יום שני, 2 בספטמבר 2013

הואקום האלקטרומגנטי

ברשימות עתידיות אדון בהגדרה ראוייה ומקובלת של מושג מהירות האור במערכות מאיצות, היינו במערכות לא אינרציאליות או מערכות בנוכחות שדה כבידה. מסתבר שמהירות האור כלל וכלל אינה קבועה כשהמביט בה נמצא במצב של תאוצה (או לחליפין - בשדה כבידה) והיא תלויה בתאוצתו של המודד (הייתם מאמינים?!). כמובן שאין זה סותר את שלוש האקסיומות של היחסות הפרטית, היות וזו מטפלת בואקום כפי שהוא נצפה ממערכת התמד. אבל אי אפשר לדבר גבוהה-גבוהה על מהירות האור כפי שהיא ניצפת בעיני צופים מיוחדים מבלי לומר כמה מילים על מהות האור. ברשימה מקדימה זו אגזור את מהירות האור במערכת התמד מתוך משוואות מקסוול וקשרי המבנה של הואקום, ואבנה מסגרת בסיסית ביותר לתיאור גלים אלקטרומגנטיים.  


כזכור, הזוג הראשון של משוואות מקסוול מתאר את הדינאמיקה של שדות הערור כתלות במקורות השדה, היינו בצפיפות המטען החשמלי ובצפיפות הזרם החשמלי, הזוג השני של משוואות מקסוול מספק אילוצים המתחייבים מהיעדר מטענים מגנטיים כמקבילה למטענים החשמליים, ואילו הקשר בין משתני הזוג הראשון (שדות העירור \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) ו-\(\boldsymbol{\mathcal{D}}\)) למשתני הזוג השני (האינדוקציה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) והשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\)) ניתן באמצעות קשרי המבנה. ומה קורה בואקום, במצב של היעדר מקורות? ובכן, במקרה זה מתקבלות ארבע משוואות הומוגניות, ולמרבה הפלא יש למשוואות אלו פתרונות לא טריוויאלים. מדוע למרבה הפלא? היות ומשמעות הדבר היא שאין צורך בנוכחות מקורות כדי לקבל שדות אלקטרומגנטיים במקום מסויים במרחב.

ובכן, ארבע משוואות מקסוול בריק הן

\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=0&&1-\text{st}\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&=\boldsymbol{0}&&2-\text{nd}\\\nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0&&3-\text{rd}\\\nabla\times\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}&=\boldsymbol{0}&&4-\text{th}\end{aligned}

ועליהן יש להוסיף את שני קשרי המבנה של הואקום במערכות התמד, \(\boldsymbol{\mathcal{H}}=\boldsymbol{B}/\mu_{0}\), ו- \(\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\); כאן \(\mu_{0}\) ו- \(\epsilon_{0}\) הם, בהתאמה, הפרמיבליות והפרמיטביות של הואקום. וזאת חשוב להדגיש: במסגרת תורת היחסות הפרטית שני קבועים אלו מרכיבים את תעודת הזהות האלקטרומגנטית של הואקום, והם מקבלים את אותו ערך נומרי בכל מערכות ההתמד, ראו הדיון בעיקרון השלישי ברשימה "שלושת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית".

הבה נמצא את הפתרונות הלא-טריוויאלים של הפן האלקטרומגנטי של הואקום: ניקח את הרוטור של המשוואה השנייה, נציג את קשרי המבנה של הואקום כדי לרשום אותה במונחים של האינדוקציה המגנטית והשדה החשמלי (במקום במונחים של שדות העירור), ניעזר בקומוטטיביות של הנגזרות החלקיות ונקבל אגב שימוש במשוואה הרביעית:
\begin{aligned}\nabla\times\left(\nabla\times\boldsymbol{B}\right)&=\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{B}\right)-\nabla^{2}\boldsymbol{B}\,=\,\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\nabla\times\boldsymbol{E}\right)\\&=-\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{B}}{\partial{t}^{2}}\end{aligned}
אתם מוזמנים לעבור על החשבון ולאמתו (ראו בהקשר זה גם השאלה הראשונה בתחתית הרשימה). היות והדיברגנס של \(\boldsymbol{B}\) מתאפס זהותית (ולא רק בואקום) נשארנו בסופו של דבר עם משוואת הגלים ההומוגנית למשתנה הוקטורי \(\boldsymbol{B}\):
\begin{aligned}
\nabla^{2}\boldsymbol{B}\,=\,\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{B}}{\partial{t}^{2}}
\end{aligned}
באשר לקבוע \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}\) יש מימדים של מהירות בריבוע. הבה נראה: מחוק קולון ל-\(1/\epsilon_{0}\) יש מימדים של כוח כפול אורך בריבוע חלקי מטען בריבוע. מנוסחת הכוח המגנטי ליחידת אורך בין שני תיילים ל- \(\mu_{0}\) יש מימדים של כוח חלקי זרם בריבוע, וזרם הוא מטען ליחידת זמן. לכן

\begin{aligned}\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}&=\frac{[F]\times[L]^{2}}{[Q]^{2}}\times\frac{[Q]^{2}}{[F]\times[T]^{2}}=\left[\frac{L}{T}\right]^{2}\end{aligned}

במערכת היחידות הסטנדרטית SI מקבלים קבועי המבנה של הואקום (שהם כאמור קבועים אוניברסליים המשותפים לכל מערכות ההתמד) את הערכים המספריים \(\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\) וכן \(1/\epsilon_{0}=4\pi\times{K}\approx4\pi\times9\times10^{9}\), ומכאן,

\begin{aligned}c^{2}\,=\,\frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\,\approx\,\frac{4\pi\times9\times10^{9}}{4\pi\times10^{-7}}\,=\,9\times10^{16}\scriptsize{{\text{m}^{2}}/{\text{s}^{2}}}\end{aligned}

או \(c\approx3\times10^{8}\) מטר לשנייה. מאחר ו- \(\mu_{0}\) ו-\(\epsilon_{0}\) הם קבועים אוניברסליים הנשמרים תחת מעבר בין מערכות התמד, כך גם הקבוע \(c=1/\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}\). לכן השקילות המוחלטת של כל מערכות ההתמד כמוה כאינווריאנטיות של הקבוע \(c\) תחת מעברים בין מערכות התמד. מי היא חבורת הטרנספורמציות המשמרת את \(c\) תחת מעבר בין מערכות התמד? התשובה היא חבורת לורנץ כמובן; חבורת גליליי אמנם רחבה מספיק לשמר את משוואות מקסוול במעבר ממערכת התמד אחת לרעותה, אבל אין היא משמרת את קשרי המבנה של הואקום, וממילא לא את הקבוע \(c\) שיחידותיו הן אלו של מהירות.

באופן דומה (הראו זאת) נקבל משוואת גלים גם עבור השדה החשמלי,
\begin{aligned}
\nabla^{2}\boldsymbol{E}\,=\,\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{E}}{\partial{t}^{2}}
\end{aligned}
בדיוק עם אותו \(c\). משוואות הגלים הללו מנפקות פתרונות המתארים הפרעות מחזוריות בעוצמות השדה המתקדמות במהירות \(c\), אותה אנו *מזהים* כמהירות האור בריק. אבל שימו לב - בניגוד לכל מקרה אחר הקשור בהתקדמות מחזורית של הפרעות, כאן אין כל תווך להתקדם בו! הוואקום הוא אל-תווך ובניגוד לכל סוגי הגל האחרים המוכרים, האור מתקדם באין-תווך. באיזשהו מקום, אם נחפוץ לזהות את הואקום הקלאסי עם מרחב-זמן יחסותי ריק, הרי שהגלים הללו הם התגלמות הפן האלקטרומגנטי של אותו מרחב-זמן. 

נתבונן עתה במשוואת הגלים ההומוגנית עבור האינדוקציה המגנטית \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)\): קל להיווכח שכל גל מישורי המאופיין באמצעות הפרמטר הוקטורי \(\boldsymbol{k}\) והפרמטר הסקלרי \(\omega_{\boldsymbol{k}}\),
\begin{aligned}\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{r},t\right)\,=\,\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\end{aligned}
הוא פתרון של המשוואה הנ"ל, בכפוף לקשר הלינארי \(\omega_{\boldsymbol{k}}=c\left|\boldsymbol{k}\right|\), וכאן \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) הוא וקטור משרעת קבוע אותו ניתן לקבוע עד כדי הפרמטר הקבוע \(\boldsymbol{k}\). הבדיקה מאוד קלה מאחר והלפלסיאן הוא אופרטור ליניארי. הבה ניווכח בזאת מפורשות: מחד גיסא נקבל \(\nabla^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\,=\,-\boldsymbol{k}^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\) ומאידך גיסא,
\begin{aligned}\frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}}\left\{e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\right\}\,=\,-\omega_{\boldsymbol{k}}^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\end{aligned}
ומכאן הטענה. 

