_{\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\tag{8}\end{align}
שימו לב: יש חלל חסר באינטגראנד משמאל אותו יש למלא עם האובייקט עליו פועל האינטגראנד מימין, ורק אז יש לבצע אינטגרציה. זוהי כאמור זהות אופרטורית והיא חסרת משמעות כל עוד לא מפעילים אותה על "משהו". ובפרט, אם נפעיל אותה על השדה הסקלרי \(\phi\) נקבל את הגרסא השנייה של משפט קלווין-סטוקס
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\phi\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\phi\,.\tag{9}\end{align}
כעקרון לא חלה עלינו כל מגבלה להפעיל את הזהות האופרטורית \((8)\) גם באמצעות מכפלה וקטורית; אם-כן, נבצע זאת על השדה החלק \(\boldsymbol{Y}\) ונקבל גרסא שלישית:
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{Y}=\int_{\Sigma}\left(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\right)\times\boldsymbol{Y}\tag{10}\end{align}
שימו לב: אין כאן כל דמיון מבני לגרסא המקורית \((7)\) של משפט קלווין-סטוקס: המכפלה הווקטורית איננה אסוציאטיבית, הילכך באגף ימין יש קודם לחשב במפורש את האופרטור \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\times\nabla\), רק לאחר מכן להפעילו על השדה \(\boldsymbol{Y}\), ולבסוף לקחת את האינטגרל המשטחי.

הציגו עתה \(\phi=1\) במשוואה \((9)\), וכן \(\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}:=\boldsymbol{r}\) במשוואות \((7)\) ו- \((10)\), וקבלו עוד שתי זהויות חביבות (לפחות הראשונה מאוד אינטואיטבית לטעמי...), וגם אתגר קטן לעצמכם (תרגיל מס' 1 למטה):
\begin{align}\oint_{\partial\Sigma}\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;\equiv\boldsymbol{0}\tag{11}\\\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;\equiv{0}\tag{12}\\\frac{1}{2}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}&\;=S_{\Sigma}\tag{13}\end{align}

ולסיום: משפט הדיברגנס ומשפט קלווין-סטוקס הם שני מקרים פרטיים של אחד המשפטים היפים והכלליים (לטעמי ולעניות דעתי) בגיאומטריה דיפרנציאלית ובטופולוגיה אלגברית, המכונה משפט סטוקס. אבל זהו נושא מתקדם, עולם שלם בפני עצמו, ואולי אייחד לכך רשימה מיוחדת בעתיד.

תרגילים:
  1. כזכור, אנו ב-\(\mathbb{E}_{3}\). נסמן ב- \(S_{\Sigma}\) את שטחו של המשטח הפתוח (הלא בהכרח שטוח) \(\Sigma\), וב- \(V_{\Omega}\) את נפחו של התחום \(\Omega\). קבלו את שתי הנוסחאות האלגנטיות והכלליות: \begin{align}S_{\Sigma}&\;=\frac{1}{2}\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}\boldsymbol{r}\tag{14}\\V_{\Omega}&\;=\frac{1}{3}\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\tag{15}\end{align} רמז לנוסחת השטח: למה שווה \((\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\nabla)\,\boldsymbol{r}\)? אגב, שימו לב עד כמה הנוסחאות הכלליות הללו מעניינות: בשני המקרים אנו מחשבים "נפח" באמצעות אינטגרל על "השפה". כלומר המידע על הנפח (והשטח) יושב על השפה. אנו מכירים זאת מהמשפט הבסיסי של החשבון האינטגרלי: השטח מתחת לפונקציה מתקבל מחיסור ערכי הפונקציה הקדומה בנקודות הקצה. 
  2. חשבו באמצעות שתי נוסחאות אלו את נפחו של כדור ברדיוס \(R\), ואת שטחה של אליפסה שציריה הם \(a,b\), ואשר תיאורה הפרמטרי ניתן ע"י ההשמות \(x=a\cos\theta\), \(y=b\sin\theta\).
  3. קבלו את הזהות האינטגרלית, \begin{align}\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{X}\right)\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;+\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\times\boldsymbol{X}\right)\times\mathrm{d}\boldsymbol{S}\;=\oint_{\partial\Omega}\left(\nabla\boldsymbol{X}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\nonumber\\\phantom{a}\tag{16}\end{align}


יום ראשון, 17 באוגוסט 2014

על טבען של היחידות הטבעיות

כידוע, כמעט כל גודל פיזיקלי בא עם מהות פיזיקאלית כלשהי. אנו נוהגים לכנות את המהויות מהסוג הזה בשם 'מימדים' אבל כמובן אין לזה כל קשר למימדים הפורשים מרחב וקטורי או משהו בדומה. כך למשל, למיקום יש מימדים של אורך היות ואנו מודדים אותו כמרחק מראשית כלשהי. לזמן יש מימדים של... זמן ולאינרציה מימדים של מסה; למהירות יש מימדים של אורך חלקי זמן, לעבודה יש מימדים של כוח כפול אורך, למתקף כוח כפול זמן, וכיו"ב.

ישנם גדלים שאנו משייכים להם מימד משלהם אף שלכאורה אין בכך צורך היות וניתן לבטא אותם באמצעות מימדים שכבר קיימים. למשל על פי החוק השני של ניוטון לכוח יש מימדים של מסה כפול אורך חלקי זמן בריבוע... אבל יש פה קץ'. במסגרת הפיזיקה הגלילאנית לחוק השני של ניוטון יש תוקף של חוק יסוד המקשר באופן לגמרי לא טריוויאלי בין שני סקטורים שונים של המציאות: הסקטור הדינאמי (שקול הכוחות) והסקטור הקינמטי (מסה כפול תאוצה). חלק מהמשמעות של חוק היסוד הזה הוא הזהות הלא-מובנת-מאליה בין מימדים של כוח למימדים של מסה כפול אורך חלקי זמן בריבוע.

הצגת המימדים כשלעצמה עדיין אינה מספקת. את הסרגלים השונים יש כמובן לכייל ואנו עושים זאת באופן שרירותי לחלוטין! כך למשל על סרגל הזמן יש לצייר שנתות של זמן, על סרגל האורך שנתות של אורך, על סרגל הכוח שנתות של כוח וכיו"ב. למרווחים בין השנתות הללו אנו קוראים יחידות מדידה והבחירה בהן נתונה למשוגותינו וכאמור שרירותית. ואולם מרגע שבחרנו סט של יחידות מדידה עלינו לדבוק בו במהלך כל חשבון שנעשה, אחרת נהפוך ליצרנים מדופלמים של ג'בריש במקרה הטוב ולמרסקי מטוסים וממוטטי גשרים במקרה הפחות טוב.

מערכת יחידות שרירותית כזו היא ה- Système international d'unités, ובר"ת (SI), ובה בחר לעבוד כל עולם ההנדסה (חוץ מזה האמריקני). במערכת זו המרחק בין שנתות על סרגל האורך נתון במטרים, המרחק בין שנתות על סרגל הזמן נתון בשניות, המרחק בין שנתות על סרגל המסה בק"ג, הטמפרטורה במעלות קלווין, והזרם החשמלי באמפר. האמריקאים משום מה הלכו על רגליים אונקיות ומעלות פרנהייט... לכאורה בחירה מוזרה אבל למען האמת היא מוזרה בדיוק כמו המטר הק"ג והשנייה. הללו נקבעו כפי שנקבעו בנסיבות היסטוריות שונות ומשונות שאין להן כמעט דבר עם הטבע. מן הסתם, יש אינסוף אפשרויות לבחור יחידות מדידה ובסופו של יום כל הבחירות מוזרות באותה מידה.

כמה זה שנייה אחת? כמה זה מטר אחד? כמה שהחליטו! מעבר לכך, אין לזה כל משמעות. ועם זאת, הסכמה על יחידות מדידה היא הכרחית עד מאוד מבחינה פרקטית. דומה הדבר לעבודה עם מטבעות. הישראלים סוחרים בשקלים, האירופאים הגדירו לעצמם את האירו והאמריקנים עובדים על כולם בדולרים. אין כל בעיה לנהל כלכלה בכל אחת מהמטבעות הללו אבל אי אפשר לנהל כלכלה עם שני מטבעות, אלא אם מקפידים תמיד על המרה מתאימה. הוא הדין לגבי יחידות פיזיקליות: ערבוב בין שני סטים של יחידות מבלי לבצע המרה מתאימה מוביל לאבדן היכולת לתאר דברים כמותית ובאופן עקבי.

בניית מערכת יחידות "טבעיות" היא נסיון לעבוד במערכת יחידות הכי פחות שרירותית שיש, ובאופן כמעט לגמרי שרירותי (...) הוחלט שזו תהיה מערכת יחידות שבה ערכם הנומרי של גדלים מכוננים בטבע יהיה פשוט \(1\). שימו לב, בשלב זה אנו מדברים רק על ערך נומרי, לא על המימדיות. מי הם הגדלים המוכוננים הללו? מהירות האור \(c\), קבוע הכבידה של ניוטון \(G\), קבוע החשמליות של קולון \(K_{E}\), הקבוע של פלאנק \(\hbar\), וקבוע בולצמן \(K_{B}\). את המוסכמה הזו קבע לראשונה מקס פלאנק בשלהי המאה התשע-עשרה ועל כן קרויה הבחירה הזו על שמו. באותו אופן בדיוק יכול היה פלאנק לקבוע שחמשת הקבועים יכוילו ל-\(7\) או ל- \(1,2,3,4,5\) לפי הסדר, ואפילו ל- \(e,\pi,e\pi,e/\pi, e^{\pi}\)...

ובכל זאת המספר \(1\) עדיף בשל היותו "שקוף" תחת מכפלה: לא רואים אותו כשהוא מכפיל גודל מסויים. ובכן, בזה רב כוחו ובמידה מסויימת גם חולשתו, ועל כך מייד. ברגע שקבענו שגודלה של מהירות האור הוא \(1\), יצקנו בסיס למושגים כמו מרחק פלאנק \(\Delta{\ell}_{p}\) וזמן פלאנק \(\Delta{t}_{p}\). אלו הם בדיוק אותם אינטרוולים של מרחק ושל זמן (בהתאמה) שמנתם היא אחד: \(c=\Delta\ell_{p}/\Delta{t}_{p}=1\). באותה בחירה נוחה של יחידות גם \(K_{E}=1/4\pi\epsilon_{0}=1\) וזה אומר שהקבוע הדיאלקטרי של הריק - היינו טביעת האצבע החשמלית של הואקום - בהכרח מקבל את הערך הנומרי \(\epsilon_{0}=1/4\pi\). והואיל ו- \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}=1\) הרי שהחדירות של הריק - היינו טביעת האצבע המגנטית של הואקום - מקבלת את הערך הנומרי \(\mu_{0}=4\pi\).

אליה וקוץ בה. במקורם שני הקבועים האוניברסליים הללו אינם מספרים טהורים (כלומר חסרי מימדים) כפי שמישהו עלול לסבור בשגגה אלא גדלים הנושאים עימם מהות פיזיקלית, שאמנם עתה היא מוסווית מעיננו אבל בהחלט עדיין שם. דוגמא להמחשת ההסוואה מתקבלת ממשוואת מסה-תנע-אנרגיה לחלקיק יחסותי הניתנת ע"י \(E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\); בבחירה של פלאנק מקבלים קשר פשוט ונוח להפליא, \(E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\), ועם זאת עשוי להטעות: למסה תנע ואנרגיה מימדים שונים בניגוד לרושם המתקבל מהמשוואה.

הפיזיקאים של אנרגיות גבוהות מתגברים על הקושי הזה על-נקלה באמצעות טריק מלאכותי אותו ניתן אולי לכנות "האחדת מהויות", שמשמעותו זיהוי בין מימדים שונים. לדוגמא, אם נחליט "על דעת עצמנו" ששניה אחת שקולה לחלוטין ל- \(3\times10^{8}\) מטרים (בקירוב) נקבל עבור מהירות האור \(c=1\) כמספר טהור, חסר מימדים, וחסר יחידות. במקרה זה מספרת לנו המשוואה \(E^{2}=p^{2}+m_{0}^{2}\) שלמסה תנע ואנרגיה יש בדיוק את אותם מימדים... באופן דומה, אם נקבע ("על דעת עצמנו"...) את הקבוע של פלאנק \(\hbar=1\) להיות מספר טהור חסר מימדים וחסר יחידות, הרי שמהקשר \(E=\hbar\omega\) המתאר מנה בדידה של אנרגיה באינטראקציה שבין קרינה לחומר, נקבל שהמימד של אנרגיה מתלכד (גם) עם זה של אחד חלקי זמן, המתלכד מצידו עם אחד חלקי אורך.

פעמיים רשמתי למעלה "על דעת עצמנו" כמשקל נגד ל"דעת המקום" היות ולעולם התופעות יש בעניין הזה אמירה משלו; אחרי ככל הכל, זמן ומקום מסה תנע ואנרגיה הם מהויות פיזיקליות נפרדות גם אם ניתן להרכיב מהן בנקל "חיות" היברידיות דוגמת ארבע-וקטורים, טנזור-תנע-אנרגיה ועוד. הבחירה ביחידות פלאנק בתוספת האחדת מהויות שקולה לניסוח המשוואות הבסיסיות ללא הקבועים הפיזיקליים \(c,G,K_{E},\hbar,K_{B}\), שהרי עתה הם כולם המספר הטהור \(1\). את השנתות המתקבלות מהשילוב המנצח הזה מקובל לכנות בשם "יחידות טבעיות".** בפועל זה עשוי להקל מאוד על ניהול החשבונות, אבל בה-בעת עלול להוביל לבלבול וערפול כתוצאה מטשטוש הגבול הטבעי הקיים בין מהויות שונות. הבה נתבונן בדוגמא הבאה הלקוחה מהתורה האלקטרומגנטית;

כפי שנוכחנו לדעת, ביחידות טבעיות נוכל לרשום \(\mu_{0}=1/\epsilon_{0}=4\pi\) שהרי אם \(K_{E}\) הוא מספר טהור אז בהכרח \(\epsilon_{0}\) ו- \(\mu_{0}\) חסרי מימדים. במצב זה נוכל לאחד את שני קשרי האתר - \(\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\) ו- \(\mu_{0}\boldsymbol{\mathcal{H}}=\boldsymbol{B}\) - עם הזוג הראשון של משוואות מקסוול לכדי שתי משוואות "נקיות" עבור השדה האלקטרומגנטי:

\begin{aligned}\begin{array}{rcl}\left.\begin{array}{rcl}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=&\rho\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}+\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&=&\boldsymbol{j}\end{array}\;\right\}&\stackrel{\text{ביחידות  טבעיות}\atop{\displaystyle\downarrow}}{\Longrightarrow}&\left\{\;\begin{array}{rcl}\nabla\cdot\boldsymbol{E}&=&\rho^{\star}\\\nabla\times\boldsymbol{B}+\displaystyle\frac{\partial{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}}&=&\boldsymbol{j}^{\star}\end{array}\right.\end{array}\end{aligned}

היכן שהצגנו \(\rho^{\star}\equiv4\pi\rho\) ו- \(\boldsymbol{j}^{\star}\equiv4\pi\boldsymbol{j}\) - מעין הגדרה מחודשת של המקורות.

בדיקה קלה של הצמד הימני מראה כי לשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\) ולהשראה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) אותם מימדים של מטען ליחידת שטח, שהרי לזמן ולאורך יש עתה את אותה מימדיות. על פניו זה נראה נפלא, אבל לעניות דעתי לא כך: ביסודם, השדה החשמלי וההשראה המגנטית הם שתי מהויות השונות עד מאוד זו מזו; שונות מבחינה פיזיקלית כפי שאפשר להיווכח מאופי האינטראקציה שלהן עם מקורות (\(\boldsymbol{F}=\rho\boldsymbol{E}+\boldsymbol{j}\times\boldsymbol{B}\)), ושונות אפילו יותר מבחינת המבנה המתמטי המשמש לתאר אותן.*** העבודה ביחידות טבעיות מעמעמת את השוני החיוני הזה. 

ומנגד, אם ניוותר עם הסרגל של פלאנק אבל נוותר על הטריק של האחדת המהויות, הרי שהשדה החשמלי וההשראה המגנטית שוב לא יהיו בעלי אותה מימדיות. במקרה זה מתקבלת אשליה כאילו צמד המשוואות עצמו אינו קונסיסטנטי מבחינת יחידות (היווכחו בזאת בעצמכם)... אבל כאמור זו רק אשליה. הפקטור \(4\pi\) המופיע פעמיים בסקטור המקורות שבאגף ימין נושא עימו עתה יחידות, ועבור כל אחת משתי המשוואות - יחידות אחרות. זאת ועוד, הנגזרת הזמנית של השדה החשמלי במשוואה השנייה מכפלת ב- \(1/c^{2}=1\) וכשלוקחים כל זאת בחשבון אשלית אי-העקביות מתפוגגת.

שורה תחתונה: לא הייתי ממהר להיפתר מהקבועים הפיזיקליים. במקום זאת הייתי משתדל להטמיעם בדרגות החופש הדינמיות. למשל, בעבודה עם 4-וקטורים הייתי משתמש ב- \(x^{0}=ct\) עבור 4-וקטור המקום ועם \(p^{0}=E/c\) עבור 4-וקטור התנע, ובתוך כדי כך שומר על \(c\) כמות שהוא כדי להבחין בין זמן למקום, ובין תנע לאנרגיה, וכיו"ב. 

-----------------------------------------------------------
**לעיתים קרובות נהוג לזהות את היחידות הטבעיות עם "יחידות פלאנק". למען הבהירות בחרתי להפריד בין שלב כיול הסרגלים (אצלי: "יחידות פלאנק") לשלב האחדת המהויות, בעיקבותיו מתנדפים כל חמשת הקבועים \(c,G,K_{E},\hbar,K_{B}\)
***למביני דבר, השדה החשמלי במהותו מתואר נכון באמצעות חד-תבנית בעוד שההשראה המגנטית במהותה מתוארת נכון באמצעות דו-תבנית. על ההבדלים הללו ועל המשמעויות שלהם תוכלו לקרוא ברשימה המתקדמת יותר "התיאור השלם של התורה האלקטרומגנטית".





יום רביעי, 6 באוגוסט 2014

מבוא לכוחות משמרים

הרשימה הזו נכתבה בסגנון רב-שיח או משהו בדומה (כפי שזה עשוי להשמע בכיתה במהלך דיון ער) ואני באמת מקווה שזה לא ישמע לחלקכם צורם קמעא...

שאלה: מהו כוח משמר?

תשובה: יש כמה דרכים שקולות להגדיר כוח משמר, אני הייתי מעדיף להגדירו כשדה כוח אותו ניתן לרשום כגרדיאנט של שדה סקלרי, 
\begin{align}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)=-\nabla\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\end{align}
סימן המינוס הוא עניין של נוחות שיבוא לידי ביטוי במשפט עבודה-אנרגיה ובחוק שימור האנרגיה המכנית. לשדה הסקלרי \(\phi\) יש יחידות של אנרגיה (היווכחו בכך) ונהוג לכנותו "אנרגיה פוטנציאלית"; לכן כוח משמר הוא כוח המתקבל כמינוס הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית. ובפרט, במימד אחד כוח משמר הוא כוח הניתן לרישום כנגזרת של פונקציה, \(f=-\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}x\). דרך-אגב, אנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען מכונה פוטנציאל, אבל אנו לא נעשה שימוש במושג הזה כאן.

תמיהה: מה כל כך מיוחד בכוח אותו ניתן לרשום באופן זה? על מה כל הטרחה? ובפרט, האנרגיה הפוטנציאלית הניתנת באופן זה מוגדרת רק עד כדי קבוע...

מענה: לכוח המתקבל כגרדיאנט של פונקציה סקלרית יש שתי משמעויות מרחיקות לכת הקשורות זו בזו, שתיהן בעלות אופי גלובלי מובהק... ומה בנוגע לקבוע? אכן כן, אנרגיה פוטנציאלית מוגדרת תמיד ביחס למשטח יחוס כלשהו, חופשי לבחירתכם, \(\phi_{0}=\text{const.}\) (רואים שמדובר במשטח?). מי לא מכיר את הצורך לבחור מישור ייחוס בשאלות הנוגעות לאנרגיה פוטנציאלית כבידתית? ואולם הפרש האנרגיות הפוטנציאליות תמיד עומד בפני עצמו ואינו תלוי בבחירת משטח הייחוס...

הסתייגות: אופי גלובלי?... ההגדרה של כוח משמר כפי שהצגנו כאן היא לחלוטין לוקלית, מנוסחת נקודתית. כיצד אתה מגיע מהגדרה מקומית לטענות בעלות אופי גלובלי?

הסבר: שתי המשמעויות הנובעות ישירות ממהגדרה הן
  1. העבודה שמבצע כוח משמר לאורך מסילה אינה תלוייה בתוואי המסילה.
  2. העבודה שמבצע הכוח משמר לאורך מסילה סגורה בהכרח מתאפסת. 
ובלי ספק שתי הטענות הללו הן בעלות אופי לא מקומי... אגב, יש כאלו המעדיפים להגדיר כוח משמר ככוח המקיים את שתי הדרישות הללו (ולמעשה מספיקה הראשונה, היות והשנייה נובעת ממנה), ומכאן להסיק שהמבנה שלו הוא בהכרח זה הניתן במשוואה \(1\).

ולראָיה?

הנה: הבה נבחן את העבודה שמבצע כוח משמר בהעברת גוף מנקודה כלשהי \(\boldsymbol{r}_{1}\) לנקודה אחרת \(\boldsymbol{r}_{2}\). העבודה ניתנת ע"י האינטגרל הקוי של הכוח לאורך מסלול התנועה ולכן,

\begin{aligned}W&\;=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\stackrel{\text{מההגדרה}\atop\downarrow}{=}-\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\nabla\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\mathrm{d}\phi\\&\;=\;\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)-\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)\end{aligned}
כלומר יוצא שהעבודה מתקבלת כהפרש האנרגיות הפוטנציאליות: האנרגיה הפוטנציאלית בנקודת ההתחלה פחות האנרגיה הפוטנציאלית בנקודת הסיום, וזאת ללא כל קשר למסלול שהוליך אותנו בין שתי הנקודות. נדמה לי שבמתמטיקה קוראים לזה המשפט הבסיסי של החשבון האינטגרלי... מכל מקום, שימו לב שהעבודה אינה תלוייה בבחירת מישור היחוס של האנרגיה הפוטנציאלית.

רגע אחד...  המעבר מאינטגרציה לפי המקום על הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית לאינטגרציה על דיפרנציאל השלם של האנרגיה הפוטנציאלית לא לגמרי נהיר...

הסבר: זה קל מאוד... בקואורדינטות קרטזיות,
\begin{aligned}\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}\;\;&=\left(\frac{\partial\phi}{\partial{x}}\widehat{\boldsymbol{x}}+\frac{\partial\phi}{\partial{y}}\widehat{\boldsymbol{y}}+\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\cdot\left(\mathrm{d}x\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\mathrm{d}y\,\widehat{\boldsymbol{y}}+\mathrm{d}z\,\widehat{\boldsymbol{z}}\right)\\&=\frac{\partial\phi}{\partial{x}}\mathrm{d}x+\frac{\partial\phi}{\partial{y}}\mathrm{d}y+\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\mathrm{d}z\;=\;\mathrm{d}\phi\end{aligned}
בשיטות טנזוריות באנליזה וקטורית זה אפילו עוד יותר פשוט, \(\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\partial_{i}\phi\,\mathrm{d}x^{i}=\mathrm{d}\phi\). ממליץ לכם מאוד לסגל לעצמכם את הטכניקות האלו שמלבד היותן יפות, הן גם מאוד שימושיות...

יפה... ומה בנוגע לטענה השנייה?

תשובה: מרגע שהוכחנו הראשונה, השנייה מתקבלת באופן מיידי. על פני מסילה סגורה \(C\),
\begin{aligned}W=\oint_{C}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=-\oint_{C}\mathrm{d}\phi=0\end{aligned}
מאחר ולכל מסלול אינטגרציה, נקודת ההתחלה והסיום מתלכדות, בהנחה כמובן ש- \(\phi\) היא חד ערכית על המסילה.

שאלה: איפה אנו מוצאים בטבע כוחות משמרים?

תשובה: בכל מקום שבו הכוח בו מדובר הוא כוח מרכזי. דוגמאות מהפיזיקה הקלאסית: כוח קולון, חוק הכבידה של ניוטון... אלו הם כוחות המצביעים רדיאלית מהמטען המשרה אותם, תלויים אך ורק במרחק ממקור הכוח, ולכן כוחות מרכזיים. זאת ועוד, כל כוח שהמתקבל כסופרפוזיציה (או אינטגרל) של כוחות משמרים גם הוא משמר; טענה זו נובעת מתכונת הלינאריות שמקיים אופרטור הגרדיאנט:
\begin{aligned}\nabla\left(a_{1}\phi_{1}+a_{2}\phi_{2}+\cdots\right)= a_{1}\nabla\phi_{1}+a_{2}\nabla\phi_{2}+\cdots\end{aligned}

תמיהה: האם *כל* כוח מרכזי הוא בהכרח כוח משמר?

מענה: נראה שכן, וההוכחה לכך היא תרגיל קל באינפי; הביטוי הכללי ביותר עבור כוח מרכזי הוא מהצורה
\begin{aligned}\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)=f\left(r\right)\widehat{\boldsymbol{r}}=\frac{f\left(r\right)}{r}\,\boldsymbol{r}\end{aligned}
כלומר זהו כוח המצביע תמיד בכיוון הרדיאל (פנימה או החוצה) והוא לכל היותר תלוי במרחק מהראשית, היכן שיושב מקור הכוח והיכן שהכוח עצמו סינגולרי (האם נקודה זו מובנת?). האם \(\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)\) ניתן לרישום כגרדיאנט של פונקציה סקלרית? בהחלט כן. הבה ניווכח: ניעזר בהגדרה של אינטגרל לא מסויים ונרשום אותו באופן הבא:
\begin{aligned}\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{r}\right)&=-\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left[-\int^{r}_{r_{0}}f\left(r'\right)\mathrm{d}r'\right]\equiv-\nabla\phi\left(r\right)\end{aligned}
היכן שהגרדיאנט נתון בקואורדינטות כדוריות, ו- \(\phi\left(r\right)\) היא (מינוס) הפונקציה הקדומה של \(f\left(r\right)\).

לא לגמרי מובן...

תזכורת: בקואורדינטות כדוריות אופרטור הגרדיאנט ניתן ע"י
\begin{aligned}\nabla=\widehat{\boldsymbol{r}}\frac{\partial}{\partial{r}}+\widehat{\boldsymbol{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\widehat{\boldsymbol{\varphi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\end{aligned}
ואם נפעילו על פונקציה התלוייה אך ורק בקוארדינטה הרדיאלית \(r\) נישאר רק עם האיבר הראשון כפי שקורה במקרה של כוח מרכזי, כלומר \(\nabla\phi\left(r\right)=\widehat{\boldsymbol{r}}\left(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}r\right)\).

תובנה: לא פלא שכוח מרכזי הוא בהכרח משמר, היות ואין לו מרכיב עירבולי...

אמת. היות והרוטור של הגרדיאנט מתאפס באופן זהותי, לשדה כוח משמר אין ולא יכול להיות מרכיב עירבולי. לחליפין, אם לשדה כוח כלשהו יש מרכיב עירבולי הרי שהמרכיב הזה בהכרח אינו משמר, מאחר והאינטגרל המסלולי שלו ע"פ מסלול סגור אינו מתאפס. דרך פשוטה איפה לוודא שכוח נתון הוא אכן משמר היא לבדוק שמתקיים התנאי \(\nabla\times\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}\), הואיל ומשוואה זו נפתרת באופן לא טריוויאלי על ידי \(\boldsymbol{f}=-\nabla\phi\)  (סימן המינוס הוא רק עניין של מוסכמה).

אפשר בבקשה להראות שוב מניין הזהות \(\nabla\times\left(\nabla\phi\right)\equiv\boldsymbol{0}\) באה? ומנין באה גם הזהות האחות \(\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)=0\)?

בבקשה: בקאורדינטות קרטזיות זה ישיר אבל קצת ארוך ואני משאיר זאת לכם כתרגיל... כנספח. בשיטות טנזוריות זה עוד יותר ישיר וגם מיידי,
\begin{aligned}\left(\nabla\times\nabla\phi\right)_{i}&\:=\epsilon_{ijk}\partial_{j}\partial_{k}\phi\stackrel{{\text{בהכרח}\atop\text{(?למה)}}\atop\downarrow}{\equiv}0\\\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)&\:=\epsilon_{ijk}\partial_{i}\partial_{j}v_{k}\;\equiv\;0.\end{aligned}
המשמעות של הזהות הראשונה היא שגרדיאנט הוא בהכרח שדה קורן (ולכן נטול עירבוליות) והמשמעות של הזהות השנייה היא ששדה וקטורי עירבולי אינו קורן.

שאלה: הזכרת את משפט עבודה-אנרגיה ואת חוק שימור האנרגיה בהקשר של בחירת הסימן בהגדרה של כוח משמר. תוכל לבאר?

בודאי: כזכור, משפט עבודה אנרגיה מספר לנו שהעבודה הכוללת הנעשית ע"י סך כל הכוחות הפועלים על גוף שווה להפרש האנרגיות הקינטיות של הגוף. אם \(\boldsymbol{f}\) הוא השקול של כל הכוחות הללו אזי,

\begin{aligned}W&\;=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\boldsymbol{f}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{\boldsymbol{r}_{1}}^{\boldsymbol{r}_{2}}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\frac{1}{m}\int_{\boldsymbol{p}_{1}}^{\boldsymbol{p}_{2}}\boldsymbol{p}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{p}\\&\;=E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)-E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)\end{aligned}
(השלימו בעצמכם את המעברים הלא מפורשים). כפי שראינו קודם לכן, במקרה שמדובר על כוח משמר העבודה היא גם הפרש האנרגיות הפוטנציאליות עם סימן הפוך; מכאן מתקבלת המשוואה:
\begin{aligned}\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)-\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)=E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)-E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)\end{aligned}
כמובן, אם מדובר על עבודתם הסימולטנית של כמה כוחות משמרים פשוט החליפו בכל מקום \(\phi\to\phi_{1}+\phi_{2}+\cdots\). נעביר עתה אגפים ונקבל את חוק שימור האנרגיה המכנית (קינטית + פוטנציאלית):
\begin{aligned}\underbrace{\phi\left(\boldsymbol{r}_{1}\right)+E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{1}\right)}_{\text{האנרגיה המכנית}\atop\text{בתחילת התהליך}}=\underbrace{\phi\left(\boldsymbol{r}_{2}\right)+E_{k}\left(\boldsymbol{p}_{2}\right)}_{\text{האנרגיה המכנית}\atop\text{בסוף התהליך}}\end{aligned}
מכאן קל גם להבין מדוע בחרנו בסימן המינוס עבור ההגדרה של כוח משמר... שימו לב שחוק שימור האנרגיה המכנית אינו תלוי בבחירת משטח היחוס לאנרגיה הפוטנציאלית וגם לא במערכת היחוס ממנה נמדדת האנרגיה הקינטית.


תוספת מאוחרת: בכל זאת, לטובת אלו שלא מורגלים בשיטות טנזוריות באנליזה וקטורית, הנה הפיתוח של שתי הזהויות המפורסמות \(\text{curl}\,\text{grad}\equiv\boldsymbol{0}\) ו- \(\text{div}\,\text{curl}\equiv0\).

יהא \(\phi\left(x,y,z\right)\) שדה סקלרי חלק, ויהיה \(\boldsymbol{v}\left(x,y,z\right)\) שדה וקטורי חלק. אזי, מהקומוטטיביות של הנגזרות החלקיות,

\begin{aligned}&\nabla\times\left(\nabla\phi\right)\;=\begin{vmatrix}\widehat{\boldsymbol{x}}&\widehat{\boldsymbol{y}}&\widehat{\boldsymbol{z}}\\\frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\\frac{\partial\phi}{\partial{x}}&\frac{\partial\phi}{\partial{y}}&\frac{\partial\phi}{\partial{z}}\end{vmatrix}\;=\\\;=\;\;&\widehat{\boldsymbol{x}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{z}\partial{y}}\right)+\widehat{\boldsymbol{y}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{x}\partial{z}}\right)+\widehat{\boldsymbol{z}}\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^{2}\phi}{\partial{y}\partial{x}}\right)\;\equiv\;\,\boldsymbol{0}\,,\end{aligned}
\begin{aligned}&\nabla\cdot\left(\nabla\times\boldsymbol{v}\right)\;=\\=&\;\frac{\partial}{\partial{x}}\left(\frac{\partial{v}_{z}}{\partial{y}}-\frac{\partial{v}_{y}}{\partial{z}}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\frac{\partial{v}_{x}}{\partial{z}}-\frac{\partial{v}_{z}}{\partial{x}}\right)+\frac{\partial}{\partial{z}}\left(\frac{\partial{v}_{y}}{\partial{x}}-\frac{\partial{v}_{x}}{\partial{y}}\right)\\=&\;\frac{\partial^{2}v_{z}}{\partial{x}\partial{y}}-\frac{\partial^{2}v_{y}}{\partial{x}\partial{z}}+\frac{\partial^{2}v_{x}}{\partial{y}\partial{z}}-\frac{\partial^{2}v_{z}}{\partial{y}\partial{x}}+\frac{\partial^{2}v_{y}}{\partial{z}\partial{x}}-\frac{\partial^{2}v_{x}}{\partial{z}\partial{y}}\;\equiv\;0\,.\end{aligned}
שימו לב שאלו הן זהויות (זהות וקטורית וזהות סקלארית, בהתאמה) במובן זה שהשוויונים אינם תלויים כלל בשדות \(\phi\) ו-\(\boldsymbol{v}\). 






יום ראשון, 27 ביולי 2014

ההצגות של (gl(n,R במרחב פוק

ברשימה זו אבנה את ההצגות במרחב פוק של \(m^{2}\) יוצרי חבורת הטרנספורמציות הלינאריות הכלליות מעל הממשיים, הפועלת במרחב מטרי ממימד \(m\) (הוא מרחב ההצגה) עם המטריקה
 \begin{aligned}\eta=\text{diag}\big(\underbrace{\underbrace{+,+,\cdots,+}_{p\text{ time-like}},\underbrace{-,-,\cdots,-}_{q\text{ space-like}}}_{p+q=m}\big)\end{aligned}
הטיפול אמנם כללי מאוד אבל המוטיבציה פיזיקלית: מכאן אפשר יהיה לשלוף על-נקלה את ההצגות במרחב פוק של היוצרים של סימטריות מרחב-זמן במרחב מינקובסקי (כלומר טרנספורמציות לורנץ, גזירות ודילטציה), אבל הטיפול הזה יחכה לרשימה הבאה בנושא.

הערות: הנושא הזה קצת מתקדם, הטקסט די טכני ובפרט אינו מומלץ לקריאה למי שאלרגי לאינדקסים או לחשבונות במרחבי פוק. זהו אחד הרעיונות שהגיתי בזמן היותי תלמיד-מחקר, ככל הידוע לי הוא מקורי***, אבל אף פעם לא מצאתי לנכון לשבצו בתזה מפאת שוליותו היחסית וחוסר שייכותו לסיפור המרכזי.

חלק ראשון: האלגברה של החבורה הלינארית הכללית.

לחבורה של הטרנספורמציות הלינאריות הכלליות במרחב וקטורי מעל הממשיים, המסומנת \(GL\left(m,\mathbb{R}\right)\), משוייכת אלגברת-לי מתאימה אותה מסמנים כ- \(\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\), והיא מכילה \(m^{2}\) יוצרים
\begin{aligned}\left\{C_{\alpha}^{\beta}\right\}\in\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right),\quad\alpha,\beta=1,2,\ldots,m\end{aligned}
הללו פורשים מרחב וקטורי ממימד \(m^{2}\) המכונה מרחב החבורה והוא מאכלס וקטורים מהצורה \(\boldsymbol{\omega}=\omega^{\alpha}_{\beta}C^{\beta}_{\alpha}\) (כמקובל בטקסטים מסוג זה אנו נעשה שימוש בהסכם הסומציה). האלגברה סגורה כמובן תחת יחסי חילוף, \([\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\omega}']\in\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\) ואברי החבורה ניתנים ע"י
\begin{aligned}L\left(\boldsymbol{\omega}\right)=e^{i\boldsymbol{\omega}}.\end{aligned}
בכדי להבטיח שבסופו של יום נקבל טרנספורמציות ממשיות, על האומגות כולן לקיים \(\boldsymbol{\omega}^{\star}=-\boldsymbol{\omega}\); לכן, אם נדרוש שווקטור הקואורדינטות \(\omega^{\alpha}_{\beta}\) יהיה ממשי, אזי לכל זוג אינדקסים \(\left(\alpha,\beta\right)\) ולכל יוצר באלגברה מתקיים  \((C_{\alpha}^{\beta})^{\star}=-C_{\alpha}^{\beta}\).

ההצגה הפשוטה ביותר של יוצרי החבורה שכל בר-דעת יכול להעלות על דעתו (המקיימת את הדרישה דלעיל) היא זו של \(m^{2}\) המטריצות מסדר \(m\times{m}\), כל אחת ואחת מהן מכילה \(m^{2}-1\) כניסות מאופסות ואת המספר המדומה \(i\) בכניסה ה-\(\left(\alpha,\beta\right)\), כלומר בהצגה זו
\begin{aligned}(C^{\alpha}_{\beta})^{\gamma}_{\delta}=i\,\delta^{\alpha}_{\delta}\delta^{\gamma}_{\beta}\end{aligned}
למעשה, הצגה זו מגדירה את הבסיס הסטנדרטי במרחב החבורה ובהקשר של חבורות-לי הוא מכונה גם בסיס Weyl-Cartan. שימו לב שהיוצרים לא מקיימים כל סימטריה בניהם, ובפרט \(C^{\alpha}_{\beta}\neq\pm{C}^{\beta}_{\alpha}\). בבניה זו שיבצנו את \(m^{2}\) היוצרים בתבנית ריבועית מסדר \(m\times{m}\) על מנת להשמישה לטיפול אנליטי במרחב ההצגה, שהוא כאמור מרחב מטרי לכל דבר ועניין.

הואיל ומדובר במרחב וקטורי הטעון במטריקה, אינדקסים מורידים ומעלים באמצעות הטנזור המטרי \(\eta_{\alpha\beta}\) (או ההופכי שלו). רישום נוקדני היה מחייב אותנו להשתמש באינדקסים מתוייגים, למשל ב-\(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{k}=1,2,\ldots,m\) היכן שהתג הצמוד לכל אינדקס מסמן את מיקומו הסידורי של האינדקס על גבי הרכיב הטנזורי אליו הוא צמוד.

לדוגמא, בגישה הנוקדנית היה הטנזור המטרי נרשם כ- \(\eta_{\alpha_{1}\alpha_{2}}\) ואילו הצגת האלגברה בבסיס הסטנדרטי היתה נרשמת כ- \((C^{\alpha_{1}}_{\alpha_{2}})^{\alpha_{3}}_{\alpha_{4}}=i\,\delta^{\alpha_{1}}_{\alpha_{4}}\delta^{\alpha_{3}}_{\alpha_{2}}\). אלא שרישום זה היה הופך את הטקסט המתמטי למסובך לקריאה ולכן במקום לתייגם בחרתי (כמקובל) לתת לאינדקסים השונים שמות שונים. בחירה זו מחייבת אותנו להיזהר שבעתיים במיקומים בזמן העלאה והורדה;

בואו נערוך תרגיל קצרצר בהעלאה והורדה של האינדקסים הצמודים ליוצרים כדי לראות כיצד זה עובד: נסדרם משמאל לימין ומלמעלה למטה בסדר עולה (בחירה שרירותית) ונקבל,
\begin{aligned}(C^{\alpha\lambda})_{\sigma\delta}=\eta^{\beta\lambda}\eta_{\gamma\sigma}(C^{\alpha}_{\beta})^{\gamma}_{\delta}=i\,\eta^{\beta\lambda}\eta_{\gamma\sigma}\delta^{\alpha}_{\delta}\delta^{\gamma}_{\beta}=i\,\delta^{\alpha}_{\delta}\delta^{\lambda}_{\sigma}=(C^{\alpha}_{\sigma})^{\lambda}_{\delta}\end{aligned} כלומר בנינו התאמה חד-חד ועל בין המרכיב ה-\(\sigma\delta\) של היוצר ה-\(\alpha\lambda\) ברישום החדש (בו רק מרכיבים קונטרא-ווריאנטים במרחב החבורה ורק מרכיבים קו-ווריאנטים במרחב ההצגה) למרכיב ה-\(\lambda\delta\) של היוצר ה- \(\alpha\sigma\) ברישום הישן (עם מרכיבים מעורבים בכל אחד מהמרחבים). שימו לב שבטנזור המטרי אין משמעות לסידור האינדקסים היות ו- \(\eta_{\alpha\beta}=\eta_{\beta\alpha}\).

ובפרט, ברצוננו נוכל לרשום \(\omega^{\alpha}_{\beta}C^{\beta}_{\alpha}=\eta^{\alpha\gamma}\omega_{\gamma\beta}C^{\beta\delta}\eta_{\delta\alpha}=\omega_{\gamma\beta}C^{\beta\delta}\delta^{\gamma}_{\delta}=\omega_{\gamma\beta}C^{\beta\gamma}\). תצורה זו קצת יותר מקובלת היות וכאן קל יותר להבחין בין אינדקסים במרחב החבורה לאינדקסים במרחב ההצגה:
\begin{aligned}L^{\gamma}_{\delta}\left(\boldsymbol{\omega}\right)=[e^{(i\,\omega_{\alpha\beta}\,C^{\beta\alpha})}]^{\,\gamma}_{\,\delta}\end{aligned}
הערת-אגב: אם באגד משיקי חפצנו אז \(\omega_{\alpha\beta}=\omega_{\alpha\beta}\left(x\right)\) באשר \(x\) נקודה על יריעת הבסיס, ובמקרה זה אברי החבורה פועלים באופן מקומי, היינו \(L\left(x\right)=e^{i\boldsymbol{\omega}\left(x\right)}\); הואיל ודיוננו נסוב סביב האלגברה, אין זה משנה אם בטרנספורמציות גלובליות חפצנו או לוקליות ומבחינתנו אפשר להתייחס ל- \(\boldsymbol{\omega}\) כגודל קבוע.

מהו יחס החילוף המאפיין את האלגברה \(\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\) ומהם קבועי המבנה שלה? ובכן, קל מאוד - כמעט טריויאלי - לברר זאת כל עוד אנו עובדים בבסיס הסטנדרטי. הבה נראה; כל שמוטל עלינו הוא להקפיד לכל אורך חשבוננו הקצרצר ש- \(\gamma\) ו- \(\lambda\) יציינו אינדקסים במרחב ההצגה ונקבל:

\begin{aligned}&(C^{\alpha}_{\beta})^{\gamma}_{\delta}(C^{\mu}_{\nu})^{\delta}_{\lambda}-(C^{\mu}_{\nu})^{\gamma}_{\delta}(C^{\alpha}_{\beta})^{\delta}_{\lambda}\;=\;-\,\delta^{\alpha}_{\delta}\delta^{\gamma}_{\beta}\delta^{\mu}_{\lambda}\delta^{\delta}_{\nu}+\delta^{\mu}_{\delta}\delta^{\gamma}_{\nu}\delta^{\alpha}_{\lambda}\delta^{\delta}_{\beta}\\&\quad\qquad\;=\;-\,\delta^{\alpha}_{\nu}\delta^{\gamma}_{\beta}\delta^{\mu}_{\lambda}+\delta^{\mu}_{\beta}\delta^{\gamma}_{\nu}\delta^{\alpha}_{\lambda}\;=\;i\,\delta^{\alpha}_{\nu}(C^{\mu}_{\beta})^{\gamma}_{\lambda}-i\,\delta^{\mu}_{\beta}(C^{\alpha}_{\nu})^{\gamma}_{\lambda}\\&\quad\qquad\;=\;i\left(\delta^{\alpha}_{\nu}\delta^{\mu}_{\varphi}\delta_{\beta}^{\vartheta}-\delta^{\mu}_{\beta}\delta_{\varphi}^{\alpha}\delta^{\vartheta}_{\nu}\right)(C^{\varphi}_{\vartheta})_{\lambda}^{\gamma}\end{aligned}

בכתיב מטריצי (או מנקודת מבט אלגברית טהורה) קיבלנו את יחס החילוף

\begin{aligned}\left[C^{\alpha}_{\beta},C^{\mu}_{\nu}\right]=\underbrace{i\left(\delta^{\alpha}_{\nu}\delta^{\mu}_{\varphi}\delta_{\beta}^{\vartheta}-\delta^{\mu}_{\beta}\delta_{\varphi}^{\alpha}\delta^{\vartheta}_{\nu}\right)}_{\displaystyle{\equiv\underbrace{f^{\alpha\mu\vartheta}_{\beta\nu\varphi}}_{{\text{קבועי המבנה}\atop\text{של החבורה}}}}}C^{\varphi}_{\vartheta}\end{aligned}

ברצוננו, נוכל עתה להעלות את הרכיבים הקווריאנטים של היוצרים באמצעות (ההופכי של) הטנזור המטרי שרכיביו הם \(\eta^{\alpha\beta}\) ולקבל
\begin{aligned}\left[C^{\alpha\beta},C^{\mu\nu}\right]={f^{\alpha\beta\mu\nu}}_{\vartheta\varphi}C^{\varphi\vartheta}\end{aligned}
עם קבועי מבנה טיפ-טיפה שונים המקודדים עתה את המבנה המטרי של מרחב ההצגה באופן מובנה:
\begin{aligned}{f^{\alpha\beta\mu\nu}}_{\vartheta\varphi}&=\eta^{\beta\kappa}\eta^{\nu\sigma}\eta_{\vartheta\lambda}f^{\alpha\mu\lambda}_{\kappa\sigma\varphi}\\&=i\,\eta^{\beta\kappa}\eta^{\nu\sigma}\eta_{\vartheta\lambda}\left(\delta^{\alpha}_{\sigma}\delta^{\mu}_{\varphi}\delta^{\lambda}_{\kappa}-\delta^{\mu}_{\kappa}\delta^{\alpha}_{\varphi}\delta^{\lambda}_{\sigma}\right)\\&=i\left(\eta^{\beta\kappa}\eta^{\nu\alpha}\eta_{\vartheta\kappa}\delta^{\mu}_{\varphi}-\eta^{\beta\mu}\eta^{\nu\sigma}\eta_{\vartheta\sigma}\delta^{\alpha}_{\varphi}\right)\\&=i\left(\eta^{\nu\alpha}\delta^{\beta}_{\vartheta}\delta^{\mu}_{\varphi}-\eta^{\beta\mu}\delta^{\nu}_{\vartheta}\delta^{\alpha}_{\varphi}\right).\end{aligned}

תרגיל: חשבו במפורש את \(\boldsymbol{\omega}'=e^{i\boldsymbol{\omega}}\boldsymbol{\omega}e^{-i\boldsymbol{\omega}}\) עבור טרנספורמציות אינפיניטסמליות.

חלק שני: ההצגה של היוצרים במרחב פוק:

אנו הולכים לבצע עתה התאמה לא שגרתית... זיכרו שוב שאנו עובדים במרחב מטרי עם הסיגנטורה \(\left(p,q\right)\):
\begin{aligned}\eta=\text{diag}\big(\underbrace{\underbrace{+,+,\cdots,+}_{\text{קואורדינטות}\;p\atop\text{דמויות זמן}},\underbrace{-,-,\cdots,-}_{\text{קואורדינטות}\;q\atop\text{דמויות מרחב}}}_{p+q=m}\big)\end{aligned}
למשל, עבור מרחב מינקובסקי \(\eta=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)\). לכל קורדינטה במרחב המטרי (בין אם היא דמויית זמן ובין אם דמויית מרחב) נשייך אוסצילטור הרמוני הבא עם צמד אופרטורי יצירה והשמדה. שימו לב שאופרטורי יצירה והשמדה של אוסצילטורים שונים (המשוייכים לקואורדינטות שונות) מתחלפים זה עם זה.

הבה נתמקד לרגע בתת-המרחב דמוי הזמן. נסמן את צמדי האופרטורים המשוייכים ל-\(p\) האוסצילטורים השונים באמצעות האינדקסים \(\alpha,\beta=1,\ldots,p\), ונקבל את יחס החילוף
\begin{aligned}\left[a_{\alpha},a^{\dagger}_{\beta}\right]=\delta_{\alpha\beta}\end{aligned}
באשר \(a^{\dagger}\) מציין אופרטור יצירה, ו-\(a\) אופרטור השמדה (פה ושם אשמיט האינדקסים הצמודים לאופרטורים לצרכי בהירות הקריאה). בכל אחד ממרחבי הילברט של הצמדים הללו, ובבסיס בו אופרטור המספר \(N=a^{\dagger}a\) מתלכסן, מתקבלים אלמנטי המטריצה
\begin{aligned}a_{jk}&\;=\left<j\right|a\left|k\right>=\sqrt{k}\left<j\right|\left.k-1\right>=\sqrt{k}\:\delta_{j,k-1}\\a^{\dagger}_{jk}&\;=\left<j\right|a^{\dagger}\left|k\right>=\sqrt{k+1}\left<j\right|\left.k+1\right>=\sqrt{k+1}\:\delta_{j,k+1}\\N_{jk}&\;=\left<j\right|a^{\dagger}a\left|k\right>=\sqrt{k}\left<j\right|a^{\dagger}\left|k-1\right>=\sqrt{k}\sqrt{k}\left<j\right|\left.k\right>=k\:\delta_{jk}\end{aligned}  
עתה נתמקד בתת-המרחב המשלים: כל אוסצילטור המשוייך לקואורדינטה דמויית-מרחב בא עם צמד אופרטורי יצירה והשמדה סטנדרטים, אלא שהפעם נסמלם בסימול "הפוך": \(a\) עבור אופרטור יצירה ו- \(a^{\dagger}\) עבור אופרטור השמדה. בסימול זה, לכל צמד אינדקסים \(\alpha,\beta=p+1,\ldots,m\), מתקיים עתה
\begin{aligned}\left[a_{\alpha},a^{\dagger}_{\beta}\right]=-\delta_{\alpha\beta}\end{aligned}
שימו לב שאין פה שום דבר מיוחד פרט לצורת רישום הפוכה מהמקובל: האופרטורים בסקטור דמוי המרחב הם בסך הכל הצימוד ההרמיטי של אופרטורי יצירה והשמדה סטנדרטים של אוסצילטור הרמוני. הילכך, אלמנטי המטריצה בסקטור הזה ניתנים ע"י
\begin{aligned}a_{jk}&\;=\left<j\right|a\left|k\right>=\sqrt{k+1}\left<j\right|\left.k+1\right>=\sqrt{k+1}\:\delta_{j,k+1}\\a^{\dagger}_{jk}&\;=\left<j\right|a^{\dagger}\left|k\right>=\sqrt{k}\left<j\right|\left.k-1\right>=\sqrt{k}\:\delta_{j,k-1}\\N_{jk}&\;=\left<j\right|a^{\dagger}a\left|k\right>=\sqrt{k+1}\left<j\right|a^{\dagger}\left|k+1\right>\\&\;=\;\sqrt{k+1}\sqrt{k+1}\left<j\right|\left.k\right>=\left(k+1\right)\delta_{jk}\end{aligned}  
שימו לב עתה לדבר החביב הבא: את יחסי החילוף בין *כל* אופרטורי היצירה וההשמדה נוכל לסכם במשוואה אחת ויחידה:
\begin{aligned}\left[a_{\alpha},a^{\dagger}_{\beta}\right]=\eta_{\alpha\beta}\,,\quad\alpha,\beta=1,\ldots,m\end{aligned}
כלאמר ה-C-number שבאגף ימין מתקבל מאלמנטי המטריציה של הטנזור המטרי, לא מהדלתא של קרוניקר. שימו לב שיחס החילוף דווקא סימטרי תחת החלפת האינדקסים \(\alpha\leftrightarrow\beta\); האנטי-סימטריה של יחס החילוף היא ביחס להחלפת מיקומי האופרטורים, לא מיקומי האינדקסים.

כל אוסצילטור הרמוני המתוייג באמצעות התג \(\alpha=1,\ldots,m\) מתואר באמצעות מרחב הילברט \(\mathcal{H}_{\alpha}\) הנפרש ע"י אוסף המצבים האפשריים בהם הוא יכול להימצא. ובפרט, הבסיס בו מלוכסן אופרטור המספר של אותו אסצילטור נפרש ע"י אוסף המצבים \(\left\{\left|n_{\alpha}\right>\right\}\) היכן ש- \(n_{\alpha}\in\mathbb{N}\). אסופת האוסצילטורים כולה מתוארת באמצעות מרחב המכפלה של כל מרחבי הילברט הללו,
\begin{aligned}\mathcal{F}_{m}=\mathcal{H}_{1}\times\mathcal{H}_{2}\times\cdots\times\mathcal{H}_{m}\end{aligned}
מרחב מכפלה זה הוא מקרה פרטי של מרחב פוק, ובבסיס בו מלוכסנים כל אופרטורי המספר של האוסצילטורים הבודדים, הוא נפרש על ידי ``\(\mathbb{N}^{m}\)`` המצבים
\begin{aligned}\left|n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\right>&=\left|n_{1}\right>\otimes\left|n_{2}\right>\otimes\cdots\otimes\left|n_{m}\right>\end{aligned}
באשר \(n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\in\mathbb{N}\). כאמור, כל כיוון במרחב המכפלה הנ"ל הוא מרחב הילברט בפני עצמו הנפרש ע"י המצבים העצמיים של אופרטור המספר של האוסצילטור המשוייך אליו. מצבים אלו הם כידוע גם ניצבים זה לזה וגם מנורמלים, כלומר מקיימים \(\left<n_{\alpha}|\,n_{\alpha}'\right>=\delta_{n_{\alpha}n_{\alpha}'}\), ולכן המצבים הפורשים את מרחב המכפלה כולו גם הם אורתונורמליים:
\begin{aligned}\left<n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\left.\right|n_{1}',n_{2}',\ldots,n_{m}'\right>=\delta_{n_{1}n_{1}'}\delta_{n_{2}n_{2}'}\cdots\delta_{n_{m}n_{m}'}\end{aligned}

הלאה. הבה נציג \(m^{2}\) אופרטורים היברידים מהצורה 
\begin{aligned}N_{\alpha\beta}=-i\,a_{\alpha}^{\dagger}a_{\beta}\end{aligned}
הללו מקיימים את התכונה \(N_{\alpha\beta}^{\dagger}=-N_{\beta\alpha}\) ובפרט, \(N_{\alpha\alpha}^{\dagger}=-N_{\alpha\alpha}\) כלומר אלו היושבים "על האלכסון" הם אנטי-הרמיטיים. עבור \(p\) האוסצילטורים המשוייכים לקואורדינטות דמויות-זמן, כל אופרטור \(N_{\alpha\alpha}\) הוא \(-i\) כפול אופרטור המספר המתאים. עבור \(q=m-p\) האוסצילטורים המשוייכים לקואורדינטות דמויות-מרחב, האופרטור \(N_{\alpha\alpha}\) הוא \(-i\) כפול אופרטור המספר ועוד אחת (למה?); לכן, הואיל והערכים העצמיים של אופרטורי המספר הם המספרים הטבעיים,
\begin{aligned}N_{\alpha\alpha}\left|n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\right>=\left\{\begin{array}{rcl}-i\,n_{\alpha}\left|n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\right>&&1\leq\alpha\leq{p}\\-i\left(n_{\alpha}+1\right)\left|n_{1},n_{2},\ldots,n_{m}\right>&&p<\alpha\leq{m}\end{array}\right.\end{aligned}
באשר \(n_{\alpha}\in\mathbb{N}\) לכל \(\alpha\). מן הסתם, עבור \(\alpha\neq\beta\) האופרטורים \(N_{\alpha\beta}\) אינם מלוכסנים ומיד נגיע גם לזה.

שאלה מתבקשת עתה היא מהם יחסי החילוף בין כל \(m^{2}\) האופרטורים ההיברידים הללו? ובכן, זאת קל עד מאוד לחשב:
\begin{aligned}\left[N_{\alpha\beta},N_{\mu\nu}\right]&=-\left[a^{\dagger}_{\alpha}a_{\beta},a^{\dagger}_{\mu}a_{\nu}\right]\\&=-a^{\dagger}_{\alpha}\left[a_{\beta},a^{\dagger}_{\mu}\right]a_{\nu}-a^{\dagger}_{\mu}\left[a^{\dagger}_{\alpha},a_{\nu}\right]a_{\beta}\\&=-i\eta_{\beta\mu}N_{\alpha\nu}+i\eta_{\alpha\nu}N_{\mu\beta}\\&=i\left(\eta_{\alpha\nu}\delta^{\varphi}_{\mu}\delta^{\vartheta}_{\beta}-\eta_{\beta\mu}\delta^{\varphi}_{\alpha}\delta_{\nu}^{\vartheta}\right)N_{\varphi\vartheta}\end{aligned}

טוב, עתה כבר כל בר-דעת רואה בעיניים לאן העניינים מתכנסים... קיבלנו אם כן שסט האופרטורים \(\left\{N_{\alpha\beta}\right\}\) מקיים את יחסי החילוף
\begin{aligned}\left[N_{\alpha\beta},N_{\mu\nu}\right]=f_{\alpha\beta\mu\nu}^{\phantom{\alpha\beta\mu\nu}\vartheta\varphi}N_{\varphi\vartheta}\end{aligned}
בדיוק עם אותם קבועי המבנה של האלגברה \(\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\); במילים אחרות, מצאנו ייצוג של האלגברה \(\mathfrak{gl}\left(m,\mathbb{R}\right)\) במרחב המכפלה \(\mathcal{F}_{m}\) וזה באמת דבר נפלא היות ונפתחה בפנינו דרך ליצג מפורשות את הטרנספורמציות הללו בפועלן על משתנים דינמיים שיש להם ייצוג במרחב פוק, למשל על מדידים במכניקה הקוונטית הנושאים אינדקסים של מרחב-זמן.

מנקודה זו בניית אלמנטי המטריצה של היוצרים בבסיס בו אופרטורי המספר מלוכסנים היא כבר עניין טכני ואני לגמרי לא בטוח שהאופן בו אציג זאת כאן הוא האלגנטי ביותר אבל זה מה שעולה לי בראש. אני איעזר בפונקצית המדרגה המוכרת, המוגדרת דרך
\begin{aligned}\Theta\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rcl}0&&x<0\\1&&x>0\end{array}\right.\end{aligned}
אזי, אלמנטי המטריצה יתקבלו כך (אם החשבון לא לגמרי נכנס אצלכם ברוחב העמוד, אתם מוזמנים להשלים את החסר בעצמכם\(\ldots\)).
\begin{aligned}&\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|N_{\alpha\beta}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}',\ldots,n_{\beta}',\ldots,n_{m}'\big>=\\&=\,-i\,\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|a^{\dagger}_{\alpha}a_{\beta}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}',\ldots,n_{\beta}',\ldots,n_{m}'\big>\\&=\,-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\sqrt{n_{\beta}'}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|a^{\dagger}_{\alpha}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}',\ldots,n_{\beta}'-1,\ldots,n_{m}'\big>\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\sqrt{n_{\beta}'+1}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|a^{\dagger}_{\alpha}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}',\ldots,n_{\beta}'+1,\ldots,n_{m}'\big>\\&=\,-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\Theta\left(p-\alpha\right)\sqrt{n_{\beta}'(n_{\alpha}'+1)}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}'+1,\ldots,n_{\beta}'-1,\ldots,n_{m}'\big>\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\Theta\left(\alpha-p\right)\sqrt{n_{\beta}'n_{\alpha}'}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}'-1,\ldots,n_{\beta}'-1,\ldots,n_{m}'\big>\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\Theta\left(p-\alpha\right)\sqrt{(n_{\beta}'+1)(n_{\alpha}'+1)}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}'+1,\ldots,n_{\beta}'+1,\ldots,n_{m}'\big>\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\Theta\left(\alpha-p\right)\sqrt{(n_{\beta}'+1)\,n_{\alpha}'}\big<n_{1},\ldots,n_{\alpha},\ldots,n_{\beta},\ldots,n_{m}\big|n_{1}',\ldots,n_{\alpha}'-1,\ldots,n_{\beta}'+1,\ldots,n_{m}'\big>\\&=\,-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\Theta\left(p-\alpha\right)\sqrt{n_{\beta}'(n_{\alpha}'+1)}\;\delta_{n_{1}n_{1}'}\cdots\;\delta_{n_{\alpha},n_{\alpha}'+1}\cdots\;\delta_{n_{\beta},n_{\beta}'-1}\cdots\;\delta_{n_{m}n_{m}'}\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(p-\beta\right)\Theta\left(\alpha-p\right)\sqrt{n_{\beta}'n_{\alpha}'}\;\delta_{n_{1}n_{1}'}\cdots\;\delta_{n_{\alpha},n_{\alpha}'-1}\cdots\;\delta_{n_{\beta},n_{\beta}'-1}\cdots\;\delta_{n_{m}n_{m}'}\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\Theta\left(p-\alpha\right)\sqrt{(n_{\beta}'+1)(n_{\alpha}'+1)}\;\delta_{n_{1}n_{1}'}\cdots\;\delta_{n_{\alpha},n_{\alpha}'+1}\cdots\;\delta_{n_{\beta},n_{\beta}'+1}\cdots\;\delta_{n_{m}n_{m}'}\\&\phantom{=}-i\,\Theta\left(\beta-p\right)\Theta\left(\alpha-p\right)\sqrt{(n_{\beta}'+1)\,n_{\alpha}'}\;\delta_{n_{1}n_{1}'}\cdots\;\delta_{n_{\alpha},n_{\alpha}'-1}\cdots\;\delta_{n_{\beta},n_{\beta}'+1}\cdots\;\delta_{n_{m}n_{m}'}\end{aligned} 

התוצאה הזו אולי ניראת לכם קצת מסורבלת אבל אני סבור שאין זה כך עבור מי שרואה בעיני רוחו את הרעיון הכללי. בסופו של דבר תעניינה אותנו ההצגות של הטרנספורמציות הלינאריות במרחב מינקובסקי עם מטריקה לורנציאנית והיות וכאן מדובר בסה"כ בארבע מימדים, קל יהיה לרשום אותן במפורש. על האופן שבו שולפים את האלגברה של חבורת לורנץ (יוצרי הבוסטים והסיבובים) במרחב מינקובסקי מתוך \(\mathfrak{gl}\left(4,\mathbb{R}\right)\), כמו גם את את יוצרי הגזירות (shears) והיוצר של הדילטציות - בפעם אחרת.


***עדכון: על-פי עופר אייל, ג'וליאן שווינגר פיתח דבר דומה לפני חצי יובל שנים...