יום חמישי, 26 בספטמבר 2013

טרנספורמציות לורנץ במרחב מינקובסקי



לפני שנגיע למערכות מואצות, הבה נתאר בקצרה את הסמטריה העולה מהשקילות של מערכות התמד, ולשם כך אקדיש שתים-שלוש רשימות קצרות;

ובכן, כפי שהדגשתי כמה פעמים בעבר, שקילותן הפיזיקלית של כל מערכות ההתמד מחייבת ואקום משותף לכולן ולכן גם מהירות אור משותפת לכולן שהרי מהירות האור איננה אלא החותם האלקטרומגנטי של הואקום. מה משמעות הדבר?

הבה נתבונן בשתי מערכות התמד \(S\) ו- \(S'\) אותן נתאר באמצעות קואורדינטות קרטזיות כך ששלושת הצירים במערכת האחת מקבילים לשלושת הצירים במערכת השנייה בהתאמה; כך למשל, ציר \(x\in{S}\) מקביל לציר \(x\in{S}'\) וכ'. בכל אחת מהמערכות הללו יושב שעון נייח ותקתוקו מתייג את הזמן באותה מערכת. לנוחותינו נסדר את שתי המערכות כך שראשית הצירים של שתיהן מתלכדת בראשית הזמן של שתיהן, כלומר \(t=t'=0\). שימו לב שאנו נזהרים מלהניח מראש שתיוג הזמן בשתי המערכות זהה (מן הסתם, הוא לא).

עוד נניח שצופה במערכת \(S\) רואה את \(S'\) נעה במהירות קצובה \(v\) בכיוון ציר ה-\(x\) החיובי שלו, היינו בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{x}}\), ולכן צופה ב-\(S'\) רואה את \(S\) נעה במהירות קצובה \(-v\) לאורך ציר \(x'\) השלילי שלו, היינו בכיוון \(-\widehat{\boldsymbol{x}}'\). גם כאן אנו נזהרים מלהניח מראש שוקטורי היחידה בשתי המערכות מתלכדים באורכם (מן הסתם, הם לא). ראוי להדגיש שעקביות מחייבת שהמהירות היחסית בין שתי המערכות ניראת אותו הדבר משתיהן, עד כדי סימן כמובן. 

בזמן \(t=0\) שולח הצופה במערכת \(S\) סיגנל אור לעבר זה הנמצא ב- \(S'\). היות ומהירות האור הנמדדת בשתי מערכות ההתמד זהה, יתארו שני הצופים שלנו את תנועת האור, איש איש במערכתו הוא, באמצעות שתי המשוואות

\begin{aligned}c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}&=0\\c^{2}(t')^{2}-(x')^{2}-(y')^{2}-(z')^{2}&=0\,.\end{aligned}

מתוך שתי משוואות אלו ומנתוני הבעיה נוכל למצוא על-נקלה קשר לינארי בין ארבעת הפרמטרים \(\left(x,y,z,t\right)\) לבין ארבעת הפרמטרים \(\left(x',y',z',t'\right)\). הבה נעשה זאת במפורש;

היות והתנועה היחסית מתרחשת רק בציר \(x\) נוכל לרשום \(y'=y\), \(z'=z\) ולמקד עניינו בתת המרחב הדו-מימדי \(t\)-\(x\). ובכן, אנו מחפשים ארבעה מקדמים \(A,B,C,D\) התלויים במהירות היחסית בין המערכות והמקיימים את המערכת הלינארית
\begin{aligned}t'&=At+Bx\\x'&=Ct+Dx\end{aligned}
כך שהמיפוי המתקבל הוא הפיך. ובכן, הראשית של \(S'\) היא \(x'=0\) והיא מתאימה ל- \(x=vt\). הראשית של \(S\) היא \(x=0\) והיא מתאימה ל- \(x'=-vt'\). משתי משוואות אלו מייד נקבל \(C=-vD=-vA\) ולכן \(D=A\). עתה נשתמש בתנאי זהות מהירות האור בשתי המערכות: נציג בטרנספורמציה \(D=A\), \(C=-vA\), נפתור עבור \(A\) ו-\(B\) ונקבל:

\begin{aligned}t'\,=\,\frac{t-vx/c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad{x}'\,=\,\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\end{aligned}

באופן לא מפתיע, הגבול \(v/c\to0\) מנפק את חוק הטרנספורמציה הגלילאני המוכר לכולנו מחווית היום-יום, \(x'=x-vt\) ו- \(t'=t\). ואולם היכן שלא ניתן עוד להזניח את היחס \(v/c\) מקבלים חוקי טרנספורמציה שונים לחלוטין. ובפרט, הזמן מתקתק אחרת בשתי המערכות.

המיפוי הנ"ל מכונה בטרמינולוגיה של הפיזיקאים "בוסט" (boost) בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{x}}\); אנו "דוחפים" (ואולי נכון יותר לומר "דוחקים") את נקודת המבט ה-\(S\)-ית לעבר \(S'\) ומקבלים את התיוג ב-\(S'\) במונחים של התיוג ב-\(S\). כמובן שניתן גם לפתח נוסחאות טרנספורמציה כלליות לבוסט בכיוון כללי כלשהו אבל לא זו מטרתנו כאן; אנו נסתפק בתאור התנועה לאורך קו ישר היות ודי בזה להדגים את התכונות הבסיסיות (והמיוחדות) של התורה.

בחינה של נוסחאות הטרנספורמציה שקיבלנו מראה מיד: המיפוי הוא בעל משמעות כל עוד \(v<c\), ולמעשה מתבדר בגבול בו \(v\to c\). ברי שלא קיימת מערכת התמד הנעה במהירות האור ביחס למערכת התמד אחרת שהרי במקרה זה אי אפשר היה לטעון שהאור במערכת זו נע במהירות האור. מכאן אנו למדים שלאור עצמו אין (וגם לא יכולה להיות) מערכת מנוחה. לכן גם אין כל משמעות לשאלה מהי המהירות היחסית בין שני פוטונים הנעים בכיוונים מנוגדים. זה לא שאין לשאלה הזו תשובה; האמת הפשוטה היא שבמסגרת התורה שניסחנו אין השאלה הזו כלל בחזקת שאלה...

ערבוב תיוגי הזמן והמקום מצביע על כך ששני אלו בתוספת שני הכיוונים הניצבים פורשים מרחב וקטורי ארבע-מימדי, אותו מקובל לציין באות \(M\). מרחב ארבע-מימדי זה ממדל את האיחוד של המרחב והזמן לכדי ישות מונוליטית אחת, הלא היא המרחב-זמן (spacetime). המעבר ממערכת התמד אחת לאחרת מערבב בין קואורדינטות הזמן והמקום והיות וכל מערכות ההתמד שקולות זו לזו לא נשארת בידנו ברירה אלא לקבל את ההאחדה הזו כהכרח של עקביות.

משוואות שימור מהירות האור במעבר ממערכת התמד אחת לרעותה משרה על המרחב-זמן מבנה מטרי \(\eta\) וטרנספורמציות המעבר בין מערכות ההתמד הורכבו כך שתשמרנה אותו. למרחב המטרי \(\left(M,\eta\right)\) שהתקבל אנו קוראים מרחב מינקבסקי על שם הרמן מינקובסקי. לכל צופה (או לכל מאורע) במערכת התמד נתונה משוייך וקטור-קאורדינטות \(X=(ct,x,y,z)\) והבוסטים הם "סיבובים" משמרי אורך ביחס למטריקה
\begin{aligned}\eta=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)\end{aligned}
כפי שנראה מיד.

כל נקודה במרחב מינקובסקי מכונה "מאורע" ואנו מתייחסים אליו (לפחות במסגרת תורת היחסות הפרטית) כאל ממשות עליה מסכימים כל הצופים בכל מערכות ההתמד. תיוג המאורע מגדיר מערכת יחוס והמעבר מתיוג לתיוג מתבצע באמצעות הבוסטים. לכן צופים שונים הנמצאים במערכות התמד שונות צפויים לתייג מאורעות ספציפיים באופן שונה זה מזה, אבל הם חייבים להסכים על ממשות המאורע ועל תאור יחיד ומדוייק בכל מערכת ומערכת.

הבה נסגל לעצמנו רישומים קומפקטיים יותר המתאימים יותר לנקודת המבט החדשה שלנו על המציאות. ראשית, מטבע הדברים נוח לרשום \(x^{0}:=ct\) וכדי לשמור על אחידות ברישום, \(x^{1}:=x,\;x^{2}:=y,\;x^{3}:=z\). לכן וקטור הקואורדינטות \(X=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\) במערכת \(S\) עובר תחת הבוסט לוקטור הקואורדינטות \(X'=(x^{0'},x^{1'},x^{2'},x^{3'})\); בשפה מקוצרת (שפת האלגברה הלינארית) \(X'=LX\) והיות והטרנספורמציה הפיכה, \(X=L^{-1}X'\), \(L\)  בשביל לורנץ...

הערת ביניים: שלושת הדחיפות (בוסטים) במרחב מינקובסקי (המערבבות זמן ומרחב) בתוספת שלושת הסיבובים במרחב התלת מימדי (המערבבים מרחב ומרחב) מרכיבים חבורת טרנספורמציות המכונה חבורת לורנץ. מדוע הם מרכיבים דווקא חבורה ואיזה סוג של חבורה, זאת בפעם אחרת ברשימה שכל כולה תוקדש לאלגברות לי והיא תתקשר דווקא לאופרטורי היצירה וההשמדה של המכניקה הקוונטית... אבל בשם "טרנספורמציית לורנץ" מקובל להשתמש משום מה רק כשמדובר בדחיפות. למעשה, חבורת לורנץ היא חבורת האיזומטריות של המטריקה \(\eta\) במרחב מינקובסקי. אם נוסיף לדחיפות ולסיבובים גם את ארבעת ההזזות המתאימות לשלושת הצירים המרחביים ולציר הזמן נקבל את חבורת פואנקרה על עשרת יוצריה. במונחים גלובליים, ומבלי להיכנס לפרטים,
  • ההנחה בדבר האיזוטרופיות של המרחב מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת שלושת הסיבובים במרחב; במקרה זה משפט נטר מנפק את חוק שימור התנע הזוויתי.
  • ההנחה בדבר שקילותן של כל מערכות ההתמד מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת דחיפות; דרישה זו מובילה לתורת היחסות הפרטית.
  • ההנחה בדבר ההומוגניות של המרחב והזמן מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת ארבעת ההזזות; במקרה זה משפט נטר מנפק שימור תנע-אנרגיה.
וכך יוצא שחבורת פואנקרה היא חבורת סמטריות המרחב-זמן הבסיסית אותה חייבת לקיים כל תורה פיזיקלית, לפחות באופן גלובלי.

חזרה לענייננו: ראשית נציג את המהירות המנורמלת \(\beta=v/c\). שימו לב, אמנם \(\beta\) היא גודל חסר יחידות אבל לא צריך להיבהל; במרחב-זמן גם \(\mathrm{d}x^{1}/\mathrm{d}x^{0}\) מבטא מהירות חסרת יחידות. באותה נשימה נציג גם את גורם לורנץ \(\gamma=(1-\beta^{2})^{-1/2}\); הקירוב הגלילאני התואם את החוויה היומיומית יאופיין מעתה בלקיחת הגבולות \(\beta\to0\) ו- \(\gamma\to1\). במונחי שני הפרמטרים הללו מקבלת טרנספורמציית לורנץ במרחב מינקובסקי את המבנה הקומפקטי והסימטרי

\begin{aligned}x^{0'}&=\gamma\left(x^{0}-\beta{x}^{1}\right)\\x^{1'}&=\gamma\left(x^{1}-\beta{x}^{0}\right).\end{aligned}

אם \(\bar{X}=\left(x^{0},x^{1}\right)\) מציין את וקטור הקואורדינטות הדו-מימדי בתת המרחב הרלוונטי, אזי נוכל לרשום את משוואות הטרנספורמציה הנאות הללו בכתיב המטריצי \(\bar{X}'=L\left(\beta\right)\bar{X}\) וכן  \(\bar{X}=L^{-1}\left(\beta\right)\bar{X}'\) עם המטריצות

\begin{aligned}L\left(\beta\right)&=\begin{pmatrix}\gamma&-\gamma\beta\\-\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix},\qquad{L}^{-1}\left(\beta\right)=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}.\end{aligned}

ובפרט, \(L^{-1}(\beta)=L(-\beta)\). קל להיווכך שהדטרמיננט של המטריצות הללו הוא פשוט אחד,
\begin{aligned}\text{det}\,L=\text{det}\,L^{-1}=\gamma^{2}-\gamma^{2}\beta^{2}=\gamma^{2}\left(1-\beta^{2}\right)=1\,;\end{aligned}
מחד גיסא, דטרמיננט השווה לאחד קשור תמיד בטרנספורמציות אורתוגונליות. מאידך גיסא, קל מאוד להיווכך (היווכחו) ש- \(L^{T}\neq{L}^{-1}\). מדוע אם כן אין הבוסטים מיוצגים באמצעות מטריצות אורתוגונליות? ובכן, אם סיבובים מוגדרים כטרנספורמציות משמרות אורך, ואם האורך במרחב מינקובסקי מוגדר דרך המטריקה \(\eta\)  - כלומר באמצעות התבנית הבי-לינארית  \(X^{2}=X^{T}\eta{X}\) - אזי

\begin{aligned}(X')^{2}&=(X')^{T}\eta\,{X'}=(LX)^{T}\eta(LX)=(X^{T}L^{T})\eta\,({L}X)\\&=X^{T}\left(L^{T}\eta\,{L}\right)X=X^{T}\eta\,{X}=X^{2}\end{aligned}

שהרי טרנספורמציות לורנץ הן האיזומטריות של המרחב המטרי \(\left(M,\eta\right)\) כלומר אלו הן אותן טרנספורמציות אשר מעצם הבנייתן מקיימות \(L^{T}\eta{L}=\eta\).

ולסיום, הבה נציג פרמטר חדש \(\psi\) המכונה בלע"ז rapidity (ובעברית מאונגלזת רפידיטי) באופן הבא:
\begin{aligned}\left.\begin{array}{r}\gamma=:\cosh\psi\\\gamma\beta=:\sinh\psi\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\beta=\tanh\psi\end{aligned}

או \(\psi=\tanh^{-1}\beta\). הפרמטריזציה באמצעות הרפידיטי מביאה את הבוסטים (או הדחיפות או הדחיקות...) להיראות כמעט כמו מטריצות סיבוב...

\begin{aligned}\begin{pmatrix}x^{0'}\\x^{1'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\psi&-\sinh\psi\\-\sinh\psi&\cosh\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{pmatrix}\end{aligned}

למעשה אפשר לפרשן את המטריצות הללו כסיבובים "אמיתיים" במרחב אאוקלידי עם זווית הסיבוב המדומה \(\vartheta=i\psi\)... מוגש כתרגיל בית.


תרגילים:
  1. בצעו את "הסיבוב של וויק" (Wick rotation): עיברו מתאור המרחב-זמן באמצעות המרחב המטרי \((M,\eta)\) לתיאור המרחב-זמן באמצעות המרחב המטרי \((E,\delta)\) (היינו באמצעות מרחב אאוקלידי ארבע מימדי היכן שהמטריקה היא הדלתא של קרוניקר) זאת באמצעות הגדרה מחודשת של הקואורדינטת הזמנית כ- \(x^{0}=ict\). תקנו את משוואות הטרנספורמציה בהתאם (כמעט טריוויאלי) והראו עתה שהבוסטים במרחב מטרי זה (התמקדו בתת-המרחב הרלוונטי) אכן מתארים סיבובים אמיתיים בזווית המדומה \(\vartheta=i\psi\), כש-\(\psi\) היא הרפידיטי. 
  2. עשו שימוש בפרמטר הרפידיטי והראו שטרנספורמציות לורנץ הן טרנזיטיביות היינו, \(L(\beta_{1}+\beta_{2})=L(\beta_{1})L(\beta_{2})\) וכן ש- \(L(-\beta)=L^{-1}(\beta)\).
  3. הבה נרחיב את הדיון לצורך טיפול אנליטי בטרנספורמציות עוקבות: נתבונן בשתי טרנספורמציות לורנץ: האחת ממערכת ההתמד \(S\) למערכת ההתמד \(S'\), השנייה ממערכת ההתמד \(S'\) למערכת ההתמד \(S''\). נרשום אותן כך: \begin{aligned}L_{1}:S\;\stackrel{\beta_{1}}{\longrightarrow}\;S',\quad L_{2}:S'\;\stackrel{\beta_{2}}{\longrightarrow}\;S''\end{aligned} הראו שההצגה המטריצית של שתי טרנספורמציות עוקבות, כלומר של ההרכבה \begin{aligned}L_{2}\circ{L}_{1}: S\;\stackrel{\beta_{12}}{\longrightarrow}\;S''\end{aligned} ניתנת ע"י \begin{aligned}L_{2}\circ{L}_{1}=\begin{pmatrix}\gamma_{12}&-\gamma_{12}\beta_{12}\\-\gamma_{12}\beta_{12}&\gamma_{12}\end{pmatrix}\end{aligned} באשר \begin{aligned}\gamma_{12}:=\gamma_{1}\gamma_{2}\left(1+\beta_{1}\beta_{2}\right), \quad\;\beta_{12}:=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}}\end{aligned} שימו לב שהביטוי עבור \(\beta_{12}\) מנפק מתכון לחיבור מהירויות קוויות במרחב-זמן. זאת ועוד: אם \(\beta_{1}=\beta_{2}=1\) אז גם \(\beta_{12}=1\). דרך אגב, חשבון פשוט מראה ש- \begin{aligned}\gamma_{12}^{2}=\frac{1}{1+\beta_{12}^{2}}\end{aligned} אבל זה בוודאי לא מפתיע אף אחד :)
  4. השתמשו בנוסחא לסכום "זוויות" של טנגנס היפרבולי והראו שבמונחים של רפידיטי, נוסחת חיבור המהירויות המנורמלות מיתרגמת פשוט ל-\begin{aligned}\psi_{12}=\psi_{1}+\psi_{2}\,;\end{aligned} עתה הכלילו זאת למקרה של \(n\) טרנספורמציות לורנץ עוקבות: \begin{aligned}\psi_{1n}=\psi_{n}+\psi_{n-1}+\cdots+\psi_{1}\,.\end{aligned} מסקנה: בעולם היחסותי (כלומר בעולם האמיתי...) אלו הם ה-rapidities שמתחברים אדטיבית, לא המהירויות עצמן. עבור מהירויות יחסיות נמוכות הפקטור \(\beta_{1}\beta_{2}\) בביטוי עבור \(\beta_{12}\) קטן בהרבה מ-\(\beta_{1}\) או \(\beta_{2}\) ואנו חוזרים לגבול הגלילאני \(\beta_{12}\approx\beta_{1}+\beta_{2}\).
  5. לכסנו את הבוסט בתת-המרחב הרלוונטי והראו שהערכים העצמיים ניתנים ע"י \(\lambda_{1,2}=\gamma\pm\gamma\beta\), ובמונחי רפידיטי \(\lambda_{1,2}=e^{\pm\psi}\). הראו גם שהוקטורים העצמיים המתאימים ניתנים ע"י \(\xi^{0}=x^{1}+x^{0}\) ו- \(\xi^{1}=x^{1}-x^{0}\). קורדינטות אלו מכונות קורדינטות קונוס האור (מה הסיבה?), ומעצם הגדרתן הבוסט אינו מערבב ביניהם, שהרי \begin{aligned}\xi^{0}&\mapsto\xi^{0'}=e^{-\psi}\xi^{0}\\\xi^{1}&\mapsto\xi^{1'}=e^{+\psi}\xi^{1}\end{aligned} לכן בקואורדינטות אלו (כלומר במערכת המלוכסנת) לבוסט יש אפקט של מתיחה או כיווץ (של מה בעצם?... רמז: המשיכו לקרוא). המכפלה \(\xi^{0}\xi^{1}\) היא אינווריאנט של הטרנספורמציה, אבל זה היה מובן מאליו מלכתחילה (למה?). עיברו חזרה למשתנה המהירות המנורמלת וקבלו בחינם את הנוסחאות לאפקט דופלר היחסותי המתקבל כתוצאה מהמהירות היחסית בין הפולט לקולט, \begin{aligned}\xi^{0'}&=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\;\xi^{0}\\\xi^{1'}&=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\;\xi^{1}\end{aligned} מי מהביטויים הללו מייצגת את ההסחה לאדום ומי את ההסחה לכחול?




אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה