יום חמישי, 12 בדצמבר 2013

פרדוקס התאומים, הפיתרון המלא.



ברשימה הקודמת בנושא הגענו למסקנה הבאה: אינטרוול זמן עצמי יראה תמיד ארוך יותר ממערכת התמד אחרת. כך למשל, אם אני ואתה נעים זה ביחס לזה במהירות יחסית המקיימת \(\gamma=3600\), אזי שנייה בשעוני תימשך לך שעה, ושנייה בשעונך תימשך לי שעה. כל אחד מאיתנו רואה את שעונו של השני מתקתק פי \(3600\) יותר לאט מזה שלו עצמו.

לכאורה נראה שמציאות מסוג זה בלתי מתקבלת על הדעת. אצל מי מהשניים מתקתק השעון לאט יותר באמת? על רקע זה נוסח פרדוקס התאומים: שני תאומים הנמצאים בכדה"א מסנכרנים שעונים (כאן כדור הארץ מדמה - בקירוב מצויין - מערכת התמד). האחד יוצא למסע במהירות יחסותית לכוכב רחוק ובהגיעו ליעדו חוזר מייד חזרה. לאחר שחזר ומאחר שחזר, מי מהתאומים זקן יותר? אצל מי מהם תקתק השעון לאט יותר באמת? היות ותמונת העולם של השניים סמטרית כביכול (כל אחד רואה ממערכת המנוחה שלו עצמו את השני מאיץ ומתרחק) הרי שכל אחד מהם רואה את שעונו של אחיו התאום מתקתק לאט יותר...

למעשה יש לפרדוקס שני נוסחים, האחד דמיוני למדי, השני ריאלי. הנוסח הדמיוני מדבר על מהירות אחידה בדרך ליעד ומהירות אחידה זהה בכיוון ההפוך. אין תאוצות, אין מפגשים. האח הנוסע מחליף כיוון בבת אחת בהגיעו ליעד ובהחלפת הכיוון הזו, כך מסתבר, טמון פתרון הפרדוקס כפי שאפשר לקרוא מתוך דיאגרמת מינקובסקי המתארת את המסע. היות ונוסח זה אינו מציאותי לא אטפל בו (תוכלו לקרוא על כך בקישור). הנוסח השני ריאלי באמת: האח הנוסע מאיץ ממהירות אפס עד לערך מקסימלי כלשהו של מהירות, מאיט בדרך אל היעד עד לעצירה מוחלטת וחוזר באותו האופן. בזה אטפל בפרוטרוט כאן.

ראשית, הבה נגדיר שני מושגים חשובים.

  1. צופה יקרא מאיץ אם הוא חש כוחות מדומים אותם ניתן לתרגם לקריאה כלשהי על מד תאוצה הנמצא במערכת המנוחה שלו עצמו.
  2. יהא \(\tau\) זמן עצמי במערכת מנוחה \(\mathcal{O}''\left(\tau\right)\) של צופה מאיץ. מערכת התמד רגעית היא אוסף אינסופי של מערכות התמד \(\left\{\mathcal{O}'_{\tau}\right\}\) המתוייגות כולן באמצעות הפרמטר הרציף \(\tau\),  כך ש- \(\mathcal{O}'_{\tau}=\mathcal{O}''(\tau)\;\forall\;\tau\).

פירושו של דבר הוא שכל אחת ואחת מהמערכות \(\mathcal{O}'_{\tau}\) שבאוסף מתלכדת באופן רגעי בזמן \(\tau\) עם מערכת המנוחה של הצופה המאיץ \(\mathcal{O}''(\tau)\). 

נחזור עתה אל שני התאומים וניעזר בהגדרות מלמעלה: נסמן את מערכת היחוס של האח שנשאר על פני כדור הארץ באות \(S\). זוהי מערכת התמד היות ואין מורגשים בה כוחות מדומים. מערכת המנוחה של האח המאיץ - זה שיצא למסע הרחוק והזמן העצמי שהוא מודד בשעונו מתוייג באמצעות הפרמטר \(\tau\) - תסומן ב-\(S''\left(\tau\right)\), ואליה נצמיד מערכת התמד רגעית \(\left\{S'_{\tau}\right\}\) בה ניתן לרשום במדוייק את כל הקורות ב-\(S''\) - באופן רגעי כמובן, בכל זמן \(\tau\). היות ו-\(S'_{\tau}\) היא מערכת התמד, הרי שחלים בה (רגעית, מן הסתם) כל הכללים הנגזרים מהיחסות הפרטית.

הואיל ומערכת ההתמד הרגעית מתוייגת באמצעות פרמטר רציף, ומכיוון שבכל רגע ורגע היא מתלכדת עם מערכת המנוחה של האח המאיץ, נוכל לראותה פשוט כמערכת התמד הצמודה לו ובה נרשמים קורתיו באופן רגעי. למה הדבר דומה? לנסיון לשחזר עקומה חלקה באמצעות אינסוף הישרים המשיקים לה בכל נקודה ונקודה. תקין לחלוטין.

מד התאוצה התלוי על כותל החללית המאיצה של האח ההרפתקן מודד תאוצה תלויית זמן \(g\left(\tau\right)\) באשר \(\tau\) הזמן העצמי שלו עצמו. תאוצה תלויית זמן ביחס למה? ביחס לכל מערכת ההתמד באשר היא. ובאיזה מערכת התמד היא נרשמת? במערכת ההתמד הרגעית הצמודה לו והמתוייגת גם היא באמצעות הזמן העצמי שלו. שהרי זוהי המערכת בה נרשמים כל השינויים החלים ב-\(S''\), ובפרט גם השינוי הרגעי במהירות \(\mathrm{d}u'=g\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau\) כפי שהוא בא לידי ביטוי באמצעות הכוחות המדומים. הילכך,
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}\tau}\:=\:g\left(\tau\right).\end{aligned}
עתה עלינו לבצע טרנספורמציית לורנץ כדי לקבל את התאוצה הזו כפי שהיא ניצפית ממערכת ההתמד \(S\). ומשום מה אנו מתעניינים באופן בו היא ניצפית מ- \(S\)? משום שאנו מעוניינים לבצע השוואה בין שני האחים וכדי לבצע השוואה כזו אין לנו אלא להביאם למערכת משותפת.

הערה: מהירותו של האח המאיץ מתאפסת במערכת \(S''\), שהרי בהגדרה כל אחד נמצא במנוחה במערכת המנוחה שלו עצמו. לכן במערכת ההתמד הרגעית \(S'\) הצמודה למערכת המנוחה של התאום המאיץ נקבל עבור כל נקודת זמן-עצמי ספציפית \(u'(\tau^{\star})=0\); ובה בעת בהכרח \(\mathrm{d}u'(\tau^{\star})\neq0\) כפי שמכתיב מד התאוצה. למה הדבר דומה? אם נרכיב עקומה מאוסף כל משיקיה, הרי שלכל אחד ואחד מהמשיקים הללו שיפוע נתון וקבוע, אבל בנועינו על העקומה אנו מדלגים ברציפות ממשיק למשיק והשיפוע משתנה.

נוסחת הטרנספורמצייה של התאוצה שפיתחנו בפרק הקודם עבור המקרה \(u=v\) (מדוע זהו המקרה שלנו?) מנפקת את הקשר \(a'=\gamma^{3}a\) (הראו זאת, מיידי) ואילו נוסחת ההתמתחות בזמן מנפקת את היחס \(\mathrm{d}t=\gamma\,\mathrm{d}\tau\). נצרף את כל המידע ונקבל:
\begin{aligned}g\left(\tau\right)&=\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}\tau}=\gamma^{3}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\\&=\gamma^{2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\tau}\end{aligned}
או \(\gamma^{2}\left(u\right)\mathrm{d}u=g\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau\) באשר \(u\) היא המהירות (הרגעית!) של מערכת ההתמד הרגעית הצמודה לתאום המאיץ, כפי שהיא ניצפת ע"י התאום המתמיד ב-\(S\), ו-\(\gamma\left(u\right)\) הוא פקטור גאמה המתאים למהירות זו. קיבלנו אם כן משוואה דיפרנציאלית פשוטה ביותר ופתרונה
\begin{aligned}u\left(\tau\right)\;=\;c\,\tanh\left[\frac{1}{c}\int_{\tau_{0}}^{\tau}g\left(\tau'\right)\mathrm{d}\,\tau'\right],\end{aligned}
או \(\beta\,\left(\tau\right)=\tanh\psi\,\left(\tau\right)\). זוהי תוצאה יפהפיה והיא מכלילה את הקשר \(\beta=\tanh\psi\) למקרה של מערכות מאיצות. שימו לב שלא משנה עד כמה גדולה היא התאוצה, ולא משנה כמה זמן עצמי נאיץ, את מהירות האור לעולם לא נשיג היות ו- \(\beta=1\) רק כאשר \(\psi\to\infty\).

מכאן קצרה הדרך לתאר את ההעתקים ומרווחי הזמן כפי שהם נצפים מ-\(S\) במונחים של הזמן העצמי הנמדד על שעונו של האח המאיץ. הבה נראה:
\begin{aligned}u\left(\tau\right)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}x}/{\mathrm{d}\tau}}{{\mathrm{d}t}/{\mathrm{d}\tau}}=\frac{c\sinh\psi\left(\tau\right)}{\cosh\psi\left(\tau\right)}\end{aligned}
כלומר מתקבלות שתי משוואות דיפרנציאליות שפתרונן מנפק את מה שמכונה "קווי העולם" של האח המאיץ מנקודת מבט של האח המתמיד, כלומר את "תנועתו" במרחב מינקובסקי של האח המאיץ מנקודת מבטו של האח המתמיד, כפונקציה של הזמן העצמי האינווריאנטי:
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}&=c\sinh\psi\left(\tau\right)\\\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}&=\cosh\psi\left(\tau\right)\,.\end{aligned}
כעת אפשר לגשת לת'כלס. הבה נניח שתאוצתו העצמית של האח המאיץ היא קבועה, ושיעורה כשיעורה של תאוצת הנפילה החופשית ע"פ כדה"א, כלומר \(g\left(\tau\right)\equiv{g}=10(\text{m}/\text{sec}^{2})\). במקרה זה \(\psi=g(\tau-\tau_{0})/c=g\Delta\tau/c\). אינטגרציה מפורשת (מיידי) של המשוואות הדיפרנציאליות מלמעלה נותנת:
\begin{aligned}\Delta{x}&=\frac{c^{2}}{g}\left[\cosh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)-1\right]\\\Delta{t}&=\frac{c}{g}\sinh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)\end{aligned}
באשר רשמנו \(\Delta{t}\equiv{t}-t_{0}\), \(\Delta{x}\equiv{x}-x_{0}\) ולכן \(t(\tau=\tau_{0})=t_{0}\) וכן \(x(\tau=\tau_{0})=x_{0}\).

האם קיבלנו תוצאה המתלכדת עם הגבול הקלאסי למקרה בו האח היוצא לדרכו מאיץ זמן קצר ואחר ממשיך במהירות קצובה? You bet! בואו נראה זאת: במקרה זה \(g\Delta\tau/c\ll1\) ואז ניתן להסתפק בסדר הראשון בפיתוח לטור חזקות של הפונקציות ההיפרבוליות:
\begin{aligned}\cosh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)&\approx1+\frac{1}{2}\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)^{2}\\\sinh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)&\approx\frac{g\Delta\tau}{c}\end{aligned}
נציג זאת חזרה בביטויים עבור מרווחי הזמן והמקום ונקבל \(\Delta{t}\approx\Delta\tau\) וכן \(\Delta{x}\approx{g}\left(\Delta{t}\right)^{2}/2\). יותר גלילאני מזה לא יכול להיות...

בואו נבדוק עתה מה קורה במקרה של תאוצה המתמשכת זמן עצמי רב מאוד, למשל עשר שנים. המהירות אליה הגיע האח המאיץ בתום עשר שנות האצה כפי שהיא נמדדת ממערכת ההתמד של האח שנשאר על כדה"א היא \(u=c\tanh(g\Delta\tau/c)=0.999999998c\) ומשך זמן המסע הוא  \(\Delta{t}\approx17,482\) שנים. היות ואת חלק הארי של הדרך בילה הנוסע שלנו במהירות הקרובה מאוד למהירות האור, זהו גם בערך המרחק שעבר בשנות אור.

שימו לב שמרווח הזמן במערכת \(S\) אינו רגיש לסימן של \(g\) כך שבין אם האח התאום מאיץ ובין אם הוא מאט, הזמן העצמי שלו יראה תמיד ארוך יותר מנקודת מבטו של האח המתמיד. לכן אם האח התאום האץ עשר שנים עצמיות בתאוצה \(g\) ואז האט עשר שנים עצמיות בדיוק באותה תאוצה, ומייד לאחר מכן שב וחזר על עיקבותיו באותו האופן בדיוק, הרי שבתום ארבעים שנים (זמן עצמי) ומסע על פני \(70,000\) שנות אור בקירוב, הוא מוצא עצמו חזרה בבית עם אח המבוגר ממנו בכמעט \(70,000\) שנים. עתה ברור מי נשאר צעיר ומי מזדקן;

יוצא איפה שמצב של תאוצה שונה במהותו ממצב של התמדה ואין לייחס סימטריה לנקודות המבט בין צופים הנמצאים במערכות שאינן שקולות זו לזו. מקרה התאומים מופיע כפרדוקס רק אם מניחים בשוגג שיש סימטריה בין מערכות הייחוס של שני האחים.


רשימת המשך: "אופק אירועים ביחסות פרטית?"

לא רואים את התגובות? נערו את הדף.