יום רביעי, 9 באוקטובר 2013

על מהירות, תאוצה, והתמתחות הזמן


המבנה המטרי של מרחב מינקובסקי \((M,\eta)\) ניתן לאפיון מלא באמצעות המטריקה, כלומר (ריבוע) אלמנט האורך האינפיניטסימלי המקשר בין שני מאורעות סמוכים. בקואורדינטות קרטזיות זה יראה כך:
 \begin{aligned}\left(\mathrm{d}s\right)^{2}\,=\,\underbrace{c^{2}\left(\mathrm{d}t\right)^{2}-\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{\displaystyle\left(\mathrm{d}X\right)^{T}\eta\,\left(\mathrm{d}X\right)}\,=:\,c^{2}\left(\mathrm{d}\tau\right)^{2}\end{aligned}

היכן ש- \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=(\mathrm{d}x)^{2}+(\mathrm{d}y)^{2}+(\mathrm{d}z)^{2}\) מייצג את המטריקה ב-\(\mathbb{E}_{3}\). אלמנט המרחק \(\left(\mathrm{d}s\right)^{2}\) הוא אינווריאנט של טרנספורמציית לורנץ שהרי מדובר בתבנית בילינארית, ובדומה למה שכבר הראנו ברשימה הקודמת, 
\begin{aligned}\left(\mathrm{d}s'\right)^{2}&=\left(\mathrm{d}X'\right)^{T}\eta\,\left(\mathrm{d}X'\right)=\left(L\mathrm{d}X\right)^{T}\eta\,\left(L\mathrm{d}X\right)\\&=\left(\mathrm{d}X\right)^{T}\left(L^{T}\eta\,L\right)\left(\mathrm{d}X\right)=\left(\mathrm{d}X\right)^{T}\eta\,\left(\mathrm{d}X\right)=\left(\mathrm{d}s\right)^{2}.\end{aligned}

ומי זה הפרמטר החדש \(\tau\) שהצגנו בביטוי המגדיר את המטריקה? ובכן, רצף של מאורעות המתקיים באותו מקום בדיוק ב-\(\mathbb{E}_{3}\) מגדיר "שעון" מקומי. במקרה זה \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}=0\) ואנו מקבלים
 \begin{aligned}\left(\mathrm{d}s\right)^{2}=c^{2}\left(\mathrm{d}t\right)^{2}=c^{2}\left(\mathrm{d}\tau\right)^{2}\end{aligned}
כלומר עבור כל שעון מקומי מתלכדת קואורדינטת הזמן שלו עם הפרמטר \(\tau\) שמימדו הוא כמובן זמן. בדיוק מסיבה זו מכונה פרמטר זה "זמן עצמי" (ובאנגלית proper time, כלומר "זמן נאות") והוא מתייג את הזמן במערכת המנוחה הצמודה לשעון. זאת ועוד, היות ו-\((\mathrm{d}s)^{2}\) הוא אינווריאנט של מערכות התמד, כך גם \(\mathrm{d}\tau\) וכמובן גם \(\tau\). יוצא איפה שהזמן העצמי מנפק תקתוק אוניברסלי...

מה הקשר בין אינטרוול זמן אינפיניטסימלי במערכת שלי לבין אינטרוול זמן במערכת שלך בהנחה ששנינו נמצאים במצב של התמדה, ושהמהירות היחסית בין שנינו היא \(\left|v\right|\)? ובכן, קל לענות על כך; הבה נניח שאת\ה משגר\ת לעברי שני פולסים של אור במרווחי זמן קצרים כרצוננו. היות והפולט (פנס הלייזר שבידך) נמצא במנוחה במערכת שלך, הרי שמרווח הזמן בין שני הפולסים כפי שהוא נמדד אצלך מתוייג באמצעות הזמן העצמי \(\mathrm{d}\tau\). ומנגד, אותו מרווח זמן עצמו מתוייג אצלי באמצעות \(\mathrm{d}t\). אבל כמו שראינו, הזמן העצמי הוא אינווריאנט של טרנספורמציה בין מערכות התמד, כלומר אינווריאנט תחת בוסטים. נוכל אם כן להשוות את המטריקה כפי שהיא נרשמת אצלך למטריקה כפי שהיא נרשמת אצלי:
\begin{aligned}c^{2}\left(\mathrm{d}t\right)^{2}-\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=c^{2}\left(\mathrm{d}\tau\right)^{2}\end{aligned} 
וכאן \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) הוא המרחק שאנו גומעים אחד ביחס לשני\ה במהלך הזמן \(\mathrm{d}t\) כפי שהוא נמדד במערכת ההתמד שלי (תוכל\י להסביר מדוע?). נחלק עתה את המשוואה הנ"ל ב-\(c^{2}/(\mathrm{d}t)^{2}\), ומאחר ו- \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}/\mathrm{d}t=\boldsymbol{v}\) נקבל מיד
\begin{aligned}1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{\left(\mathrm{d}\tau\right)^{2}}{\left(\mathrm{d}t\right)^{2}}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{d}t=\gamma\,\mathrm{d}\tau,\end{aligned}
היכן ש \(v=\left|\boldsymbol{v}\right|\) ו- \(\gamma=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2}\). הבה נדגיש: הזמן העובר בין שני סיגנלים במערכת שלך הוא זמן עצמי היות ואת\ה ייצרת את הסיגנלים; הזמן לפיו אני מודד איננו זמן עצמי היות ואני מקבל את הסיגנלים. ברור שבגבול הגלילאני שבו \(\gamma\to1\) נקבל \(t\approx\tau\) כלומר בגבול זה שני תיוגי הזמן מתלכדים ואז אין באמת משמעות להבדל בין זמן עצמי (אינווריאנט) לקואורדינטת הזמן (וריאנט). נבצע עתה אינטגרציה על פני מרווח סופי של זמן עצמי \(\Delta\tau=\tau_{2}-\tau_{1}\neq0\) ונקבל
\begin{aligned}\Delta{t}=\gamma\Delta\tau\,.\end{aligned}