מובן מאליו, אותם ארגומנטים עצמם תקפים גם עבור משוואת הגלים ההומוגנית במשתנה הוקטורי \(\boldsymbol{E}\) כך ש-
\begin{aligned}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}\left(\boldsymbol{r},t\right)\,=\,\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}'\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}'}{t}\right)}\end{aligned}
באשר \(\omega_{\boldsymbol{k}'}=c\left|\boldsymbol{k}'\right|\). מדוע השתמשנו עתה בסימון \(\boldsymbol{k}'\) עבור הפרמטריזציה של הגל המישורי במקום ב- \(\boldsymbol{k}\)? היות ולכאורה שתי משוואות הגלים עבור השדות \(\boldsymbol{B}\) ו-\(\boldsymbol{E}\) בלתי תלויות זו בזו, ולכן הפרמטריזציות של שני הפתרונות בלתי תלויות זו בזו. אבל רק לכאורה, כפי שנראה בהמשך.

ובכן, לכל מקום ספציפי \(\boldsymbol{r}^{\star}\) הפתרון מתנדנד בזמן \(t\), ולכל זמן ספציפי  \(t^{\star}\) הפתרון מחזורי במקום \(\boldsymbol{r}\). בפרט, כאשר הוקטורים \(\boldsymbol{k}\) ו-\(\boldsymbol{r}\) מקבילים זה לזה, הארגומנט שבאקספוננט מקבל את הצורה \(\left|\boldsymbol{k}\right|\left(r-ct\right)\) והוא מתאר התקדמות של חזית גל (פאזה בלע"ז) לאורך הרדיאל \(r\) במהירות \(c\). אגב, התלות של המהירות הזוויתית \(\omega_{\boldsymbol{k}}\) בוקטור הגל \(\boldsymbol{k}\) מכונה יחס הנפיצה מסיבות שאינן רלוונטיות לענייננו. אינטרוול הזמן \(T\) הנדרש להשלמת מחזור שלם מקיים את הקשר \(\omega_{\boldsymbol{k}}{T}=2\pi\); אורך הגל \(\lambda\) (כלומר אורך הגל במרחב המקום) מקיים את הקשר \(\lambda=cT\) ומשתי משוואות אלו מיד נובע שוקטור הגל ניתן לתיאור באמצעות אורך הגל, היינו \(\left|\boldsymbol{k}\right|=2\pi/\lambda\). היות ומשוואות מקסוול בואקום אינן מציבות כל מגבלה על וקטור הגל, כל אורכי הגל קבילים וכמובן גם כל התדירויות \(f=1/T=c/\lambda\).

עתה נציב את פתרונות הגל המישוריים שקיבלנו חזרה בארבעת משוואות מקסוול, ומה נקבל? ארבע משוואות אלגבריות, שתיים סקלריות ושתיים וקטוריות:

\begin{aligned}\boldsymbol{k}'\cdot\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&=0&&1-\text{st}\\c^{2}\left(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right)&=-\omega_{\boldsymbol{k}'}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&&2-\text{nd}\\\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}&=0&&3-\text{rd}\\\boldsymbol{k}'\times\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&=\omega_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}&&4-\text{th}\end{aligned}

מהמשוואות (1) ו-(3) למעלה נובע ש- \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}\) ו- \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) ניצבים לוקטורי הגל \(\boldsymbol{k}'\) ו-\(\boldsymbol{k}\) בהתאמה; מכאן גם נובע ששלשת המרכיבים של כל אחד מהשדות הוקטוריים הללו תלויים לינארית.  ממשוואות (2) ו-(4) למעלה נובע ש- \(\boldsymbol{k}'\equiv\boldsymbol{k}\) (תרגיל בית) ומהוודע זאת מייד אנו למדים שהשדות  \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\) ו- \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) ניצבים זה לזה בכל מקום ובכל זמן. לכן \(\left\{\boldsymbol{k},\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}},\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right\}\) מהווה שלשה אורתוגונלית. זאת ועוד, אם נעלה בריבוע את המשוואה השנייה או הרביעית (ראו השאלות מטה), ובהתבסס על יחס האורתוגונליות בין החברים בשלשה, נקבל את הקשר המעניין
\begin{aligned}\left|\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right|=c\left|\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right|\,;\end{aligned}

וכך ניראת מערכת הפתרונות שמצאנו בסימולציה אותה העלה ליוטיוב Daniel Mentrard:


היות ואין כל מגבלה על \(\boldsymbol{k}\), ומכיוון שמשוואת הגלים ההומגנית עצמה היא משוואה לינארית, הרי שאינטגרציה (תלת-מימדית) על הפרמטר הוקטורי \(\boldsymbol{k}\) עם האמפליטודות \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) או \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\) גם היא פיתרון של משוואת הגלים ההומוגנית. יתרה מזאת, היות והדיוורגנס של שני השדות מתאפס, ישנן רק שתי קומפוננטות בלתי תלויות לכל שדה. לכן המבנה הכללי ביותר של האינדוקציה המגנטית והשדה החשמלי בואקום ינתן ע"י,
\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)&=\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\&=\sum_{\alpha=1}^{2}\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}B_{\alpha}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r},t\right)&=\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega{t}_{\boldsymbol{k}}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\&=\sum_{\alpha=1}^{2}\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}E_{\alpha}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\end{aligned}
שני האופנים כמובן שקולים זה לזה, וקטורי היחידה שהצגנו בגרסא השנייה לכל שדה, היינו \(\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\), מכונים וקטורי הקיטוב ונוח לאפיין באמצעותם את מישורי התנודה של השדות. אם האמפליטודות מרוכזות סביב ערך מסויים של וקטור הגל, נאמר \(\boldsymbol{k}^{\star}\), נקבל מה שמקובל לכנות חבילת גלים. ובפרט, אם הריכוז סביב ערך זה מתואר באמצעות פונקציית דלתא, נקבל חזרה את הגלים המישוריים עימם התחלנו.

ולבסוף, חבילות הגלים מלמעלה הן לא יותר מפיתוח פוריה לפונקציות הגל. זיכרו שהפרמטר \(\omega\) תלוי ב-\(\left|\boldsymbol{k}\right|\) ולכן הטרנספורם ההפוך המנפק את את פונקציות הגל במרחב וקטור-הגל ינתן ע"י
\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\\\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r},t\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\end{aligned}



תרגילים:

  1. השתמשו באפסילון לוי-צ'יוויטה ובדלתא של קרוניקר כדי להוכיח את הזהות הוקטורית \(\nabla\times\left(\nabla\times{V}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot{V}\right)-\nabla^{2}V\), היכן ש-\(V\) מייצג שדה וקטורי חלק.
  2. הראו שהואקום האלקטרומגנטי אינווריאנטי תחת טרנספורמציית הדואליות\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{D}}\leftrightarrow\boldsymbol{B},\quad\boldsymbol{\mathcal{H}}\leftrightarrow-\boldsymbol{E},\quad\epsilon_{0}\leftrightarrow-\mu_{0}\end{aligned} בהתאם לכך אנו אומרים (ויש לכך סיבות עמוקות, ראו הרשימה השנייה על משוואות מקסוול) ששדה העירור החשמלי דואלי לאינדוקציה המגנטית, וששדה העירור המגנטי דואלי למינוס השדה החשמלי; החלפת הקבועים במשוואה הימנית היא לא יותר מהגדרה מחודשת של יחידות.
  3. סעיף א: השתמשו בגירסא האלגברית של משוואות מקסוול "במרחב \(\boldsymbol{k}\)" כדי להוכיח שהגל המגנטי והגל החשמלי חולקים את אותה הפרמטריזציה, כלומר הראו שבהכרח \(\boldsymbol{k}'\equiv\boldsymbol{k}\). סעיף ב: השתמשו בזהות הוקטורית המוכרת  \(\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)^{2}=\boldsymbol{a}^{2}\boldsymbol{b}^{2}-\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)^{2}\) והראו ש- \begin{aligned}\left|\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right|=c\left|\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right|\,\end{aligned} סעיף ג: הראו ששדה חשמלי \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) המתואר באמצעות גל מישורי המאופיין באמצעות וקטור הגל \(\boldsymbol{k}\) והמהירות הזוויתית \(\omega_{\boldsymbol{k}}\) מקיים את המשוואה \begin{aligned}\boldsymbol{k}\times\left(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right)=-\left(\omega_{\boldsymbol{k}}/c\right)^{2}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\end{aligned}
  4. תהיה \(\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) פונקציה וקטורית חלקה כלשהי (האינדוקציה המגנטית או השדה החשמלי, למשל), ויהיה \(\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{k}\right)\) טרנספורם פוריה שלה. הוכיחו את שוויון פרסוול האומר ש-\begin{aligned}\left(2\pi\right)^{3}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\left|\boldsymbol{g}\right|^{2}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\;=\;\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\left|\boldsymbol{G}\right|^{2}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\end{aligned}

פתרון תרגיל 4:

ברשותכם, לצורך נוחות הקריאה, אמנע מציון תחומי האינטגרציה (שהוא למעשה כל המרחב במשתנה הוקטורי המתאים); ועוד דבר אחד קטן בענייני נוטציה: קו מלמעלה יציין צימוד קומפלקסי.
\begin{aligned}\left(2\pi\right)^{3}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,g\left(\boldsymbol{k}\right)\,\overline{g\left(\boldsymbol{k}\right)}&=\left(2\pi\right)^{3}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,\left[g\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}\right]\left[\overline{g\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}}\right]\\&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\\&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}\underbrace{\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}}_{\left(2\pi\right)^{3}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\\&=\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\\&=\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r},t\right)}\,.\end{aligned}
מסקנה: הטרנספורם הוא סוג של איזומטריה, כלומר טרנספורמציה משמרת "אורך" (באיזה מובן?...).






אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה