יום חמישי, 30 במאי 2013

על דטרמיניזם ומכניקה קוונטית


רשימה זו פורסמה לא מכבר בשני חלקים נפרדים בבלוג 'דבר דבור על אפניו', שם היא מתוייגת תחת התווית "עיונים בפיזיקה"כאן בחרתי לתייגה תחת התווית "פילוסופיה של המדע" מאחר ומדובר ברעיונות פילוסופיים לא מחייבים יותר מאשר בתורה סדורה. החיבור הנכחי מציג את הפן הדטרמיניסטי של התורה הקוונטית במסגרת הפרשנות של קופנהגן (ובכן, יש כזה...) ומעמת זאת עם גישתו המקורית של ט'הופט;

מקובל לסבור שמרגע שנתקבלה המכניקה הקוונטית על דעתן של הבריות כתורה הנכונה המתארת את המציאות עצמה בסקאלות מיקרוסקופיות, תם עידן התום של הדטרמיניזם. מעתה והלאה כל תרחיש אפשרי עשוי להתגשם או לא להתגשם בכפוף לחוקי הסתברות נתונים; בלשון עממית יותר, מצבה של מערכת פיזיקלית בכל רגע נתון נקבע מתוך איזה סוג של הטלת קוביה, אם כי לא מדובר בקוביית שש-בש אלא במשהו מתוחכם יותר. ובכן, האם זה באמת כך? האם המציאות כפי שהיא מתוארת באמצעות המכניקה הקוונטית באמת איננה דטרמיניסטית? מה מסתתר מאחורי הפורמליזם בהקשר זה והאם כבר נאמרה המילה האחרונה בעניין?

לפני שאנסה להשיב בקצרה על השאלות הללו אולי כמה מילות הקדמה. הפיזיקה של טרום המאה העשרים תאמה מציאות דטרמניסטית למהדרין. מה פירוש הדבר? מצבה של כל מערכת פיזיקאלית תואר באמצעות משוואה דיפרנציאלית (או סט של משוואות דיפרנציאליות) אשר פתרונה (או פתרונן) ניפק את התלות בזמן של מרכיבי המערכת. בנוהל זה תנאי ההתחלה ותנאי השפה של המערכת קובעים באופן חד ערכי את מצבה בכל רגע נתון בעתיד, אם כי יכולת הניבוי עשוייה להיות מוגבלת למדי בכפוף למורכבות תלותה של המערכת במשתנים השונים. על כן, לפחות מבחינה עקרונית, מצבה של כל מציאות חומרית נקבע מראש ודבר אינו שרירותי. 

הפיזיקה הקלאסית סיפקה לנו איפה תסריט מדוייק של עתיד מערכת פיזיקאלית כלשהי בהינתן מצבה ברגע נתון ובכפוף לחוקי הפיזיקה המכתיבים את הדינמיקה שלה. שימו לב שדטרמניזים מחייב מציאות של סיבה ומסובב אבל לא להיפך: לא כל מערכת הכפופה לחוק הסיבתיות היא בהכרח גם דטרמיניסטית, כפי שניווכח בהמשך.

לדידי רבים וטובים מרגע שנתברר כוחה הרב של המכניקה הקוונטית בתיאור אמין ומדוייק של המציאות המיקרוסקופית קרס הקונספט של הדטרמיניזם לבלי שוב. שהרי מנקודת הראות הקוונטית כפופה המציאות לחוקי הסתברות ומצבה של מערכת פיזיקלית בכל רגע נתון מוגרל מתוך סט של מצבים אפשריים (בדיד או רציף), גם אם הסתברותם של מצבים מסויימים גבוהה בהרבה מאלו של אחרים. לעולם לא נדע לאיזה מצב עתידה מערכת פיזיקלית לקרוס בשניה הבאה עד שלא נערוך מדידה ונדע מה הוגרל לנו בפועל. אבל חשוב להדגיש שאין בעובדה זו להעיב על כושר הניבוי כפי שמדגים הארגומנט הבא:

במסגרת המכניקה הקוונטית לעולם לא נדע אם אטום מסויים יבצע אינטראקציה מסויימת עם אלקטרון הבא בקירבתו, אלא רק את ההסתברות לכך שאינטראקציה כזו אכן תתרחש. ובדומה, לעולם לא נדע אם גרעין מסויים עתיד לפלוט חלקיק אלפא בדקה הקרובה אלא את ההסתברות לכך שהמאורע יתרחש; המציאות מצייתת לחוקי ההתפלגות המוכתבים על ידי המכניקה הקוונטית. ופה טמון סוד ההצלחה של התורה: היות ובמציאות היומיומית כל ניסוי או תצפית הם דגימה בו זמנית של אוסף אדיר של מערכות מיקרוסקופיות, והיות והדגימה של כל מערכת כזו כמוה כניסוי הנערך בתנאים מוגדרים היטב וברי שחזור, הרי שהתחזיות הסטטיסטיות להתממשות מציאות מקרוסקופית מסויימת מדוייקות להפליא; הבו לי גוש אורניום ואומר לכם כמה קרינה רדיואקטיבית תיפלט ממנו בשעה הקרובה בדיוק מעורר השתהות; תנו לי גרעין בודד ולא אדע לומר לכם דבר.

ההסתברות לתוצאה מסויימת במדידה כלשהי מתקבלת מפונקציית הגל המתארת את מצב המערכת ומכילה את כל המידע הפיזיקלי על המערכת. פונקציית הגל היא פתרון של משוואה דיפרנציאלית חלקית (שרידינגר/הייזנברג במקרה הלא-יחסותי, דיראק/קליין-גורדון במקרה היחסותי) המתארת את המציאות הפיזיקלית באופן יחיד וחד משמעי. בתורת השדות הקוונטים, לא המשוואה היא המעניינת אלא הלגרנז'יאן וממנו ניתן לגזור את הסיכויים להתרחשויות השונות אבל לא אגע בזה כאן. מה שחשוב להדגיש הוא שגם המשוואות המצויות בבסיסה של המכניקה הקוונטית הן משוואות דיפרנציאליות והן קובעות באופן חד ערכי את ספקטרום המצבים המותרים, את המבנה של כל פונקציית גל (היינו, פונקציית מצב), וכמובן את הדינמיקה שלהן.

בהיבט זה אין כל הבדל עקרוני בין הפיזיקה הקלאסית לפיזיקה הקוונטית; בשתי הפרדיגמות הדינמיקה של דרגות החופש הבסיסיות נקבעת באמצעות משוואות דיפרנציאליות, היינו דטרמיניסטית. אלא שבפרדיגמה הקלאסית דרגות החופש הבסיסיות מאפיינות את המציאות עצמה ואילו בפרדיגמה הקוונטית דרגות החופש הבסיסיות הן פונקציות הגל. משמעות הדבר היא שבפיזיקה הקלסית המציאות הפיזיקלית עצמה היא דטרמיניסטית, ואילו בפרדיגמה הקוונטית פונקציות הההתפלגות של המצבים השונים בהם עשוייה להמצא המערכת הן דטרמיניסטיות אבל המציאות עצמה מוגרלת מתוך סט של מצבים מותרים. בעבר נהוג היה לאמר שטרם ביצוע מדידה קונקרטית נמצאת המערכת בסופרפוזיציה של מצבים מותרים ובהתבצע המדידה היא קורסת לאחד מהם (בכפוף לפונקציית ההתפלגות) אבל זוהי כמובן טענה מעורפלת ואין היא באה לשמש אלא אלגוריה למוזרות-לכאורה הטמונה בתורה.

בזאת אם כן מתמצאת ה'מיסטיקה' הגלומה בפרדיגמה הקוונטית: משוואות היסוד מנפקות באופן דטרמיניסטי את פונקציות ההתפלגות של המצבים בהם עשוייה להמצא המערכת אבל לא את הדינמיקה של המערכת הפיזיקלית *עצמה*; לשאלה מי מהמצבים המותרים באמת מתגשם הלכה למעשה יש רק תשובה סטטיסטית: המציאות המוגשמת מוגרלת בהתאם לפונקציית ההתפלגות המאפיינת את המערכת. מציאות מוגרלת ולא מתפתחת, משל צצה יש מאין. 

הבה נתבונן בניסוי שני הסדקים במתכונתו היותר חזקה, וננסה לברר מה שם באמת נראה 'מיסטי' ומה מובן וברור. בניסוי זה משגרים אלקטרונים המשמשים 'קליעים' מיקרוסקופיים לעבר שני סדקים בזה אחר זה ובמרווחי זמן מספיק גדולים כך שאין כל אינטראקציה בין קליע לקליע. למרבה הפלא מתקבלת על המסך מעברם השני של הסדקים תבנית התאבכות האופיינית למעבר גלים, לא למעבר חלקיקים. כיצד זה יתכן? אם האלקטרונים היו נורים כולם יחדיו יכולנו לפתור את עצמנו באמצעות המושג החמקמק והפופולרי המכונה דואליות גל-חלקיק ולאמר שבניסוי ספציפי זה האלקטרונים מתנהגים כמו גלים ועל כן מתקבלת על המסך תבנית התאבכות.

אלא שבמקרה דנן אנו משגרים את האלקטרונים אחד אחרי השני במרווחי זמן ארוכים כך שהאחד משוגר רק לאחר שהקודם כבר פגע במסך. לכן תירוץ הדו-פרצופיות של ה"גלקיק" אינו תופס עוד. יש שיאמרו שהאלקטרון בהיותו גלקיק מתאבך עם עצמו, אבל ככל שאוכל לשפוט הסבר מסוג זה מעורפל ורעוע אף יותר מההסברים שמספקות מיתולוגיות עתיקות על איתני הטבע... לא דובים ולא גלקיקים. לעניות דעתי המצב מוסבר יפה באמצעות פרשנות קופנהגן למכניקה הקוונטית:

התאור של כל אלקטרון בכפוף לתנאי השפה של מעבר באחד משני החריצים ופגיעה במסך מאחור ניתן באמצעות פונקציית גל מרחבית אשר בסופו של יום מנפקת את ההסתברות להמצאותו בכל נקודה אפשרית על גבי המסך. לפונקציית הגל הנמצאת מעברם השני של החריצים יש שני ענפים - פועל יוצא של הטופולוגיה של המערכת - והם מתאבכים זה עם זה ליצירת תבנית התאבכות המתארת במדוייק את *ההתפלגות* להתממשותו של האלקטרון באזור זה. היות ומדובר בתבנית התאבכות של גלים, ישנם פסים בהם ההסתברות להמצאותו של האלקטרון גבוהה ופסים בהם היא נמוכה. בתום שיגור כמות גדולה מאוד של אלקטרונים מתפלגות הפגיעות על המסך בהתאם לתבנית ההתאבכות של פונקציות הגל. ובכן, האלקטרון מופיע בגלאי כחלקיק המתממש בכפוף להסתברות הנגזרת מפונקציית הגל המאובכת. 

יבוא הקורא הכן ויטען (והצדק עימו) שטאטאנו את אי-הנחת לפינה מרוחקת של החדר אבל לא ממש נפטרנו ממנה: פרשנות קופנהגן למכניקה הקוונטית היא עדיין מיסטית מיסודה הואיל וכל מדידה היא בסופו של דבר הגרלה. העובדה שמצב המערכת מוגרל מתוך סט של מצבים הוא בלתי מתקבל על הדעת משום שהוא כרוך באי-ודאות מוחלטת על האופן שבו המציאות *באמת* מתפתחת בזמן. פיזיקאים רבים יענו על כך ברוח זו: טבעה של המציאות הוא הסתברותי בין אם נאהב זאת ובין אם לאו. כך פשוט *קיים* העולם, זו מהותו, ואין בעובדה שאין הדבר מתיישב עם נחת-הרוח שלנו (או עם האינטואיציה שלנו) להעיד על דבר. הבאג-לכאורה נמצא כל כולו בשחצנותנו אנו בנסיוננו להחליט מה מיסטי ומה לא.

התשובה הזו לא רעה כלל למרות שבמבט ראשון היא ניראת רוויית תוכחה ומתחמקת; בסופו של יום, מי אנו שנחליט כיצד אמורה להתגשם המציאות החומרית? מי אנו שנדרוש שהמציאות תתיישב עם פילוסופיה כזו או אחרת? ובכל זאת, תוכחת ה-main-stream לא הרתיעה את ג'רארד ט'הופט להציע פתרון מקורי לסוגייה, פתרון המתיימר לטאטא כל שריד של מיסטיקה לא אל פינת החדר אלא לגמרי החוצה... רעיון פנטסטי הנטוע עמוק בקרקע הדטרמינזם (ט'הופט הוא חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1999 ומגדולי התאורטיקנים של העת החדשה; זהו האיש שרה-נירמל את המודל הסטנדרטי בעבודת הדוקטורט שלו בהנחיית מרטינוס וולטמן). אציג עתה את הרעיון שלו ברמה העקרונית כפי שאני מבין אותו ותקוותי שאיני טועה או חלילה מוליך שולל.

כדי להבין במה מדובר ניקח כדוגמא את התרמודינמיקה הקלאסית של האוויר בחדר בו אתם נמצאים: הפיזיקה *האמיתית* של האוויר בחדר נקבעת ברמת האינטראקציה שבין המולוקולות של האוויר, דהיינו כפופה לחלוטין לחוקי המכניקה הניוטונית ולאינטראקציות האלקטרומגנטיות בין מולקולות מקוטבות אם יש כאלו. אלא שנסיון לעקוב אחר האינטראקציות הפרטניות של מספר אבוגדרו של מולקולות אינו ישים בשום מצב וממילא אין לפרטנות הזו שום משמעות ברמה המקרוסקופית. רק טיפול סטטיסטי בצבר המולקולות האדיר הזה בכלים של המכניקה הסטטיסטית מוביל לחישוב גדלים רלוונטים כמו טמפרטורה, לחץ, וכו' ומנפק תאור אפקטיבי ורלוונטי של התרמודינמיקה של גוש האוויר.

הוא-הדין בנוגע למכניקה הקוונטית. דרגות החופש הבסיסיות המשמשות לתאור המציאות אינן אלו המאפיינות את העולם האטומי ואפילו לא את העולם התת-אטומי. שהרי המקום שבו כבידה מתחילה לדבר עם המכניקה הקוונטית (בשפה שאנו לא מכירים) נמצא הרחק הרחק מעבר להררי החושך, אי-שם בסביבות סקאלת פלאנק. הבה נברר זאת לעצמנו: אפקטים קוונטים מופיעים לראשונה בסקלות אטומיות, סדר גודל של ננומטרים בודדים, היינו \(\sim10^{-9}\) מטר. חקירת החלקיקים אלמנטריים בימנו-אנו מתבצעת באנרגיות של טרה-אלקטרון וולט, היינו מרחקים מסדר גודל של \(10^{-18}\) מטרים. אבל הכבידה נכנסת לתמונה רק בסקלת פלאנק כלומר במרחקים של \(10^{-35}\) מטרים, שבעה-עשר סדרי גודל יותר 'עמוק' מהסקאלות הנחקרות כיום במאיצי החלקיקים החזקים ביותר. מדובר בשבעה סדרי גודל יותר מ'המרחק' ביננו לבין אטום המימן, או כמעט כל הדרך ביננו לבין החלקיקים האלמנטריים(!).

היות ודרגות החופש 'האמיתיות' המתארות את המציאות בסקאלת פלאנק אינן רלוונטיות לתאור עולם החלקיקים האלמנטריים, לא כל שכן עולם האטומיים הגדול מעולם החלקיקים בשמונה-תשעה סדרי גודל, אין זה מן הנמנע שהפיזיקה בסקאלות אלו איננה אלא מיצוע סטטיסטי על דרגות החופש בסקאלת פלאנק, ממש כמו שהתרמודינמיקה של האוויר בחדר אינה אלא מיצוע סטטיסטי על דרגות החופש בסקלה האטומית או המולקולרית. ומכיוון שמדובר בסוג של מכניקה סטטיסטית - גם אם בשלב זה עלום לחלוטין מבחינתנו - הרי שהשפה הטבעית שבה אנו מדברים קוונטית היא שפת ההסתברות. אם כך הדבר הרי שמטבע הדברים יראה לנו מצב המערכת בסקאלות הנחשבות בעינינו כמיקרוסקופיות כאילו הוא מוגרל מתוך אוסף של מצבים מותרים בהתאם לפונקציית התפלגות נתונה.

ובהניחנו שדרגות החופש המתארות את המציאות בבסיסה מתחבאות בפיזיקה של סקאלת פלאנק, הרי שזו עשוייה להתברר לנו כדטרמיניסטית לחלוטין גם אם עדיין איננו יודעים לאמר עליה דבר. ומנגד, תיראה לנו המציאות המיקרוסקופית הנגישה לנו (זו של החלקיקים האלמנטריים) כאילו היא כפופה לחוקי הסתברות. האם תורת המיתר קומפטבילית עם הגישה הזו? לעניות הבנתי את תורת המיתר (והיא מאוד ענייה) התשובה היא לא; בגישה של ט'הופט הקונספט הקוונטי הוא קונספט מגיח (emergent concept) ותורת הקוונטים המתארת את המציאות בסקאלות אטומיות ותת-אטומיות היא תורה אפקטיבית (effective theory); ומנגד, ככל הידוע לי, בתורת המיתר הקונספט הקוונטי הוא תנאי הכרחי לעקביות התורה. כלומר הרעיון הקוונטי בתורת המיתר איננו מושג מגיח אלא מהות, ומהיבט זה ההבדל בין שתי הגישות תהומי.

ולאחר כל זאת חשוב להדגיש ולאמר: לעת עתה אין כל תימוכין בתצפית או בניסוי לרעיונו של ט'הופט, כשם שאין כל תימוכין לנכונותה של תורת המיתר; בכל מה שקשור בסקאלת פלאנק, הפיזיקה בת זמננו מגששת באפלה מוחלטת.





9 תגובות:

  1. לא מכיר את טיעוני ט'הופט, אבל הצורה שהצגת אותם נראית לי זהה לגישת "המשתנים החבויים" של אינשטיין וחבריו. כלומר, אתה אומר: בפיסיקה קלאסית, אקראיות נובעת מחוסר במידע (לא תדע את כל הפרטים על מספר אבוגדרו של חלקיקים). כלומר ישנן דרגות חופש שאיננו לוקחים בחשבון בתאוריה שלנו. לכן אנו מקבלים תיאור סטטיסטי. ואז אתה אומר, אולי גם בקוונטים זה כך. כלומר אולי גם בעולם המיקרוסקופי, התיאור הסטטיסטי שהגענו אליו נובע פשוט ממחסור בנתונים. כלומר דרגות חופש שלא לקחנו בחשבון. לעיתים מכנים את דרגות החופש הנוספות האלו בשם "משתנים חבויים".
    השאלה הבאמת מעניינת אם ניתן לברר את העניין - כלומר המציאות הנגלית נראית כסטטיסטית, על זה אין ויכוח - אבל איזו "פחלוסופיה" נכונה, זו של קופנהגן או זו של המשתנים החבויים? האם זוהי שאלה בפיסיקה או שאלה בפילוסופיה?
    בשנות השישים, פיסיקאי בשם בל הראה שלשני הפירושים האלו יש גם תחזיות פיסיקליות שונות (ראה "אי שיוויון בל"). בתחילת שנות השמונים דוקטורנט בשם אלן אספה עשה את הניסוי. המסקנה היא שלא ניתן להסביר את הסטטיסטיקה הנובעת מתורת הקוונטים (בפרט, מדובר על קורלציות של חלקיקים שזורים) ע"י שימוש בהסבר של משתנים חבויים. כלומר, בניגוד לכל חוויות היומיום שלנו, שבהן אקראיות תמיד נובעת מחוסר במידע, תורת הקוונטים מצביעה על סוג אקראיות נוסף.

    השבמחק
    תשובות
    1. תודה רבה על התגובה מאירת העיניים! בראיון הקצר המצורף בקישור מטה מנסה ט'הופט לגשר (איכשהו) על המכשולים שמציב בפניו אי-שוויון בל. לא קל לי להעריך את עמקם של טיעוניו אבל אני מתרשם שהנושא הזה, במשולב עם פיתוחה של כבידה קוונטית, הם ממש 'בדמו'. וט'הופט זה ט'הופט... אי אפשר להתעלם ממה שיש לו לאמר גם אם השאלות שמטרידות אותו נמצאות בשוליים, גם אם שיטות העבודה שלו לא כל כך קונבנציונאליות.

      http://blogs.scientificamerican.com/critical-opalescence/2013/10/07/does-some-deeper-level-of-physics-underlie-quantum-mechanics-an-interview-with-nobelist-gerard-t-hooft/

      מחק
  2. האם הפרוטון הוא גל עומד?

    לא כל וורדפרס לא אוהב אותיות יווניות, אז במקום למדא נכתוב l לציון אורך הגל:

    בתורת הקוונטים: E = hf.

    בגלים אלקטרומגנטים lf = c, מהירות האור שוה לתדר הגל כפול אורכו.

    E=mc^2, איינשטיין.

    שילוב של שניהם מניב: l = h/mc.

    ז"א שאם נראה את הפרוטון כגל עומד, הקוטר שלו יהיה הנוסחה למעלה.

    עכשיו:

    proton mass = 1.67262158 × 10^-27 kilograms.

    the speed of light = 299 792 458 m / s.

    Planck's constant = 6.626068 × 10^-34 m2 kg / s.

    יוצא שקוטר הפרוטון הוא בערך 1.324x 10^-15מטר.

    לא יודע אם זה אומר משהו, אך זהו אכן הקוטר המשוער של הפרוטון.

    וגם האנליזה המימדית יוצאת בסדר.

    האמנם רק צירוף מקרים?

    השבמחק
    תשובות
    1. שלום ישראל,
      לא צירוף מקרים: לא בדיוק רדיוס הפרוטון אבל סוג של קירוב מסדר ראשון...
      מה שחישבת כאן מכונה אורך גל קומפטון של הפרוטון. תוכל לקרוא על המושג הזה למשל בויקיפדיה,
      http://en.wikipedia.org/wiki/Compton_wavelength
      כדאי אולי לקרוא גם על המושג היותר בסיסי המכונה דואליות חלקיק-גל כאן:
      http://en.wikipedia.org/wiki/De_Broglie_wavelength

      מחק
    2. ועוד דבר... הערך את אורך גל קומפטון של האלקטרון ותגלה שהתוצאה גדולה בשלושה סדרי גודל מזו של הפרוטון (בלי חישוב, במיידי). חשב גם את אורך גל-קומפטון שלך ותגלה ש...

      מחק
  3. שלום עופר,

    רוב תודות על התשובה. הבנתי גם כי זו תוצאה של התיאוריה שמתארת את הכוח החזק (chromodynamics), שמחזיק ביחד את שלושת הקווארקים שמרכיבים את הפרוטון.

    אכן, אילו הפרוטון היה גל עומד, אז אורך הגל של הקוורקים המרכיבים אותו היה גדול משלו..

    אך ההתאמה המספרית הכמעט מדוייקת של נוסחה המקשרת קבועים המתפרסים על כ50 סדרי גודל נראתה יותר מצירוף מקרים. ומכיוון שבמאמר ב"הידען" נכתב:

    "שני ניסויים נפרדים למדידת רדיוס הפרוטון, אשר בוצעו בשנים האחרונות, הניבו תוצאות שונות בצורה מובהקת ומעלות ספקות בנוגע להבנתם של פיזיקאים את אחת התיאוריות המבוססות והמוסכמות ביותר בפיזיקה המודרנית – התורה האלקטרומגנטית הקוונטית".

    חשבתי שאולי ניתן לחשב את רדיוס הפרוטון תיאורטית, לא אמפירית, כפי שמקסוול חישב את מהירות האור מקבועי החשמל והמגנטיות.

    תודה,

    ישראל.

    השבמחק
  4. שלום עופר.

    שאלה בשזירה קוואנטית.

    אם אלקטרון 1 שזור עם אלקטרון 2, ואלקרון 3 שזור עם אלקטרון 4 האם אנו יכולים לשזור את 3 ו2?

    אם התשובה חיובית, האם זה אומר שמדידה של ספין אלקטרון 1 תהיה בקורלציה עם ספין אלקטרון 4?

    האם קיימות הגבלות? האם ניתן לדוגמה לשזור תחילה את 1ו2, אח"כ את 3 ו4, ואז להפריד את 2 ו3, לשזור אותם, ואז לקבל קורלציה בין הספינים של 1 ו4?

    תודה.

    השבמחק
    תשובות
    1. לא מתמצא בנושא. נסה לשאול אולי בבלוג "לא מדוייק" המופיע ברשימת הבלוגים העבריים המקצועיים מימין.

      מחק
  5. תודה עופר, אציג שם את השאלה.

    השבמחק