יום חמישי, 30 במאי 2013

על דטרמיניזם ומכניקה קוונטית


רשימה זו פורסמה לא מכבר בשני חלקים נפרדים בבלוג 'דבר דבור על אפניו', שם היא מתוייגת תחת התווית "עיונים בפיזיקה"כאן בחרתי לתייגה תחת התווית "פילוסופיה של המדע" מאחר ומדובר ברעיונות פילוסופיים לא מחייבים יותר מאשר בתורה סדורה. החיבור הנכחי מציג את הפן הדטרמיניסטי של התורה הקוונטית במסגרת הפרשנות של קופנהגן (ובכן, יש כזה...) ומעמת זאת עם גישתו המקורית של ט'הופט;

מקובל לסבור שמרגע שנתקבלה המכניקה הקוונטית על דעתן של הבריות כתורה הנכונה המתארת את המציאות עצמה בסקאלות מיקרוסקופיות, תם עידן התום של הדטרמיניזם. מעתה והלאה כל תרחיש אפשרי עשוי להתגשם או לא להתגשם בכפוף לחוקי הסתברות נתונים; בלשון עממית יותר, מצבה של מערכת פיזיקלית בכל רגע נתון נקבע מתוך איזה סוג של הטלת קוביה, אם כי לא מדובר בקוביית שש-בש אלא במשהו מתוחכם יותר. ובכן, האם זה באמת כך? האם המציאות כפי שהיא מתוארת באמצעות המכניקה הקוונטית באמת איננה דטרמיניסטית? מה מסתתר מאחורי הפורמליזם בהקשר זה והאם כבר נאמרה המילה האחרונה בעניין?

לפני שאנסה להשיב בקצרה על השאלות הללו אולי כמה מילות הקדמה. הפיזיקה של טרום המאה העשרים תאמה מציאות דטרמניסטית למהדרין. מה פירוש הדבר? מצבה של כל מערכת פיזיקאלית תואר באמצעות משוואה דיפרנציאלית (או סט של משוואות דיפרנציאליות) אשר פתרונה (או פתרונן) ניפק את התלות בזמן של מרכיבי המערכת. בנוהל זה תנאי ההתחלה ותנאי השפה של המערכת קובעים באופן חד ערכי את מצבה בכל רגע נתון בעתיד, אם כי יכולת הניבוי עשוייה להיות מוגבלת למדי בכפוף למורכבות תלותה של המערכת במשתנים השונים. על כן, לפחות מבחינה עקרונית, מצבה של כל מציאות חומרית נקבע מראש ודבר אינו שרירותי. 

הפיזיקה הקלאסית סיפקה לנו איפה תסריט מדוייק של עתיד מערכת פיזיקאלית כלשהי בהינתן מצבה ברגע נתון ובכפוף לחוקי הפיזיקה המכתיבים את הדינמיקה שלה. שימו לב שדטרמניזים מחייב מציאות של סיבה ומסובב אבל לא להיפך: לא כל מערכת הכפופה לחוק הסיבתיות היא בהכרח גם דטרמיניסטית, כפי שניווכח בהמשך.

לדידי רבים וטובים מרגע שנתברר כוחה הרב של המכניקה הקוונטית בתיאור אמין ומדוייק של המציאות המיקרוסקופית קרס הקונספט של הדטרמיניזם לבלי שוב. שהרי מנקודת הראות הקוונטית כפופה המציאות לחוקי הסתברות ומצבה של מערכת פיזיקלית בכל רגע נתון מוגרל מתוך סט של מצבים אפשריים (בדיד או רציף), גם אם הסתברותם של מצבים מסויימים גבוהה בהרבה מאלו של אחרים. לעולם לא נדע לאיזה מצב עתידה מערכת פיזיקלית לקרוס בשניה הבאה עד שלא נערוך מדידה ונדע מה הוגרל לנו בפועל. אבל חשוב להדגיש שאין בעובדה זו להעיב על כושר הניבוי כפי שמדגים הארגומנט הבא:

במסגרת המכניקה הקוונטית לעולם לא נדע אם אטום מסויים יבצע אינטראקציה מסויימת עם אלקטרון הבא בקירבתו, אלא רק את ההסתברות לכך שאינטראקציה כזו אכן תתרחש. ובדומה, לעולם לא נדע אם גרעין מסויים עתיד לפלוט חלקיק אלפא בדקה הקרובה אלא את ההסתברות לכך שהמאורע יתרחש; המציאות מצייתת לחוקי ההתפלגות המוכתבים על ידי המכניקה הקוונטית. ופה טמון סוד ההצלחה של התורה: היות ובמציאות היומיומית כל ניסוי או תצפית הם דגימה בו זמנית של אוסף אדיר של מערכות מיקרוסקופיות, והיות והדגימה של כל מערכת כזו כמוה כניסוי הנערך בתנאים מוגדרים היטב וברי שחזור, הרי שהתחזיות הסטטיסטיות להתממשות מציאות מקרוסקופית מסויימת מדוייקות להפליא; הבו לי גוש אורניום ואומר לכם כמה קרינה רדיואקטיבית תיפלט ממנו בשעה הקרובה בדיוק מעורר השתהות; תנו לי גרעין בודד ולא אדע לומר לכם דבר.

ההסתברות לתוצאה מסויימת במדידה כלשהי מתקבלת מפונקציית הגל המתארת את מצב המערכת ומכילה את כל המידע הפיזיקלי על המערכת. פונקציית הגל היא פתרון של משוואה דיפרנציאלית חלקית (שרידינגר/הייזנברג במקרה הלא-יחסותי, דיראק/קליין-גורדון במקרה היחסותי) המתארת את המציאות הפיזיקלית באופן יחיד וחד משמעי. בתורת השדות הקוונטים, לא המשוואה היא המעניינת אלא הלגרנז'יאן וממנו ניתן לגזור את הסיכויים להתרחשויות השונות אבל לא אגע בזה כאן. מה שחשוב להדגיש הוא שגם המשוואות המצויות בבסיסה של המכניקה הקוונטית הן משוואות דיפרנציאליות והן קובעות באופן חד ערכי את ספקטרום המצבים המותרים, את המבנה של כל פונקציית גל (היינו, פונקציית מצב), וכמובן את הדינמיקה שלהן.

בהיבט זה אין כל הבדל עקרוני בין הפיזיקה הקלאסית לפיזיקה הקוונטית; בשתי הפרדיגמות הדינמיקה של דרגות החופש הבסיסיות נקבעת באמצעות משוואות דיפרנציאליות, היינו דטרמיניסטית. אלא שבפרדיגמה הקלאסית דרגות החופש הבסיסיות מאפיינות את המציאות עצמה ואילו בפרדיגמה הקוונטית דרגות החופש הבסיסיות הן פונקציות הגל. משמעות הדבר היא שבפיזיקה הקלסית המציאות הפיזיקלית עצמה היא דטרמיניסטית, ואילו בפרדיגמה הקוונטית פונקציות הההתפלגות של המצבים השונים בהם עשוייה להמצא המערכת הן דטרמיניסטיות אבל המציאות עצמה מוגרלת מתוך סט של מצבים מותרים. בעבר נהוג היה לאמר שטרם ביצוע מדידה קונקרטית נמצאת המערכת בסופרפוזיציה של מצבים מותרים ובהתבצע המדידה היא קורסת לאחד מהם (בכפוף לפונקציית ההתפלגות) אבל זוהי כמובן טענה מעורפלת ואין היא באה לשמש אלא אלגוריה למוזרות-לכאורה הטמונה בתורה.

בזאת אם כן מתמצאת ה'מיסטיקה' הגלומה בפרדיגמה הקוונטית: משוואות היסוד מנפקות באופן דטרמיניסטי את פונקציות ההתפלגות של המצבים בהם עשוייה להמצא המערכת אבל לא את הדינמיקה של המערכת הפיזיקלית *עצמה*; לשאלה מי מהמצבים המותרים באמת מתגשם הלכה למעשה יש רק תשובה סטטיסטית: המציאות המוגשמת מוגרלת בהתאם לפונקציית ההתפלגות המאפיינת את המערכת. מציאות מוגרלת ולא מתפתחת, משל צצה יש מאין. 

הבה נתבונן בניסוי שני הסדקים במתכונתו היותר חזקה, וננסה לברר מה שם באמת נראה 'מיסטי' ומה מובן וברור. בניסוי זה משגרים אלקטרונים המשמשים 'קליעים' מיקרוסקופיים לעבר שני סדקים בזה אחר זה ובמרווחי זמן מספיק גדולים כך שאין כל אינטראקציה בין קליע לקליע. למרבה הפלא מתקבלת על המסך מעברם השני של הסדקים תבנית התאבכות האופיינית למעבר גלים, לא למעבר חלקיקים. כיצד זה יתכן? אם האלקטרונים היו נורים כולם יחדיו יכולנו לפתור את עצמנו באמצעות המושג החמקמק והפופולרי המכונה דואליות גל-חלקיק ולאמר שבניסוי ספציפי זה האלקטרונים מתנהגים כמו גלים ועל כן מתקבלת על המסך תבנית התאבכות.

אלא שבמקרה דנן אנו משגרים את האלקטרונים אחד אחרי השני במרווחי זמן ארוכים כך שהאחד משוגר רק לאחר שהקודם כבר פגע במסך. לכן תירוץ הדו-פרצופיות של ה"גלקיק" אינו תופס עוד. יש שיאמרו שהאלקטרון בהיותו גלקיק מתאבך עם עצמו, אבל ככל שאוכל לשפוט הסבר מסוג זה מעורפל ורעוע אף יותר מההסברים שמספקות מיתולוגיות עתיקות על איתני הטבע... לא דובים ולא גלקיקים. לעניות דעתי המצב מוסבר יפה באמצעות פרשנות קופנהגן למכניקה הקוונטית:

התאור של כל אלקטרון בכפוף לתנאי השפה של מעבר באחד משני החריצים ופגיעה במסך מאחור ניתן באמצעות פונקציית גל מרחבית אשר בסופו של יום מנפקת את ההסתברות להמצאותו בכל נקודה אפשרית על גבי המסך. לפונקציית הגל הנמצאת מעברם השני של החריצים יש שני ענפים - פועל יוצא של הטופולוגיה של המערכת - והם מתאבכים זה עם זה ליצירת תבנית התאבכות המתארת במדוייק את *ההתפלגות* להתממשותו של האלקטרון באזור זה. היות ומדובר בתבנית התאבכות של גלים, ישנם פסים בהם ההסתברות להמצאותו של האלקטרון גבוהה ופסים בהם היא נמוכה. בתום שיגור כמות גדולה מאוד של אלקטרונים מתפלגות הפגיעות על המסך בהתאם לתבנית ההתאבכות של פונקציות הגל. ובכן, האלקטרון מופיע בגלאי כחלקיק המתממש בכפוף להסתברות הנגזרת מפונקציית הגל המאובכת. 

יבוא הקורא הכן ויטען (והצדק עימו) שטאטאנו את אי-הנחת לפינה מרוחקת של החדר אבל לא ממש נפטרנו ממנה: פרשנות קופנהגן למכניקה הקוונטית היא עדיין מיסטית מיסודה הואיל וכל מדידה היא בסופו של דבר הגרלה. העובדה שמצב המערכת מוגרל מתוך סט של מצבים הוא בלתי מתקבל על הדעת משום שהוא כרוך באי-ודאות מוחלטת על האופן שבו המציאות *באמת* מתפתחת בזמן. פיזיקאים רבים יענו על כך ברוח זו: טבעה של המציאות הוא הסתברותי בין אם נאהב זאת ובין אם לאו. כך פשוט *קיים* העולם, זו מהותו, ואין בעובדה שאין הדבר מתיישב עם נחת-הרוח שלנו (או עם האינטואיציה שלנו) להעיד על דבר. הבאג-לכאורה נמצא כל כולו בשחצנותנו אנו בנסיוננו להחליט מה מיסטי ומה לא.

התשובה הזו לא רעה כלל למרות שבמבט ראשון היא ניראת רוויית תוכחה ומתחמקת; בסופו של יום, מי אנו שנחליט כיצד אמורה להתגשם המציאות החומרית? מי אנו שנדרוש שהמציאות תתיישב עם פילוסופיה כזו או אחרת? ובכל זאת, תוכחת ה-main-stream לא הרתיעה את ג'רארד ט'הופט להציע פתרון מקורי לסוגייה, פתרון המתיימר לטאטא כל שריד של מיסטיקה לא אל פינת החדר אלא לגמרי החוצה... רעיון פנטסטי הנטוע עמוק בקרקע הדטרמינזם (ט'הופט הוא חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1999 ומגדולי התאורטיקנים של העת החדשה; זהו האיש שרה-נירמל את המודל הסטנדרטי בעבודת הדוקטורט שלו בהנחיית מרטינוס וולטמן). אציג עתה את הרעיון שלו ברמה העקרונית כפי שאני מבין אותו ותקוותי שאיני טועה או חלילה מוליך שולל.

כדי להבין במה מדובר ניקח כדוגמא את התרמודינמיקה הקלאסית של האוויר בחדר בו אתם נמצאים: הפיזיקה *האמיתית* של האוויר בחדר נקבעת ברמת האינטראקציה שבין המולוקולות של האוויר, דהיינו כפופה לחלוטין לחוקי המכניקה הניוטונית ולאינטראקציות האלקטרומגנטיות בין מולקולות מקוטבות אם יש כאלו. אלא שנסיון לעקוב אחר האינטראקציות הפרטניות של מספר אבוגדרו של מולקולות אינו ישים בשום מצב וממילא אין לפרטנות הזו שום משמעות ברמה המקרוסקופית. רק טיפול סטטיסטי בצבר המולקולות האדיר הזה בכלים של המכניקה הסטטיסטית מוביל לחישוב גדלים רלוונטים כמו טמפרטורה, לחץ, וכו' ומנפק תאור אפקטיבי ורלוונטי של התרמודינמיקה של גוש האוויר.

הוא-הדין בנוגע למכניקה הקוונטית. דרגות החופש הבסיסיות המשמשות לתאור המציאות אינן אלו המאפיינות את העולם האטומי ואפילו לא את העולם התת-אטומי. שהרי המקום שבו כבידה מתחילה לדבר עם המכניקה הקוונטית (בשפה שאנו לא מכירים) נמצא הרחק הרחק מעבר להררי החושך, אי-שם בסביבות סקאלת פלאנק. הבה נברר זאת לעצמנו: אפקטים קוונטים מופיעים לראשונה בסקלות אטומיות, סדר גודל של ננומטרים בודדים, היינו \(\sim10^{-9}\) מטר. חקירת החלקיקים אלמנטריים בימנו-אנו מתבצעת באנרגיות של טרה-אלקטרון וולט, היינו מרחקים מסדר גודל של \(10^{-18}\) מטרים. אבל הכבידה נכנסת לתמונה רק בסקלת פלאנק כלומר במרחקים של \(10^{-35}\) מטרים, שבעה-עשר סדרי גודל יותר 'עמוק' מהסקאלות הנחקרות כיום במאיצי החלקיקים החזקים ביותר. מדובר בשבעה סדרי גודל יותר מ'המרחק' ביננו לבין אטום המימן, או כמעט כל הדרך ביננו לבין החלקיקים האלמנטריים(!).

היות ודרגות החופש 'האמיתיות' המתארות את המציאות בסקאלת פלאנק אינן רלוונטיות לתאור עולם החלקיקים האלמנטריים, לא כל שכן עולם האטומיים הגדול מעולם החלקיקים בשמונה-תשעה סדרי גודל, אין זה מן הנמנע שהפיזיקה בסקאלות אלו איננה אלא מיצוע סטטיסטי על דרגות החופש בסקאלת פלאנק, ממש כמו שהתרמודינמיקה של האוויר בחדר אינה אלא מיצוע סטטיסטי על דרגות החופש בסקלה האטומית או המולקולרית. ומכיוון שמדובר בסוג של מכניקה סטטיסטית - גם אם בשלב זה עלום לחלוטין מבחינתנו - הרי שהשפה הטבעית שבה אנו מדברים קוונטית היא שפת ההסתברות. אם כך הדבר הרי שמטבע הדברים יראה לנו מצב המערכת בסקאלות הנחשבות בעינינו כמיקרוסקופיות כאילו הוא מוגרל מתוך אוסף של מצבים מותרים בהתאם לפונקציית התפלגות נתונה.

ובהניחנו שדרגות החופש המתארות את המציאות בבסיסה מתחבאות בפיזיקה של סקאלת פלאנק, הרי שזו עשוייה להתברר לנו כדטרמיניסטית לחלוטין גם אם עדיין איננו יודעים לאמר עליה דבר. ומנגד, תיראה לנו המציאות המיקרוסקופית הנגישה לנו (זו של החלקיקים האלמנטריים) כאילו היא כפופה לחוקי הסתברות. האם תורת המיתר קומפטבילית עם הגישה הזו? לעניות הבנתי את תורת המיתר (והיא מאוד ענייה) התשובה היא לא; בגישה של ט'הופט הקונספט הקוונטי הוא קונספט מגיח (emergent concept) ותורת הקוונטים המתארת את המציאות בסקאלות אטומיות ותת-אטומיות היא תורה אפקטיבית (effective theory); ומנגד, ככל הידוע לי, בתורת המיתר הקונספט הקוונטי הוא תנאי הכרחי לעקביות התורה. כלומר הרעיון הקוונטי בתורת המיתר איננו מושג מגיח אלא מהות, ומהיבט זה ההבדל בין שתי הגישות תהומי.

ולאחר כל זאת חשוב להדגיש ולאמר: לעת עתה אין כל תימוכין בתצפית או בניסוי לרעיונו של ט'הופט, כשם שאין כל תימוכין לנכונותה של תורת המיתר; בכל מה שקשור בסקאלת פלאנק, הפיזיקה בת זמננו מגששת באפלה מוחלטת.