זהו האפקט המפורסם של time-dilation: אינטרוול זמן עצמי תמיד יראה ארוך יותר ממערכת התמד אחרת. כך למשל אם המהירות היחסית ביננו היא כזו ש-\(\gamma=2\), אז שנייה אצלך תיארך שתי שניות אצלי. ואולם כאשר אני הוא זה שמייצר את הסיגנלים לצרכי מדידה, שנייה אצלי (זמן עצמי) תיארך שתי שניות אצלך (זמן מערכת). יוצא אם כן שאפקט התמתחות הזמן סימטרי לחלוטין ביחס לשני הצופים מתמידים, כפי שאפשר היה לשער מלכתחילה מתוך הסימטריה המלאה הקיימת בין כל שתי מערכות התמד.

טוב ויפה, אבל איך זה יכול להיות? אם שנינו נעים זה ביחס לזה כך ש- \(\gamma=10\) כיצד זה שכל אחד רואה את השעון של השני מתקתק פי עשרה יותר לאט? מי צודק ומי טועה והאם בכלל המצב הזה אפשרי. התשובה היא: לא זו בלבד שזהו מצב אפשרי, זו אמת אמפירית והיא נטולת כשלים לוגיים. את פרדוקס התאומים המפורסם אתאר ואתיר ברשימה הבאה. אבל לפני כן, וכהכנה לכך, הבה נפתח ביטוי מתאים לטרנספורמציה של תאוצות.

הבה נתבונן בחלקיק מאיץ לאורך ציר ה-\(x\). תהינה \(u\) ו- \(a\) מהירותו הרגעית ותאוצתו הרגעית בהתאמה כפי שהן נצפות במערכת ההתמד \(S\) המתוייגת באמצעות הקואורדינטות \(x\) ו- \(t\). מה תהינה מהירותו ותאוצתו במערכת \(S'\) הנעה במהירות \(v\) בכיוון ציר ה-\(x\) החיובי ביחס ל-\(S\)? ובכן, הבה נתבונן שוב בטרנספורמציית לורנץ בגרסתה התלת-מימדית, היותר "מלוכלכת"... אם \(t'\) ו- \(x'\) הם התיוגים המתאימים במערכת \(S'\), אז

\begin{aligned}t'&=\frac{t-vx/c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\\x'&=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\end{aligned}
כפי שחישבנו ברשימה הקודמת. זיכרו ש-\(v\) - המהירות בין שתי מערכות היחוס - הוא גודל שאינו תלוי בזמן. ניקח דיפרנציאל למשוואות הטרנספורמציה ונקבל,

\begin{aligned}\mathrm{d}t'&=\gamma_{v}\left(\mathrm{d}t-v\,\mathrm{d}x/c^{2}\right)\\\mathrm{d}x'&=\gamma_{v}\left(\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d}t\right)\,;\end{aligned}

הסימול \(v\) ב- \(\gamma_{v}\) בא להדגיש את העובדה ש-\(\gamma\) מתייחסת למהירות היחסית \(v\), ואין לה כל קשר למהירות החלקיק \(u\). מכאן נגזור על נקלה את נוסחאות הטרנספורמציה למהירות (למעשה כבר קיבלנו זאת באופן לא פחות אלגנטי כתרגיל של הרשימה הקודמת):

\begin{aligned}u'=\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}=\frac{\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t-v\,\mathrm{d}x/c^{2}}=\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-v}{\displaystyle1-\frac{v}{c^{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{u-v}{1-vu/c^{2}}\end{aligned}

ומכאן קצרה הדרך לחישוב נוסחת הטרנספורמיה עבור התאוצה: ראשית נחשב את הדיפרנציאל של המהירות במערכת המתוייגת במונחים של דיפרנציאלים במערכת הלא מתוייגת,

\begin{aligned}du'&\;=\;\frac{\mathrm{d}{u'}}{\mathrm{d}{u}}\mathrm{d}u\;=\;\frac{1\times\displaystyle\left(1-\frac{vu}{c^{2}}\right)-\left(u-v\right)\times\left(-\frac{v}{c^{2}}\right)}{\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{2}}\mathrm{d}u\\&\;=\;\frac{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}{\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{2}}\mathrm{d}u\end{aligned}

ומכאן,
\begin{aligned}a'&\;=\;\frac{du'}{dt'}=\frac{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}{\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\gamma_{v}\left(\mathrm{d}t-\displaystyle\frac{v\,\mathrm{d}x}{c^{2}}\right)}\\&\;=\;\frac{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}{\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{2}}\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}}{\gamma_{v}\left(1-\displaystyle\frac{v}{c^{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}\\&\\&\;=\;\frac{a}{\gamma_{v}^{3}\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{3}}\end{aligned}

שימו לב שנוסחת הטרנספורמציה של התאוצה הרגעית מערבת גם את המהירות הרגעית... נוסחא זו תשמש אותנו בבואנו להתיר את פרדוקס התאומים במתכונתו הריאלית וה(כמעט-) כללית ביותר. על כך ברשימה הבאה.