יום שלישי, 29 בינואר 2013

התמונה של הייזנברג


לפני שאמשיך בסאגה הקוונטית בה החילותי, כמה מילים על אופרטורי היצירה וההשמדה בתמונה של הייזנברג; היות ואופרטורי היצירה וההשמדה אינם מתחלפים עם ההמילטוניאן, הם אינם קבועי תנועה, ומשוואות התנועה שלהם מתקבלות ממשוואת הייזנברג.

הבה נפתח אם כן את משוואות התנועה של גדלים מדידים (המתוארים כמובן באמצעות אופרטורים הרמיטיים) בהצגה של הייזנברג: כזכור, המערכת הקוונטית מתוארת באמצעות משוואת שרידנגר, אותה נוכל לרשום בפורמט של דיראק כך:
\begin{aligned}&i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}\,=\,\mathscr{H}\psi\\\Leftrightarrow\quad&i\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}\left<\hat{x}\right|\left.\psi\right>\,=\,\mathscr{H}\left<\hat{x}\right|\left.\psi\right>\\\Leftrightarrow\quad&i\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}\left|\psi\right>\,=\,\mathscr{H}\left|\psi\right>\end{aligned}
כיוון ש-\(\mathscr{H}\) לא תלוי מפורשות בזמן, ברור כשמש שפיתרונה הפורמלי של המשוואה ניתן באמצעות
\begin{aligned}\left|\psi\left(\hat{x},t\right)\right>\,=\,\exp\left\{\frac{-i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\left|\psi\left(\hat{x},t_{0}\right)\right>\end{aligned}
נוכל לרשום זאת באופן קומפקטי כ- \(\left|\psi(\hat{x},t)\right>=U(t,t_{0})\left|\psi(\hat{x},t_{0}\right>\), באשר \(U\) מייצג אופרטור התפתחות בזמן הלוקח את מצב המערכת \(\left|\psi(\hat{x})\right>\) מזמן \(t_{0}\) לזמן \(t\); שימו לב שאופרטור ההתפתחות בזמן יוניטרי ואינו מתאר מדיד (Observable).

יהיה \(\mathcal{O}(t)\) אופרטור הרמיטי התלוי בזמן ויהא \(\mathcal{O}(t_{0}):=\mathcal{O}_{0}\) "תנאי ההתחלה" שלו (שאינו תלוי בזמן אלא רק בנקודת הזמן \(t_{0}\), חישבו למשל על \(\hat{x}(t)\) ועל \(\hat{x}_{0}\)). הבה נגדיר מצב חדש \(\left|\phi\right>\) באמצעות הפעולה של \(\mathcal{O}\) על \(\left|\psi\right>\) כלומר   \(\left|\phi\right>=\mathcal{O}\left|\psi\right>\). כיצד מתפתח בזמן המצב \(\left|\phi\right>\)? ברשותכם, אתעלם מהתלות של \(\left|\phi\right>\) בקואורדינטה \(\hat{x}\) שאיננה רלוונטית לדיון שלפננו; ובכן,
\begin{aligned}\left|\phi(t)\right>&\,=\,U\left(t,t_{0}\right)\left|\phi(t_{0})\right>\,=\,U\left(t,t_{0}\right)\mathcal{O}(t_{0})\left|\psi(t_{0})\right>\\&\,=\,\underbrace{U\left(t,t_{0}\right)\mathcal{O}(t_{0})U^{-1}\left(t,t_{0}\right)}_{:=\;\mathcal{O}(t)}\underbrace{U\left(t,t_{0}\right)\left|\psi(t_{0})\right>}_{\left|\psi(t)\right>}\end{aligned}
היות ו-\(U\) יוניטרי, \(U^{-1}=U^{\dagger}\), כך שההתפתחות בזמן של האופרטור \(\mathcal{O}\) מתקבלת באמצעות יחס השקילות \(\mathcal{O}(t)=U(t,t_{0})\mathcal{O}(t_{0})U^{\dagger}(t,t_{0})\).

הבה נרשום זאת מפורשות: 
\begin{aligned}\mathcal{O}\left(t\right)\,=\,\exp\left\{\frac{-i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\mathcal{O}_{0}\exp\left\{\frac{i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\end{aligned}
נגזור לפי הזמן, נשתמש בעובדה שכל פונקציה של אופרטור מתחלפת עם הארגומנט שלה, ובהסתמך על כך שההמילטוניאן אינו תלוי מפורשות בזמן נקבל:
\begin{aligned}i\hbar\frac{\mathrm{d}{\mathcal{O}}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}&\,=\,\exp\left\{\frac{-i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\left[\mathscr{H},\mathcal{O}_{0}\right]\exp\left\{\frac{i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\\&\,=\,\left[\mathscr{H},\mathcal{O}\left(t\right)\right]\end{aligned}
והרי לכם משוואת הייזנברג להתפתחות בזמן של מדידים (המתוארים באמצעות אופרטורים הרמיטיים):
\begin{aligned}i\hbar\dot{\mathcal{O}}=\left[\mathscr{H},\mathcal{O}\right]\end{aligned}
שימו לב עד כמה היא מזכירה בתצורתה את משוואת שרידינגר להתפתחות בזמן של וקטורי מצב... כמובן שהדמיון הזה מקורו בעובדה ששתי הגישות שקולות מבחינה פיזיקלית;

במשוואת הייזנברג נציג עתה במקום את האופרטור הכללי \(\mathcal{O}_{0}\), את האופרטורים \(a\) ו-\(a^{\dagger}\). מאחר ויחסי החילוף של ההמילטוניאן עם אופרטורים אלו ניתנים על ידי
\begin{aligned}\left[\mathscr{H},a\right]\,=\,-\left(\hbar\omega\right)a\,,\quad\text{and}\quad\left[\mathscr{H},a^{\dagger}\right]\,=\,\left(\hbar\omega\right)a^{\dagger}\,,\end{aligned} 
(ראו למעלה, החשבון מיידי) נקבל את המשוואות הדיפרנציאליות \(\dot{a}=i\omega{a}\) ו- \(\dot{a}^{\dagger}=-i\omega{a}^{\dagger}\) ופתרונן הוא כמובן
\begin{aligned}a\left(t\right)\,=\,a_{0}e^{i\omega{t}},\qquad{a}^{\dagger}\left(t\right)\,=\,a_{0}^{\dagger}e^{-i\omega{t}}\end{aligned} 
כלומר אופרטורי היצירה וההשמדה צוברים פאזה עם הזמן.

מתוך כך נוכל לגזור את ההתפתחות בזמן של אופרטור המקום ואופרטור התנע ונקבל שהללו מתנהגים כמו המקום והתנע בתורה הקלאסית. הנה לדוגמא החשבון עבור אופרטור המקום:
\begin{aligned}\hat{x}\left(t\right)&\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a(t)+a^{\dagger}(t)\right)\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a_{0}e^{i\omega{t}}+a^{\dagger}_{0}e^{-i\omega{t}}\right)\\&\,=\,\left(\frac{a_{0}+a_{0}^{\dagger}}{\sqrt{2}}\right)\cos\omega{t}\;+\;i\,\left(\frac{a_{0}-a_{0}^{\dagger}}{\sqrt{2}}\right)\sin\omega{t}\\&\,=\,\hat{x}_{0}\cos\omega{t}+i\hat{p}_{0}\sin\omega{t}\end{aligned}
זיכרו שאנו עובדים עם קואורדינטות חסרות יחידות; בחזרה למשתנים הפיזיקאליים המקוריים נקבל (קבלו זאת)
\begin{aligned}x\left(t\right)\,=\,x_{0}\cos\omega{t}-\frac{{p}_{0}}{m\omega}\sin\omega{t}\end{aligned}
תוצאה המתלכדת במבנה שלה עם הפתרון הקלאסי אחד לאחד... (אלא שכאן כמובן מדובר באופרטורים הרמיטיים ולא בקואורדינטות של מרחב פאזה קלאסי).


תרגיל: השתמשו בפיתוח בייקר-האוסדורף כדי לחשב מפורשות את ההתפתחות בזמן של אופרטורי היצירה וההשמדה, היינו את \(a(t)\) ואת \(a^{\dagger}(t)\).

הערה: פיתוח בייקר-האוסדורף (אחד הפיתוחים היפים שאני מכיר) ניתן ע"י \begin{aligned}e^{X}Y e^{-X} \,=\, Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots.\end{aligned} ברישום קומפקטי ירשם הפיתוח כך: \begin{aligned}e^{X}Y e^{-X} \,=\,\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\underbrace{\left[X,\left[X,\left[\cdots\left[X,Y\right]\cdots\right]\right]\right]}_{\text{פעמים}\;\;n}\end{aligned} באשר הקינון מסדר אפס מוגדר להיות האופרטור עצמו.


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה