יום שני, 18 בפברואר 2013

אמנות הרכבת המצבים הקוהרנטיים


בפרק המבוא על האוסצילטור ההרמוני הצגנו את אופרטור ההזזה 
\begin{aligned}T\left(\lambda\right)\,=\,e^{-i\lambda{p}/\hbar}\end{aligned}
והוא מקיים את הקשר \(T^{\dagger}(\lambda)\,x\,T(\lambda)=x+\lambda\). במילים אחרות, היות ו-\(\lambda\) הוא מספר ממשי כלשהו, הרי שכל "המקומות" על ציר ה-\(x\) שייכים לאותה מחלקת שקילות ביחס ל-\(T\). "מקומות" במרכאות כפולות היות ומדובר באופרטורים הרמיטיים ולא בנקודות על הישר הממשי, אבל כמובן שהאופרטורים הללו מייצגים מיקומים על הישר הממשי. לא במפתיע גם מתקיים ש- \(T(\lambda_{1}+\lambda_{2})=T(\lambda_{1})T(\lambda_{2})\) כפי שניתן לצפות מאופרטור המתאר הזזות.

מאחר ומלכתחילה בחרנו לעבוד בקוארדינטות חסרות יחידות, נרצה לרשום את אופרטור ההזזה באמצעות התנע האנטי-הרמיטי חסר היחידות \(\hat{p}\), והוא מתקשר לתנע המקורי דרך
\begin{aligned}\hat{p}\,=\,\frac{i}{\sqrt{m\omega\hbar}}\,p\end{aligned}
(אתם מוזמנים לבדוק שוב את הקשר); במונחים של \(\hat{p}\) מקבל אופרטור ההזזה את הצורה 
\begin{aligned}T\left(\lambda/\lambda_{0}\right)\,=\,e^{-\left(\lambda/\lambda_{0}\right)\hat{p}}\end{aligned}
באשר \(\lambda_{0}:=\sqrt{\hbar/m\omega}\) הוא אלמנט אורך טבעי במערכת. זיכרו ש-\(T\), בהיותו אופרטור יוניטרי, מקיים את הזהויות
\begin{aligned}T^{\dagger}\left(\lambda/\lambda_{0}\right)\,=\,T^{-1}\left(\lambda/\lambda_{0}\right)\,=\,T\left(-\lambda/\lambda_{0}\right)\,;\end{aligned}
יוניטרי ולא אורתוגונלי מאחר ו-\(\hat{p}\) אנטי הרמיטי ולא אנטי סימטרי.

היות וההמילטוניאן של האוסצילטור ההרמוני מתלכסן בבסיס שבו אופרטור המספר הטבעי \(N\) מקיים את הקשר הטבעי \(N\left|n\right>=n\left|n\right>\), באשר \(n\in\mathbb{N}\), ומכיוון שאבני הבניין של הבסיס הזה הם אופרטורי היצירה וההשמדה, נרצה לבחון את משמעותה של ההזזה בבסיס זה. כזכור,
\begin{aligned}\hat{p}\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a-a^{\dagger}\right);\end{aligned}
נבלע את הפקטור \(\sqrt{2}\) בתוך הפרמטר שבאקספוננט; נגדיר פרמטר הזזה ממשי חסר יחידות \(\alpha:=\lambda/\lambda_{0}/\sqrt{2}\), ונקבל:
\begin{aligned}T\left(\alpha\right)\,=\,e^{\alpha\left(a^{\dagger}-a\right)},\qquad\,T^{\dagger}\left(\alpha\right)\,=\,e^{-\alpha\left(a^{\dagger}-a\right)}\end{aligned}
טוב, עתה זה עניין ממש טריוויאלי להראות ש-\(T(\alpha)\) מבצע הזזות לשני האופרטורים, גם ל-\(a\) וגם ל-\(a^{\dagger}\). כזכור, פעולה של אופרטור על אופרטור מתקבלת באמצעות הצמדה.  ניעזר בלמה של האדמארד (יש מחלוקת על השם) וביחס החילוף \([a,a^{\dagger}]=1\) ונקבל:

\begin{aligned}T^{\dagger}\left(\alpha\right)\,a\,T\left(\alpha\right)&\,=\,a+\left[-\alpha\left(a^{\dagger}-a\right),a\right]\,=\,a-\alpha\left[a^{\dagger},a\right]\,=\;a+\alpha\\T^{\dagger}\left(\alpha\right)\,a^{\dagger}T\left(\alpha\right)&\,=\,a^{\dagger}+\left[-\alpha\left(a^{\dagger}-a\right),a^{\dagger}\right]\,=\,a^{\dagger}+\alpha\left[a,a^{\dagger}\right]\\&\,=\;a^{\dagger}+\alpha\end{aligned}

נשים לב ש-\(\alpha\) הוא  number-\({C}\) וככזה הוא 'מלוכסן' בבסיס הטבעי, \(\left<n\right|\alpha\left|m\right>=\alpha\delta_{nm}\); ולהבדיל, לאופרטורים \(a\) ו-\(a^{\dagger}\) יש ייצוג לא-אלכסוני בבסיס הזה. כך למשל, היות ו- \(\left<n\right|a\left|m\right>\,=\,\sqrt{m}\delta_{n,m-1}\) נקבל ש- \(\left<n\right|\left(a+\alpha\right)\left|m\right>=\sqrt{m}\delta_{n,m-1}+\alpha\delta_{nm}\); הווה אומר, הצירוף \(a+\alpha\) לא יוכל להיחשב עוד כאופרטור סולם, ובפרט לא כאופרטור המשמיד את הואקום, שהרי \(\left(a+\alpha\right)\left|0\right>\neq0\).

מאחר ויחס החילוף בין אופרטורי היצירה וההשמדה הוא number-\({C}\), הרי שרק שלושת האיברים הראשונים בנוסחת BCH תורמים לפירוק לגורמים של האקספוננט ואנו מקבלים (קבלו זאת):
\begin{aligned}T\left(\alpha\right)&\,=\,e^{-\alpha^{2}/2}e^{\alpha{a}^{\dagger}}e^{-\alpha{a}}\end{aligned}

מצב קוהרנטי \(\left|\alpha\right>\) מוגדר להיות מצב עצמי מנורמל של אופרטור ההשמדה, כלומר מקיים את התנאים \(a\left|\alpha\right>=\alpha\left|\alpha\right>\), וכן \(\left<\alpha\right|\left.\alpha\right>=1\;\forall\;\alpha\in\mathbb{C}\). קל מאוד להראות שכל הזזה של הואקום מייצרת מצב קוהרנטי (להזכירכם, עד כה אפיינו הזזות אך ורק באמצעות פרמטר ממשי). הבה נראה: היות ו- \(a\left|0\right>=0\) נקבל,

\begin{aligned}a\left(T\left(\alpha\right)\left|0\right>\right)&\,=\,T\left(\alpha\right)T^{\dagger}\left(\alpha\right)a\left(T\left(\alpha\right)\left|0\right>\right)\,=\,T\left(\alpha\right)\underbrace{T^{\dagger}\left(\alpha\right)aT\left(\alpha\right)}_{a+\alpha}\left|0\right>\\&\,=\,T\left(\alpha\right)a\left|0\right>+\alpha{T}\left(\alpha\right)\left|0\right>\,=\,\alpha\left(T\left(\alpha\right)\left|0\right>\right)\end{aligned}
האם \(T\left(\alpha\right)\left|0\right>\) לכל \(\alpha\in\mathbb{R}\) ממצא את אוסף כל המצבים הקוהרנטיים? התשובה היא "בהחלט לא". למשל, גם הזזות בפרמטר קומפלקסי מייצרות מצבים קוהרנטיים. מהן הזזות בפרמטר קומפלקסי? ובכן, אלו הן הזזות אותן מייצר האופרטור היוניטרי
\begin{aligned}{T}\left(\alpha\right)\,=\,e^{\alpha{a}^{\dagger}-\alpha^{\ast}a},\quad\alpha\in\mathbb{C}\,;\end{aligned}
עקרונית, דומה מאוד למה שהיה לנו קודם אלא שעתה הדרישה ליונטריות מחייבת להחליף את המקדם של \(a\) בצמוד הקומפלקסי שלו. אליה וקוץ בה, חישוב פשוט מראה שבמקרה זה שתי טרנסלציות עוקבות שונות (בפרמטרים קומפלקסיים) צוברות פזה:
\begin{aligned}{T}\left(\alpha\right){T}\left(\beta\right)\,=\,{T}\left(\alpha+\beta\right)e^{-i\text{Im}\left(\alpha\beta^{\ast}\right)},\quad\text{but...}\quad{T}^{2}\left(\alpha\right)\,=\,{T}\left(2\alpha\right)\ldots\end{aligned}
וזאת מסקנה מעניינת העולה מהחשבון: הזזות בפרמטר קומפלקסי אינן סוגרות עוד חבורה, אלא כאשר \(\text{Im}\,\alpha\beta^{\ast}=2\pi{k}\) באשר \(k\) מספר טבעי כלשהו. האם יש משמעות כלשהי לתנאי הקוונטיזציה הזה? אין לי מושג. האם \({T}\left(\alpha\right)\left|0\right>\) לכל \(\alpha\in\mathbb{C}\) ממצא את אוסף כל המצבים הקוהרנטיים? פה נראה לי שהתשובה היא חיובית, ולהלן נימוקיי:

תחילה נרשום את המצב הקוהרנטי הכללי ביותר בפורמט \(\left|\alpha\right>=U_{\alpha}(a,a^{\dagger})\left|0\right>\), באשר \(U\) אופרטור יוניטרי כללי כלשהו התלוי באופרטורים \(a\) ו-\(a^{\dagger}\) ובפרמטר \(\alpha\), ואחר נראה שבהכרח \(U_{\alpha}(a,a^{\dagger})=T\left(\alpha\right)\). ובכן, מתוך ההגדרה למצב קוהרנטי, ובהסתמך על יחס החילוף המיוחד של \(a\) עם פונקציה כלשהי של \(a^{\dagger}\) (ראו תרגיל 3 ברשימה "ליכסון ההמילטוניאן"), נקבל,
\begin{aligned}a\left|\alpha\right>&\,=\,aU_{\alpha}(a,a^{\dagger})\left|0\right>\,=\,\left[a,U_{\alpha}(a,a^{\dagger})\right]\left|0\right>+U_{\alpha}(a,a^{\dagger})a\left|0\right>\\&\,=\,\frac{\partial{U}_{\alpha}(a,a^{\dagger})}{\partial{a}^{\dagger}}\left|0\right>\,\stackrel{\text{מההגדרה}\atop\downarrow}{=}\,\alpha{U}_{\alpha}(a,a^{\dagger})\left|0\right>\end{aligned}
היות ויחס החילוף בין \(a\) לבין \(a^{\dagger}\) הוא \(
{C}-\text{number}\), נוכל להציג את הפתרון הכללי למשוואה הדיפרנציאלית שהתקבלה כ- \(U_{\alpha}(a,a^{\dagger})=e^{\alpha{a}^{\dagger}}f_{\alpha}(a)\). עתה רק נותר להראות שהדרישה ליוניטריות מובילה בהכרח לפיתרון \(U_{\alpha}(a,a^{\dagger})=T(\alpha)\), ואת המשימה הלא מורכבת הזו אשאיר לקורא המסור...

אוסף המצבים הקוהרנטיים ניתן אם כן למיצוי רק כאשר \(\alpha\in\mathbb{C}\). הילכך, ומעתה והלאה, בכל מקום נחליף \(\alpha^{2}\) ב- \(\left|\alpha\right|^{2}\) ו-\(\alpha{a}\) ב- \(\alpha^{\ast}a\); כמו כן, אם נצמיד את משוואת הערכים העצמיים \(a\left|\alpha\right>=\alpha\left|\alpha\right>\), נקבל \(\left<\alpha\right|a^{\dagger}=\alpha^{\ast}\left<\alpha\right|\).

בשלב הבא נרצה לרשום את המצבים הקוהרנטים בבסיס הטבעי בו מתלכסן ההמילטוניאן, היכן שמתקיים \(N\left|n\right>=n\left|n\right>\). נסתמך שוב על העובדה/הגדרה שהואקום מושמד על יד אופרטור ההשמדה, ועל כך שאופרטור היצירה הוא אופרטור המטפס בסולם המצבים בהתאם לקשר \(a^{\dagger}\left|n\right>=\sqrt{n+1}\left|n+1\right>\) ונקבל:

\begin{aligned}\left|\alpha\right>&\,=\,T\left(\alpha\right)\left|0\right>\,=\,e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha\right|^{2}}e^{\alpha{a}^{\dagger}}e^{\alpha^{\ast}{a}}\left|0\right>\\&\,=\,e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha\right|^{2}}e^{\alpha{a}^{\dagger}}\left(1+\alpha^{\ast}{a}+(\alpha^{\ast}a)^{2}/2!+\cdots\right)\left|0\right>\\&\,=\,e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha\right|^{2}}e^{\alpha{a}^{\dagger}}\left|0\right>\,=\,e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha\right|^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha{a}^{\dagger})^{n}}{n!}\left|0\right>\\&\,=\,e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha\right|^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}\left|n\right>\end{aligned}
ובפרט, אם המערכת נמצאת במצב קוהרנטי \(\left|\alpha\right>\), אז הסיכוי לקבל במדידה ערך אנרגיה מסויים \(E_{m}=\hbar\omega\left(m+1/2\right)\) נתון ע"י
\begin{aligned}\left|\left<m\right|\left.\alpha\right>\right|^{2}\,=\,e^{-\left|\alpha\right|^{2}}\frac{\left|\alpha\right|^{2m}}{m!}\end{aligned}
מזכיר לכם משהו? רמז: ערך התצפית של אופרטור המספר במצב הקוהרנטי הוא
\begin{aligned}\left<n\right>\,=\,\left<\alpha\right|N\left|\alpha\right>\,=\,\left<\alpha\right|a^{\dagger}a\left|\alpha\right>\,=\,\alpha^{\ast}\alpha\left<\alpha\right|\left.\alpha\right>\,=\,\left|\alpha\right|^{2}\ldots\end{aligned}

האם אוסף המצבים הקוהרנטיים מהווה מערכת אורתונורמלית שלימה? התשובה לכך היא שלילית. קל לראות שהמצבים הקוהרנטיים השונים כלל אינם אורתוגונליים:
\begin{aligned}\left<\alpha\right|\left.\beta\right>&\,=\,\left<0\right|T^{\dagger}\left(\alpha\right)T\left(\beta\right)\left|0\right>\,=\,\left<0\right|T\left(-\alpha\right)T\left(\beta\right)\left|0\right>\,=\,\left<0\right|T\left(\beta-\alpha\right)\left|0\right>\\&\,=\,e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha-\beta\right|^{2}}\left<0\right|e^{(\beta-\alpha)a^{\dagger}}e^{(\beta-\alpha)^{\ast}a}\left|0\right>\,=\,e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha-\beta\right|^{2}}\end{aligned} 
שהרי ערך התצפית של כל חזקה של \(a^{\dagger}\) בואקום (ולא רק) מתאפס. שימו לב שמשמעות התוצאה שקיבלנו היא שערך התצפית בואקום של כל הזזה נטו הוא גאוסיאן, וכן \(\left<\alpha\right|\left.\alpha\right>=1\) לכל \(\alpha\in\mathbb{C}\). עובדה זו האחרונה בוודאי לא צריכה להפתיע אף אחד; המצבים הקוהרנטיים מנורמלים בהבנייתם שהרי \(T\) יוניטרי והואקום מנורמל בהגדרה.

האם נוכל לפרק את איבר היחידה (היינו, לבצע resolution of the identity) באמצעות מצבים קוהרנטיים? ובכן, בהחלט כן! הנה:
\begin{aligned}\int_{\mathbb{R}_{2}}\mathrm{d}^{2}\alpha\,\left|\alpha\right>\left<\alpha\right|\,=\,\pi\end{aligned}
הבה נבצע את החשבון במפורש: האינטגרציה עתה היא במישור המרוכב, נעבור לקואורדינטות פולריות כך ש- \(\alpha=re^{i\varphi}\) והמידה המתאימה באינטגרל היא \(\mathrm{d}^{2}\alpha=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\). זאת ועוד, נציג \(\alpha\alpha^{\ast}=\left|\alpha\right|^{2}=r^{2}\), וכן \(\alpha^{m}(\alpha^{\ast})^{n}=r^{n+m}e^{i(m-n)\varphi}\) ונקבל:

\begin{aligned}&\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{R}_{2}}\mathrm{d}^{2}\alpha\left|\alpha\right>\left<\alpha\right|\,=\,\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{R}_{2}}\mathrm{d}^{2}\alpha\;e^{-\left|\alpha\right|^{2}}\sum_{m,n}\frac{\alpha^{m}(\alpha^{\ast})^{n}}{\sqrt{m!n!}}\left|m\right>\left<n\right|\\&\,=\,\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{R}_{2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,e^{-r^{2}}\sum_{n,m}\frac{r^{m+n}e^{i\left(m-n\right)\varphi}}{\sqrt{m!n!}}\left|m\right>\left<n\right|\\&\,=\,\frac{1}{\pi}\sum_{n,m}\frac{\left|m\right>\left<n\right|}{\sqrt{m!n!}}\underbrace{\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\,e^{-i\left(n-m\right)\varphi}}_{=\;2\pi\delta_{nm}}\int_{0}^{\infty}r\,\mathrm{d}r\,e^{-r^{2}}\,r^{m+n}\\&\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left|n\right>\left<n\right|}{n!}\underbrace{\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}\,(r^{2})e^{-(r^{2})}\,(r^{2})^{n}}_{=\;\Gamma\left(n+1\right)\;=\;n!}\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}\left|n\right>\left<n\right|\;=\;\mathbb{I}\,.\end{aligned}

פירוק היחידה מאפשר לנו לפתח מצבים מסויימים כאינטגרל על מצבים קוהרנטיים (זיכרו שהמצבים הללו מאופיינים על-ידי פרמטר רציף). אבל חשוב להדגיש שלא מדובר במערכת שלימה אלא במערכת עם סוג של 'שלימות-יתר' שהרי המצבים הקוהרנטיים כלל לא ניצבים זה לזה! הילכך, כל מצב קוהרנטי ניתן לרישום כאינטגרל על כל שאר המצבים הקוהרנטים,
\begin{aligned}\left|\beta\right>\,=\,\frac{1}{\pi}\int\mathrm{d}^{2}\alpha\left|\alpha\right>\left<\alpha\right|\left.\beta\right>\,=\,\frac{1}{\pi}\int\mathrm{d}^{2}\alpha\left|\alpha\right>e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha-\beta\right|^{2}}.\end{aligned}

ומה בנוגע להתפתחות בזמן? כזכור אופרטורי היצירה וההשמדה "מתנדנדים" כמו אוסצילטורים הרמוניים:
\begin{aligned}a\left(t\right)\,=\,a_{0}e^{i\omega{t}},\qquad\,a^{\dagger}\left(t\right)\,=\,a_{0}^{\dagger}e^{-i\omega{t}}\end{aligned} 
נוכל עתה להיעזר בתמונה של הייזנברג ולחשב באלגנטיות כיצד המצבים הקוהרנטיים עצמם מתפתחים בזמן. נעשה זאת באמצעות "אירגון מחדש" של המכפלות השונות בביטוי הפורמלי \(\left|\alpha(t)\right>=e^{-i\mathscr{H}t/\hbar}\left|\alpha_{0}\right>\) ושיפעולן כאופרטורים במרחב הילברט; בבקשה:

\begin{aligned}\left|\alpha(t)\right>&\,=\,e^{-i\mathscr{H}t/\hbar}e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha\right|^{2}}e^{\alpha{a}^{\dagger}}\left|0\right>\\&\,=\,e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha\right|^{2}}\underbrace{\left(e^{-i\mathscr{H}t/\hbar}e^{\alpha{a}^{\dagger}}e^{i\mathscr{H}t/\hbar}\right)}_{\equiv\;e^{\alpha{a}^{\dagger}(t)}}\underbrace{e^{-i\mathscr{H}t/\hbar}\left|0\right>}_{=\;e^{-i\omega{t}/2}\left|0\right>}\\&\,=\,e^{-i\omega{t}/2}\left\{e^{-\frac{1}{2}\left|\alpha\right|^{2}}e^{(\alpha{e}^{-i\omega{t}})a^{\dagger}}\left|0\right>\right\}\\&\,=\,e^{-i\omega{t}/2}\left|\alpha{e}^{-i\omega{t}}\right>.\end{aligned}

למצבים הקוהרנטים חשיבות רבה משתי סיבות עיקריות: ראשית, אלו הם המצבים "הכי קלאסיים" שאפשר להעלות על הדעת; אי-הוודאות של ערכי התוחלת של המקום והתנע במצבים הקוהרנטיים היא מינמלית (חשבון?..). שנית, המצבים הקוהרנטיים מתארים הכי טוב שאפשר (כנראה) את אנסמבל הפוטונים בתהליך הלזירה. היות ואיני מתמצא בפרטים, לא אכתוב על לזירה כאן ועתה. אבל יש עוד עניין אחד מרתק בכל הפורמליזם הזה של אופרטורי יצירה והשמדה, והוא קשור ישירות בהצגות של חבורות סימטריה. על כך מקווה להרחיב מתישהו. יש למה לחכות...


תרגילים...

  1. הראו ש- \(\left|\alpha(t)\right>\) הוא מצב עצמי של \(a(t)\) עם הערך העצמי \(e^{i\omega{t}/2}\alpha(t)\); הווה אומר, הערכים העצמיים של \(a(t)\) - מלבד היותם תלויים בזמן - צוברים פאזה עם שהמערכת מתפתחת בזמן.
  2. בשאלה זו נציג פורמליזם דומה לזה המתאר התפתחות בזמן, ללא קשר להתפתחות בזמן: נגדיר את אופרטור הפאזה באמצעות האופרטור היוניטרי \(P\left(\theta\right)=e^{-i\theta{N}}\). הראו שהצמדה באמצעותו טוענת את אופרטור ההשמדה בפאזה, כלומר\begin{aligned}P^{\dagger}\left(\theta\right)\,a\,P\left(\theta\right)\,=\,e^{-i\theta}a\quad\stackrel{\text{ומכאן גם}}{\Longrightarrow}\quad{P}\left(\theta\right)\,a\,P^{\dagger}\left(\theta\right)\,=\,e^{i\theta}a\end{aligned} זאת ועוד, אם \(\left|\alpha\right>\) מצב עצמי של \(a\) עם הערך העצמי \(\alpha\), כלומר מצב קוהרנטי המאופיין ע"י המספר הממשי \(\alpha\)), הראו ש- \(P\left(\theta\right)\left|\alpha\right>\,=\,\left|e^{-i\theta}\alpha\right>\) גם הוא מצב קוהרנטי המאופיין ע"י המספק המרוכב \(e^{i\theta}\alpha\).


פתרון החלק השני של השאלה השנייה:


\begin{aligned}&\alpha{P}\left|\alpha\right>\,=\,{P}a\left|\alpha\right>\,=\,{P}aP^{\dagger}P\left|\alpha\right>\,=\,e^{i\theta}aP\left|\alpha\right>\\\Rightarrow\quad&{a}P\left|\alpha\right>\,=\,e^{-i\theta}\alpha{P}\left|\alpha\right>\end{aligned}
לכן \(P\left|\alpha\right>\) מצב עצמי של האופרטור \(a\) עם הערך העצמי \(e^{-i\theta}\alpha\).


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה