יום חמישי, 26 בספטמבר 2013

טרנספורמציות לורנץ במרחב מינקובסקי



לפני שנגיע למערכות מואצות, הבה נתאר בקצרה את הסמטריה העולה מהשקילות של מערכות התמד, ולשם כך אקדיש שתים-שלוש רשימות קצרות;

ובכן, כפי שהדגשתי כמה פעמים בעבר, שקילותן הפיזיקלית של כל מערכות ההתמד מחייבת ואקום משותף לכולן ולכן גם מהירות אור משותפת לכולן שהרי מהירות האור איננה אלא החותם האלקטרומגנטי של הואקום. מה משמעות הדבר?

הבה נתבונן בשתי מערכות התמד \(S\) ו- \(S'\) אותן נתאר באמצעות קואורדינטות קרטזיות כך ששלושת הצירים במערכת האחת מקבילים לשלושת הצירים במערכת השנייה בהתאמה; כך למשל, ציר \(x\in{S}\) מקביל לציר \(x\in{S}'\) וכ'. בכל אחת מהמערכות הללו יושב שעון נייח ותקתוקו מתייג את הזמן באותה מערכת. לנוחותינו נסדר את שתי המערכות כך שראשית הצירים של שתיהן מתלכדת בראשית הזמן של שתיהן, כלומר \(t=t'=0\). שימו לב שאנו נזהרים מלהניח מראש שתיוג הזמן בשתי המערכות זהה (מן הסתם, הוא לא).

עוד נניח שצופה במערכת \(S\) רואה את \(S'\) נעה במהירות קצובה \(v\) בכיוון ציר ה-\(x\) החיובי שלו, היינו בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{x}}\), ולכן צופה ב-\(S'\) רואה את \(S\) נעה במהירות קצובה \(-v\) לאורך ציר \(x'\) השלילי שלו, היינו בכיוון \(-\widehat{\boldsymbol{x}}'\). גם כאן אנו נזהרים מלהניח מראש שוקטורי היחידה בשתי המערכות מתלכדים באורכם (מן הסתם, הם לא). ראוי להדגיש שעקביות מחייבת שהמהירות היחסית בין שתי המערכות ניראת אותו הדבר משתיהן, עד כדי סימן כמובן. 

בזמן \(t=0\) שולח הצופה במערכת \(S\) סיגנל אור לעבר זה הנמצא ב- \(S'\). היות ומהירות האור הנמדדת בשתי מערכות ההתמד זהה, יתארו שני הצופים שלנו את תנועת האור, איש איש במערכתו הוא, באמצעות שתי המשוואות

\begin{aligned}c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}&=0\\c^{2}(t')^{2}-(x')^{2}-(y')^{2}-(z')^{2}&=0\,.\end{aligned}

מתוך שתי משוואות אלו ומנתוני הבעיה נוכל למצוא על-נקלה קשר לינארי בין ארבעת הפרמטרים \(\left(x,y,z,t\right)\) לבין ארבעת הפרמטרים \(\left(x',y',z',t'\right)\). הבה נעשה זאת במפורש;

היות והתנועה היחסית מתרחשת רק בציר \(x\) נוכל לרשום \(y'=y\), \(z'=z\) ולמקד עניינו בתת המרחב הדו-מימדי \(t\)-\(x\). ובכן, אנו מחפשים ארבעה מקדמים \(A,B,C,D\) התלויים במהירות היחסית בין המערכות והמקיימים את המערכת הלינארית
\begin{aligned}t'&=At+Bx\\x'&=Ct+Dx\end{aligned}
כך שהמיפוי המתקבל הוא הפיך. ובכן, הראשית של \(S'\) היא \(x'=0\) והיא מתאימה ל- \(x=vt\). הראשית של \(S\) היא \(x=0\) והיא מתאימה ל- \(x'=-vt'\). משתי משוואות אלו מייד נקבל \(C=-vD=-vA\) ולכן \(D=A\). עתה נשתמש בתנאי זהות מהירות האור בשתי המערכות: נציג בטרנספורמציה \(D=A\), \(C=-vA\), נפתור עבור \(A\) ו-\(B\) ונקבל:

\begin{aligned}t'\,=\,\frac{t-vx/c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad{x}'\,=\,\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\end{aligned}

באופן לא מפתיע, הגבול \(v/c\to0\) מנפק את חוק הטרנספורמציה הגלילאני המוכר לכולנו מחווית היום-יום, \(x'=x-vt\) ו- \(t'=t\). ואולם היכן שלא ניתן עוד להזניח את היחס \(v/c\) מקבלים חוקי טרנספורמציה שונים לחלוטין. ובפרט, הזמן מתקתק אחרת בשתי המערכות.

המיפוי הנ"ל מכונה בטרמינולוגיה של הפיזיקאים "בוסט" (boost) בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{x}}\); אנו "דוחפים" (ואולי נכון יותר לומר "דוחקים") את נקודת המבט ה-\(S\)-ית לעבר \(S'\) ומקבלים את התיוג ב-\(S'\) במונחים של התיוג ב-\(S\). כמובן שניתן גם לפתח נוסחאות טרנספורמציה כלליות לבוסט בכיוון כללי כלשהו אבל לא זו מטרתנו כאן; אנו נסתפק בתאור התנועה לאורך קו ישר היות ודי בזה להדגים את התכונות הבסיסיות (והמיוחדות) של התורה.

בחינה של נוסחאות הטרנספורמציה שקיבלנו מראה מיד: המיפוי הוא בעל משמעות כל עוד \(v<c\), ולמעשה מתבדר בגבול בו \(v\to c\). ברי שלא קיימת מערכת התמד הנעה במהירות האור ביחס למערכת התמד אחרת שהרי במקרה זה אי אפשר היה לטעון שהאור במערכת זו נע במהירות האור. מכאן אנו למדים שלאור עצמו אין (וגם לא יכולה להיות) מערכת מנוחה. לכן גם אין כל משמעות לשאלה מהי המהירות היחסית בין שני פוטונים הנעים בכיוונים מנוגדים. זה לא שאין לשאלה הזו תשובה; האמת הפשוטה היא שבמסגרת התורה שניסחנו אין השאלה הזו כלל בחזקת שאלה...

ערבוב תיוגי הזמן והמקום מצביע על כך ששני אלו בתוספת שני הכיוונים הניצבים פורשים מרחב וקטורי ארבע-מימדי, אותו מקובל לציין באות \(M\). מרחב ארבע-מימדי זה ממדל את האיחוד של המרחב והזמן לכדי ישות מונוליטית אחת, הלא היא המרחב-זמן (spacetime). המעבר ממערכת התמד אחת לאחרת מערבב בין קואורדינטות הזמן והמקום והיות וכל מערכות ההתמד שקולות זו לזו לא נשארת בידנו ברירה אלא לקבל את ההאחדה הזו כהכרח של עקביות.

משוואות שימור מהירות האור במעבר ממערכת התמד אחת לרעותה משרה על המרחב-זמן מבנה מטרי \(\eta\) וטרנספורמציות המעבר בין מערכות ההתמד הורכבו כך שתשמרנה אותו. למרחב המטרי \(\left(M,\eta\right)\) שהתקבל אנו קוראים מרחב מינקבסקי על שם הרמן מינקובסקי. לכל צופה (או לכל מאורע) במערכת התמד נתונה משוייך וקטור-קאורדינטות \(X=(ct,x,y,z)\) והבוסטים הם "סיבובים" משמרי אורך ביחס למטריקה
\begin{aligned}\eta=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)\end{aligned}
כפי שנראה מיד.

כל נקודה במרחב מינקובסקי מכונה "מאורע" ואנו מתייחסים אליו (לפחות במסגרת תורת היחסות הפרטית) כאל ממשות עליה מסכימים כל הצופים בכל מערכות ההתמד. תיוג המאורע מגדיר מערכת יחוס והמעבר מתיוג לתיוג מתבצע באמצעות הבוסטים. לכן צופים שונים הנמצאים במערכות התמד שונות צפויים לתייג מאורעות ספציפיים באופן שונה זה מזה, אבל הם חייבים להסכים על ממשות המאורע ועל תאור יחיד ומדוייק בכל מערכת ומערכת.

הבה נסגל לעצמנו רישומים קומפקטיים יותר המתאימים יותר לנקודת המבט החדשה שלנו על המציאות. ראשית, מטבע הדברים נוח לרשום \(x^{0}:=ct\) וכדי לשמור על אחידות ברישום, \(x^{1}:=x,\;x^{2}:=y,\;x^{3}:=z\). לכן וקטור הקואורדינטות \(X=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\) במערכת \(S\) עובר תחת הבוסט לוקטור הקואורדינטות \(X'=(x^{0'},x^{1'},x^{2'},x^{3'})\); בשפה מקוצרת (שפת האלגברה הלינארית) \(X'=LX\) והיות והטרנספורמציה הפיכה, \(X=L^{-1}X'\), \(L\)  בשביל לורנץ...

הערת ביניים: שלושת הדחיפות (בוסטים) במרחב מינקובסקי (המערבבות זמן ומרחב) בתוספת שלושת הסיבובים במרחב התלת מימדי (המערבבים מרחב ומרחב) מרכיבים חבורת טרנספורמציות המכונה חבורת לורנץ. מדוע הם מרכיבים דווקא חבורה ואיזה סוג של חבורה, זאת בפעם אחרת ברשימה שכל כולה תוקדש לאלגברות לי והיא תתקשר דווקא לאופרטורי היצירה וההשמדה של המכניקה הקוונטית... אבל בשם "טרנספורמציית לורנץ" מקובל להשתמש משום מה רק כשמדובר בדחיפות. למעשה, חבורת לורנץ היא חבורת האיזומטריות של המטריקה \(\eta\) במרחב מינקובסקי. אם נוסיף לדחיפות ולסיבובים גם את ארבעת ההזזות המתאימות לשלושת הצירים המרחביים ולציר הזמן נקבל את חבורת פואנקרה על עשרת יוצריה. במונחים גלובליים, ומבלי להיכנס לפרטים,
  • ההנחה בדבר האיזוטרופיות של המרחב מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת שלושת הסיבובים במרחב; במקרה זה משפט נטר מנפק את חוק שימור התנע הזוויתי.
  • ההנחה בדבר שקילותן של כל מערכות ההתמד מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת דחיפות; דרישה זו מובילה לתורת היחסות הפרטית.
  • ההנחה בדבר ההומוגניות של המרחב והזמן מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת ארבעת ההזזות; במקרה זה משפט נטר מנפק שימור תנע-אנרגיה.
וכך יוצא שחבורת פואנקרה היא חבורת סמטריות המרחב-זמן הבסיסית אותה חייבת לקיים כל תורה פיזיקלית, לפחות באופן גלובלי.

חזרה לענייננו: ראשית נציג את המהירות המנורמלת \(\beta=v/c\). שימו לב, אמנם \(\beta\) היא גודל חסר יחידות אבל לא צריך להיבהל; במרחב-זמן גם \(\mathrm{d}x^{1}/\mathrm{d}x^{0}\) מבטא מהירות חסרת יחידות. באותה נשימה נציג גם את גורם לורנץ \(\gamma=(1-\beta^{2})^{-1/2}\); הקירוב הגלילאני התואם את החוויה היומיומית יאופיין מעתה בלקיחת הגבולות \(\beta\to0\) ו- \(\gamma\to1\). במונחי שני הפרמטרים הללו מקבלת טרנספורמציית לורנץ במרחב מינקובסקי את המבנה הקומפקטי והסימטרי

\begin{aligned}x^{0'}&=\gamma\left(x^{0}-\beta{x}^{1}\right)\\x^{1'}&=\gamma\left(x^{1}-\beta{x}^{0}\right).\end{aligned}

אם \(\bar{X}=\left(x^{0},x^{1}\right)\) מציין את וקטור הקואורדינטות הדו-מימדי בתת המרחב הרלוונטי, אזי נוכל לרשום את משוואות הטרנספורמציה הנאות הללו בכתיב המטריצי \(\bar{X}'=L\left(\beta\right)\bar{X}\) וכן  \(\bar{X}=L^{-1}\left(\beta\right)\bar{X}'\) עם המטריצות

\begin{aligned}L\left(\beta\right)&=\begin{pmatrix}\gamma&-\gamma\beta\\-\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix},\qquad{L}^{-1}\left(\beta\right)=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}.\end{aligned}

ובפרט, \(L^{-1}(\beta)=L(-\beta)\). קל להיווכך שהדטרמיננט של המטריצות הללו הוא פשוט אחד,
\begin{aligned}\text{det}\,L=\text{det}\,L^{-1}=\gamma^{2}-\gamma^{2}\beta^{2}=\gamma^{2}\left(1-\beta^{2}\right)=1\,;\end{aligned}
מחד גיסא, דטרמיננט השווה לאחד קשור תמיד בטרנספורמציות אורתוגונליות. מאידך גיסא, קל מאוד להיווכך (היווכחו) ש- \(L^{T}\neq{L}^{-1}\). מדוע אם כן אין הבוסטים מיוצגים באמצעות מטריצות אורתוגונליות? ובכן, אם סיבובים מוגדרים כטרנספורמציות משמרות אורך, ואם האורך במרחב מינקובסקי מוגדר דרך המטריקה \(\eta\)  - כלומר באמצעות התבנית הבי-לינארית  \(X^{2}=X^{T}\eta{X}\) - אזי

\begin{aligned}(X')^{2}&=(X')^{T}\eta\,{X'}=(LX)^{T}\eta(LX)=(X^{T}L^{T})\eta\,({L}X)\\&=X^{T}\left(L^{T}\eta\,{L}\right)X=X^{T}\eta\,{X}=X^{2}\end{aligned}

שהרי טרנספורמציות לורנץ הן האיזומטריות של המרחב המטרי \(\left(M,\eta\right)\) כלומר אלו הן אותן טרנספורמציות אשר מעצם הבנייתן מקיימות \(L^{T}\eta{L}=\eta\).

ולסיום, הבה נציג פרמטר חדש \(\psi\) המכונה בלע"ז rapidity (ובעברית מאונגלזת רפידיטי) באופן הבא:
\begin{aligned}\left.\begin{array}{r}\gamma=:\cosh\psi\\\gamma\beta=:\sinh\psi\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\beta=\tanh\psi\end{aligned}

או \(\psi=\tanh^{-1}\beta\). הפרמטריזציה באמצעות הרפידיטי מביאה את הבוסטים (או הדחיפות או הדחיקות...) להיראות כמעט כמו מטריצות סיבוב...

\begin{aligned}\begin{pmatrix}x^{0'}\\x^{1'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\psi&-\sinh\psi\\-\sinh\psi&\cosh\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{pmatrix}\end{aligned}

למעשה אפשר לפרשן את המטריצות הללו כסיבובים "אמיתיים" במרחב אאוקלידי עם זווית הסיבוב המדומה \(\vartheta=i\psi\)... מוגש כתרגיל בית.


תרגילים:
  1. בצעו את "הסיבוב של וויק" (Wick rotation): עיברו מתאור המרחב-זמן באמצעות המרחב המטרי \((M,\eta)\) לתיאור המרחב-זמן באמצעות המרחב המטרי \((E,\delta)\) (היינו באמצעות מרחב אאוקלידי ארבע מימדי היכן שהמטריקה היא הדלתא של קרוניקר) זאת באמצעות הגדרה מחודשת של הקואורדינטת הזמנית כ- \(x^{0}=ict\). תקנו את משוואות הטרנספורמציה בהתאם (כמעט טריוויאלי) והראו עתה שהבוסטים במרחב מטרי זה (התמקדו בתת-המרחב הרלוונטי) אכן מתארים סיבובים אמיתיים בזווית המדומה \(\vartheta=i\psi\), כש-\(\psi\) היא הרפידיטי. 
  2. עשו שימוש בפרמטר הרפידיטי והראו שטרנספורמציות לורנץ הן טרנזיטיביות היינו, \(L(\beta_{1}+\beta_{2})=L(\beta_{1})L(\beta_{2})\) וכן ש- \(L(-\beta)=L^{-1}(\beta)\).
  3. הבה נרחיב את הדיון לצורך טיפול אנליטי בטרנספורמציות עוקבות: נתבונן בשתי טרנספורמציות לורנץ: האחת ממערכת ההתמד \(S\) למערכת ההתמד \(S'\), השנייה ממערכת ההתמד \(S'\) למערכת ההתמד \(S''\). נרשום אותן כך: \begin{aligned}L_{1}:S\;\stackrel{\beta_{1}}{\longrightarrow}\;S',\quad L_{2}:S'\;\stackrel{\beta_{2}}{\longrightarrow}\;S''\end{aligned} הראו שההצגה המטריצית של שתי טרנספורמציות עוקבות, כלומר של ההרכבה \begin{aligned}L_{2}\circ{L}_{1}: S\;\stackrel{\beta_{12}}{\longrightarrow}\;S''\end{aligned} ניתנת ע"י \begin{aligned}L_{2}\circ{L}_{1}=\begin{pmatrix}\gamma_{12}&-\gamma_{12}\beta_{12}\\-\gamma_{12}\beta_{12}&\gamma_{12}\end{pmatrix}\end{aligned} באשר \begin{aligned}\gamma_{12}:=\gamma_{1}\gamma_{2}\left(1+\beta_{1}\beta_{2}\right), \quad\;\beta_{12}:=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}}\end{aligned} שימו לב שהביטוי עבור \(\beta_{12}\) מנפק מתכון לחיבור מהירויות קוויות במרחב-זמן. זאת ועוד: אם \(\beta_{1}=\beta_{2}=1\) אז גם \(\beta_{12}=1\). דרך אגב, חשבון פשוט מראה ש- \begin{aligned}\gamma_{12}^{2}=\frac{1}{1+\beta_{12}^{2}}\end{aligned} אבל זה בוודאי לא מפתיע אף אחד :)
  4. השתמשו בנוסחא לסכום "זוויות" של טנגנס היפרבולי והראו שבמונחים של רפידיטי, נוסחת חיבור המהירויות המנורמלות מיתרגמת פשוט ל-\begin{aligned}\psi_{12}=\psi_{1}+\psi_{2}\,;\end{aligned} עתה הכלילו זאת למקרה של \(n\) טרנספורמציות לורנץ עוקבות: \begin{aligned}\psi_{1n}=\psi_{n}+\psi_{n-1}+\cdots+\psi_{1}\,.\end{aligned} מסקנה: בעולם היחסותי (כלומר בעולם האמיתי...) אלו הם ה-rapidities שמתחברים אדטיבית, לא המהירויות עצמן. עבור מהירויות יחסיות נמוכות הפקטור \(\beta_{1}\beta_{2}\) בביטוי עבור \(\beta_{12}\) קטן בהרבה מ-\(\beta_{1}\) או \(\beta_{2}\) ואנו חוזרים לגבול הגלילאני \(\beta_{12}\approx\beta_{1}+\beta_{2}\).
  5. לכסנו את הבוסט בתת-המרחב הרלוונטי והראו שהערכים העצמיים ניתנים ע"י \(\lambda_{1,2}=\gamma\pm\gamma\beta\), ובמונחי רפידיטי \(\lambda_{1,2}=e^{\pm\psi}\). הראו גם שהוקטורים העצמיים המתאימים ניתנים ע"י \(\xi^{0}=x^{1}+x^{0}\) ו- \(\xi^{1}=x^{1}-x^{0}\). קורדינטות אלו מכונות קורדינטות קונוס האור (מה הסיבה?), ומעצם הגדרתן הבוסט אינו מערבב ביניהם, שהרי \begin{aligned}\xi^{0}&\mapsto\xi^{0'}=e^{-\psi}\xi^{0}\\\xi^{1}&\mapsto\xi^{1'}=e^{+\psi}\xi^{1}\end{aligned} לכן בקואורדינטות אלו (כלומר במערכת המלוכסנת) לבוסט יש אפקט של מתיחה או כיווץ (של מה בעצם?... רמז: המשיכו לקרוא). המכפלה \(\xi^{0}\xi^{1}\) היא אינווריאנט של הטרנספורמציה, אבל זה היה מובן מאליו מלכתחילה (למה?). עיברו חזרה למשתנה המהירות המנורמלת וקבלו בחינם את הנוסחאות לאפקט דופלר היחסותי המתקבל כתוצאה מהמהירות היחסית בין הפולט לקולט, \begin{aligned}\xi^{0'}&=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\;\xi^{0}\\\xi^{1'}&=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\;\xi^{1}\end{aligned} מי מהביטויים הללו מייצגת את ההסחה לאדום ומי את ההסחה לכחול?




יום שני, 2 בספטמבר 2013

הואקום האלקטרומגנטי

ברשימות עתידיות אדון בהגדרה ראוייה ומקובלת של מושג מהירות האור במערכות מאיצות, היינו במערכות לא אינרציאליות או מערכות בנוכחות שדה כבידה. מסתבר שמהירות האור כלל וכלל אינה קבועה כשהמביט בה נמצא במצב של תאוצה (או לחליפין - בשדה כבידה) והיא תלויה בתאוצתו של המודד (הייתם מאמינים?!). כמובן שאין זה סותר את שלוש האקסיומות של היחסות הפרטית, היות וזו מטפלת בואקום כפי שהוא נצפה ממערכת התמד. אבל אי אפשר לדבר גבוהה-גבוהה על מהירות האור כפי שהיא ניצפת בעיני צופים מיוחדים מבלי לומר כמה מילים על מהות האור. ברשימה מקדימה זו אגזור את מהירות האור במערכת התמד מתוך משוואות מקסוול וקשרי המבנה של הואקום, ואבנה מסגרת בסיסית ביותר לתיאור גלים אלקטרומגנטיים.  


כזכור, הזוג הראשון של משוואות מקסוול מתאר את הדינאמיקה של שדות הערור כתלות במקורות השדה, היינו בצפיפות המטען החשמלי ובצפיפות הזרם החשמלי, הזוג השני של משוואות מקסוול מספק אילוצים המתחייבים מהיעדר מטענים מגנטיים כמקבילה למטענים החשמליים, ואילו הקשר בין משתני הזוג הראשון (שדות העירור \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) ו-\(\boldsymbol{\mathcal{D}}\)) למשתני הזוג השני (האינדוקציה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) והשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\)) ניתן באמצעות קשרי המבנה. ומה קורה בואקום, במצב של היעדר מקורות? ובכן, במקרה זה מתקבלות ארבע משוואות הומוגניות, ולמרבה הפלא יש למשוואות אלו פתרונות לא טריוויאלים. מדוע למרבה הפלא? היות ומשמעות הדבר היא שאין צורך בנוכחות מקורות כדי לקבל שדות אלקטרומגנטיים במקום מסויים במרחב.

ובכן, ארבע משוואות מקסוול בריק הן

\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=0&&1-\text{st}\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&=\boldsymbol{0}&&2-\text{nd}\\\nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0&&3-\text{rd}\\\nabla\times\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}&=\boldsymbol{0}&&4-\text{th}\end{aligned}

ועליהן יש להוסיף את שני קשרי המבנה של הואקום במערכות התמד, \(\boldsymbol{\mathcal{H}}=\boldsymbol{B}/\mu_{0}\), ו- \(\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\); כאן \(\mu_{0}\) ו- \(\epsilon_{0}\) הם, בהתאמה, הפרמיבליות והפרמיטביות של הואקום. וזאת חשוב להדגיש: במסגרת תורת היחסות הפרטית שני קבועים אלו מרכיבים את תעודת הזהות האלקטרומגנטית של הואקום, והם מקבלים את אותו ערך נומרי בכל מערכות ההתמד, ראו הדיון בעיקרון השלישי ברשימה "שלושת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית".

הבה נמצא את הפתרונות הלא-טריוויאלים של הפן האלקטרומגנטי של הואקום: ניקח את הרוטור של המשוואה השנייה, נציג את קשרי המבנה של הואקום כדי לרשום אותה במונחים של האינדוקציה המגנטית והשדה החשמלי (במקום במונחים של שדות העירור), ניעזר בקומוטטיביות של הנגזרות החלקיות ונקבל אגב שימוש במשוואה הרביעית:
\begin{aligned}\nabla\times\left(\nabla\times\boldsymbol{B}\right)&=\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{B}\right)-\nabla^{2}\boldsymbol{B}\,=\,\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\nabla\times\boldsymbol{E}\right)\\&=-\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{B}}{\partial{t}^{2}}\end{aligned}
אתם מוזמנים לעבור על החשבון ולאמתו (ראו בהקשר זה גם השאלה הראשונה בתחתית הרשימה). היות והדיברגנס של \(\boldsymbol{B}\) מתאפס זהותית (ולא רק בואקום) נשארנו בסופו של דבר עם משוואת הגלים ההומוגנית למשתנה הוקטורי \(\boldsymbol{B}\):
\begin{aligned}
\nabla^{2}\boldsymbol{B}\,=\,\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{B}}{\partial{t}^{2}}
\end{aligned}
באשר לקבוע \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}\) יש מימדים של מהירות בריבוע. הבה נראה: מחוק קולון ל-\(1/\epsilon_{0}\) יש מימדים של כוח כפול אורך בריבוע חלקי מטען בריבוע. מנוסחת הכוח המגנטי ליחידת אורך בין שני תיילים ל- \(\mu_{0}\) יש מימדים של כוח חלקי זרם בריבוע, וזרם הוא מטען ליחידת זמן. לכן

\begin{aligned}\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}&=\frac{[F]\times[L]^{2}}{[Q]^{2}}\times\frac{[Q]^{2}}{[F]\times[T]^{2}}=\left[\frac{L}{T}\right]^{2}\end{aligned}

במערכת היחידות הסטנדרטית SI מקבלים קבועי המבנה של הואקום (שהם כאמור קבועים אוניברסליים המשותפים לכל מערכות ההתמד) את הערכים המספריים \(\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\) וכן \(1/\epsilon_{0}=4\pi\times{K}\approx4\pi\times9\times10^{9}\), ומכאן,

\begin{aligned}c^{2}\,=\,\frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\,\approx\,\frac{4\pi\times9\times10^{9}}{4\pi\times10^{-7}}\,=\,9\times10^{16}\scriptsize{{\text{m}^{2}}/{\text{s}^{2}}}\end{aligned}

או \(c\approx3\times10^{8}\) מטר לשנייה. מאחר ו- \(\mu_{0}\) ו-\(\epsilon_{0}\) הם קבועים אוניברסליים הנשמרים תחת מעבר בין מערכות התמד, כך גם הקבוע \(c=1/\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}\). לכן השקילות המוחלטת של כל מערכות ההתמד כמוה כאינווריאנטיות של הקבוע \(c\) תחת מעברים בין מערכות התמד. מי היא חבורת הטרנספורמציות המשמרת את \(c\) תחת מעבר בין מערכות התמד? התשובה היא חבורת לורנץ כמובן; חבורת גליליי אמנם רחבה מספיק לשמר את משוואות מקסוול במעבר ממערכת התמד אחת לרעותה, אבל אין היא משמרת את קשרי המבנה של הואקום, וממילא לא את הקבוע \(c\) שיחידותיו הן אלו של מהירות.

באופן דומה (הראו זאת) נקבל משוואת גלים גם עבור השדה החשמלי,
\begin{aligned}
\nabla^{2}\boldsymbol{E}\,=\,\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{E}}{\partial{t}^{2}}
\end{aligned}
בדיוק עם אותו \(c\). משוואות הגלים הללו מנפקות פתרונות המתארים הפרעות מחזוריות בעוצמות השדה המתקדמות במהירות \(c\), אותה אנו *מזהים* כמהירות האור בריק. אבל שימו לב - בניגוד לכל מקרה אחר הקשור בהתקדמות מחזורית של הפרעות, כאן אין כל תווך להתקדם בו! הוואקום הוא אל-תווך ובניגוד לכל סוגי הגל האחרים המוכרים, האור מתקדם באין-תווך. באיזשהו מקום, אם נחפוץ לזהות את הואקום הקלאסי עם מרחב-זמן יחסותי ריק, הרי שהגלים הללו הם התגלמות הפן האלקטרומגנטי של אותו מרחב-זמן. 

נתבונן עתה במשוואת הגלים ההומוגנית עבור האינדוקציה המגנטית \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)\): קל להיווכח שכל גל מישורי המאופיין באמצעות הפרמטר הוקטורי \(\boldsymbol{k}\) והפרמטר הסקלרי \(\omega_{\boldsymbol{k}}\),
\begin{aligned}\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{r},t\right)\,=\,\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\end{aligned}
הוא פתרון של המשוואה הנ"ל, בכפוף לקשר הלינארי \(\omega_{\boldsymbol{k}}=c\left|\boldsymbol{k}\right|\), וכאן \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) הוא וקטור משרעת קבוע אותו ניתן לקבוע עד כדי הפרמטר הקבוע \(\boldsymbol{k}\). הבדיקה מאוד קלה מאחר והלפלסיאן הוא אופרטור ליניארי. הבה ניווכח בזאת מפורשות: מחד גיסא נקבל \(\nabla^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\,=\,-\boldsymbol{k}^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\) ומאידך גיסא,
\begin{aligned}\frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}}\left\{e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\right\}\,=\,-\omega_{\boldsymbol{k}}^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\end{aligned}
ומכאן הטענה. 

מובן מאליו, אותם ארגומנטים עצמם תקפים גם עבור משוואת הגלים ההומוגנית במשתנה הוקטורי \(\boldsymbol{E}\) כך ש-
\begin{aligned}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}\left(\boldsymbol{r},t\right)\,=\,\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}'\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}'}{t}\right)}\end{aligned}
באשר \(\omega_{\boldsymbol{k}'}=c\left|\boldsymbol{k}'\right|\). מדוע השתמשנו עתה בסימון \(\boldsymbol{k}'\) עבור הפרמטריזציה של הגל המישורי במקום ב- \(\boldsymbol{k}\)? היות ולכאורה שתי משוואות הגלים עבור השדות \(\boldsymbol{B}\) ו-\(\boldsymbol{E}\) בלתי תלויות זו בזו, ולכן הפרמטריזציות של שני הפתרונות בלתי תלויות זו בזו. אבל רק לכאורה, כפי שנראה בהמשך.

ובכן, לכל מקום ספציפי \(\boldsymbol{r}^{\star}\) הפתרון מתנדנד בזמן \(t\), ולכל זמן ספציפי  \(t^{\star}\) הפתרון מחזורי במקום \(\boldsymbol{r}\). בפרט, כאשר הוקטורים \(\boldsymbol{k}\) ו-\(\boldsymbol{r}\) מקבילים זה לזה, הארגומנט שבאקספוננט מקבל את הצורה \(\left|\boldsymbol{k}\right|\left(r-ct\right)\) והוא מתאר התקדמות של חזית גל (פאזה בלע"ז) לאורך הרדיאל \(r\) במהירות \(c\). אגב, התלות של המהירות הזוויתית \(\omega_{\boldsymbol{k}}\) בוקטור הגל \(\boldsymbol{k}\) מכונה יחס הנפיצה מסיבות שאינן רלוונטיות לענייננו. אינטרוול הזמן \(T\) הנדרש להשלמת מחזור שלם מקיים את הקשר \(\omega_{\boldsymbol{k}}{T}=2\pi\); אורך הגל \(\lambda\) (כלומר אורך הגל במרחב המקום) מקיים את הקשר \(\lambda=cT\) ומשתי משוואות אלו מיד נובע שוקטור הגל ניתן לתיאור באמצעות אורך הגל, היינו \(\left|\boldsymbol{k}\right|=2\pi/\lambda\). היות ומשוואות מקסוול בואקום אינן מציבות כל מגבלה על וקטור הגל, כל אורכי הגל קבילים וכמובן גם כל התדירויות \(f=1/T=c/\lambda\).

עתה נציב את פתרונות הגל המישוריים שקיבלנו חזרה בארבעת משוואות מקסוול, ומה נקבל? ארבע משוואות אלגבריות, שתיים סקלריות ושתיים וקטוריות:

\begin{aligned}\boldsymbol{k}'\cdot\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&=0&&1-\text{st}\\c^{2}\left(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right)&=-\omega_{\boldsymbol{k}'}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&&2-\text{nd}\\\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}&=0&&3-\text{rd}\\\boldsymbol{k}'\times\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&=\omega_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}&&4-\text{th}\end{aligned}

מהמשוואות (1) ו-(3) למעלה נובע ש- \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}\) ו- \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) ניצבים לוקטורי הגל \(\boldsymbol{k}'\) ו-\(\boldsymbol{k}\) בהתאמה; מכאן גם נובע ששלשת המרכיבים של כל אחד מהשדות הוקטוריים הללו תלויים לינארית.  ממשוואות (2) ו-(4) למעלה נובע ש- \(\boldsymbol{k}'\equiv\boldsymbol{k}\) (תרגיל בית) ומהוודע זאת מייד אנו למדים שהשדות  \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\) ו- \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) ניצבים זה לזה בכל מקום ובכל זמן. לכן \(\left\{\boldsymbol{k},\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}},\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right\}\) מהווה שלשה אורתוגונלית. זאת ועוד, אם נעלה בריבוע את המשוואה השנייה או הרביעית (ראו השאלות מטה), ובהתבסס על יחס האורתוגונליות בין החברים בשלשה, נקבל את הקשר המעניין
\begin{aligned}\left|\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right|=c\left|\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right|\,;\end{aligned}

וכך ניראת מערכת הפתרונות שמצאנו בסימולציה אותה העלה ליוטיוב Daniel Mentrard:


היות ואין כל מגבלה על \(\boldsymbol{k}\), ומכיוון שמשוואת הגלים ההומגנית עצמה היא משוואה לינארית, הרי שאינטגרציה (תלת-מימדית) על הפרמטר הוקטורי \(\boldsymbol{k}\) עם האמפליטודות \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) או \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\) גם היא פיתרון של משוואת הגלים ההומוגנית. יתרה מזאת, היות והדיוורגנס של שני השדות מתאפס, ישנן רק שתי קומפוננטות בלתי תלויות לכל שדה. לכן המבנה הכללי ביותר של האינדוקציה המגנטית והשדה החשמלי בואקום ינתן ע"י,
\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)&=\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\&=\sum_{\alpha=1}^{2}\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}B_{\alpha}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r},t\right)&=\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega{t}_{\boldsymbol{k}}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\&=\sum_{\alpha=1}^{2}\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}E_{\alpha}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\end{aligned}
שני האופנים כמובן שקולים זה לזה, וקטורי היחידה שהצגנו בגרסא השנייה לכל שדה, היינו \(\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\), מכונים וקטורי הקיטוב ונוח לאפיין באמצעותם את מישורי התנודה של השדות. אם האמפליטודות מרוכזות סביב ערך מסויים של וקטור הגל, נאמר \(\boldsymbol{k}^{\star}\), נקבל מה שמקובל לכנות חבילת גלים. ובפרט, אם הריכוז סביב ערך זה מתואר באמצעות פונקציית דלתא, נקבל חזרה את הגלים המישוריים עימם התחלנו.

ולבסוף, חבילות הגלים מלמעלה הן לא יותר מפיתוח פוריה לפונקציות הגל. זיכרו שהפרמטר \(\omega\) תלוי ב-\(\left|\boldsymbol{k}\right|\) ולכן הטרנספורם ההפוך המנפק את את פונקציות הגל במרחב וקטור-הגל ינתן ע"י
\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\\\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r},t\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\end{aligned}



תרגילים:

  1. השתמשו באפסילון לוי-צ'יוויטה ובדלתא של קרוניקר כדי להוכיח את הזהות הוקטורית \(\nabla\times\left(\nabla\times{V}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot{V}\right)-\nabla^{2}V\), היכן ש-\(V\) מייצג שדה וקטורי חלק.
  2. הראו שהואקום האלקטרומגנטי אינווריאנטי תחת טרנספורמציית הדואליות\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{D}}\leftrightarrow\boldsymbol{B},\quad\boldsymbol{\mathcal{H}}\leftrightarrow-\boldsymbol{E},\quad\epsilon_{0}\leftrightarrow-\mu_{0}\end{aligned} בהתאם לכך אנו אומרים (ויש לכך סיבות עמוקות, ראו הרשימה השנייה על משוואות מקסוול) ששדה העירור החשמלי דואלי לאינדוקציה המגנטית, וששדה העירור המגנטי דואלי למינוס השדה החשמלי; החלפת הקבועים במשוואה הימנית היא לא יותר מהגדרה מחודשת של יחידות.
  3. סעיף א: השתמשו בגירסא האלגברית של משוואות מקסוול "במרחב \(\boldsymbol{k}\)" כדי להוכיח שהגל המגנטי והגל החשמלי חולקים את אותה הפרמטריזציה, כלומר הראו שבהכרח \(\boldsymbol{k}'\equiv\boldsymbol{k}\). סעיף ב: השתמשו בזהות הוקטורית המוכרת  \(\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)^{2}=\boldsymbol{a}^{2}\boldsymbol{b}^{2}-\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)^{2}\) והראו ש- \begin{aligned}\left|\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right|=c\left|\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right|\,\end{aligned} סעיף ג: הראו ששדה חשמלי \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) המתואר באמצעות גל מישורי המאופיין באמצעות וקטור הגל \(\boldsymbol{k}\) והמהירות הזוויתית \(\omega_{\boldsymbol{k}}\) מקיים את המשוואה \begin{aligned}\boldsymbol{k}\times\left(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right)=-\left(\omega_{\boldsymbol{k}}/c\right)^{2}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\end{aligned}
  4. תהיה \(\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) פונקציה וקטורית חלקה כלשהי (האינדוקציה המגנטית או השדה החשמלי, למשל), ויהיה \(\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{k}\right)\) טרנספורם פוריה שלה. הוכיחו את שוויון פרסוול האומר ש-\begin{aligned}\left(2\pi\right)^{3}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\left|\boldsymbol{g}\right|^{2}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\;=\;\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\left|\boldsymbol{G}\right|^{2}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\end{aligned}

פתרון תרגיל 4:

ברשותכם, לצורך נוחות הקריאה, אמנע מציון תחומי האינטגרציה (שהוא למעשה כל המרחב במשתנה הוקטורי המתאים); ועוד דבר אחד קטן בענייני נוטציה: קו מלמעלה יציין צימוד קומפלקסי.
\begin{aligned}\left(2\pi\right)^{3}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,g\left(\boldsymbol{k}\right)\,\overline{g\left(\boldsymbol{k}\right)}&=\left(2\pi\right)^{3}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,\left[g\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}\right]\left[\overline{g\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}}\right]\\&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\\&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}\underbrace{\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}}_{\left(2\pi\right)^{3}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\\&=\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\\&=\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r},t\right)}\,.\end{aligned}
מסקנה: הטרנספורם הוא סוג של איזומטריה, כלומר טרנספורמציה משמרת "אורך" (באיזה מובן?...).