יום חמישי, 12 בדצמבר 2013

פרדוקס התאומים, הפיתרון המלא.



ברשימה הקודמת בנושא הגענו למסקנה הבאה: אינטרוול זמן עצמי יראה תמיד ארוך יותר ממערכת התמד אחרת. כך למשל, אם אני ואתה נעים זה ביחס לזה במהירות יחסית המקיימת \(\gamma=3600\), אזי שנייה בשעוני תימשך לך שעה, ושנייה בשעונך תימשך לי שעה. כל אחד מאיתנו רואה את שעונו של השני מתקתק פי \(3600\) יותר לאט מזה שלו עצמו.

לכאורה נראה שמציאות מסוג זה בלתי מתקבלת על הדעת. אצל מי מהשניים מתקתק השעון לאט יותר באמת? על רקע זה נוסח פרדוקס התאומים: שני תאומים הנמצאים בכדה"א מסנכרנים שעונים (כאן כדור הארץ מדמה - בקירוב מצויין - מערכת התמד). האחד יוצא למסע במהירות יחסותית לכוכב רחוק ובהגיעו ליעדו חוזר מייד חזרה. לאחר שחזר ומאחר שחזר, מי מהתאומים זקן יותר? אצל מי מהם תקתק השעון לאט יותר באמת? היות ותמונת העולם של השניים סמטרית כביכול (כל אחד רואה ממערכת המנוחה שלו עצמו את השני מאיץ ומתרחק) הרי שכל אחד מהם רואה את שעונו של אחיו התאום מתקתק לאט יותר...

למעשה יש לפרדוקס שני נוסחים, האחד דמיוני למדי, השני ריאלי. הנוסח הדמיוני מדבר על מהירות אחידה בדרך ליעד ומהירות אחידה זהה בכיוון ההפוך. אין תאוצות, אין מפגשים. האח הנוסע מחליף כיוון בבת אחת בהגיעו ליעד ובהחלפת הכיוון הזו, כך מסתבר, טמון פתרון הפרדוקס כפי שאפשר לקרוא מתוך דיאגרמת מינקובסקי המתארת את המסע. היות ונוסח זה אינו מציאותי לא אטפל בו (תוכלו לקרוא על כך בקישור). הנוסח השני ריאלי באמת: האח הנוסע מאיץ ממהירות אפס עד לערך מקסימלי כלשהו של מהירות, מאיט בדרך אל היעד עד לעצירה מוחלטת וחוזר באותו האופן. בזה אטפל בפרוטרוט כאן.

ראשית, הבה נגדיר שני מושגים חשובים.

  1. צופה יקרא מאיץ אם הוא חש כוחות מדומים אותם ניתן לתרגם לקריאה כלשהי על מד תאוצה הנמצא במערכת המנוחה שלו עצמו.
  2. יהא \(\tau\) זמן עצמי במערכת מנוחה \(\mathcal{O}''\left(\tau\right)\) של צופה מאיץ. מערכת התמד רגעית היא אוסף אינסופי של מערכות התמד \(\left\{\mathcal{O}'_{\tau}\right\}\) המתוייגות כולן באמצעות הפרמטר הרציף \(\tau\),  כך ש- \(\mathcal{O}'_{\tau}=\mathcal{O}''(\tau)\;\forall\;\tau\).

פירושו של דבר הוא שכל אחת ואחת מהמערכות \(\mathcal{O}'_{\tau}\) שבאוסף מתלכדת באופן רגעי בזמן \(\tau\) עם מערכת המנוחה של הצופה המאיץ \(\mathcal{O}''(\tau)\). 

נחזור עתה אל שני התאומים וניעזר בהגדרות מלמעלה: נסמן את מערכת היחוס של האח שנשאר על פני כדור הארץ באות \(S\). זוהי מערכת התמד היות ואין מורגשים בה כוחות מדומים. מערכת המנוחה של האח המאיץ - זה שיצא למסע הרחוק והזמן העצמי שהוא מודד בשעונו מתוייג באמצעות הפרמטר \(\tau\) - תסומן ב-\(S''\left(\tau\right)\), ואליה נצמיד מערכת התמד רגעית \(\left\{S'_{\tau}\right\}\) בה ניתן לרשום במדוייק את כל הקורות ב-\(S''\) - באופן רגעי כמובן, בכל זמן \(\tau\). היות ו-\(S'_{\tau}\) היא מערכת התמד, הרי שחלים בה (רגעית, מן הסתם) כל הכללים הנגזרים מהיחסות הפרטית.

הואיל ומערכת ההתמד הרגעית מתוייגת באמצעות פרמטר רציף, ומכיוון שבכל רגע ורגע היא מתלכדת עם מערכת המנוחה של האח המאיץ, נוכל לראותה פשוט כמערכת התמד הצמודה לו ובה נרשמים קורתיו באופן רגעי. למה הדבר דומה? לנסיון לשחזר עקומה חלקה באמצעות אינסוף הישרים המשיקים לה בכל נקודה ונקודה. תקין לחלוטין.

מד התאוצה התלוי על כותל החללית המאיצה של האח ההרפתקן מודד תאוצה תלויית זמן \(g\left(\tau\right)\) באשר \(\tau\) הזמן העצמי שלו עצמו. תאוצה תלויית זמן ביחס למה? ביחס לכל מערכת ההתמד באשר היא. ובאיזה מערכת התמד היא נרשמת? במערכת ההתמד הרגעית הצמודה לו והמתוייגת גם היא באמצעות הזמן העצמי שלו. שהרי זוהי המערכת בה נרשמים כל השינויים החלים ב-\(S''\), ובפרט גם השינוי הרגעי במהירות \(\mathrm{d}u'=g\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau\) כפי שהוא בא לידי ביטוי באמצעות הכוחות המדומים. הילכך,
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}\tau}\:=\:g\left(\tau\right).\end{aligned}
עתה עלינו לבצע טרנספורמציית לורנץ כדי לקבל את התאוצה הזו כפי שהיא ניצפית ממערכת ההתמד \(S\). ומשום מה אנו מתעניינים באופן בו היא ניצפית מ- \(S\)? משום שאנו מעוניינים לבצע השוואה בין שני האחים וכדי לבצע השוואה כזו אין לנו אלא להביאם למערכת משותפת.

הערה: מהירותו של האח המאיץ מתאפסת במערכת \(S''\), שהרי בהגדרה כל אחד נמצא במנוחה במערכת המנוחה שלו עצמו. לכן במערכת ההתמד הרגעית \(S'\) הצמודה למערכת המנוחה של התאום המאיץ נקבל עבור כל נקודת זמן-עצמי ספציפית \(u'(\tau^{\star})=0\); ובה בעת בהכרח \(\mathrm{d}u'(\tau^{\star})\neq0\) כפי שמכתיב מד התאוצה. למה הדבר דומה? אם נרכיב עקומה מאוסף כל משיקיה, הרי שלכל אחד ואחד מהמשיקים הללו שיפוע נתון וקבוע, אבל בנועינו על העקומה אנו מדלגים ברציפות ממשיק למשיק והשיפוע משתנה.

נוסחת הטרנספורמצייה של התאוצה שפיתחנו בפרק הקודם עבור המקרה \(u=v\) (מדוע זהו המקרה שלנו?) מנפקת את הקשר \(a'=\gamma^{3}a\) (הראו זאת, מיידי) ואילו נוסחת ההתמתחות בזמן מנפקת את היחס \(\mathrm{d}t=\gamma\,\mathrm{d}\tau\). נצרף את כל המידע ונקבל:
\begin{aligned}g\left(\tau\right)&=\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}\tau}=\gamma^{3}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\\&=\gamma^{2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\tau}\end{aligned}
או \(\gamma^{2}\left(u\right)\mathrm{d}u=g\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau\) באשר \(u\) היא המהירות (הרגעית!) של מערכת ההתמד הרגעית הצמודה לתאום המאיץ, כפי שהיא ניצפת ע"י התאום המתמיד ב-\(S\), ו-\(\gamma\left(u\right)\) הוא פקטור גאמה המתאים למהירות זו. קיבלנו אם כן משוואה דיפרנציאלית פשוטה ביותר ופתרונה
\begin{aligned}u\left(\tau\right)\;=\;c\,\tanh\left[\frac{1}{c}\int_{\tau_{0}}^{\tau}g\left(\tau'\right)\mathrm{d}\,\tau'\right],\end{aligned}
או \(\beta\,\left(\tau\right)=\tanh\psi\,\left(\tau\right)\). זוהי תוצאה יפהפיה והיא מכלילה את הקשר \(\beta=\tanh\psi\) למקרה של מערכות מאיצות. שימו לב שלא משנה עד כמה גדולה היא התאוצה, ולא משנה כמה זמן עצמי נאיץ, את מהירות האור לעולם לא נשיג היות ו- \(\beta=1\) רק כאשר \(\psi\to\infty\).

מכאן קצרה הדרך לתאר את ההעתקים ומרווחי הזמן כפי שהם נצפים מ-\(S\) במונחים של הזמן העצמי הנמדד על שעונו של האח המאיץ. הבה נראה:
\begin{aligned}u\left(\tau\right)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}x}/{\mathrm{d}\tau}}{{\mathrm{d}t}/{\mathrm{d}\tau}}=\frac{c\sinh\psi\left(\tau\right)}{\cosh\psi\left(\tau\right)}\end{aligned}
כלומר מתקבלות שתי משוואות דיפרנציאליות שפתרונן מנפק את מה שמכונה "קווי העולם" של האח המאיץ מנקודת מבט של האח המתמיד, כלומר את "תנועתו" במרחב מינקובסקי של האח המאיץ מנקודת מבטו של האח המתמיד, כפונקציה של הזמן העצמי האינווריאנטי:
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}&=c\sinh\psi\left(\tau\right)\\\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}&=\cosh\psi\left(\tau\right)\,.\end{aligned}
כעת אפשר לגשת לת'כלס. הבה נניח שתאוצתו העצמית של האח המאיץ היא קבועה, ושיעורה כשיעורה של תאוצת הנפילה החופשית ע"פ כדה"א, כלומר \(g\left(\tau\right)\equiv{g}=10(\text{m}/\text{sec}^{2})\). במקרה זה \(\psi=g(\tau-\tau_{0})/c=g\Delta\tau/c\). אינטגרציה מפורשת (מיידי) של המשוואות הדיפרנציאליות מלמעלה נותנת:
\begin{aligned}\Delta{x}&=\frac{c^{2}}{g}\left[\cosh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)-1\right]\\\Delta{t}&=\frac{c}{g}\sinh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)\end{aligned}
באשר רשמנו \(\Delta{t}\equiv{t}-t_{0}\), \(\Delta{x}\equiv{x}-x_{0}\) ולכן \(t(\tau=\tau_{0})=t_{0}\) וכן \(x(\tau=\tau_{0})=x_{0}\).

האם קיבלנו תוצאה המתלכדת עם הגבול הקלאסי למקרה בו האח היוצא לדרכו מאיץ זמן קצר ואחר ממשיך במהירות קצובה? You bet! בואו נראה זאת: במקרה זה \(g\Delta\tau/c\ll1\) ואז ניתן להסתפק בסדר הראשון בפיתוח לטור חזקות של הפונקציות ההיפרבוליות:
\begin{aligned}\cosh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)&\approx1+\frac{1}{2}\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)^{2}\\\sinh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)&\approx\frac{g\Delta\tau}{c}\end{aligned}
נציג זאת חזרה בביטויים עבור מרווחי הזמן והמקום ונקבל \(\Delta{t}\approx\Delta\tau\) וכן \(\Delta{x}\approx{g}\left(\Delta{t}\right)^{2}/2\). יותר גלילאני מזה לא יכול להיות...

בואו נבדוק עתה מה קורה במקרה של תאוצה המתמשכת זמן עצמי רב מאוד, למשל עשר שנים. המהירות אליה הגיע האח המאיץ בתום עשר שנות האצה כפי שהיא נמדדת ממערכת ההתמד של האח שנשאר על כדה"א היא \(u=c\tanh(g\Delta\tau/c)=0.999999998c\) ומשך זמן המסע הוא  \(\Delta{t}\approx17,482\) שנים. היות ואת חלק הארי של הדרך בילה הנוסע שלנו במהירות הקרובה מאוד למהירות האור, זהו גם בערך המרחק שעבר בשנות אור.

שימו לב שמרווח הזמן במערכת \(S\) אינו רגיש לסימן של \(g\) כך שבין אם האח התאום מאיץ ובין אם הוא מאט, הזמן העצמי שלו יראה תמיד ארוך יותר מנקודת מבטו של האח המתמיד. לכן אם האח התאום האץ עשר שנים עצמיות בתאוצה \(g\) ואז האט עשר שנים עצמיות בדיוק באותה תאוצה, ומייד לאחר מכן שב וחזר על עיקבותיו באותו האופן בדיוק, הרי שבתום ארבעים שנים (זמן עצמי) ומסע על פני \(70,000\) שנות אור בקירוב, הוא מוצא עצמו חזרה בבית עם אח המבוגר ממנו בכמעט \(70,000\) שנים. עתה ברור מי נשאר צעיר ומי מזדקן;

יוצא איפה שמצב של תאוצה שונה במהותו ממצב של התמדה ואין לייחס סימטריה לנקודות המבט בין צופים הנמצאים במערכות שאינן שקולות זו לזו. מקרה התאומים מופיע כפרדוקס רק אם מניחים בשוגג שיש סימטריה בין מערכות הייחוס של שני האחים.


רשימת המשך: "אופק אירועים ביחסות פרטית?"

לא רואים את התגובות? נערו את הדף.



16 תגובות:

  1. תודה על הכתבה. כרגיל - שאלות.

    1. נאמר שהתאום ההרפתקן יוצא מהארץ בחללית א' בזמן T=0 בארץ ובחללית לעבר פלנטה הרחוקה כמעט 10 שנות אור מהארץ, ושעוניה מסונכרנים עם שעוני הארץ. הוא מגיע בפרק זמן קצר (דלתא T1) על פי שעונו למהירות V, כך שפקטור גאמה שווה ל10. מצלמת וידאו בחללית מתעתדת את מסעו

    כאשר הוא מגיע לפלנטה, מצלמה חדת רזולוציה בפלנטה מצלמת את שעון החללית ביחד עם שעון הפלנטה. מצלמה נוספת המותקנת בחלליתו מצלמת גם היא את שני השעונים.

    מה יראו הצילומים?

    תשובה שלי: פלנטה - 10 שנים. חללית א' - שנה.

    2. נאמר שברגע שיצאה חללית א' מהארץ (T=0), יצאה חללית ב' מהפלנטה בכיוון ההפוך מהארץ (שעוני הארץ והפלנטה מסונכרנים ביניהם, כך שניתן לדבר על "אותו הרגע" בשתיהן).

    חללית ב' עוברת את אותם שלבים בדיוק שעברה חללית א', וגם היא מגיעה למהירות V באותו פרק זמן (דלתא T1) על פי שעונה שאליו הגיעה חללית א' על פי שעונה.

    חלליות א' וב' מהוות כעת מערכת אינרציאלית שמהירותה V יחסית למערכת ארץ - פלנטה. המהירות היחסית ביניהן - 0.

    פרק זמן קצר (דלתא T2) אחרי שהגיעו למהירות שיוט, מנסות החלליות להעריך את המרחק ביניהן במערכת שלהן.

    הן יכולות לעשות זאת בצורה הבאה: חללית א' שולחת אות אלקטרומגנטי שיוחזר מחללית ב', ולחלק את זמן ההגעה ב2. כנ"ל לגבי חללית ב'. הכפל את זמן ההגעה באור, וקיבלנו את המרחק בשנות אור.

    מה המרחק בין החלליות במערכת שלהן?

    תשובה שלי: 10 שנות אור.

    האם תשובותי ב1 ו2 נכונות?

    השבמחק
  2. תשובה לשאלה הראשונה - לדעתי נכונה (ובניסוח קולע: בשעונו של הטייס חלפה בערך שנה ובשעון הפלנטה בערך עשר שנים). תשובה לשאלה השנייה: האינטואציה הגלילאנית אומרת שאתה צודק, אבל היא - כרגיל - מטעה. האינטואציה היחסותית אומרת שאתה טועה. האם השתמשת בטרנס' לורנץ כדי לבדוק כיצד עובר מרחק של 10 שנות אור ממערכת המנוחה של הפלנטות למערכת המנוחה של החלליות? בדוק וראה מה קיבלת :). יוצא איפה שהמרחק בין החלליות מתקצר למרות שהן האיצו באותה תאוצה, בדיוק באותו פרק זמן עצמי ולאותה מהירות סופית. האם יש לך 'אומץ' לגשת ולהסביר זאת באמצעות חשבון? רמז: שני צופים המאיצים באותה תאוצה אינם נמצאים במנוחה זה ביחס לזה מנקודת מבטם. מסקנה: תאוצות בעולם היחסות הפרטית הן עניין מרתק...
    (הערה: מנקודת המבט של צופה על כל אחת מהפלנטות המרחק של עשר שנות אור נשמר).

    השבמחק
    תשובות
    1. קצת קשה לי להבין כיצד המרחק בין החלליות במערכת היחוס שלהן מתקצר כאשר שתיהן הגיעו למהירות שיוט קבועה, והמהירות היחסית ביניהן שווה ל0. לשם השוואה, המהירות של חללית א' יחסית לפלנטה היא כמעט C, ולכן ברור מדוע חלה התכווצות לורנץ. אך במהירות יחסית 0?

      בכל אופן, אם המרחק קטן זה רק מחזק את הטיעון הסופי ב"פרדוקס פרדוקס התאומים". אליו אגש כעת.

      הגענו למצב הבא: חללית ב' נמצאת כרגע במהירות V יחסית לפלנטה ובמהירות 0 יחסית לחללית א'. המרחק בינה לחללית א' במערכת היחוס שלה - 10 שנות אור ומטה. הזמן בשעונה (המתועד עיי הוידאו המצלם את כל המסע) דלתא T1 + דלתא T2.

      חלליות א' וב' מהוות כרגע מערכת אינרציאלית, שמבחינתה נמצאת במנוחה.


      3. ברגע זה על פי שעונה (דלתא T1 + דלתא T2) מאיצה חללית ב' בכיוונה של חללית א' באותה תאוצה ובאותו פרק זמן דלתא T1 . כאשר היא מגיעה למהירות V- היא נשארת בה עג שהיא פוגשת את חללית א'.

      באיזה זמן על פי שעונה תפגוש חללית ב' את א'?

      אנו יודעים מ(1) שלחללית א' באותה תאוצה ומהירות לקח שנה על פי שעונה להגיע לפלנטה המרוחקת ממנה 10 שנות אור. מכיוון שהתנאים פה זהים רק הכיוון הפוך, והמרחק הוא 10 שנות אור ומטה, הזמן שיקח לחללית ב' על פי שעונה הוא שנה ומטה. לכן היא תפגוש את א' על פי שעונה בזמן דלתא T1 + דלתא T2 + שנה ומטה.

      אולם אם נסתכל על מערכת היחוס של הפלנטה, בכל התהליך חללית ב' האיצה למהירות V ומיד נעצרה. מכיוון שאנו רשאים לצמצם את דלתא T1 ודלתא T2 כרצונינו, ומכיוון שזמן ההאטה זהה לדלתא T1, קיבלנו שכל התהליך עד ה"עצירה" של חללית ב' ארך 2דלתא T1 + דלתא T2.

      זמן זה מקביל לפרק זמן מסויים במערכת הפלנטה. אם נצמצם אותו לכמה פיקושניות, נראה שחללית ב' התקדמה פחות ממטר אחד במערכת הפלנטה, והיא עכשיו במצב מנוחה כמעט באותו המקום ממנו המריאה, והזמן בשעונה כמעט זהה לזמן הפלנטה.

      מכיוון שהיא במנוחה, שעונה מתקתק באותו הקצב כשעון הפלנטה.

      הפרדוקס: חללית ב' תפגוש את חללית א' בזמן של שנה ומטה על פי שעונה, והפלנטה תפגוש את חללית א' בזמן של 10 שנים על פי שעונה.

      אך שני השעונים נמצאים ביחד, מתקתקים באותו הקצב, והתחילו באותו הזמן כמעט.

      אז איך זה יכול להיות? איפה הטעות?



      מחק
    2. המרחק בין החלליות מתקצר בתהליך ההאצה. מרגע שחלליות הגיעו למהירות קבועה הוא כמובן נשאר קבוע. נתתי לי רעיון, אולי בעתיד אראה זאת כאן במפורש... בנוגע למה שאתה מכנה "פרדוקס פרדוקס התאומים", כרגע אין לי כל כך זמן להעמיק בזה אבל מדוע שלא תעמיק בזה אתה? תוכל לנסות לחשב במפורש ואז דברים עשויים להתבהר. בסופו של דבר, תורת היחסות הפרטית מושתתת על עקרונות יסוד מאוד נהירים ומנוסחת בשפה מתמטית מדוייקת. קשה לי להאמין שיש פרדוקסים אמיתיים בתורה היות והיא עקבית מאוד גם בהיבט המתמטי וגם בהיבט הפיזיקלי... זה שדברים לא מסתדרים עם האינטואציה הגלילאנית, זה לא חדש... לכשאתפנה מעיסוקיי (יקח כמה שבועות) אנסה להתעמק במה שאתה מעלה.

      מחק
    3. התקצרות האורך לא מובנת לי, ואפשר לראות זאת בניסוי המחשבתי הפשוט הבא: מצלמה מואצת לכיוון אלפא קנטאוריA למהירות שבה פקטור גאמה שווה ל1000. היא מצלמת את הכוכב ממרחק קצר יחסית (התקצרות לורנץ) וחוזרת מיד לארץ.

      אינפורמציה (מצב הכוכב) שבדרך הטבע עוברת בארבע וחצי שנים, מתקצרת לשבוע.

      איפה איסור העברת אינפורמציה מהר מהאור? לא מדובר פה על משהו בדיוני, בכל מהירות שהיא נקבל את אותה התופעה.

      ויש גם את התופעה הבאה: ההתקצרות היא רק בכיוון התנועה, לא ברכיב האנכי. לכן אם נצלם את צדק ממצלמה מהירה, נראה את קוטרו גדול יותר כאילו השתמשנו בזום, לא?

      זו יכולה להיות הוכחה להתקצרות האורך, אם היא אכן קיימת. על פי ויקיפדיה, אין הוכחות נסיוניות להתקצרות האורך.

      מחק
    4. ישראל,
      ניסויים מחשבתיים ביחסות פרטית (ובעצם בכל תחום בפיזיקה) אפשר לעשות רק אם מכירים היטב את התורה. אחרת אי אפשר שלא ליפול בפח, פשוט אי אפשר. אתה עשוי למצוא את הנחות המוצא שלך - הנאמרות כבדרך אגב כאילו הן מובנות מאליהן - שגויות או ריקות מתוכן או פשוט בלתי אפשריות. האם חישבת בכמה זמן הזדקן כדור הארך בזמן שהאצנו את המצלמה, אחרי כן האטנו, שוב האצנו בכיוון ההפוך ואחר שוב האטנו? בפוסט הזה קיבלת את כל הכלים לבצע חישוב כזה בדיוק. אתה מוזמן לעשותו ולדווח האם העברת באיזשהו אופן אינפורמציה מהר ממהירות האור. לפני שתיגש לחישוב, מה אתה חושב שיתקבל?

      מחק
    5. אין לי שום יומרה להבין את תורת היחסות מעבר למה שמלמדים בלימודי התואר הראשון, הספרות העוסקת בכך והבלוגים השונים כולל בלוג זה. זו הסיבה שאני שואל שאלות, ומקווה לקבל תשובות איכותיות וכמותיות מאילו המכירים ומבינים את הנושא טוב ממני.

      אתה שואל: "האם חישבת בכמה זמן הזדקן כדור הארך בזמן שהאצנו את המצלמה, אחרי כן האטנו, שוב האצנו בכיוון ההפוך ואחר שוב האטנו?"

      אינני בטוח מהי הנוסחה הרלוונטית בכתבה לחישוב, וייתכן מאוד שבזאת טמונה התשובה לשאלתי. המשוואה שהכי נראית לי היא הנוסחה לדלתא T המופיעה בתחתית הפסקה:

      "כשיעורה של תאוצת הנפילה החופשית ע"פ כדה"א, כלומר g(τ)≡g=10(m/sec2). במקרה זה ψ=g(τ−τ0)/c=gΔτ/c. אינטגרציה מפורשת (מיידי) של המשוואות הדיפרנציאליות מלמעלה נותנת:
      ΔxΔt=c2g[cosh(gΔτc)−1]=cgsinh(gΔτc)"

      מכיוון שאנו רשאים לבחור תאוצה למצלמה כרצונינו, הבחירה הטבעית היא המקרה שבו a=g=c, ואז אנו מקבלים שסדר הגודל של הזמן בו הזדקנה הארץ אינו שונה משל המצלמה (אני יוצא מההנחה שדלתא T בנוסחה מחושב ברדיאנים).

      ולכן בדוגמה שלי אם המצלמה האיצה למהירות האור בשניה על פי שעונה והאטה בעוד שניה, הארץ הזדקנה ב2.34 שניות בזמן הזה. ממש לא הבדל רציני.

      מאידך יתכן שלא השתמשתי בנוסחה הנכונה, אך איני רואה את הרלוונטיות: חלקיקי יסוד מואצים כדרך שגרה למהירויות גבוהות ביותר ואז מואטים. פאקטור גאמה יכול להיות אלפים רבים ואף מיליונים. במקרה כזה, אם נשתמש במצלמת ננו המואצת למהירויות כה גבוהות נוכל לצלם את צדק כאילו היה במרחק 100 ק"מ? ק"מ? מטר?


      מחק
    6. בוא נבצע לרגע כמה חישובים ביחד.
      הבה נניח שהמצלמה מאיצה במשך עשר שניות רצופות בתאוצה של 300,000 ק"מ לשניה בריבוע. במקרה זה הארגומנט בפונקציות ההיפרבוליות מלמעלה שווה בערך ל-10. זוהי תאוצה אדירה ובתום 10 השניות היא מביאה את המצלמה שלנו בסה"כ למהירות "הלא מרשימה" של 0.999999995c. לא מרשימה? בוא נבדוק:
      הפרוטונים במאיץ החלקיקים האדיר LHC שב-CERN מואצים במשך כמה שעות (אפילו עד עשר שעות!) בטרם יונגשו זה עם זה במהירות של 0.999999c. עשר שעות האצה וזה כל המהירות שצברנו...
      נחזור למצלמה שלנו. בזמן הזה (עשר שניות עצמיות) חלפו על פני כדור הארץ 11,013 שניות שהן כ-3.06 שעות. היות ומהירות המצלמה היא בערך מהירות האור מרחקה עתה מכדה"א הוא 3.06 שעות אור ומשם היא מצלמת את אלפה צנטאורי המרוחק ממנה... בערך ארבע שנות אור פחות ארבע שעות אור...
      נניח שזה לא מספק אותך. אתה בוחר מהירות סופית עם גאמא שווה גוגלפלקס וכל זה בתוך מליונית השניה. המחשבון שלי לא יכול לטפל במספרים כאלו אבל טיפול מדוקדק יבהיר לך שהתאוצות הנדרשות להביא אותך לכאן הן כמעט אינסופיות, ובזמן הזה כדה"א יזדקן בדיוק בשיעור המתאים מבלי לשבור בשום פנים ואופן את מהירות האור, ומבלי להטיל סייג בשלמות התורה.
      מי שמבין את היחסות הפרטית באמת *מבין* שהיא מושלמת מבחינה קונספטואלית ומושלמת מבחינת הניסוח המתמטי. חלק מהסיטואציות הפיזיקליות מסובכות ביותר לניתוח אנליטי, חלק מסובכות לחישוב, חלק רחוקות מהאינטואיציה הגלילאנית מרחק מזרח ממערב. אבל כדי לדעת לנסח שאלות שיש להן משמעות כלשהי יש להכיר את התורה היטב. אחרת השאלות עצמן הן או חסרות משמעות, או שגויות או ריקות. מרגע שמניחים (במובלע או שלא במובלע) הנחות מוצא שגויות, אין מנוס מלהגיע למסקנות שהן פשוט false or vacant... ואז נראה לכאורע כאילו שמופיעים פרדוקסים.

      לדוגמא: כתבת "מכיוון שאנו רשאים לבחור תאוצה למצלמה כרצונינו, הבחירה הטבעית היא המקרה שבו a=g=c, ואז אנו מקבלים שסדר הגודל של הזמן בו הזדקנה הארץ אינו שונה משל המצלמה (אני יוצא מההנחה שדלתא T בנוסחה מחושב ברדיאנים)... ולכן בדוגמה שלי אם המצלמה האיצה למהירות האור בשניה על פי שעונה והאטה בעוד שניה, הארץ הזדקנה ב2.34 שניות בזמן הזה."

      באמת? זה מה שמקבלים? מאיפה הסקת זאת? בחישוב מלמעלה *קיבלנו* משהו אחר לגמרי! ראה כמה בקלות נתפתת להסתמך על קביעה שגוייה. אסור, פשוט *אסור* להתייחס לתאוריה מדעית כאילו היא סיפור שאפשר לספר סביב המדורה, ולהפליג למחוזות הדמיון. לפחות לא במאה העשרים ואחת. דמיון הוא מבורך בבניית תאוריה, ומרגע שבנית אותה, ובהנחה שעשית זאת ללא כשלים לוגים, עתה אתה חייב ללכת עקב בצד אגודל בטרם תסיק ממנה מסקנות.

      מחק
  3. ראשית, תודה על התשובה העניינית. כפי שציינתי, איני בטוח אם הנוסחה בה השתמשתי היא הנכונה.

    אתה כותב: באמת? זה מה שמקבלים? מאיפה הסקת זאת?" הנוסחה בה השתמשתי הייתה זו שמתחת ל "אינטגרציה מפורשת (מיידי) של המשוואות הדיפרנציאליות מלמעלה נותנת" :

    דלתאT = (ג'י כפול דלתא טאיי מחולק במהירות האור )g/c sinh


    שעליה כתבת:
    "תנועתו" במרחב מינקובסקי של האח המאיץ מנקודת מבטו של האח המתמיד, כפונקציה של הזמן העצמי האינווריאנטי:

    נוסחה זו נראית לי המתאימה ביותר, כאשר המצלמה היא האח המאיץ והארץ האח המתמיד.

    מכיוון שבחרתי g=a=c, דהיינו תאוצת מצלמה כמהירות האור, הרי שהכל מצטמצם ואנו נשארים רק עם: דלתא T שווה SINH דלתא טאיי. אם טאיי שווה שניה אחת (רדיאנים) אז התוצאה היא כפי שהראתי.

    מאידך, ייתכן שיש לי טעות.

    אתה כותב: "יש להכיר את התורה היטב. אחרת השאלות עצמן הן או חסרות משמעות, או שגויות או ריקות".

    לפי הנחה זו, עלי לבלות עוד 7-8 שנים כדי שאוכל לשאול שאלה. דעתי היא שעדיף לשאול, אלא אם הנשאל מציין שאינו מעוניין בשאלות (האם זה המצב?).

    לעצם העניין.

    אתה כותב: "היא מביאה את המצלמה שלנו בסה"כ למהירות "הלא מרשימה" של 0.999999995c. ומשם היא מצלמת את אלפה צנטאורי המרוחק ממנה... בערך ארבע שנות אור פחות ארבע שעות אור...

    אם ניקח את נוסחת התקצרות לורנץ:

    L = L0 מחולק בV גאמה, אז אני מקבל שבמהירות שציינת הכוכב מרוחק מהארץ רק כ0.0000001 ממרחקו המקורי. אז איפה הטעות שלי פה?

    מה גם שהתקצרות האורך היא הצגה משנית לבעיה העיקרית שהצגתי: פרדוקס פרדוקס התאומים. כאן אשמח לקבל הסבר - כל הסבר - שישפוך אור על הבעיה שהעלתי.

    תודה, ואם אני מטריח מדי, ציין ואחדל.

    השבמחק
    תשובות
    1. הבה נעבור על החשבון ביחד: ראשית, ל-c אין יחידות של תאוצה ולכן המשוואה g=a=c חסרת משמעות. תאוצה ומהירות הם מושגים שונים לחלוטין. למשל: כשאתה בועט בכדור כלפי מעלה, אז בשיא הגבוה מהירות הכדור היא אפס אבל תאוצותו ברגע זה ממש היא עדיין g. אם הבנתי אותך נכון, כוונתך היא שהתאוצה היא מסדר גודל של 300,000 קילומטר לשניה בריבוע. אגב, התאוצה יוכלה להיות גם עשרה מיליארד ק"מ לשנייה בריבוע, אין שום בעיה עם זה. בכל מקרה, כאשר g=300000 ק"מ לשניה בריבוע, הארגומנט בפונקציית הסינש הוא אכן אחד כאשר מדובר בשנייה עצמית אחת של האצה. בדוגמא שבחרתי למעלה לקחתי בחשבון זמן האצה של עשר שניות כדי לצבור קצת מהירות, אבל בוא נשאר עם ההצעה שלך. במקרה זה Dt=1.175D\tau (הצב 1 בסינש) כלומר על כדה"א עברו 1.175 שניות בלבד, אבל זה לא מפתיע היות ואנו עדיין רחוקים מאוד מאוד ממהירות האור: הגענו למהירות שהיא בסה"כ קצת פחות מ- v=0.762c (הצב 1 בטאנש). הדרך שעברנו בזמן זה היא 1.63e5 קילומטרים (הצב 1 בקוש), קצת יותר ממחצית הדרך ל-300,000 הקילומטרים הראשונים.... איני רואה כל קושי בתוצאות האלו הן נראות הגיוניות וצפויות. ואתה?

      עכשיו נחזור להצעה שלי שהיא יותר נוחה לטפל בטענותיך היות וכאן באמת מגיעים למהירויות רלטיביסטיות. מהו פקטור גאמה עבור המהירות 0.999999995c (מזכיר לך שמהירות זו גבוהה בהרבה מהחלקיקים המואצים במאיץ LHC)? ובכן, קל לחשב זאת: gamma=14,142 בקירוב. אם לאחר 10 שניות עצמיות של האצה ממשיך התאום במהירות קצובה אליה הגיע (הוא מכבה את המנועים) הרי שהמרחק מבחינתו מתקצר לבערך 2.4 שעות אור. כלומר לתאום הנוסע יקח 2.4 שעות בקירוב לעבור את המרחק כאשר הוא טס במהירות הנ"ל. נוסחאות מתיחת הזמן מספרת לנו שבזמן הזה עוברת תקופה של ארבע שנים על פני כדה"א. זהו :) הכל תקין.

      לאור כל זאת אולי כדאי שתעבור שוב על "פרדוקס פרדוקס התאומים" לפני שאני משקיע זמן בלהראות שאין כל פרדוקס?

      מחק
  4. תודה כמו תמיד על התגובה המושקעת.

    מכיוון ששנינו הגענו לתוצאה זהה לזמן הארץ (אתה: "כלומר על כדה"א עברו 1.175 שניות בלבד", אני: "הארץ הזדקנה ב2.34 שניות בזמן הזה" שכולל גם את זמן ההאטה, ולכן הוא כפול), אני מניח שגם האנליזה המימדית שלנו זהה, ושנינו מבינים את ההבדל בין מהירות ותאוצה.

    האם נפתרה בעיית התקצרות האורך? לא. כדי להראות למה אני מתכוון, אשתמש רק בדוגמאות מכתבה זו ואחרות בבלוג.

    אתה כותב: "התאוצה יוכלה להיות גם עשרה מיליארד ק"מ לשנייה בריבוע". אז בוא נאמר שמצלמה באמת מאיצה בתאוצה של מיליארד מיליארד ק"מ לשניה בריבוע, מגיעה למהירותו של הנוסע מ"שביל החלב ב3 שניות", מצלמת את אלפא קנטאוריA, ועוצרת מיד באותה תאוטה.

    מה יהיה מרחק נקודת העצירה מנקודת היציאה? אני מניח שלא רב. (?). אם הוא כן, נוסיף כמה סדרי גודל שנרצה לתאוצה כדי שהמצלמה תעצור במרחק 10 מטר ממקום היציאה (אפשרי?).

    אז מה שקיבלנו הוא תמונה של אלפא קנטאוריA שנעשתה ממרחק קצר ביותר (לצורך העניין: ק"מ אחד) בגלל התקצרות האורך. אם יצא עיתון בכוכב באותו היום ורזולוציית המצלמה גבוהה מספיק, נוכל לקרוא את הכותרת 4 שנים לפני שהגיעה בדרך הטבע אל הארץ.

    יתרה מזאת: התקצרות לורנץ היא רק בכיוון התנועה, לא בציר האנכי. לכן נראה את רדיוס הכוכב גדול יותר כשיעור פאקטור גאמה.

    לא?

    אך נניח שהתקצרות האורך אינה מוגדרת בצורה זו (איך מודדים אורך של גוף או מרחק כאשר נעים קרוב למהירות האור? אין לי מושג. אצל איינשטיין מדובר על מדידה באמצעות שעונים). ניגש כעת לבעיה המרכזית:


    "פרדוקס פרדוקס התאומים"


    נאמר שבמרחק כמעט 10 שנות אור מהארץ יש פלנטה הנייחת יחסית לארץ ושעוניה מסונכרנים עם הארץ.

    1. בזמן 0 מאיצה חללית א' (ששעוניה אופסו לזמן הפלנטה) מהפלנטה לכיוון הארץ ומגיעה תוך זמן קצר למהירות V הקרובה למהירות האור כך שפאקטור גמא גדול במקצת מ10.

    2. על פי פרדוקס התאומים, החללית מגיעה לארץ אחרי 10 שנים על פי שעון הארץ ואחרי שנה אחת על פי שעון החללית.

    3. ברגע שחללית א' יוצאת מהפלנטה, יוצאת חללית ב' מהארץ בכיוון ההפוך מהפלנטה ומאיצה באותה מידה עד שהיא מגיעה לאותה מהירות V של חללית א'.

    4. חלליות א' וב' מהוות כעת מערכת אינרציאלית והמהירות היחסית ביניהן היא 0.

    5. המרחק ביניהן במערכת היחוס שלהן אינו יכול לעלות על 10 שנות אור, כך אני מניח (זו גם התשובה שלך). הזמן בשעוניהן מיד אחרי שהגיעו למהירות שיוט קבועה כמעט זהה לזמן היציאה של שתיהן מפלנטות האם: 0

    6. זמן קצר אחרי שהגיעה למהירות שיוט, מאיצה חללית ב' בכיוון הארץ עד שהיא מגיעה למהירות 0 יחסית אליו.

    7. בגלל הסימטריה עם שלב 2, היא תפגוש את חללית א' אחרי קצת למעלה משנה על פי שעונה.

    הבעיה:

    8. מנקודת המבט של הארץ, חללית ב' האיצה בזמן קצר ומיד האטה ונעצרה. מבחינה פרקטית, אם נצמצם כרצונינו את זמן התאוצה, נוכל לאמר שחללית ב' עומדת כרגע לא רחוק מהמקום ממנו המריאה.

    9. מאותו שיקול, הזמן שמראה שעון חללית ב' אינו שונה כמעט מזמן הארץ: 0.

    10. על פי הנתונים, הארץ תפגוש את חללית א' אחרי 10 שנים על פי שעון הארץ ושנה (או פחות) על פי שעון חללית ב'.

    11. הפרדוקס: יוצא איפוא ששעון חללית ב' מסתובב לפחות פי 10 לאט יותר משעון הארץ הזהה לו ונמצא לידו.

    12. אלא אם כן, ההנחה שלי בשלב 5 שהמרחק בין החלליות לפני שב' הסתובבה אינו יכול לעלות על 10 שנות אור אינה נכונה, ולמעשה המרחק ביניהן הוא כעת 100 שנות אור מסיבה עלומה כלשהיא.

    13. או שיש לי טעות אחרת שאיני מזהה כעת.

    אם אתה מוצא טעות בניתוח ובמסקנות, אנא הצבע על השלב בו הטעות.

    תודה.

    השבמחק
    תשובות
    1. קבל התנצלותי, בימים אלו אני מאוד עסוק. לכשאתפנה מעיסוקי אחזור לכאן ואשתדל לענות לך.

      מחק
    2. קל לראות מה תהינה התוצאות בתנאים שאתה מבקש, לא צריך לנחש או לשער.

      פונקציות הקוש והסינש רצות לאינסוף הרבה הרבה הרבה יותר מהר מכל חזקה שהיא. לכן המצב שאתה מתאר פשוט לא יכול להתרחש. דוגמא פשוטה:

      בוא ניקח תאוצה של שלוש פעמים מיליארד מיליארדי מיליארדים ק"מ לשניה בריבוע למשך שניה עצמית אחת. זה יוצא שלוש כפול עשר בחזקת שלושים מטר לשניה. נחלק זאת במהירות האור ונקבל gDt/x=10^22. זהו הארגומנט בתוך הקוש הסינש והטאנש.

      הבה ניגש עכשיו לחישוב הזמן והמרחק ממערכת כדור הארץ:

      Dt=10^-22Xsinh(10^22) zzz כלומר e בחזקת אחד ועשרים ושניים אפסים חלקי אחד ועשרים ושניים אפסים. זהו מספר *אסטרונומי* של שניות. (e בחזקת x חלקי x כש-x שווה עשר בחזקת עשרים ושניים) היות ורוב הזמן הזה החללית נעה במהירות הקרובה קירבה פנטסטית למהירות האור, הרי שהמרחק שהיא עברה בזמן הזה הוא מספר אסטרונומי של שנות אור. (המחשבות שלי יכול לחשב עד עשר בחזקת מאה מקסימום...)

      כתבת:

      "מה יהיה מרחק נקודת העצירה מנקודת היציאה? אני מניח שלא רב."

      אז זהו, אין שום בסיס להנחה שלך. היא לא נכונה ולא יכולה להיות נכונה. המרחק הוא עצום פשוט משום שהפתרונות נותנים מרחק עצום עבור תאוצה עצומה.

      נראה שאתה כופה על התורה את החשיבה הגלילאנית שלך... זה לא יכול ללכת. אין שום מצב - קח תאוצה גדולה ככל שתחפוץ - שבו התרחקה החללית אך במעט מנקודת המוצא שלה, ובה בעת במערכת שלה היא נמצאת קרוב למטרה. שום מצב. אם זמן ההאצה היה מספיק קטן כדי להקטין את הארגומנט של הסינש עד כי באמת עברו מעט שניות במערכת כדור הארץ (נניח, אלפית של מליארדית של מיליארדית השניה), הרי שזמן זה כלל אינו מספיק להאיץ את החללית למהירויות רלטיבסטיות וממילא אורך הדרך כמעט לא מתקצר.

      אם זה מובן לך, האם עדיין יש טעם שאקרא את "פרדוקס פרדוקס התאומים"?

      מחק
    3. כיצד אם כן מאיצים מיואונים למהירות של 0.98c פקטור גאמה שווה ל5 תוך שהם עוברים מרחק קצר בלבד במערכת הארץ? הטיעון שלי עובד גם במהירויות נמוכות בהרבה, 0.6c לדוגמה שבו פקטור גאמה שווה רק ל1.25. גם שם נקבל שחללית ב פוגשת את א כשנה לפני הארץ.

      המרחק הקטן בין חללית ב' ונקודת ההמראה שלה - מטר אחד לדוגמה - הובא רק לצורך המחשה ויזואלית, דהיינו שאפשר יהיה לצלם בוידאו את שעון הארץ והחללית ביחד ממרחק לא גדול. תמיד אפשר לעשות זאת מכל מרחק שהוא אם הרזולוציה גבוהה מספיק.

      פרופ יהונתן גרנות טוען שהפיתרון נמצא בסעיף 11, דהיינו שבגלל ההאצה המרחק בין החלליות עולה מ10 ל100 שנות אור:


      http://forum.openu.ac.il/opus/bin/en.jsp?enDispWhat=Zone&enZone=Forum126655&enDispWho=Forum126655&enPage=FocusPage&enDisplay=view&enLastAction=insert&&enPage=FocusPage

      אני מרגיש שאולי גזלתי זמן רב מהנדרש מזמנך וזה בסדר גמור אם תעדיף לסיים כאן. אם הבעיה מסקרנת אותך, אשמח כמובן לראות את הפיתרון שלה - ביחוד את הפיתוח המתמטי - אך אל תרגיש מחוייבות אם אינך מוצא עניין מיוחד בבעיה.

      מחק
    4. טוב שהזכרת שהמיואונים מואצים... הצג האצתם בנוסחאות ותגלה שזמן ההאצה ארוך ובזמן זה הם עוברים מרחק גדול. בנוגע למיואונים שנוצרים בתקרת האטמוספרה: הם נוצרים מלכתחילה באנרגיה גבוהה, ומתפרקים לאחר זמן חיים הארוך פי חמש מזמן החיים שלהם במצב מנוחה, כפי שמנבאת התאוריה.

      אגב, רק כדי להמחיש עד כמה מסובך להאיץ חלקיקים - זמן האצת הפרוטונים לאנרגיות הרצויות במאיץ LHC הוא מסדר גודל של 10-12 שעות. היות ורוב הזמן הם נעים במהירות הקרובה למהירות האור, הרי שהמרחק שהם עוברים בזמן זה הוא קצת פחות מ- 10-12 שעות אור...

      מחק
  5. בדיוק באתי להעתיק את נוסחאות התאוצה ומצאתי את התגובה...תודה.

    בנוגע למיואונים: הם נוצרים כתוצאה מהתנגשות פרוטונים מהקרינה הקוסמית בגובה לא עד כדי כך רב באטמוספירה. הם מגיעים לארץ במהירות של 0.98C, כך שאין אפשרות שעברו מרחק רב יותר מכמה קילומטרים (במערכת הארץ) לפני שהגיעו למהירות זו, ובטח לא שנות, או אפילו שניות אור. (הדעת נותנת - מאות מטרים בודדות. אחרת לא היינו מקבלים התארכות זמנים כה משמעותית כפי שקורה בפועל עם מיואונים).

    בגלל מסתם הגבוהה יחסית, נוכל להחליף בפרדוקס שלי מיואון בננו חללית, שכמו המיואון תגיע למהירות של 0.98C אחרי מאות מטרים בודדות במערכת הארץ או הפלנטה בדוגמה שלי.

    פקטור גאמה ירד אמנם ל5 במקום 10, וחללית ב' תיעצר במרחק קילומטר במקום מטר ממקום המראתה בארץ, אך עדיין נקבל את אותו הפרדוקס: חללית ב' תפגוש את א' אחרי שנתיים בעוד שהארץ תפגוש את חללית א' אחרי 10 שנים.

    גם פרדוקס התואמים עדיין לא פתור: מה יהיה גודלו של תואם מאדים הנע במהירות יחסותית בתמונה המצלומת מהארץ? האם בגלל התקצרות המרחק הוא יראה גדול יותר בגלל הפרספקטיבה? האם הוא יכסה את מאדים בגלל גודלו העצום? האם זה אפשרי בכלל מהבחינה האופטית?

    אך נניח שיש פה רק עניין של הגדרת סינכרון. יש בעיה בהתקצרות האורך עליה איני מצליח לענות בשום צורה: אם חללית חולפת במהירות מספיק גבוהה ליד הארץ ומצלמת את מאדים ברגע החליפה, האם נקבל תמונה ברורה וחדה של מאדים כאילו השתמשנו בזום?

    כאן אין תאוצות מעורבות, ואם התקצרות האורך היא אכן משהו פיזיקלי, ולא רק צורך מתמטי שנועד לשמור על קונסיסטנטיות עם התארכות הזמנים, אנו אמורים לראות את מאדים בתמונה מהחללית גדול יותר מאשר בצילום ישיר מהארץ ביחס ישיר לפקטור גאמה, כמו בכל צילום שנעשה מקרוב.

    לא?

    השבמחק