יום שלישי, 29 בינואר 2013

התמונה של הייזנברג


לפני שאמשיך בסאגה הקוונטית בה החילותי, כמה מילים על אופרטורי היצירה וההשמדה בתמונה של הייזנברג; היות ואופרטורי היצירה וההשמדה אינם מתחלפים עם ההמילטוניאן, הם אינם קבועי תנועה, ומשוואות התנועה שלהם מתקבלות ממשוואת הייזנברג.

הבה נפתח אם כן את משוואות התנועה של גדלים מדידים (המתוארים כמובן באמצעות אופרטורים הרמיטיים) בהצגה של הייזנברג: כזכור, המערכת הקוונטית מתוארת באמצעות משוואת שרידנגר, אותה נוכל לרשום בפורמט של דיראק כך:
\begin{aligned}&i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial{t}}\,=\,\mathscr{H}\psi\\\Leftrightarrow\quad&i\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}\left<\hat{x}\right|\left.\psi\right>\,=\,\mathscr{H}\left<\hat{x}\right|\left.\psi\right>\\\Leftrightarrow\quad&i\hbar\frac{\partial}{\partial{t}}\left|\psi\right>\,=\,\mathscr{H}\left|\psi\right>\end{aligned}
כיוון ש-\(\mathscr{H}\) לא תלוי מפורשות בזמן, ברור כשמש שפיתרונה הפורמלי של המשוואה ניתן באמצעות
\begin{aligned}\left|\psi\left(\hat{x},t\right)\right>\,=\,\exp\left\{\frac{-i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\left|\psi\left(\hat{x},t_{0}\right)\right>\end{aligned}
נוכל לרשום זאת באופן קומפקטי כ- \(\left|\psi(\hat{x},t)\right>=U(t,t_{0})\left|\psi(\hat{x},t_{0}\right>\), באשר \(U\) מייצג אופרטור התפתחות בזמן הלוקח את מצב המערכת \(\left|\psi(\hat{x})\right>\) מזמן \(t_{0}\) לזמן \(t\); שימו לב שאופרטור ההתפתחות בזמן יוניטרי ואינו מתאר מדיד (Observable).

יהיה \(\mathcal{O}(t)\) אופרטור הרמיטי התלוי בזמן ויהא \(\mathcal{O}(t_{0}):=\mathcal{O}_{0}\) "תנאי ההתחלה" שלו (שאינו תלוי בזמן אלא רק בנקודת הזמן \(t_{0}\), חישבו למשל על \(\hat{x}(t)\) ועל \(\hat{x}_{0}\)). הבה נגדיר מצב חדש \(\left|\phi\right>\) באמצעות הפעולה של \(\mathcal{O}\) על \(\left|\psi\right>\) כלומר   \(\left|\phi\right>=\mathcal{O}\left|\psi\right>\). כיצד מתפתח בזמן המצב \(\left|\phi\right>\)? ברשותכם, אתעלם מהתלות של \(\left|\phi\right>\) בקואורדינטה \(\hat{x}\) שאיננה רלוונטית לדיון שלפננו; ובכן,
\begin{aligned}\left|\phi(t)\right>&\,=\,U\left(t,t_{0}\right)\left|\phi(t_{0})\right>\,=\,U\left(t,t_{0}\right)\mathcal{O}(t_{0})\left|\psi(t_{0})\right>\\&\,=\,\underbrace{U\left(t,t_{0}\right)\mathcal{O}(t_{0})U^{-1}\left(t,t_{0}\right)}_{:=\;\mathcal{O}(t)}\underbrace{U\left(t,t_{0}\right)\left|\psi(t_{0})\right>}_{\left|\psi(t)\right>}\end{aligned}
היות ו-\(U\) יוניטרי, \(U^{-1}=U^{\dagger}\), כך שההתפתחות בזמן של האופרטור \(\mathcal{O}\) מתקבלת באמצעות יחס השקילות \(\mathcal{O}(t)=U(t,t_{0})\mathcal{O}(t_{0})U^{\dagger}(t,t_{0})\).

הבה נרשום זאת מפורשות: 
\begin{aligned}\mathcal{O}\left(t\right)\,=\,\exp\left\{\frac{-i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\mathcal{O}_{0}\exp\left\{\frac{i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\end{aligned}
נגזור לפי הזמן, נשתמש בעובדה שכל פונקציה של אופרטור מתחלפת עם הארגומנט שלה, ובהסתמך על כך שההמילטוניאן אינו תלוי מפורשות בזמן נקבל:
\begin{aligned}i\hbar\frac{\mathrm{d}{\mathcal{O}}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}&\,=\,\exp\left\{\frac{-i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\left[\mathscr{H},\mathcal{O}_{0}\right]\exp\left\{\frac{i\mathscr{H}(t-t_{0})}{\hbar}\right\}\\&\,=\,\left[\mathscr{H},\mathcal{O}\left(t\right)\right]\end{aligned}
והרי לכם משוואת הייזנברג להתפתחות בזמן של מדידים (המתוארים באמצעות אופרטורים הרמיטיים):
\begin{aligned}i\hbar\dot{\mathcal{O}}=\left[\mathscr{H},\mathcal{O}\right]\end{aligned}
שימו לב עד כמה היא מזכירה בתצורתה את משוואת שרידינגר להתפתחות בזמן של וקטורי מצב... כמובן שהדמיון הזה מקורו בעובדה ששתי הגישות שקולות מבחינה פיזיקלית;

במשוואת הייזנברג נציג עתה במקום את האופרטור הכללי \(\mathcal{O}_{0}\), את האופרטורים \(a\) ו-\(a^{\dagger}\). מאחר ויחסי החילוף של ההמילטוניאן עם אופרטורים אלו ניתנים על ידי
\begin{aligned}\left[\mathscr{H},a\right]\,=\,-\left(\hbar\omega\right)a\,,\quad\text{and}\quad\left[\mathscr{H},a^{\dagger}\right]\,=\,\left(\hbar\omega\right)a^{\dagger}\,,\end{aligned} 
(ראו למעלה, החשבון מיידי) נקבל את המשוואות הדיפרנציאליות \(\dot{a}=i\omega{a}\) ו- \(\dot{a}^{\dagger}=-i\omega{a}^{\dagger}\) ופתרונן הוא כמובן
\begin{aligned}a\left(t\right)\,=\,a_{0}e^{i\omega{t}},\qquad{a}^{\dagger}\left(t\right)\,=\,a_{0}^{\dagger}e^{-i\omega{t}}\end{aligned} 
כלומר אופרטורי היצירה וההשמדה צוברים פאזה עם הזמן.

מתוך כך נוכל לגזור את ההתפתחות בזמן של אופרטור המקום ואופרטור התנע ונקבל שהללו מתנהגים כמו המקום והתנע בתורה הקלאסית. הנה לדוגמא החשבון עבור אופרטור המקום:
\begin{aligned}\hat{x}\left(t\right)&\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a(t)+a^{\dagger}(t)\right)\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a_{0}e^{i\omega{t}}+a^{\dagger}_{0}e^{-i\omega{t}}\right)\\&\,=\,\left(\frac{a_{0}+a_{0}^{\dagger}}{\sqrt{2}}\right)\cos\omega{t}\;+\;i\,\left(\frac{a_{0}-a_{0}^{\dagger}}{\sqrt{2}}\right)\sin\omega{t}\\&\,=\,\hat{x}_{0}\cos\omega{t}+i\hat{p}_{0}\sin\omega{t}\end{aligned}
זיכרו שאנו עובדים עם קואורדינטות חסרות יחידות; בחזרה למשתנים הפיזיקאליים המקוריים נקבל (קבלו זאת)
\begin{aligned}x\left(t\right)\,=\,x_{0}\cos\omega{t}-\frac{{p}_{0}}{m\omega}\sin\omega{t}\end{aligned}
תוצאה המתלכדת במבנה שלה עם הפתרון הקלאסי אחד לאחד... (אלא שכאן כמובן מדובר באופרטורים הרמיטיים ולא בקואורדינטות של מרחב פאזה קלאסי).


תרגיל: השתמשו בפיתוח בייקר-האוסדורף כדי לחשב מפורשות את ההתפתחות בזמן של אופרטורי היצירה וההשמדה, היינו את \(a(t)\) ואת \(a^{\dagger}(t)\).

הערה: פיתוח בייקר-האוסדורף (אחד הפיתוחים היפים שאני מכיר) ניתן ע"י \begin{aligned}e^{X}Y e^{-X} \,=\, Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots.\end{aligned} ברישום קומפקטי ירשם הפיתוח כך: \begin{aligned}e^{X}Y e^{-X} \,=\,\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\underbrace{\left[X,\left[X,\left[\cdots\left[X,Y\right]\cdots\right]\right]\right]}_{\text{פעמים}\;\;n}\end{aligned} באשר הקינון מסדר אפס מוגדר להיות האופרטור עצמו.


יום שלישי, 15 בינואר 2013

אוסצילטור הרמוני - ליכסון ההמילטוניאן


הערה: ברשומה זו, ובאלו שתבואנה בעיקבותיה בנושא זה, אצא מתוך הנחה שהקורא מכיר את פורמליזם ה- \(\left<\text{bra}\right|\left.\text{ket}\right>\) של דיראק למכניקה הקוונטית. 

משעה שעברנו מצמד קואורדינטות במרחב הפזה לצמד אופרטורים הרמיטיים במרחב הילברט נפתחה בפנינו הדרך לרשום במפורש את ההמילטוניאן כאופרטור הרמיטי הפועל במרחב הנפרש ע"י מצבי המערכת. היות והתנע ניתן עתה באמצעות \(p=-i\hbar\partial/\partial{x}\) נקבל כי
\begin{aligned}\mathscr{H}&\,=\,\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\,=\,\frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}}+\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}\\&\,=\,\frac{\hbar\omega}{2}\left(-\frac{\hbar}{m\omega}\frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}}+\frac{m\omega}{\hbar}x^{2}\right)\end{aligned}  
את השורה התחתונה סידרנו במיוחד לטובת תאור קומפקטי ונקי של המערכת כפי שניווכח מיד. בשלב הבא נציג אופרטורי מקום ותנע חסרי יחידות,  \begin{aligned}\hat{x}\,=\,\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x\qquad\hat{p}=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\,\frac{\partial}{\partial{x}}\end{aligned}
המקיימים את יחס החילוף \(\left[\hat{x},\hat{p}\right]=-1\) (בידקו זאת). שימו לב שכמו שרשמנו אותו, אופרטור התנע החדש חסר היחידות \(\hat{p}\) הוא אנטי-הרמיטי שהרי חסרה בו ההכפלה בפקטור \(i=\sqrt{-1}\) אבל ברור ש-\(\hat{p}^{2}\) הרמיטי וכמובן גם \(\hat{x}\). בהיותו מבוטא במונחים של שני אלו מקבל ההמילטוניאן את המבנה הקומפקטי
\begin{aligned}\mathscr{H}&\,=\,\frac{\hbar\omega}{2}\left(\hat{x}^{2}-\hat{p}^{2}\right)\\&\,=\,\frac{\hbar\omega}{2}\left(\hat{x}-\hat{p}\right)\left(\hat{x}+\hat{p}\right)-\frac{\hbar\omega}{2}\left[\hat{x},\hat{p}\right]\\&\,=\,\hbar\omega\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}-\hat{p}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}+\hat{p}\right)+\frac{1}{2}\right\}\\&\,:=\,\hbar\omega\left(a^{\dagger}a+\frac{1}{2}\right)\end{aligned}
וכמובן שלפקטור המקדים \(\hbar\omega\) יש יחידות של אנרגיה. אפשר להניח שאף אחד לא נפל מהכיסה משתי ההשמות
\begin{aligned}a^{\dagger}\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}-\hat{p}\right),\qquad{a}\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}+\hat{p}\right)\,;\end{aligned}
אלו הם כמובן אופרטורי היצירה וההשמדה המפורסמים, ובהמשך הדרך עוד אסנגר מעט על הטרמינולוגיה החריפה הזו.

היות והאחד הוא הצמוד ההרמיטי של השני, והיות ושניהם שונים זה מזה, ודאי לא מדובר באופרטורים הרמיטיים. על כל פנים, הם מקיימים את יחס החילוף
\begin{aligned}\left[a,a^{\dagger}\right]&\,=\,\frac{1}{2}\left(\left[\hat{x},-\hat{p}\right]+\left[\hat{p},\hat{x}\right]\right)\,=\,1\,.\end{aligned}
ואמנם, אף ש- \(a\) ו- \(a^{\dagger}\) אינם אופרטורים הרמיטיים, אופרטור המספר \(N:=a^{\dagger}a\) המתקבל ממכפלתם זה בזה (הסדר במכפלה חשוב!), הרמיטי-גם-הרמיטי שהרי
\begin{aligned}N^{\dagger}\,=\,(a^{\dagger}a)^{\dagger}\,=\,a^{\dagger}(a^{\dagger})^{\dagger}\,=\,a^{\dagger}a\,=\,N\,.\end{aligned}
קיבלנו אם כן שההמילטוניאן של האוסצילטור ההרמוני מבוטא (עד כדי כפולות של מטריצת היחידה) באמצעותו של אופרטור המספר:
\begin{aligned}\mathscr{H}\,=\,\hbar\omega\left(N+\frac{1}{2}\right)\end{aligned}
לכן אם לכסנו את \(N\) לכסנו אוטומטית גם את \(\mathscr{H}\). וזה מוביל אותנו לצעדנו הבא: למצוא בסיס בו \(N\) מלוכסן, היינו לבנות את סט המצבים העצמיים של \(N\).

ראשית, קל להיווכח ביחסי החילוף \(\left[N,a\right]=-a\)  וכן \([N,a^{\dagger}]=a^{\dagger}\). הבה נבדוק למשל את יחס החילוף הראשון מבין השניים תוך שאנו נעזרים בזהות האופרטורית  \(\left[ab,c\right]=a\left[b,c\right]+\left[a,c\right]b\)  (תוכלו לבדוק נכונותה בשנייה אחת!):
\begin{aligned}\left[N,a\right]\,=\,[a^{\dagger}a,a]\,=\,a^{\dagger}[a,a]+[a^{\dagger},a]a\,=\,-a\,.\end{aligned}
מתוך שני יחסי חילוף אלו נוכל להסיק שהאופרטורים \(a\) ו-\(a^{\dagger}\) מתפקדים כסוג של אופרטורי סולם במרחב המצבים העצמיים של \(N\). למה הכוונה? הבה נניח ש \(\left|n\right>\) הוא מצב עצמי מנורמל של \(N\) עם הערך העצמי \(n\) כלומר \(N\left|n\right>=n\left|n\right>\) וכן \(\left<n|n\right>=1\). בשלב זה איננו יודעים ש-\(n\) מספר טבעי ומבחינתנו הוא יכול להיות מספר ממשי כלשהו (\(N\) הרמיטי ולכן \(n\) ממשי). ובכן, נפעיל את \(N\) על \(a\left|n\right>\) ונקבל
\begin{aligned}Na\left|n\right>\,=\,\left[N,a\right]\left|n\right>+aN\left|n\right>\,=\,-a\left|n\right>+na\left|n\right>=\left(n-1\right)a\left|n\right>\end{aligned}
הווה אומר, \(a\left|n\right>\) מצב עצמי של \(N\) עם הערך העצמי \(n-1\) כלומר \(a\left|n\right>\propto\left|n-1\right>\). מי הוא \(\left|n-1\right>\)? היות ו- \(\left(a\left|n\right>\right)^{\dagger}=\left<n\right|a^{\dagger}\) נקבל: \(0\leq\left<n\right|a^{\dagger}a\left|n\right>=\left<n|N|n\right>=n\) ומכאן נסיק שהמצב המנורמל \(\left|n-1\right>\) נתון בביטוי
\begin{aligned}\left|n-1\right>\,=\,\frac{1}{\sqrt{n}}a\left|n\right>\end{aligned}
ומכאן גם \(a\left|n\right>=\sqrt{n}\left|n-1\right>\). יוצא איפה שאופרטור ההשמדה \(a\) מוריד אותנו בסולם המצבים העצמיים של \(N\) יחידה אחת בדיוק. באופן דומה,
\begin{aligned}Na^{\dagger}\left|n\right>\,=\,[N,a^{\dagger}]\left|n\right>+a^{\dagger}N\left|n\right>\,=\,a^{\dagger}\left|n\right>+na^{\dagger}\left|n\right>=\left(n+1\right)a^{\dagger}\left|n\right>\end{aligned}
לכן \(a^{\dagger}\left|n\right>\propto\left|n+1\right>\) ונירמול מוביל לביטוי (קבלו זאת)
\begin{aligned}\left|n+1\right>\,=\,\frac{1}{\sqrt{n+1}}\;a^{\dagger}\left|n\right>\end{aligned}.
ובפרט, \(a^{\dagger}\left|n\right>=\sqrt{n+1}\left|n+1\right>\). הנה כי כן, אופרטור היצירה \(a^{\dagger}\) מעלה אותנו בסולם הערכים העצמיים של \(N\) יחידה אחת בדיוק. הילכך מקובל לראות בצמד האופרטורים \(a\) ו- \(a^{\dagger}\) "אופרטורי סולם" היות והם מעלים ומורידים אותנו בסולם המצבים.

כבר נוכחנו ש-\(n\geq0\) (היווכחו בכך שוב) ולכן מצב היסוד \(\left|0\right>\) הוא זה אשר בהכרח מקיים \(a\left|0\right>=0\). נטפס מעלה באמצעות אופרטור הסולם \(a^{\dagger}\) ונקבל: \(\left|1\right>=(a^{\dagger}/\sqrt{1})\left|0\right>\), \(\left|2\right>=(a^{\dagger}/\sqrt{2})\left|1\right>=(a^{\dagger}/\sqrt{2})(a^{\dagger}/\sqrt{1})\left|0\right>\) וכך הלאה, ובסיכומו של דבר, בחזור התהליך \(n\) פעמים, נקבל:
\begin{aligned}\left|n\right>\,=\,\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\left|0\right>\,.\end{aligned}
מהאמור לעיל אנו למדים שהערכים העצמיים של אופרטור המספר הם המספרים הטבעיים, מצב היסוד מוגדר להיות זה המושמד על ידי אופרטור ההשמדה (חייב להיות אחד כזה שהרי ל-\(N\) אין ערכים עצמיים שליליים), והמצבים המעוררים נבנים באמצעות הפעלת אופרטור היצירה פעם אחר פעם. 

בהסתמך על הפורמליזם שהצגנו ברשימה הקודמת על יחס החילוף של \(x\) עם \(f(p)\) (או \(p\) עם \(f(x)\)) אני מזמין אתכם להראות שמתקיים:
\begin{aligned}\left[a,f(a^{\dagger})\right]\,=\,f'(a^{\dagger})\qquad\left[a^{\dagger},f(a)\right]\,=\,-f'(a)\end{aligned}
נוכל להיעזר בזה לצורך בדיקת קונסיסטנטיות במה שקשור בשפה בה אנו מדברים: נפעיל את \(N\) על המצב ה-\(n\)-י שבנינו למעלה ונבדוק האם באמת הוא מקיים את משוואת הערכים העצמיים \(N\left|n\right>=n\left|n\right>\):
\begin{aligned}N\left|n\right>&\,=\,\frac{\overbrace{a^{\dagger}a}^{N}(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\left|0\right>\,=\,\frac{a^{\dagger}\overbrace{[a,(a^{\dagger})^{n}]}^{n(a^{\dagger})^{n-1}}}{\sqrt{n!}}\left|0\right>+\overbrace{\frac{a^{\dagger}(a^{\dagger})^{n}a}{\sqrt{n!}}\left|0\right>}^{a\left|0\right>\,=\,0}\\&n\left\{\frac{(a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\left|0\right>\right\}\,=\,n\left|n\right>.\end{aligned}

ומה לגבי ההמילטוניאן עצמו? ובכן, ברור שמרגע שלכסנו את \(N\) לכסנו גם את \(\mathscr{H}\) שהרי \(\mathscr{H}=\hbar\omega\left(N+\frac{1}{2}\right)\). היות ו-\(N\) מתחלף עם \(\mathscr{H}\) לשניהם סט המצבים עצמיים משותף, ואילו הערכים העצמיים של \(\mathscr{H}\) ניתנים פשוט ע"י
\begin{aligned}{E}_{n}\,=\,\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)\end{aligned}
כך ש- \(\mathscr{H}\left|n\right>={E}_{n}\left|n\right>\). המצבים השונים שבסט \(\left\{\left|n\right>\right\}\) אורתונורמלים בהגדרתם ולפיכך \(\left<n\right.\left|m\right>=\delta_{nm}\). ובפרט, עשוייה המערכת להימצא בסופרפוזיציה \(\left|\psi\right>\) של מצבי אנרגיה ואז \(\left|\psi\right>=\sum_{n}\left|n\right>\left<n\right|\psi\left.\right>\). הילכך \(I=\sum_{n}\left|n\right>\left<n\right|\) מספק לנו ייצוג של אופרטור היחידה בבסיס הנפרש ע"י \(\left\{\left|n\right>\right\}\), ומכאן נקבל על-נקלה יצוגים נוחים ל-\(N\) ול- \(\mathscr{H}\):
\begin{aligned}N\,=\,\sum_{n}n\left|n\right>\left<n\right|\qquad\mathscr{H}\,=\,\sum_{n}{E}_{n}\left|n\right>\left<n\right|\end{aligned}
באשר \(E_{n}=\hbar\omega\left(n+1/2\right)\).



תרגילים:
  1. הראו במפורש, ובאמצעות הפורמליזם הדיראקי, שאופרטור התנע חסר היחידות הוא אנטי הרמיטי. 
  2. קבלו את פונקציית הגל המנורמלת המתארת את מצב היסוד של האוסצילטור ההרמוני. 
  3. היעזרו בפיתוח הלקוח מהרשומה הקודמת כדי לקבל את שני יחסי החילוף \([a,f(a^{\dagger})]=f'(a^{\dagger})\) ו- \([a^{\dagger},f(a)]=-f'(a)\) בהם עוד נעשה שימוש בהמשך הדרך.
  4. הראו שאם \(\Lambda\left|n\right>=\lambda_{n}\left|n\right>\) הרי שבבסיס זה (בו \(\Lambda\) מלוכסן) ל- \(f(\Lambda)\) מתאים הייצוג \(f(\Lambda)=\sum_{n}f(\lambda_{n})\left|n\right>\left<n\right|\). 

פיתרון תרגיל 2:
מצב היסוד הוא המצב המושמד על ידי אופרטור ההשמדה \(a\) היינו מצב המקיים \(a\left|0\right>=0\). נטיל זאת על בסיס הקורדינטות "הטבעיות" (כלומר, חסרות היחידות), נרשום \(\left<\hat{x}\right.\left|0\right>:=\psi_{0}\left(\hat{x}\right)\), נשתמש בהגדרה \(a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x}+\hat{p})\) ונקבל:
\begin{aligned}0&\,=\,\left<\hat{x}\right|a\left|0\right>\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left<\hat{x}\right|\left(\hat{x}+\frac{\partial}{\partial\hat{x}}\right)\left|0\right>\\&\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{x}\psi_{0}\left(\hat{x}\right)+\frac{\partial\psi_{0}}{\partial\hat{x}}\right)\end{aligned}
פונקציית הגל מקיימת עם כן את המשוואה הדיפרנציאלית \(\psi'_{0}=-\hat{x}\psi_{0}\) ופתרונה (המנורמל!) הוא:
\begin{aligned}\psi_{0}\left(\hat{x}\right)\,=\,\frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{-\hat{x}^{2}/2}\end{aligned}את החשבון של הנירמול אני משאיר לקורא המסור לבצע לעצמו :) יוצא איפה שפונקציית הגל של מצב היסוד מתפלגת גאוסיאנית סביב הראשית, כפי שהגבול הקלאסי עשוי לרמז.