יום חמישי, 12 בדצמבר 2013

פרדוקס התאומים, הפיתרון המלא.



ברשימה הקודמת בנושא הגענו למסקנה הבאה: אינטרוול זמן עצמי יראה תמיד ארוך יותר ממערכת התמד אחרת. כך למשל, אם אני ואתה נעים זה ביחס לזה במהירות יחסית המקיימת \(\gamma=3600\), אזי שנייה בשעוני תימשך לך שעה, ושנייה בשעונך תימשך לי שעה. כל אחד מאיתנו רואה את שעונו של השני מתקתק פי \(3600\) יותר לאט מזה שלו עצמו.

לכאורה נראה שמציאות מסוג זה בלתי מתקבלת על הדעת. אצל מי מהשניים מתקתק השעון לאט יותר באמת? על רקע זה נוסח פרדוקס התאומים: שני תאומים הנמצאים בכדה"א מסנכרנים שעונים (כאן כדור הארץ מדמה - בקירוב מצויין - מערכת התמד). האחד יוצא למסע במהירות יחסותית לכוכב רחוק ובהגיעו ליעדו חוזר מייד חזרה. לאחר שחזר ומאחר שחזר, מי מהתאומים זקן יותר? אצל מי מהם תקתק השעון לאט יותר באמת? היות ותמונת העולם של השניים סמטרית כביכול (כל אחד רואה ממערכת המנוחה שלו עצמו את השני מאיץ ומתרחק) הרי שכל אחד מהם רואה את שעונו של אחיו התאום מתקתק לאט יותר...

למעשה יש לפרדוקס שני נוסחים, האחד דמיוני למדי, השני ריאלי. הנוסח הדמיוני מדבר על מהירות אחידה בדרך ליעד ומהירות אחידה זהה בכיוון ההפוך. אין תאוצות, אין מפגשים. האח הנוסע מחליף כיוון בבת אחת בהגיעו ליעד ובהחלפת הכיוון הזו, כך מסתבר, טמון פתרון הפרדוקס כפי שאפשר לקרוא מתוך דיאגרמת מינקובסקי המתארת את המסע. היות ונוסח זה אינו מציאותי לא אטפל בו (תוכלו לקרוא על כך בקישור). הנוסח השני ריאלי באמת: האח הנוסע מאיץ ממהירות אפס עד לערך מקסימלי כלשהו של מהירות, מאיט בדרך אל היעד עד לעצירה מוחלטת וחוזר באותו האופן. בזה אטפל בפרוטרוט כאן.

ראשית, הבה נגדיר שני מושגים חשובים.

  1. צופה יקרא מאיץ אם הוא חש כוחות מדומים אותם ניתן לתרגם לקריאה כלשהי על מד תאוצה הנמצא במערכת המנוחה שלו עצמו.
  2. יהא \(\tau\) זמן עצמי במערכת מנוחה \(\mathcal{O}''\left(\tau\right)\) של צופה מאיץ. מערכת התמד רגעית היא אוסף אינסופי של מערכות התמד \(\left\{\mathcal{O}'_{\tau}\right\}\) המתוייגות כולן באמצעות הפרמטר הרציף \(\tau\),  כך ש- \(\mathcal{O}'_{\tau}=\mathcal{O}''(\tau)\;\forall\;\tau\).

פירושו של דבר הוא שכל אחת ואחת מהמערכות \(\mathcal{O}'_{\tau}\) שבאוסף מתלכדת באופן רגעי בזמן \(\tau\) עם מערכת המנוחה של הצופה המאיץ \(\mathcal{O}''(\tau)\). 

נחזור עתה אל שני התאומים וניעזר בהגדרות מלמעלה: נסמן את מערכת היחוס של האח שנשאר על פני כדור הארץ באות \(S\). זוהי מערכת התמד היות ואין מורגשים בה כוחות מדומים. מערכת המנוחה של האח המאיץ - זה שיצא למסע הרחוק והזמן העצמי שהוא מודד בשעונו מתוייג באמצעות הפרמטר \(\tau\) - תסומן ב-\(S''\left(\tau\right)\), ואליה נצמיד מערכת התמד רגעית \(\left\{S'_{\tau}\right\}\) בה ניתן לרשום במדוייק את כל הקורות ב-\(S''\) - באופן רגעי כמובן, בכל זמן \(\tau\). היות ו-\(S'_{\tau}\) היא מערכת התמד, הרי שחלים בה (רגעית, מן הסתם) כל הכללים הנגזרים מהיחסות הפרטית.

הואיל ומערכת ההתמד הרגעית מתוייגת באמצעות פרמטר רציף, ומכיוון שבכל רגע ורגע היא מתלכדת עם מערכת המנוחה של האח המאיץ, נוכל לראותה פשוט כמערכת התמד הצמודה לו ובה נרשמים קורתיו באופן רגעי. למה הדבר דומה? לנסיון לשחזר עקומה חלקה באמצעות אינסוף הישרים המשיקים לה בכל נקודה ונקודה. תקין לחלוטין.

מד התאוצה התלוי על כותל החללית המאיצה של האח ההרפתקן מודד תאוצה תלויית זמן \(g\left(\tau\right)\) באשר \(\tau\) הזמן העצמי שלו עצמו. תאוצה תלויית זמן ביחס למה? ביחס לכל מערכת ההתמד באשר היא. ובאיזה מערכת התמד היא נרשמת? במערכת ההתמד הרגעית הצמודה לו והמתוייגת גם היא באמצעות הזמן העצמי שלו. שהרי זוהי המערכת בה נרשמים כל השינויים החלים ב-\(S''\), ובפרט גם השינוי הרגעי במהירות \(\mathrm{d}u'=g\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau\) כפי שהוא בא לידי ביטוי באמצעות הכוחות המדומים. הילכך,
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}\tau}\:=\:g\left(\tau\right).\end{aligned}
עתה עלינו לבצע טרנספורמציית לורנץ כדי לקבל את התאוצה הזו כפי שהיא ניצפית ממערכת ההתמד \(S\). ומשום מה אנו מתעניינים באופן בו היא ניצפית מ- \(S\)? משום שאנו מעוניינים לבצע השוואה בין שני האחים וכדי לבצע השוואה כזו אין לנו אלא להביאם למערכת משותפת.

הערה: מהירותו של האח המאיץ מתאפסת במערכת \(S''\), שהרי בהגדרה כל אחד נמצא במנוחה במערכת המנוחה שלו עצמו. לכן במערכת ההתמד הרגעית \(S'\) הצמודה למערכת המנוחה של התאום המאיץ נקבל עבור כל נקודת זמן-עצמי ספציפית \(u'(\tau^{\star})=0\); ובה בעת בהכרח \(\mathrm{d}u'(\tau^{\star})\neq0\) כפי שמכתיב מד התאוצה. למה הדבר דומה? אם נרכיב עקומה מאוסף כל משיקיה, הרי שלכל אחד ואחד מהמשיקים הללו שיפוע נתון וקבוע, אבל בנועינו על העקומה אנו מדלגים ברציפות ממשיק למשיק והשיפוע משתנה.

נוסחת הטרנספורמצייה של התאוצה שפיתחנו בפרק הקודם עבור המקרה \(u=v\) (מדוע זהו המקרה שלנו?) מנפקת את הקשר \(a'=\gamma^{3}a\) (הראו זאת, מיידי) ואילו נוסחת ההתמתחות בזמן מנפקת את היחס \(\mathrm{d}t=\gamma\,\mathrm{d}\tau\). נצרף את כל המידע ונקבל:
\begin{aligned}g\left(\tau\right)&=\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}\tau}=\gamma^{3}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\\&=\gamma^{2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\tau}\end{aligned}
או \(\gamma^{2}\left(u\right)\mathrm{d}u=g\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau\) באשר \(u\) היא המהירות (הרגעית!) של מערכת ההתמד הרגעית הצמודה לתאום המאיץ, כפי שהיא ניצפת ע"י התאום המתמיד ב-\(S\), ו-\(\gamma\left(u\right)\) הוא פקטור גאמה המתאים למהירות זו. קיבלנו אם כן משוואה דיפרנציאלית פשוטה ביותר ופתרונה
\begin{aligned}u\left(\tau\right)\;=\;c\,\tanh\left[\frac{1}{c}\int_{\tau_{0}}^{\tau}g\left(\tau'\right)\mathrm{d}\,\tau'\right],\end{aligned}
או \(\beta\,\left(\tau\right)=\tanh\psi\,\left(\tau\right)\). זוהי תוצאה יפהפיה והיא מכלילה את הקשר \(\beta=\tanh\psi\) למקרה של מערכות מאיצות. שימו לב שלא משנה עד כמה גדולה היא התאוצה, ולא משנה כמה זמן עצמי נאיץ, את מהירות האור לעולם לא נשיג היות ו- \(\beta=1\) רק כאשר \(\psi\to\infty\).

מכאן קצרה הדרך לתאר את ההעתקים ומרווחי הזמן כפי שהם נצפים מ-\(S\) במונחים של הזמן העצמי הנמדד על שעונו של האח המאיץ. הבה נראה:
\begin{aligned}u\left(\tau\right)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}x}/{\mathrm{d}\tau}}{{\mathrm{d}t}/{\mathrm{d}\tau}}=\frac{c\sinh\psi\left(\tau\right)}{\cosh\psi\left(\tau\right)}\end{aligned}
כלומר מתקבלות שתי משוואות דיפרנציאליות שפתרונן מנפק את מה שמכונה "קווי העולם" של האח המאיץ מנקודת מבט של האח המתמיד, כלומר את "תנועתו" במרחב מינקובסקי של האח המאיץ מנקודת מבטו של האח המתמיד, כפונקציה של הזמן העצמי האינווריאנטי:
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau}&=c\sinh\psi\left(\tau\right)\\\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}&=\cosh\psi\left(\tau\right)\,.\end{aligned}
כעת אפשר לגשת לת'כלס. הבה נניח שתאוצתו העצמית של האח המאיץ היא קבועה, ושיעורה כשיעורה של תאוצת הנפילה החופשית ע"פ כדה"א, כלומר \(g\left(\tau\right)\equiv{g}=10(\text{m}/\text{sec}^{2})\). במקרה זה \(\psi=g(\tau-\tau_{0})/c=g\Delta\tau/c\). אינטגרציה מפורשת (מיידי) של המשוואות הדיפרנציאליות מלמעלה נותנת:
\begin{aligned}\Delta{x}&=\frac{c^{2}}{g}\left[\cosh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)-1\right]\\\Delta{t}&=\frac{c}{g}\sinh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)\end{aligned}
באשר רשמנו \(\Delta{t}\equiv{t}-t_{0}\), \(\Delta{x}\equiv{x}-x_{0}\) ולכן \(t(\tau=\tau_{0})=t_{0}\) וכן \(x(\tau=\tau_{0})=x_{0}\).

האם קיבלנו תוצאה המתלכדת עם הגבול הקלאסי למקרה בו האח היוצא לדרכו מאיץ זמן קצר ואחר ממשיך במהירות קצובה? You bet! בואו נראה זאת: במקרה זה \(g\Delta\tau/c\ll1\) ואז ניתן להסתפק בסדר הראשון בפיתוח לטור חזקות של הפונקציות ההיפרבוליות:
\begin{aligned}\cosh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)&\approx1+\frac{1}{2}\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)^{2}\\\sinh\left(\frac{g\Delta\tau}{c}\right)&\approx\frac{g\Delta\tau}{c}\end{aligned}
נציג זאת חזרה בביטויים עבור מרווחי הזמן והמקום ונקבל \(\Delta{t}\approx\Delta\tau\) וכן \(\Delta{x}\approx{g}\left(\Delta{t}\right)^{2}/2\). יותר גלילאני מזה לא יכול להיות...

בואו נבדוק עתה מה קורה במקרה של תאוצה המתמשכת זמן עצמי רב מאוד, למשל עשר שנים. המהירות אליה הגיע האח המאיץ בתום עשר שנות האצה כפי שהיא נמדדת ממערכת ההתמד של האח שנשאר על כדה"א היא \(u=c\tanh(g\Delta\tau/c)=0.999999998c\) ומשך זמן המסע הוא  \(\Delta{t}\approx17,482\) שנים. היות ואת חלק הארי של הדרך בילה הנוסע שלנו במהירות הקרובה מאוד למהירות האור, זהו גם בערך המרחק שעבר בשנות אור.

שימו לב שמרווח הזמן במערכת \(S\) אינו רגיש לסימן של \(g\) כך שבין אם האח התאום מאיץ ובין אם הוא מאט, הזמן העצמי שלו יראה תמיד ארוך יותר מנקודת מבטו של האח המתמיד. לכן אם האח התאום האץ עשר שנים עצמיות בתאוצה \(g\) ואז האט עשר שנים עצמיות בדיוק באותה תאוצה, ומייד לאחר מכן שב וחזר על עיקבותיו באותו האופן בדיוק, הרי שבתום ארבעים שנים (זמן עצמי) ומסע על פני \(70,000\) שנות אור בקירוב, הוא מוצא עצמו חזרה בבית עם אח המבוגר ממנו בכמעט \(70,000\) שנים. עתה ברור מי נשאר צעיר ומי מזדקן;

יוצא איפה שמצב של תאוצה שונה במהותו ממצב של התמדה ואין לייחס סימטריה לנקודות המבט בין צופים הנמצאים במערכות שאינן שקולות זו לזו. מקרה התאומים מופיע כפרדוקס רק אם מניחים בשוגג שיש סימטריה בין מערכות הייחוס של שני האחים.


רשימת המשך: "אופק אירועים ביחסות פרטית?"

לא רואים את התגובות? נערו את הדף.



יום שני, 4 בנובמבר 2013

מבחן ראשון בחמדע - מבחר שאלות פתורות



כן, זה אמיתי... עוד על ערפיליות פלנטריות  כאן


שאלה 1 (וקטורים קינמטיים):

חלקיק נע על גבי אליפסה כך שווקטור המקום שלו נתון על ידי 
\begin{aligned}\vec{r}\left(t\right)=a\cos\left(\omega{t}\right)\,\widehat{\boldsymbol{x}}+b\sin\left(\omega{t}\right)\,\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}
באשר \(a,b,\omega\) הם פרמטרים. את השאלות הבאות פיתרו במונחים של הפרמטרים הללו, ובמידת הצורך גם קבועים מתמטיים כמו \(\pi\).

א. מה הם המימדים (או היחידות) של הפרמטרים \(a,b\) ו- \(\omega\)? 

תשובה: היות והפונקציות הטריגונומטריות הן ללא מימדים פיזיקליים, ומאחר ולוקטור המקום מימדים של אורך, נקבל של- \(a,b\) מימדים של אורך ול-\(\omega\) מימד של אחד חלקי זמן. בשיטת SI המפורסמת לפרמטרים \(a,b\) יחידות של מטר ולפרמטר \(\omega\) יחידות של אחד חלקי שנייה.

ב. כמה זמן אורך מחזור שלם של התנועה?

תשובה: נציין את זמן המחזור באות \(T\). לפונקציות הטריגונומטריות מחזור של \(2\pi\) ולכן בתום המחזור הראשון \(\omega{T}=2\pi\) ומכאן, \(T=2\pi/\omega\).

ג. הראו שהמרכיב ה-\(x\)-י והמרכיב ה-\(y\)-י של וקטור המקום של החלקיק מקיימים את המשוואה הקנונית של האליפסה 
\begin{aligned}\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}=1\end{aligned} לכל זמן  \(t\).


תשובה: המרכיב ה-\(x\)-י של וקטור המקום נתון ע"י \(x(t)=a\cos(\omega{t})\) והמרכיב ה-\(y\)-י של וקטור המקום נתון ע"י \(y(t)=b\sin(\omega{t})\). לכן,\begin{aligned}\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}=\cos^{2}\omega{t}+\sin^{2}\omega{t}=1\end{aligned} וברור שתוצאה זו אינה תלוייה בזמן.

ד. קבלו ביטוי עבור וקטור המהירות הרגעית של החלקיק, \(\vec{v}\left(t\right)\).

תשובה: המהירות הרגעית מתקבלת מגזירת וקטור המקום לפי הזמן, לכן: \begin{aligned}\vec{v}\left(t\right)=\dot{\vec{r}}\left(t\right)=-\omega{a}\sin\left(\omega{t}\right)\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\omega{b}\cos\left(\omega{t}\right)\,\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}

ה. הסבירו את המושג "קבוע של התנועה". חשבו את המכפלה הוקטורית \(\vec{r}(t)\times\vec{v}(t)\)  והראו שהיא קבוע של התנועה. 

תשובה: קבוע של התנועה הוא מאפיין של המערכת שאינו תלוי בזמן, המורכב ממשתנים דינאמיים שכל אחד מהם כן תלוי בזמן.  \begin{aligned}\vec{r}\times\vec{v}&=\left|\begin{array}{ccc}\widehat{\boldsymbol{x}}&\widehat{\boldsymbol{y}}&\widehat{\boldsymbol{z}}\\a\cos(\omega{t})&b\sin(\omega{t})&0\\-\omega{a}\sin(\omega{t})&\omega{b}\cos(\omega{t})&0\end{array}\right|=\widehat{\boldsymbol{z}}\omega{ab}\left[\cos^{2}\left(\omega{t}\right)+\sin^{2}\left(\omega{t}\right)\right]\\&=\omega{ab}\,\widehat{\boldsymbol{z}}\end{aligned} קיבלנו וקטור המצביע בכיוון ציר \(z\) שאינו תלוי בזמן ולכן הוא בהכרח קבוע של התנועה (למעשה זהו התנע הזוויתי של החלקיק מחולק במסתו).


ו. קבלו ביטוי עבור וקטור היחידה המצביע בכיוון התנועה של החלקיק.

תשובה: וקטור המהירות הרגעית מצביע בכיוון התנועה, לכן ממנו נוכל לבנות את וקטור היחידה המתאים ע"י חלוקה שלו בגודלו. גודל וקטור המהירות הרגעית נתון בביטוי:
    \begin{aligned}v=\left|\vec{v}\right|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\omega\sqrt{a^{2}\sin^{2}(\omega{t})+b^{2}\cos^{2}(\omega{t})}\end{aligned}
    לכן וקטור היחידה המתאים הוא
    \begin{aligned}\widehat{\boldsymbol{v}}=\frac{\vec{v}}{v}&=\phantom{+}\frac{-a\sin(\omega{t})\,\widehat{\boldsymbol{x}}}{\sqrt{a^{2}\sin^{2}(\omega{t})+b^{2}\cos^{2}(\omega{t})}}\\&\phantom{=}+\frac{b\cos(\omega{t})\,\widehat{\boldsymbol{y}}}{\sqrt{a^{2}\sin^{2}(\omega{t})+b^{2}\cos^{2}(\omega{t})}}\end{aligned}

ז. קבלו ביטוי עבור וקטור התאוצה הרגעית של החלקיק \(\vec{a}\left(t\right)\) והראו שהוא מצביע בכיוון המנוגד לכיוון וקטור המקום.

תשובה: התאוצה הרגעית היא הנגזרת לפי הזמן של המהירות הרגעית ולכן: 
    \begin{aligned}\vec{a}\left(t\right)&=\dot{\vec{v}}=-\omega^{2}a\cos(\omega{t})\,\widehat{\boldsymbol{x}}-\omega^{2}b\sin(\omega{t})\,\widehat{\boldsymbol{y}}\\&=-\omega^{2}\left[a\cos\left(\omega{t}\right)\,\widehat{\boldsymbol{x}}+b\sin\left(\omega{t}\right)\,\widehat{\boldsymbol{y}}\right]\\&=-\omega^{2}\vec{r}\left(t\right)\end{aligned}

ח. רישמו את הביטוי שהחישוב המפורש שלו נותן את התאוצה המשיקית \(a_{T}\) בכל זמן \(t\). חשבו במפורש את התאוצה המשיקית כפונקציה של הזמן והסיקו ממנו בנוגע לתאוצה המשיקית בתנועה מעגלית קצובה.

תשובה: התאוצה המשיקית היא הרכיב המשיק למסלול התנועה של וקטור התאוצה הרגעית והיא מתקבלת מהטלתו של וקטור התאוצה הרגעית על וקטור היחידה בכיוון המשיק למסלול, ולכן:
    \begin{aligned}a_{T}\left(t\right)&=\vec{a}\cdot\widehat{\boldsymbol{v}}=-\omega^{2}\left(\vec{r}\cdot\widehat{\boldsymbol{v}}\right)\\&=\frac{-\omega^{2}\left[-a^{2}\cos(\omega{t})\sin(\omega{t})+b^{2}\sin(\omega{t})\cos(\omega{t})\right]}{\sqrt{a^{2}\sin^{2}(\omega{t})+b^{2}\cos^{2}(\omega{t})}}\\&=\frac{\omega^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin(2\omega{t})}{2\sqrt{a^{2}\sin^{2}(\omega{t})+b^{2}\cos^{2}(\omega{t})}}\end{aligned}
    בשלב האחרון השתמשנו בזהות \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\). ולבסוף, במקרה של תנועה מעגלית \(a=b\), ואז המרכיב המשיקי של התאוצה מתאפס, כצפוי.

ט. מהם ארבעת הזמנים במחזור אחד של התנועה שבהם התאוצה המשיקית מתאפסת? ביחרו זמן אחד כזה ורישמו עבורו את וקטורי המקום, המהירות והתאוצה ברגע זה. 

תשובה: נציג \(2\omega{t}=0,\pi,2\pi,3\pi\) ונקבל התאפסות בכל רבע מחזור. ובפרט, בזמן \(t=0\) נקבל: \(\vec{r}=a\,\widehat{\boldsymbol{x}}\), \(\vec{v}=\omega{b}\,\widehat{\boldsymbol{y}}\), \(\vec{a}=-\omega^{2}a\,\widehat{\boldsymbol{x}}\).



שאלה 2 (חוק ראשון ושלישי):

מישור משופע מחליק על רצפה אופקית במהירות קבועה \(u\) לאורך קו ישר. המישור נטוי בזווית \(\theta\) מעל האופק, ראו השרטוט מטה. חדף (חד-אף, מין של יונק זעיר) שמשקלו \(W\) מחליק במורד המישור המשופע במהירות קבועה \(v\), כפי שהיא נמדדת במערכת המנוחה של המישור המשופע.


התייחסו לכיוון של \(u\) כאל הכיוון החיובי.


א. מדוע אפשר להתייחס למישור המשופע עצמו כאל מערכת התמד? מה אפשר לומר על השקול הוקטורי של כל הכוחות הפועלים עליו? 

תשובה: היות והמישור המשופע נע במהירות קצובה לאורך קו ישר, אפשר להתייחס אליו כאל מערכת התמד. לכן השקול הוקטורי של כל הכוחות הפועלים עליו הוא אפס.

ב. שרטטו שני תרשימי כוחות נפרדים: תרשים אחד מתאר את כל הכוחות הפועלים על המישור המשופע, תרשים שני מתאר את כל הכוחות הפועלים על החדף המחליק על המישור המשופע. 

תשובה: מצורף תרשים הכוחות הפועלים על החדף המצוייר כאן כתיבה מלבנית (במקור לקוח מויקי)... תרשים הכוחות הפועלים על המישור המשופע יגיע בהמשך...

במקרה שלנו \(W=mg\). בתרשים זה
הכיוון החיובי הוא ימינה

ג. הגדירו מהם כוחות פעולה ותגובה ומה אומר החוק השלישי של ניוטון בהקשר זה?

תשובה: כוחות פעולה ותגובה הם צמדים של כוח הפועלים בין שני גופים שונים המבצעים אינטראקציה זה עם זה. מתוקף החוק השלישי של ניוטון, כל גוף מפעיל על הגוף השני כוח השווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח שהגוף השני מפעיל עליו. בשפה מתמטית: \(\vec{F}_{1\to2}=-\vec{F}_{2\to1}\). הערה: למרבה הפלא ישנם מצבים בתורה האלקטרומגנטית עבורם החוק השלישי אינו תקף.

ד. ציינו את כל הצמדים של כוחות פעולה ותגובה הפועלים בין המישור המשופע והחדף, ואת כיווני פעולת הכוחות.

תשובה: במקרה שלנו יש שני צמדים רלוונטים: 1) הכוח הנורמלי שהחדף מפעיל על המישור המשופע שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח הנורמלי שהמישור המשופע מפעיל על החדף; כוחות אלו פועלים בניצב למשטח המגע בין המישור המשופע לבין החדף ואנו נסמנם באות \(N\). 2) כוח החיכוך הקינטי שהחדף מפעיל על המישור המשופע שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח החיכוך הקינטי שהמישור המשופע מפעיל על החדף; החדף מפעיל כוח חיכוך על המישור המשופע בכיוון המורד, והמישור המשופע מפעיל את אותו הכוח על החדף בכיוון המעלה. נסמן גודלו של כוח זה ב- \(f\).

ה. בחרו מערכת צירים נוחה ורישמו את משוואות תנאי ההתמדה עבור החדף המחליק על גבי המישור המשופע.

תשובה: מערכת צירים נוחה לתיאור החדף היא מערכת צירים הצמודה למישור המשופע כך שציר ה-\(x\) מקביל למישור המשופע וציר ה-\(y\) ניצב לו. מתנאי ההתמדה בכיוון ציר \(x\) נקבל: \(W\sin\theta=f\), מתנאי ההתמדה בכיוון ציר \(y\) נקבל: \(W\cos\theta=N\). 

ו. חשבו את מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף לבין המישור המשופע כפונקציה של הפרמטרים בבעיה. מדוע זה נראה כאילו מקדם החיכוך כלל לא תלוי בגופים המתחככים ובתכונותיהם? האם זה באמת כך?

תשובה: נציג \(f=\mu{N}\) במשוואת תנאי ההתמדה עבור החדף בציר \(x\) ונקבל את צמד המשוואות:
\begin{aligned}W\sin\theta&=\mu{N}\\W\cos\theta&=N\end{aligned}
נחלק את שתי המשוואות זו בזו ונקבל  \(\mu=\tan\theta\).

לכאורה תוצאה זו לא תלוייה בתכונות הגופים וזאת משום מה? דרשנו החלקה במהירות קצובה והדרישה הזו הובילה למקדם חיכוך מאוד מסויים שרק עבורו היא תתרחש. עבור כל מקדם חיכוך אחר, דרישתנו לא היתה יכולה להתקיים. ברור שבבסיסו של דבר מקדם החיכוך תלוי בגופים המתחככים ובתכונותיהם.

ז. הוכיחו שבבעיה זו לא פועל כוח חיכוך בין המישור המשופע לבין הרצפה.


תשובה: הבה נניח שיש חיכוך בין המישור המשופע לבין הרצפה ונסמן אותו ב- \(\mathfrak{f}\) מזווותת (לא מזופתת...) נבחר מערכת צירים שבה ציר ה-\(x\) מקביל לרצפה ונרשום את תנאי ההתמדה של המישור המשופע בכיוון זה. מצד אחד פועל המרכיב ה-\(x\)-י של הכוח הנורמלי שהחדף מפעיל על המישור המשופע הניתן ע"י \(N\sin\theta\). מנגד פועלים המרכיב ה-\(x\)-י של כוח החיכוך שמפעיל החדף על המישור המשופע \(f\cos\theta\) ועל זה יש להוסיף את כוח החיכוך \(\mathfrak{f}\) הפועל בין המישור המשופע לרצפה. תנאי ההתמדה בכיוון זה הוא לפיכך \(\mathfrak{f}+f\cos\theta=N\sin\theta\). מכאן נקבל:
\begin{aligned}\mathfrak{f}=N\sin\theta-f\cos\theta=N\left(\sin\theta-\mu\cos\theta\right)=0\end{aligned} היות ו-\(\mu=\tan\theta\).

ח. מתוך נתוני השאלה, מה אפשר לומר (אם בכלל) על המהירויות של המישור המשופע ושל החדף?

תשובה: הואיל ובאף אחד מחישובנו עד כה לא נכנסו המהירויות לחשבון, ומאחר וגודל המהירות לא משחק תפקיד בכוח החיכוך הקינטי, לא נוכל לומר דבר על מהירות המישור המשופע או על מהירות החדף במערכת המישור המשופע.

ט. בזמן \(t=0\) נמצא החדף בנקודה \((0,20)\) במערכת צירים נייחת, ובגובה של עשרים יחידות אורך (מטרים אם תרצו) מעל הרצפה. כיתבו ביטוי לוקטור המקום של החדף במערכת צירים זו כפונקצייה של הזמן, הזווית \(\theta\), ושתי המהירויות \(u\) ו- \(v\) (רמז: אפשר ואף רצוי להשתמש בנוסחאות טרנספורמציית גליליי...).

תשובה: יהא \(\vec{r}_{1}(t)\) וקטור המקום של המישור המשופע במערכת הצירים הנייחת, כך ש-\(\vec{r}_{1}(t=0)=\vec{0}\). יהא \(\vec{r}_{2}(t)\) וקטור המקום של החדף במערכת המנוחה "המיושרת" של המישור המשופע, שראשית הצירים שלה נמצאת ב- \(\vec{r}_{1}\). לכן בזמן \(t=0\) מתקיים
 \begin{aligned}\vec{r}_{2}(t=0)=20\,\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}המישור המשופע נע במהירות קבועה \(u\) בציר \(x\) החיובי ולכן  \(\vec{r}_{1}(t)=ut\,\widehat{\boldsymbol{x}}\). נתאר עתה את החדף במערכת המנוחה המיושרת של המישור המשופע: במערכת זו יש לחדף מהירות קבועה \(v\cos\theta\) בכיוון ציר ה-\(x\) השלילי, ומהירות קבועה  \(v\sin\theta\) בכיוון ציר \(y\) השלילי. לכן וקטור המקום של החדף במערכת ייחוס זו ניתן ע"י
\begin{aligned}\vec{r}_{2}\left(t\right)=\big[-v\cos(\theta)\,t\big]\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\big[20-v\sin(\theta)\,t\big]\,\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}
קל לראות שוקטור המקום של החדף במערכת הנייחת ניתן ע"י השקול הוקטורי \(\vec{r}=\vec{r}_{1}+\vec{r}_{2}\) ולכן בסופו של יום נקבל
\begin{aligned}\vec{r}\left(t\right)=\big[\left(-v\cos\theta+u\right)\,t\big]\,\widehat{\boldsymbol{x}}+\big[20-v\sin(\theta)\,t\big]\,\widehat{\boldsymbol{y}}.\end{aligned}


שבתאי - היַפְיוּף של מערכת השמש. עוד?... כאן.

שאלה 3 (חוק שני):

גוף נזרק אנכית כלפי מעלה (להלן הכיוון החיובי) במהירות התחלתית \(v_{0}\). הגוף נע בהשפעת כוח המשיכה (הקבוע) בקרבת פני כדה"א \(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{g}\), וגם בהשפעת כוח הגרר של האוויר הנתון בביטוי \(\boldsymbol{f}=-\alpha{}m\boldsymbol{v}\) באשר \(m\) היא מסת הגוף, \(\alpha\) "מקדם הגרר", ו- \(\boldsymbol{v}\) היא מהירותו הרגעית.

א. ציירו את דיאגרמת הכוחות הפועלים על הגוף בזמן מעופו, רישמו את החוק השני של ניוטון בציר האנכי ואת המשוואה הדיפרנציאלית עבור המהירות האנכית הרגעית של הגוף.

תשובה: מדובר בבעיה חד מימדית. בציר האנכי, והיות וכוח הגרר מנוגד לכיוון התנועה, מנפק החוק השני של ניוטון את המשוואה \(ma_{y}=-mg-\alpha{}mv_{y}\). במונחים של המהירות הרגעית נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית \(\dot{v}_{y}=-g-\alpha{}v_{y}\).

ב. נתונים: \(g=10_{m/s^{2}}\), \(v_{0}=20_{m/s}\), \(\alpha=0.5_{1/s}\). הראו באמצעות הצבה במשוואה הדיפרנציאלית ש- \(v_{y}\left(t\right)=Ae^{-\alpha{}t}+B\) הוא פתרון הכללי של המשוואה וחשבו בעזרת הנתונים את ערכם של שני הקבועים \(A\) ו- \(B\).

תשובה: נציג את הפתרון המוצע במשוואה הדיפרנציאלית ונקבל
\begin{aligned}-\alpha{}Ae^{-\alpha{}t}=-g-\alpha\left(Ae^{-\alpha{}t}+B\right)=-g-\alpha{}Ae^{-\alpha{}t}-\alpha{}B\end{aligned}
נסלק את האקספוננט משני אגפי המשוואה ונראה מייד ש- \(B=-g/\alpha=-20_{m/s}\). נציג את תנאי ההתחלה בפתרון המוצע ונקבל \(20=A-20\) או\(A=40_{m/s}\), כך שהפתרון המלא ניתן ע"י
\begin{aligned}v_{y}\left(t\right)=40\,e^{-t/2}-20.\end{aligned} 

ג. קבלו את הביטוי עבור הגובה הרגעי של הגוף \(y\left(t\right)\) בהנחה שהוא נזרק מהקרקע, כלומר בהנחת תנאי ההתחלה \(y\left(t=0\right)=0_{m}\).

תשובה: המקום מתקבל מאינטגרציה על המהירות ולכן \(y\left(t\right)=-80\,e^{-t/2}-20t+C\) באשר \(C\) הוא קבוע האינטגרציה. נציג את תנאי ההתחלה במשוואה ונקבל \(C=80_{m}\) ולכן המקום כפונקציה של הזמן ניתן ע"י
\begin{aligned}y\left(t\right)=80\left(1-e^{-t/2}\right)-20t\end{aligned}

ד. כמה זמן לקח לגוף להגיע לשיא הגובה?

תשובה: בשיא הגובה המהירות האנכית מתאפסת. כלומר אם זמן ההגעה לשיא הגובה הוא \(t^{\star}\) אז \(v_{y}\left(t=t^{\star}\right)=0\). נציג זאת במשוואת המהירות ונקבל (\(\ln(1/x)=-\ln{}x\)):
\begin{aligned}40\,e^{-t^{\star}/2}=20\;\Rightarrow\;-t^{\star}/2=\ln\left(1/2\right)\;\Rightarrow\;t^{\star}=2\ln2\approx1.386_{s}\end{aligned}

ה. מהו שיא הגובה אליו הגיע הגוף?

תשובה: נציג עתה את הזמן שקיבלנו במשוואת מקום כפונקציה של זמן ונקבל:
\begin{aligned}y\left(t^{\star}\right)&=80\left(1-e^{-t^{\star}/2}\right)-20t^{\star}\\&=80\left(1-1/2\right)-40\ln2=40\left(1-\ln2\right)\approx12.27_{m}\end{aligned}

ו. האם זמן הנפילה משיא הגובה לקרקע שווה לזמן ההגעה מהקרקע לשיא הגובה? נמקו ללא חישוב.

תשובה: ודאי שלא, שהרי בנפילה חזרה כוח הגרר מחליף כיוון והוא עתה מנוגד לכוח המשיכה של כדור הארץ; משוואת התנועה שמתקבלת מן-הסתם שונה וכך גם פתרונה.



שאלה 4 (מערכות מאיצות + תנודות)



מסה נקודתית \(m\) תלוייה מתקרתו של קרון דרך חוט שמסתו זניחה ואורכו \(L\). בניסויים שנעשו הקרון כולו מאיץ ימינה בתאוצה \(a\) לא ידועה (ראו איור).


א.  בניסוי ראשון משחררים את המערכת להאיץ, כך שברגע השיחרור החוט פרוש בזווית פרישה מסויימת \(\theta_{0}\) (נתונה) הנשמרת כל העת במהלך התאוצה. מהי התאוצה \(a\) במונחים של הפרמטרים בבעיה?

תשובה: תהיה \(T\) המתיחות בחוט. אם הזווית נשמרת במהלך התאוצה אז מנקודת מבט של מערכת התמד (למשל) ובהתאם לחוק השני של ניוטון:
\begin{aligned}T\sin\theta_{0}=ma,\quad{}T\cos\theta_{0}=mg\end{aligned} חלוקה של שתי המשוואות תנפק את הקשר \(a=g\tan\theta_{0}\). (לכן המטוטלת יכולה לשמש כמד-תאוצה: מודדים את זווית הפריסה במצב שיווי המשקל ומחשבים ממנה את התאוצה).

ב. בניסוי שני משחררים את המערכת באותה תאוצה \(a\) כך שברגע השחרור החוט אנכי ביחס לריצפת הקרון. מיד לאחר השיחרור מבצעת המטוטלת תנועה הרמונית סביב זווית הפרישה \(\theta_{0}\). מהי תדירות התנודות ומהי המשרעת שלהן בהנחה של תנודות קטנות (כך ש- \(\sin\theta\approx\theta\))?

תשובה: המטוטלת תתנדנד סביב זווית הפרישה \(\theta_{0}\) היות וזו הזווית במצב בו הכוחות מתאזנים. מנקודת מבט של צופה הנמצא במערכת המאיצה המטוטלת מתנדנדת בעטיו של כוח "משיכה" שקול אשר מרכיביו הם כוח המשיכה והכוח המדומה הפועל שמאלה הנגרם בעטיה של התאוצה, וכיוונו של הכוח השקול פרוש בזווית \(\theta_{0}\) ביחס לאנך (כלומר הציר "האנכי" "הטבעי" בתוך הקרון המאיץ פרוש בזווית \(\theta_{0}\) ביחס לציר האנכי של המעבדה). גודלו של הכוח השקול בכיוון ציר זה הוא
\begin{aligned}F&=\sqrt{m^{2}g^{2}+m^{2}a^{2}}=\sqrt{m^{2}g^{2}+m^{2}g^{2}\tan^{2}\theta_{0}}\\&=mg\sqrt{1+\tan^{2}\theta_{0}}=\frac{mg}{\cos\theta_{0}}\,.\end{aligned}
תהא \(\theta\left(t\right)\) זווית הפרישה הרגעית הנמדדת ביחס לציר "האנכי" החדש הנפרש בזווית \(\theta_{0}\) ביחס לציר האנכי של המעבדה. החוק השני במערכת הקרון (הלוקח בחשבון כמובן גם את הכוח המדומה \(ma\) בכיוון ציר \(x\) השלילי) מנפק את המשוואה
\begin{aligned}mL\ddot{\theta}=-\frac{mg}{\cos\theta_{0}}\,\sin\theta\approx-\frac{mg}{\cos\theta_{0}}\,\theta\end{aligned}
זוהי משוואה מהצורה \(\ddot{\theta}=-\omega^{2}\theta\) עם \(\omega^{2}=g/L\cos\theta_{0}\). היות והמערכת התחילה תנועתה ממנוחה (בתאוצה \(a\) ובזווית \(\theta_{0}\) ביחס ל"אנך") פתרון המשוואה הוא \(\theta\left(t\right)=\theta_{0}\cos\left(\omega{}t\right)\) כלומר תנועה הרמונית סביב הציר הנפרש בזווית \(\theta_{0}\) ביחס לאנך ובמהירות הזוויתית \(\omega\). בשפה של תדירות,
\begin{aligned}f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L\cos\theta_{0}}}\end{aligned}

ג. תוך כדי תאוצת הקרון ימינה נצמד חרק לדופנו הימנית והוא מחליק מטה (בהיותו צמוד לדופן) בתאוצה. מקדם החיכוך בין החרק לדופן הוא \(\mu\). מה צריכה להיות זווית הפרישה \(\theta_{0}\)  כדי שתאוצתו של החרק מטה תהיה בדיוק \(g/2\)?

תשובה: דופן הקרון מפעילה על החרק כוח נורמלי \(N\) בכיוון החיובי של הציר האופקי ומהחוק השני של ניוטון בציר זה \(N=ma\). היות והחרק מחליק מטה פועל עליו כוח חיכוך קינטי כלפי מעלה ושיעורו \(f=\mu{}N=\mu{}ma\). לכן החוק השני בציר האנכי (הצמוד לדופן הקרון) מנפק את המשוואה \(ma_{y}=mg-\mu{}ma=mg-\mu{}mg\tan\theta_{0}\). מנתוני השאלה \(a_{y}=g/2\), נציב זאת במשוואת החוק השני, נחלץ את \(\theta_{0}\) ונקבל \begin{aligned}\theta_{0}=\tan^{-1}\left(\frac{1}{2\mu}\right)\end{aligned}

ד. במהלך התנודה נקרע לפתע החוט בדיוק בזווית \(\theta=0\) ביחס לציר האנכי של המעבדה. ציירו סקיצה כיצד יראה מסלול הנפילה של המסה מנקודת המבט של צופה הנמצא בתוך העגלה. אפיינו את הציור באמצעות צירים וזווית והסבירו אותו.

תשובה: צופה הנמצא בתוך העגלה "רואה" נפילה חופשית בציר \(y\) ובתאוצה \(g\) ו"נפילה חופשית" בציר \(x\) השלילי ובתאוצה \(a\). היות ותנאי ההתחלה הוא \(v_{0}=0\) (למה?) נקבל תנועה בקו ישר ובזווית
\begin{aligned}\alpha=\tan^{-1}\left\{\frac{\frac{1}{2}gt^{2}}{\frac{1}{2}at^{2}}\right\}=\tan^{-1}\left(g/a\right)\end{aligned}
מתחת לאופק.


שאלה 5 (מערכות מאיצות + תנודות)



בול שמסתו \(m_{1}\) חפשי לנוע אופקית וללא חיכוך על עגלה שמסתה \(m_{2}\). הבול מחובר לעגלה באמצעות קפיץ בעל קבוע כוח \(k\), ואילו העגלה עצמה מונחת על משטח אופקי חסר חיכוך. מותחים את הקפיץ מרחק \(L\) ומשחררים את כל המערכת ממנוחה (ראו איור). נגדיר: \(a\) תאוצת \(m_{1}\) במערכת המנוחה של \(m_{2}\), ו- \(A\) תאוצת \(m_{2}\) במערכת המעבדה. 

א. ציירו דיאגרמת כוחות עבור שתי המסות (\(m_{2}\) במערכת המעבדה ו- \(m_{1}\) במערכת המנוחה של \(m_{2}\)) וציינו בה את כל הכוחות בציר האופקי. 

תשובה: (תיאור ללא ציור) יהא \(x\) האורך המתוח של הקפיץ מייד לאחר השחרור. הקפיץ מאיץ את \(m_{1}\) ימינה ואת \(m_{2}\) שמאלה. מנקודת מבט של צופה היושב על \(m_{2}\) פועלים על \(m_{1}\) בכיוון ימין שני כוחות: 1) כוח הקפיץ \(kx\) (הוא תמיד כוח מחזיר) והכוח המדומה \(mA\). על \(m_{2}\) פועל רק הכוח המחזיר \(kx\). 

ב. רישמו את שתי המשוואות עבור \(m_{1}\) ו- \(m_{2}\). 

תשובה: מהחוק השני של ניוטון במערכת המאיצה בתוספת כוחות מדומים נקבל את המשוואה: \(m_{1}a=-kx+m_{1}{A}\). מהחוק השני של ניוטון על\(m_{2}\) במערכת המעבדה, \(m_{2}A=-kx\) (שימו לב \(x\) היא קואורדינטה המקיימת \(\ddot{x}=a\), ולא \(\ddot{x}=A\)).

ג. מהי תדירות התנודות של כל אחת מהמסות? 

תשובה: נציג את \(A\) מהמשוואה עבור \(m_{2}\) במשוואת החוק השני עבור \(m_{1}\) ונקבל: 
\begin{aligned}&m_{1}a=-kx+m_{1}\left(\frac{-k}{m_{2}}\right)x=-k\left(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)x\\&\Rightarrow\quad\ddot{x}=-\frac{k}{m_{1}}\left(1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)x=-k\left(\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}\right)x\\&\Rightarrow\quad\omega_{1}^{2}=k\left(\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}\right)=\frac{k}{\mu}\end{aligned}
באשר \(\mu\) היא המסה המצומצמת. שתי המסות מתנודדות בעטיו של אותו הקפיץ ולכן שתיהן מתנודדות באותה תדירות, \(\omega_{2}=\omega_{1}\).


שאלה 6 (קינמטיקה + חוק שני)

חלקיק בעל מסה \(m\) מחליק על גבי ציקלואידה הפוכה (מעין קערה ציקלואידית) נטולת חיכוך. וקטור המקום הרגעי של החלקיק נתון בביטוי 
\begin{aligned}\boldsymbol{r}=R\left[\theta\left(t\right)-\sin\theta\left(t\right)\right]\widehat{\boldsymbol{x}}+R\left[\cos\theta\left(t\right)-1\right]\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}
כאן התלות המפורשת של \(\theta(t)\) ב- \(t\) לא ידועה (ולצרכינו גם לא חשובה), ו- \(R\) פרמטר נתון. נסמן ב- \(\alpha\) את הזווית בין המשיק לציקלואידה לבין ציר ה- \(x\). הערה: נא לפשט את הביטויים שתקבלו באמצעות זהויות טריגונומטריות ככל שתוכלו.

א. קבלו את וקטור היחידה הרגעי המצביע לעבר כיוון תנועתו של החלקיק בכל זמן כפונקציה של המשתנים ו/או הפרמטרים \(R,g,\theta,\dot{\theta}\)

תשובה: וקטור היחידה הרגעי המצביע לעבר כיוון תנועתו של החלקיק הוא זה המצביע בכיוון המהירות. גזירה לפי הזמן של וקטור המקום תיתן:
\begin{aligned}\boldsymbol{v}\left(t\right)&=R\left[\dot{\theta}-\left(\cos\theta\right)\dot{\theta}\right]\widehat{\boldsymbol{x}}-R\left(\sin\theta\right)\dot{\theta}\,\widehat{\boldsymbol{y}}\\&=R\dot{\theta}\left(1-\cos\theta\right)\widehat{\boldsymbol{x}}-R\dot{\theta}\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}נחלק את וקטור המהירות באורכו וניעזר בנוסחאות הטריגונומטריות של חצי-זווית ושל זווית כפולה כדי לקבל:
\begin{aligned}\widehat{\boldsymbol{v}}\left(t\right)&=\frac{R\dot{\theta}\left(1-\cos\theta\right)\widehat{\boldsymbol{x}}-R\dot{\theta}\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol{y}}}{\sqrt{R^{2}\dot{\theta}^{2}\left(1-\cos\theta\right)^{2}+R^{2}\dot{\theta}^{2}\sin^{2}\theta}}\\&=\frac{\left(1-\cos\theta\right)\widehat{\boldsymbol{x}}-\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol{y}}}{\sqrt{1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}}\\&=\frac{\left(1-\cos\theta\right)\widehat{\boldsymbol{x}}-\sin\theta\,\widehat{\boldsymbol{y}}}{\sqrt{2}\sqrt{1-\cos\theta}}\\&=\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\widehat{\boldsymbol{x}}-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned}

ב. קבלו 1) ביטוי עבור הכוח המאיץ את החלקיק במורד הציקלואידה, 2) משוואה עבור הכוח הנורמלי הפועל על החלקיק במהלך תנועתו - כפונקציה של המשתנים ו/או הפרמטרים בבעיה.

תשובה: תהא \(\alpha\) הזווית בין ציר ה-\(x\) לבין המשיק לציקלואידה. הכוח המאיץ במורד הציקלואידה הוא \(mg\sin\alpha\), ואילו מהחוק השני של ניוטון בציר הניצב לציקלואידה הכוח הנורמלי מקיים \(N-mg\cos\alpha=ma_{\perp}\). הזווית \(\alpha\) מתקבלת מתוך המכפלה הסקלרית של \(\widehat{\boldsymbol{v}}\) עם \(\widehat{\boldsymbol{x}}\). כלומר
\begin{aligned}\cos\alpha=\widehat{\boldsymbol{v}}\cdot\widehat{\boldsymbol{x}}=\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad\alpha=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\end{aligned}
לכן הכוח המאיץ במורד הציקלואידה הוא \(F_{\parallel}=mg\sin\alpha=mg\cos\left(\theta/2\right)\), ואילו הכוח הנורמלי הניצב למשטח מקיים \(N=ma_{\perp}+mg\cos\alpha=ma_{\perp}+mg\sin\left(\theta/2\right)\). ומהו \(a_{\perp}\)? וקטור היחידה הניצב למשטח הוא \(\widehat{\boldsymbol{n}}= \cos\left(\theta/2\right)\widehat{\boldsymbol{x}}+\sin\left(\theta/2\right)\widehat{\boldsymbol{y}}\) מאחר וזהו וקטור בעל אורך יחידה המקיים את דרישת הניצבות \(\widehat{\boldsymbol{n}}\cdot\widehat{\boldsymbol{v}}=0\); התאוצה הכוללת היא \begin{aligned}\boldsymbol{a}=\dot{\boldsymbol{v}}=R\left[\ddot{\theta}\left(1-\cos\theta\right)+{\dot{\theta}}^{2}\sin\theta\right]\widehat{\boldsymbol{x}}-R\left[\ddot{\theta}\sin\theta+{\dot{\theta}}^{2}\cos\theta\right]\widehat{\boldsymbol{y}}\end{aligned} ואילו המרכיב הניצב ניתן ע"י \(a_{\perp}={\boldsymbol{a}}\cdot\widehat{\boldsymbol{n}}\).


שאלה 7 (מומנט ותנע זוויתי)

א. התנע הזוויתי של חלקיק כלשהו מוגדר להיות \(\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}\), באשר \(\boldsymbol{r}\) הוא וקטור המקום של החלקיק, ו- \(\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}\) הוא התנע הקווי שלו. הוכיחו שהתנע הזוויתי \(\boldsymbol{L}\) מקיים באופן זהותי את המשוואה \(\dot{\boldsymbol{L}}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}\) היכן ש- \(\boldsymbol{F}\) הוא שקול הכוחות הפועלים על החלקיק.

תשובה: ניעזר בכלל לייבניץ לגזירה של מכפלות וקטוריות ונקבל:
\begin{aligned}\dot{\boldsymbol{L}}=\underbrace{\dot{\boldsymbol{r}}\times\boldsymbol{p}}_{\sim\;\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{v}\,\equiv\,0}+\;\underbrace{\boldsymbol{r}\times\dot{\boldsymbol{p}}}_{\dot{\boldsymbol{p}}\,=\,\boldsymbol{F}}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}\end{aligned}
לגודל \(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F}\) קוראים מומנט ונהוג לסמנו באות \(\boldsymbol{\tau}\). 

ב. תקליט לא חלק מסתובב במהירות זוויתית \(\omega\). על התקליט מונחת מטבע ועליה פועל (בין השאר) כוח מדומה המכונה "כוח צנטרפוגלי" הנתון בביטוי \(\boldsymbol{F}_{C}=-m\,\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\right)\), באשר \(\boldsymbol{r}\) הוא וקטור המקום של המטבע במערכת התקליט. וקטור זה מונח במישור התקליט ומצביע ממרכז התקליט לעבר המטבע. הוקטור \(\boldsymbol{\omega}=\omega\widehat{\boldsymbol{z}}\) מכונה וקטור המהירות הזוויתית והוא מצביע בניצב למישור התקליט. 

1. הסבירו בקצרה מהו כוח מדומה ומאיזו מערכת הוא ניצפה. 

תשובה: כוח מדומה הוא כוח הפועל במערכת שאינה מערכת התמד, הוא נגרם משום-כלום ומקורו הוא תכונת ההתמדה של הגוף החש אותו. 

2. חשבו את המומנט המופעל על המטבע במערכת התקליט בעטיו של הכוח הצנטרפוגלי.

תשובה: נציג את הכוח הצנטרפוגלי בהגדרת המומנט ונקבל:
\begin{aligned}\boldsymbol{\tau}&=-m\,\boldsymbol{r}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\left(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\right)\right)\\&=-m\,\boldsymbol{r}\times\big(\underbrace{\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{r}\right)}_{=\;0}\boldsymbol{\omega}-\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\omega}\right)\boldsymbol{r}\big)\\&=m\left(\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{\omega}\right)\underbrace{\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}}_{=\;\boldsymbol{0}}\;=\;\boldsymbol{0}\end{aligned}
ובאמת הכוח הצנטרפוגלי מצביע בכיוון וקטור המקום ולכן מפעיל מומנט אפס על המטבע (מאחר והמומנט הוא המכפלה הוקטורית בין המקום לכוח). הערה: אם המטבע נמצאת במנוחה במערכת המסתובבת (שאינה מערכת התמד) הרי שמנקודת מבט של צופה במערכת זו, הכוח הצנטרפוגלי הוא הכוח המדומה הנותן 'קונטרה' לכוח החיכוך הסטטי.






יום רביעי, 9 באוקטובר 2013

על מהירות, תאוצה, והתמתחות הזמן


המבנה המטרי של מרחב מינקובסקי \((M,\eta)\) ניתן לאפיון מלא באמצעות המטריקה, כלומר (ריבוע) אלמנט האורך האינפיניטסימלי המקשר בין שני מאורעות סמוכים. בקואורדינטות קרטזיות זה יראה כך:
 \begin{aligned}\left(\mathrm{d}s\right)^{2}\,=\,\underbrace{c^{2}\left(\mathrm{d}t\right)^{2}-\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}}_{\displaystyle\left(\mathrm{d}X\right)^{T}\eta\,\left(\mathrm{d}X\right)}\,=:\,c^{2}\left(\mathrm{d}\tau\right)^{2}\end{aligned}

היכן ש- \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=(\mathrm{d}x)^{2}+(\mathrm{d}y)^{2}+(\mathrm{d}z)^{2}\) מייצג את המטריקה ב-\(\mathbb{E}_{3}\). אלמנט המרחק \(\left(\mathrm{d}s\right)^{2}\) הוא אינווריאנט של טרנספורמציית לורנץ שהרי מדובר בתבנית בילינארית, ובדומה למה שכבר הראנו ברשימה הקודמת, 
\begin{aligned}\left(\mathrm{d}s'\right)^{2}&=\left(\mathrm{d}X'\right)^{T}\eta\,\left(\mathrm{d}X'\right)=\left(L\mathrm{d}X\right)^{T}\eta\,\left(L\mathrm{d}X\right)\\&=\left(\mathrm{d}X\right)^{T}\left(L^{T}\eta\,L\right)\left(\mathrm{d}X\right)=\left(\mathrm{d}X\right)^{T}\eta\,\left(\mathrm{d}X\right)=\left(\mathrm{d}s\right)^{2}.\end{aligned}

ומי זה הפרמטר החדש \(\tau\) שהצגנו בביטוי המגדיר את המטריקה? ובכן, רצף של מאורעות המתקיים באותו מקום בדיוק ב-\(\mathbb{E}_{3}\) מגדיר "שעון" מקומי. במקרה זה \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}=0\) ואנו מקבלים
 \begin{aligned}\left(\mathrm{d}s\right)^{2}=c^{2}\left(\mathrm{d}t\right)^{2}=c^{2}\left(\mathrm{d}\tau\right)^{2}\end{aligned}
כלומר עבור כל שעון מקומי מתלכדת קואורדינטת הזמן שלו עם הפרמטר \(\tau\) שמימדו הוא כמובן זמן. בדיוק מסיבה זו מכונה פרמטר זה "זמן עצמי" (ובאנגלית proper time, כלומר "זמן נאות") והוא מתייג את הזמן במערכת המנוחה הצמודה לשעון. זאת ועוד, היות ו-\((\mathrm{d}s)^{2}\) הוא אינווריאנט של מערכות התמד, כך גם \(\mathrm{d}\tau\) וכמובן גם \(\tau\). יוצא איפה שהזמן העצמי מנפק תקתוק אוניברסלי...

מה הקשר בין אינטרוול זמן אינפיניטסימלי במערכת שלי לבין אינטרוול זמן במערכת שלך בהנחה ששנינו נמצאים במצב של התמדה, ושהמהירות היחסית בין שנינו היא \(\left|v\right|\)? ובכן, קל לענות על כך; הבה נניח שאת\ה משגר\ת לעברי שני פולסים של אור במרווחי זמן קצרים כרצוננו. היות והפולט (פנס הלייזר שבידך) נמצא במנוחה במערכת שלך, הרי שמרווח הזמן בין שני הפולסים כפי שהוא נמדד אצלך מתוייג באמצעות הזמן העצמי \(\mathrm{d}\tau\). ומנגד, אותו מרווח זמן עצמו מתוייג אצלי באמצעות \(\mathrm{d}t\). אבל כמו שראינו, הזמן העצמי הוא אינווריאנט של טרנספורמציה בין מערכות התמד, כלומר אינווריאנט תחת בוסטים. נוכל אם כן להשוות את המטריקה כפי שהיא נרשמת אצלך למטריקה כפי שהיא נרשמת אצלי:
\begin{aligned}c^{2}\left(\mathrm{d}t\right)^{2}-\mathrm{d}\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r}=c^{2}\left(\mathrm{d}\tau\right)^{2}\end{aligned} 
וכאן \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) הוא המרחק שאנו גומעים אחד ביחס לשני\ה במהלך הזמן \(\mathrm{d}t\) כפי שהוא נמדד במערכת ההתמד שלי (תוכל\י להסביר מדוע?). נחלק עתה את המשוואה הנ"ל ב-\(c^{2}/(\mathrm{d}t)^{2}\), ומאחר ו- \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}/\mathrm{d}t=\boldsymbol{v}\) נקבל מיד
\begin{aligned}1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{\left(\mathrm{d}\tau\right)^{2}}{\left(\mathrm{d}t\right)^{2}}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{d}t=\gamma\,\mathrm{d}\tau,\end{aligned}
היכן ש \(v=\left|\boldsymbol{v}\right|\) ו- \(\gamma=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2}\). הבה נדגיש: הזמן העובר בין שני סיגנלים במערכת שלך הוא זמן עצמי היות ואת\ה ייצרת את הסיגנלים; הזמן לפיו אני מודד איננו זמן עצמי היות ואני מקבל את הסיגנלים. ברור שבגבול הגלילאני שבו \(\gamma\to1\) נקבל \(t\approx\tau\) כלומר בגבול זה שני תיוגי הזמן מתלכדים ואז אין באמת משמעות להבדל בין זמן עצמי (אינווריאנט) לקואורדינטת הזמן (וריאנט). נבצע עתה אינטגרציה על פני מרווח סופי של זמן עצמי \(\Delta\tau=\tau_{2}-\tau_{1}\neq0\) ונקבל
\begin{aligned}\Delta{t}=\gamma\Delta\tau\,.\end{aligned}

זהו האפקט המפורסם של time-dilation: אינטרוול זמן עצמי תמיד יראה ארוך יותר ממערכת התמד אחרת. כך למשל אם המהירות היחסית ביננו היא כזו ש-\(\gamma=2\), אז שנייה אצלך תיארך שתי שניות אצלי. ואולם כאשר אני הוא זה שמייצר את הסיגנלים לצרכי מדידה, שנייה אצלי (זמן עצמי) תיארך שתי שניות אצלך (זמן מערכת). יוצא אם כן שאפקט התמתחות הזמן סימטרי לחלוטין ביחס לשני הצופים מתמידים, כפי שאפשר היה לשער מלכתחילה מתוך הסימטריה המלאה הקיימת בין כל שתי מערכות התמד.

טוב ויפה, אבל איך זה יכול להיות? אם שנינו נעים זה ביחס לזה כך ש- \(\gamma=10\) כיצד זה שכל אחד רואה את השעון של השני מתקתק פי עשרה יותר לאט? מי צודק ומי טועה והאם בכלל המצב הזה אפשרי. התשובה היא: לא זו בלבד שזהו מצב אפשרי, זו אמת אמפירית והיא נטולת כשלים לוגיים. את פרדוקס התאומים המפורסם אתאר ואתיר ברשימה הבאה. אבל לפני כן, וכהכנה לכך, הבה נפתח ביטוי מתאים לטרנספורמציה של תאוצות.

הבה נתבונן בחלקיק מאיץ לאורך ציר ה-\(x\). תהינה \(u\) ו- \(a\) מהירותו הרגעית ותאוצתו הרגעית בהתאמה כפי שהן נצפות במערכת ההתמד \(S\) המתוייגת באמצעות הקואורדינטות \(x\) ו- \(t\). מה תהינה מהירותו ותאוצתו במערכת \(S'\) הנעה במהירות \(v\) בכיוון ציר ה-\(x\) החיובי ביחס ל-\(S\)? ובכן, הבה נתבונן שוב בטרנספורמציית לורנץ בגרסתה התלת-מימדית, היותר "מלוכלכת"... אם \(t'\) ו- \(x'\) הם התיוגים המתאימים במערכת \(S'\), אז

\begin{aligned}t'&=\frac{t-vx/c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\\x'&=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\end{aligned}
כפי שחישבנו ברשימה הקודמת. זיכרו ש-\(v\) - המהירות בין שתי מערכות היחוס - הוא גודל שאינו תלוי בזמן. ניקח דיפרנציאל למשוואות הטרנספורמציה ונקבל,

\begin{aligned}\mathrm{d}t'&=\gamma_{v}\left(\mathrm{d}t-v\,\mathrm{d}x/c^{2}\right)\\\mathrm{d}x'&=\gamma_{v}\left(\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d}t\right)\,;\end{aligned}

הסימול \(v\) ב- \(\gamma_{v}\) בא להדגיש את העובדה ש-\(\gamma\) מתייחסת למהירות היחסית \(v\), ואין לה כל קשר למהירות החלקיק \(u\). מכאן נגזור על נקלה את נוסחאות הטרנספורמציה למהירות (למעשה כבר קיבלנו זאת באופן לא פחות אלגנטי כתרגיל של הרשימה הקודמת):

\begin{aligned}u'=\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}=\frac{\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t-v\,\mathrm{d}x/c^{2}}=\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-v}{\displaystyle1-\frac{v}{c^{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{u-v}{1-vu/c^{2}}\end{aligned}

ומכאן קצרה הדרך לחישוב נוסחת הטרנספורמיה עבור התאוצה: ראשית נחשב את הדיפרנציאל של המהירות במערכת המתוייגת במונחים של דיפרנציאלים במערכת הלא מתוייגת,

\begin{aligned}du'&\;=\;\frac{\mathrm{d}{u'}}{\mathrm{d}{u}}\mathrm{d}u\;=\;\frac{1\times\displaystyle\left(1-\frac{vu}{c^{2}}\right)-\left(u-v\right)\times\left(-\frac{v}{c^{2}}\right)}{\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{2}}\mathrm{d}u\\&\;=\;\frac{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}{\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{2}}\mathrm{d}u\end{aligned}

ומכאן,
\begin{aligned}a'&\;=\;\frac{du'}{dt'}=\frac{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}{\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\gamma_{v}\left(\mathrm{d}t-\displaystyle\frac{v\,\mathrm{d}x}{c^{2}}\right)}\\&\;=\;\frac{\displaystyle1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}{\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{2}}\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}}{\gamma_{v}\left(1-\displaystyle\frac{v}{c^{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}\\&\\&\;=\;\frac{a}{\gamma_{v}^{3}\left(1-\displaystyle\frac{vu}{c^{2}}\right)^{3}}\end{aligned}

שימו לב שנוסחת הטרנספורמציה של התאוצה הרגעית מערבת גם את המהירות הרגעית... נוסחא זו תשמש אותנו בבואנו להתיר את פרדוקס התאומים במתכונתו הריאלית וה(כמעט-) כללית ביותר. על כך ברשימה הבאה.


יום חמישי, 26 בספטמבר 2013

טרנספורמציות לורנץ במרחב מינקובסקי



לפני שנגיע למערכות מואצות, הבה נתאר בקצרה את הסמטריה העולה מהשקילות של מערכות התמד, ולשם כך אקדיש שתים-שלוש רשימות קצרות;

ובכן, כפי שהדגשתי כמה פעמים בעבר, שקילותן הפיזיקלית של כל מערכות ההתמד מחייבת ואקום משותף לכולן ולכן גם מהירות אור משותפת לכולן שהרי מהירות האור איננה אלא החותם האלקטרומגנטי של הואקום. מה משמעות הדבר?

הבה נתבונן בשתי מערכות התמד \(S\) ו- \(S'\) אותן נתאר באמצעות קואורדינטות קרטזיות כך ששלושת הצירים במערכת האחת מקבילים לשלושת הצירים במערכת השנייה בהתאמה; כך למשל, ציר \(x\in{S}\) מקביל לציר \(x\in{S}'\) וכ'. בכל אחת מהמערכות הללו יושב שעון נייח ותקתוקו מתייג את הזמן באותה מערכת. לנוחותינו נסדר את שתי המערכות כך שראשית הצירים של שתיהן מתלכדת בראשית הזמן של שתיהן, כלומר \(t=t'=0\). שימו לב שאנו נזהרים מלהניח מראש שתיוג הזמן בשתי המערכות זהה (מן הסתם, הוא לא).

עוד נניח שצופה במערכת \(S\) רואה את \(S'\) נעה במהירות קצובה \(v\) בכיוון ציר ה-\(x\) החיובי שלו, היינו בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{x}}\), ולכן צופה ב-\(S'\) רואה את \(S\) נעה במהירות קצובה \(-v\) לאורך ציר \(x'\) השלילי שלו, היינו בכיוון \(-\widehat{\boldsymbol{x}}'\). גם כאן אנו נזהרים מלהניח מראש שוקטורי היחידה בשתי המערכות מתלכדים באורכם (מן הסתם, הם לא). ראוי להדגיש שעקביות מחייבת שהמהירות היחסית בין שתי המערכות ניראת אותו הדבר משתיהן, עד כדי סימן כמובן. 

בזמן \(t=0\) שולח הצופה במערכת \(S\) סיגנל אור לעבר זה הנמצא ב- \(S'\). היות ומהירות האור הנמדדת בשתי מערכות ההתמד זהה, יתארו שני הצופים שלנו את תנועת האור, איש איש במערכתו הוא, באמצעות שתי המשוואות

\begin{aligned}c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}&=0\\c^{2}(t')^{2}-(x')^{2}-(y')^{2}-(z')^{2}&=0\,.\end{aligned}

מתוך שתי משוואות אלו ומנתוני הבעיה נוכל למצוא על-נקלה קשר לינארי בין ארבעת הפרמטרים \(\left(x,y,z,t\right)\) לבין ארבעת הפרמטרים \(\left(x',y',z',t'\right)\). הבה נעשה זאת במפורש;

היות והתנועה היחסית מתרחשת רק בציר \(x\) נוכל לרשום \(y'=y\), \(z'=z\) ולמקד עניינו בתת המרחב הדו-מימדי \(t\)-\(x\). ובכן, אנו מחפשים ארבעה מקדמים \(A,B,C,D\) התלויים במהירות היחסית בין המערכות והמקיימים את המערכת הלינארית
\begin{aligned}t'&=At+Bx\\x'&=Ct+Dx\end{aligned}
כך שהמיפוי המתקבל הוא הפיך. ובכן, הראשית של \(S'\) היא \(x'=0\) והיא מתאימה ל- \(x=vt\). הראשית של \(S\) היא \(x=0\) והיא מתאימה ל- \(x'=-vt'\). משתי משוואות אלו מייד נקבל \(C=-vD=-vA\) ולכן \(D=A\). עתה נשתמש בתנאי זהות מהירות האור בשתי המערכות: נציג בטרנספורמציה \(D=A\), \(C=-vA\), נפתור עבור \(A\) ו-\(B\) ונקבל:

\begin{aligned}t'\,=\,\frac{t-vx/c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad{x}'\,=\,\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\end{aligned}

באופן לא מפתיע, הגבול \(v/c\to0\) מנפק את חוק הטרנספורמציה הגלילאני המוכר לכולנו מחווית היום-יום, \(x'=x-vt\) ו- \(t'=t\). ואולם היכן שלא ניתן עוד להזניח את היחס \(v/c\) מקבלים חוקי טרנספורמציה שונים לחלוטין. ובפרט, הזמן מתקתק אחרת בשתי המערכות.

המיפוי הנ"ל מכונה בטרמינולוגיה של הפיזיקאים "בוסט" (boost) בכיוון \(\widehat{\boldsymbol{x}}\); אנו "דוחפים" (ואולי נכון יותר לומר "דוחקים") את נקודת המבט ה-\(S\)-ית לעבר \(S'\) ומקבלים את התיוג ב-\(S'\) במונחים של התיוג ב-\(S\). כמובן שניתן גם לפתח נוסחאות טרנספורמציה כלליות לבוסט בכיוון כללי כלשהו אבל לא זו מטרתנו כאן; אנו נסתפק בתאור התנועה לאורך קו ישר היות ודי בזה להדגים את התכונות הבסיסיות (והמיוחדות) של התורה.

בחינה של נוסחאות הטרנספורמציה שקיבלנו מראה מיד: המיפוי הוא בעל משמעות כל עוד \(v<c\), ולמעשה מתבדר בגבול בו \(v\to c\). ברי שלא קיימת מערכת התמד הנעה במהירות האור ביחס למערכת התמד אחרת שהרי במקרה זה אי אפשר היה לטעון שהאור במערכת זו נע במהירות האור. מכאן אנו למדים שלאור עצמו אין (וגם לא יכולה להיות) מערכת מנוחה. לכן גם אין כל משמעות לשאלה מהי המהירות היחסית בין שני פוטונים הנעים בכיוונים מנוגדים. זה לא שאין לשאלה הזו תשובה; האמת הפשוטה היא שבמסגרת התורה שניסחנו אין השאלה הזו כלל בחזקת שאלה...

ערבוב תיוגי הזמן והמקום מצביע על כך ששני אלו בתוספת שני הכיוונים הניצבים פורשים מרחב וקטורי ארבע-מימדי, אותו מקובל לציין באות \(M\). מרחב ארבע-מימדי זה ממדל את האיחוד של המרחב והזמן לכדי ישות מונוליטית אחת, הלא היא המרחב-זמן (spacetime). המעבר ממערכת התמד אחת לאחרת מערבב בין קואורדינטות הזמן והמקום והיות וכל מערכות ההתמד שקולות זו לזו לא נשארת בידנו ברירה אלא לקבל את ההאחדה הזו כהכרח של עקביות.

משוואות שימור מהירות האור במעבר ממערכת התמד אחת לרעותה משרה על המרחב-זמן מבנה מטרי \(\eta\) וטרנספורמציות המעבר בין מערכות ההתמד הורכבו כך שתשמרנה אותו. למרחב המטרי \(\left(M,\eta\right)\) שהתקבל אנו קוראים מרחב מינקבסקי על שם הרמן מינקובסקי. לכל צופה (או לכל מאורע) במערכת התמד נתונה משוייך וקטור-קאורדינטות \(X=(ct,x,y,z)\) והבוסטים הם "סיבובים" משמרי אורך ביחס למטריקה
\begin{aligned}\eta=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)\end{aligned}
כפי שנראה מיד.

כל נקודה במרחב מינקובסקי מכונה "מאורע" ואנו מתייחסים אליו (לפחות במסגרת תורת היחסות הפרטית) כאל ממשות עליה מסכימים כל הצופים בכל מערכות ההתמד. תיוג המאורע מגדיר מערכת יחוס והמעבר מתיוג לתיוג מתבצע באמצעות הבוסטים. לכן צופים שונים הנמצאים במערכות התמד שונות צפויים לתייג מאורעות ספציפיים באופן שונה זה מזה, אבל הם חייבים להסכים על ממשות המאורע ועל תאור יחיד ומדוייק בכל מערכת ומערכת.

הבה נסגל לעצמנו רישומים קומפקטיים יותר המתאימים יותר לנקודת המבט החדשה שלנו על המציאות. ראשית, מטבע הדברים נוח לרשום \(x^{0}:=ct\) וכדי לשמור על אחידות ברישום, \(x^{1}:=x,\;x^{2}:=y,\;x^{3}:=z\). לכן וקטור הקואורדינטות \(X=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\) במערכת \(S\) עובר תחת הבוסט לוקטור הקואורדינטות \(X'=(x^{0'},x^{1'},x^{2'},x^{3'})\); בשפה מקוצרת (שפת האלגברה הלינארית) \(X'=LX\) והיות והטרנספורמציה הפיכה, \(X=L^{-1}X'\), \(L\)  בשביל לורנץ...

הערת ביניים: שלושת הדחיפות (בוסטים) במרחב מינקובסקי (המערבבות זמן ומרחב) בתוספת שלושת הסיבובים במרחב התלת מימדי (המערבבים מרחב ומרחב) מרכיבים חבורת טרנספורמציות המכונה חבורת לורנץ. מדוע הם מרכיבים דווקא חבורה ואיזה סוג של חבורה, זאת בפעם אחרת ברשימה שכל כולה תוקדש לאלגברות לי והיא תתקשר דווקא לאופרטורי היצירה וההשמדה של המכניקה הקוונטית... אבל בשם "טרנספורמציית לורנץ" מקובל להשתמש משום מה רק כשמדובר בדחיפות. למעשה, חבורת לורנץ היא חבורת האיזומטריות של המטריקה \(\eta\) במרחב מינקובסקי. אם נוסיף לדחיפות ולסיבובים גם את ארבעת ההזזות המתאימות לשלושת הצירים המרחביים ולציר הזמן נקבל את חבורת פואנקרה על עשרת יוצריה. במונחים גלובליים, ומבלי להיכנס לפרטים,
  • ההנחה בדבר האיזוטרופיות של המרחב מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת שלושת הסיבובים במרחב; במקרה זה משפט נטר מנפק את חוק שימור התנע הזוויתי.
  • ההנחה בדבר שקילותן של כל מערכות ההתמד מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת דחיפות; דרישה זו מובילה לתורת היחסות הפרטית.
  • ההנחה בדבר ההומוגניות של המרחב והזמן מחייבת אותנו לנסח תורה הנשמרת תחת ארבעת ההזזות; במקרה זה משפט נטר מנפק שימור תנע-אנרגיה.
וכך יוצא שחבורת פואנקרה היא חבורת סמטריות המרחב-זמן הבסיסית אותה חייבת לקיים כל תורה פיזיקלית, לפחות באופן גלובלי.

חזרה לענייננו: ראשית נציג את המהירות המנורמלת \(\beta=v/c\). שימו לב, אמנם \(\beta\) היא גודל חסר יחידות אבל לא צריך להיבהל; במרחב-זמן גם \(\mathrm{d}x^{1}/\mathrm{d}x^{0}\) מבטא מהירות חסרת יחידות. באותה נשימה נציג גם את גורם לורנץ \(\gamma=(1-\beta^{2})^{-1/2}\); הקירוב הגלילאני התואם את החוויה היומיומית יאופיין מעתה בלקיחת הגבולות \(\beta\to0\) ו- \(\gamma\to1\). במונחי שני הפרמטרים הללו מקבלת טרנספורמציית לורנץ במרחב מינקובסקי את המבנה הקומפקטי והסימטרי

\begin{aligned}x^{0'}&=\gamma\left(x^{0}-\beta{x}^{1}\right)\\x^{1'}&=\gamma\left(x^{1}-\beta{x}^{0}\right).\end{aligned}

אם \(\bar{X}=\left(x^{0},x^{1}\right)\) מציין את וקטור הקואורדינטות הדו-מימדי בתת המרחב הרלוונטי, אזי נוכל לרשום את משוואות הטרנספורמציה הנאות הללו בכתיב המטריצי \(\bar{X}'=L\left(\beta\right)\bar{X}\) וכן  \(\bar{X}=L^{-1}\left(\beta\right)\bar{X}'\) עם המטריצות

\begin{aligned}L\left(\beta\right)&=\begin{pmatrix}\gamma&-\gamma\beta\\-\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix},\qquad{L}^{-1}\left(\beta\right)=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta\\\gamma\beta&\gamma\end{pmatrix}.\end{aligned}

ובפרט, \(L^{-1}(\beta)=L(-\beta)\). קל להיווכך שהדטרמיננט של המטריצות הללו הוא פשוט אחד,
\begin{aligned}\text{det}\,L=\text{det}\,L^{-1}=\gamma^{2}-\gamma^{2}\beta^{2}=\gamma^{2}\left(1-\beta^{2}\right)=1\,;\end{aligned}
מחד גיסא, דטרמיננט השווה לאחד קשור תמיד בטרנספורמציות אורתוגונליות. מאידך גיסא, קל מאוד להיווכך (היווכחו) ש- \(L^{T}\neq{L}^{-1}\). מדוע אם כן אין הבוסטים מיוצגים באמצעות מטריצות אורתוגונליות? ובכן, אם סיבובים מוגדרים כטרנספורמציות משמרות אורך, ואם האורך במרחב מינקובסקי מוגדר דרך המטריקה \(\eta\)  - כלומר באמצעות התבנית הבי-לינארית  \(X^{2}=X^{T}\eta{X}\) - אזי

\begin{aligned}(X')^{2}&=(X')^{T}\eta\,{X'}=(LX)^{T}\eta(LX)=(X^{T}L^{T})\eta\,({L}X)\\&=X^{T}\left(L^{T}\eta\,{L}\right)X=X^{T}\eta\,{X}=X^{2}\end{aligned}

שהרי טרנספורמציות לורנץ הן האיזומטריות של המרחב המטרי \(\left(M,\eta\right)\) כלומר אלו הן אותן טרנספורמציות אשר מעצם הבנייתן מקיימות \(L^{T}\eta{L}=\eta\).

ולסיום, הבה נציג פרמטר חדש \(\psi\) המכונה בלע"ז rapidity (ובעברית מאונגלזת רפידיטי) באופן הבא:
\begin{aligned}\left.\begin{array}{r}\gamma=:\cosh\psi\\\gamma\beta=:\sinh\psi\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\beta=\tanh\psi\end{aligned}

או \(\psi=\tanh^{-1}\beta\). הפרמטריזציה באמצעות הרפידיטי מביאה את הבוסטים (או הדחיפות או הדחיקות...) להיראות כמעט כמו מטריצות סיבוב...

\begin{aligned}\begin{pmatrix}x^{0'}\\x^{1'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cosh\psi&-\sinh\psi\\-\sinh\psi&\cosh\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{pmatrix}\end{aligned}

למעשה אפשר לפרשן את המטריצות הללו כסיבובים "אמיתיים" במרחב אאוקלידי עם זווית הסיבוב המדומה \(\vartheta=i\psi\)... מוגש כתרגיל בית.


תרגילים:
  1. בצעו את "הסיבוב של וויק" (Wick rotation): עיברו מתאור המרחב-זמן באמצעות המרחב המטרי \((M,\eta)\) לתיאור המרחב-זמן באמצעות המרחב המטרי \((E,\delta)\) (היינו באמצעות מרחב אאוקלידי ארבע מימדי היכן שהמטריקה היא הדלתא של קרוניקר) זאת באמצעות הגדרה מחודשת של הקואורדינטת הזמנית כ- \(x^{0}=ict\). תקנו את משוואות הטרנספורמציה בהתאם (כמעט טריוויאלי) והראו עתה שהבוסטים במרחב מטרי זה (התמקדו בתת-המרחב הרלוונטי) אכן מתארים סיבובים אמיתיים בזווית המדומה \(\vartheta=i\psi\), כש-\(\psi\) היא הרפידיטי. 
  2. עשו שימוש בפרמטר הרפידיטי והראו שטרנספורמציות לורנץ הן טרנזיטיביות היינו, \(L(\beta_{1}+\beta_{2})=L(\beta_{1})L(\beta_{2})\) וכן ש- \(L(-\beta)=L^{-1}(\beta)\).
  3. הבה נרחיב את הדיון לצורך טיפול אנליטי בטרנספורמציות עוקבות: נתבונן בשתי טרנספורמציות לורנץ: האחת ממערכת ההתמד \(S\) למערכת ההתמד \(S'\), השנייה ממערכת ההתמד \(S'\) למערכת ההתמד \(S''\). נרשום אותן כך: \begin{aligned}L_{1}:S\;\stackrel{\beta_{1}}{\longrightarrow}\;S',\quad L_{2}:S'\;\stackrel{\beta_{2}}{\longrightarrow}\;S''\end{aligned} הראו שההצגה המטריצית של שתי טרנספורמציות עוקבות, כלומר של ההרכבה \begin{aligned}L_{2}\circ{L}_{1}: S\;\stackrel{\beta_{12}}{\longrightarrow}\;S''\end{aligned} ניתנת ע"י \begin{aligned}L_{2}\circ{L}_{1}=\begin{pmatrix}\gamma_{12}&-\gamma_{12}\beta_{12}\\-\gamma_{12}\beta_{12}&\gamma_{12}\end{pmatrix}\end{aligned} באשר \begin{aligned}\gamma_{12}:=\gamma_{1}\gamma_{2}\left(1+\beta_{1}\beta_{2}\right), \quad\;\beta_{12}:=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}}\end{aligned} שימו לב שהביטוי עבור \(\beta_{12}\) מנפק מתכון לחיבור מהירויות קוויות במרחב-זמן. זאת ועוד: אם \(\beta_{1}=\beta_{2}=1\) אז גם \(\beta_{12}=1\). דרך אגב, חשבון פשוט מראה ש- \begin{aligned}\gamma_{12}^{2}=\frac{1}{1+\beta_{12}^{2}}\end{aligned} אבל זה בוודאי לא מפתיע אף אחד :)
  4. השתמשו בנוסחא לסכום "זוויות" של טנגנס היפרבולי והראו שבמונחים של רפידיטי, נוסחת חיבור המהירויות המנורמלות מיתרגמת פשוט ל-\begin{aligned}\psi_{12}=\psi_{1}+\psi_{2}\,;\end{aligned} עתה הכלילו זאת למקרה של \(n\) טרנספורמציות לורנץ עוקבות: \begin{aligned}\psi_{1n}=\psi_{n}+\psi_{n-1}+\cdots+\psi_{1}\,.\end{aligned} מסקנה: בעולם היחסותי (כלומר בעולם האמיתי...) אלו הם ה-rapidities שמתחברים אדטיבית, לא המהירויות עצמן. עבור מהירויות יחסיות נמוכות הפקטור \(\beta_{1}\beta_{2}\) בביטוי עבור \(\beta_{12}\) קטן בהרבה מ-\(\beta_{1}\) או \(\beta_{2}\) ואנו חוזרים לגבול הגלילאני \(\beta_{12}\approx\beta_{1}+\beta_{2}\).
  5. לכסנו את הבוסט בתת-המרחב הרלוונטי והראו שהערכים העצמיים ניתנים ע"י \(\lambda_{1,2}=\gamma\pm\gamma\beta\), ובמונחי רפידיטי \(\lambda_{1,2}=e^{\pm\psi}\). הראו גם שהוקטורים העצמיים המתאימים ניתנים ע"י \(\xi^{0}=x^{1}+x^{0}\) ו- \(\xi^{1}=x^{1}-x^{0}\). קורדינטות אלו מכונות קורדינטות קונוס האור (מה הסיבה?), ומעצם הגדרתן הבוסט אינו מערבב ביניהם, שהרי \begin{aligned}\xi^{0}&\mapsto\xi^{0'}=e^{-\psi}\xi^{0}\\\xi^{1}&\mapsto\xi^{1'}=e^{+\psi}\xi^{1}\end{aligned} לכן בקואורדינטות אלו (כלומר במערכת המלוכסנת) לבוסט יש אפקט של מתיחה או כיווץ (של מה בעצם?... רמז: המשיכו לקרוא). המכפלה \(\xi^{0}\xi^{1}\) היא אינווריאנט של הטרנספורמציה, אבל זה היה מובן מאליו מלכתחילה (למה?). עיברו חזרה למשתנה המהירות המנורמלת וקבלו בחינם את הנוסחאות לאפקט דופלר היחסותי המתקבל כתוצאה מהמהירות היחסית בין הפולט לקולט, \begin{aligned}\xi^{0'}&=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\;\xi^{0}\\\xi^{1'}&=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\;\xi^{1}\end{aligned} מי מהביטויים הללו מייצגת את ההסחה לאדום ומי את ההסחה לכחול?




יום שני, 2 בספטמבר 2013

הואקום האלקטרומגנטי

ברשימות עתידיות אדון בהגדרה ראוייה ומקובלת של מושג מהירות האור במערכות מאיצות, היינו במערכות לא אינרציאליות או מערכות בנוכחות שדה כבידה. מסתבר שמהירות האור כלל וכלל אינה קבועה כשהמביט בה נמצא במצב של תאוצה (או לחליפין - בשדה כבידה) והיא תלויה בתאוצתו של המודד (הייתם מאמינים?!). כמובן שאין זה סותר את שלוש האקסיומות של היחסות הפרטית, היות וזו מטפלת בואקום כפי שהוא נצפה ממערכת התמד. אבל אי אפשר לדבר גבוהה-גבוהה על מהירות האור כפי שהיא ניצפת בעיני צופים מיוחדים מבלי לומר כמה מילים על מהות האור. ברשימה מקדימה זו אגזור את מהירות האור במערכת התמד מתוך משוואות מקסוול וקשרי המבנה של הואקום, ואבנה מסגרת בסיסית ביותר לתיאור גלים אלקטרומגנטיים.  


כזכור, הזוג הראשון של משוואות מקסוול מתאר את הדינאמיקה של שדות הערור כתלות במקורות השדה, היינו בצפיפות המטען החשמלי ובצפיפות הזרם החשמלי, הזוג השני של משוואות מקסוול מספק אילוצים המתחייבים מהיעדר מטענים מגנטיים כמקבילה למטענים החשמליים, ואילו הקשר בין משתני הזוג הראשון (שדות העירור \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) ו-\(\boldsymbol{\mathcal{D}}\)) למשתני הזוג השני (האינדוקציה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) והשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\)) ניתן באמצעות קשרי המבנה. ומה קורה בואקום, במצב של היעדר מקורות? ובכן, במקרה זה מתקבלות ארבע משוואות הומוגניות, ולמרבה הפלא יש למשוואות אלו פתרונות לא טריוויאלים. מדוע למרבה הפלא? היות ומשמעות הדבר היא שאין צורך בנוכחות מקורות כדי לקבל שדות אלקטרומגנטיים במקום מסויים במרחב.

ובכן, ארבע משוואות מקסוול בריק הן

\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}&=0&&1-\text{st}\\\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&=\boldsymbol{0}&&2-\text{nd}\\\nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0&&3-\text{rd}\\\nabla\times\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}&=\boldsymbol{0}&&4-\text{th}\end{aligned}

ועליהן יש להוסיף את שני קשרי המבנה של הואקום במערכות התמד, \(\boldsymbol{\mathcal{H}}=\boldsymbol{B}/\mu_{0}\), ו- \(\boldsymbol{\mathcal{D}}=\epsilon_{0}\boldsymbol{E}\); כאן \(\mu_{0}\) ו- \(\epsilon_{0}\) הם, בהתאמה, הפרמיבליות והפרמיטביות של הואקום. וזאת חשוב להדגיש: במסגרת תורת היחסות הפרטית שני קבועים אלו מרכיבים את תעודת הזהות האלקטרומגנטית של הואקום, והם מקבלים את אותו ערך נומרי בכל מערכות ההתמד, ראו הדיון בעיקרון השלישי ברשימה "שלושת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית".

הבה נמצא את הפתרונות הלא-טריוויאלים של הפן האלקטרומגנטי של הואקום: ניקח את הרוטור של המשוואה השנייה, נציג את קשרי המבנה של הואקום כדי לרשום אותה במונחים של האינדוקציה המגנטית והשדה החשמלי (במקום במונחים של שדות העירור), ניעזר בקומוטטיביות של הנגזרות החלקיות ונקבל אגב שימוש במשוואה הרביעית:
\begin{aligned}\nabla\times\left(\nabla\times\boldsymbol{B}\right)&=\nabla\left(\nabla\cdot\boldsymbol{B}\right)-\nabla^{2}\boldsymbol{B}\,=\,\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\nabla\times\boldsymbol{E}\right)\\&=-\left(\epsilon_{0}\mu_{0}\right)\frac{\partial^{2}\boldsymbol{B}}{\partial{t}^{2}}\end{aligned}
אתם מוזמנים לעבור על החשבון ולאמתו (ראו בהקשר זה גם השאלה הראשונה בתחתית הרשימה). היות והדיברגנס של \(\boldsymbol{B}\) מתאפס זהותית (ולא רק בואקום) נשארנו בסופו של דבר עם משוואת הגלים ההומוגנית למשתנה הוקטורי \(\boldsymbol{B}\):
\begin{aligned}
\nabla^{2}\boldsymbol{B}\,=\,\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{B}}{\partial{t}^{2}}
\end{aligned}
באשר לקבוע \(c^{2}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}\) יש מימדים של מהירות בריבוע. הבה נראה: מחוק קולון ל-\(1/\epsilon_{0}\) יש מימדים של כוח כפול אורך בריבוע חלקי מטען בריבוע. מנוסחת הכוח המגנטי ליחידת אורך בין שני תיילים ל- \(\mu_{0}\) יש מימדים של כוח חלקי זרם בריבוע, וזרם הוא מטען ליחידת זמן. לכן

\begin{aligned}\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}&=\frac{[F]\times[L]^{2}}{[Q]^{2}}\times\frac{[Q]^{2}}{[F]\times[T]^{2}}=\left[\frac{L}{T}\right]^{2}\end{aligned}

במערכת היחידות הסטנדרטית SI מקבלים קבועי המבנה של הואקום (שהם כאמור קבועים אוניברסליים המשותפים לכל מערכות ההתמד) את הערכים המספריים \(\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\) וכן \(1/\epsilon_{0}=4\pi\times{K}\approx4\pi\times9\times10^{9}\), ומכאן,

\begin{aligned}c^{2}\,=\,\frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\,\approx\,\frac{4\pi\times9\times10^{9}}{4\pi\times10^{-7}}\,=\,9\times10^{16}\scriptsize{{\text{m}^{2}}/{\text{s}^{2}}}\end{aligned}

או \(c\approx3\times10^{8}\) מטר לשנייה. מאחר ו- \(\mu_{0}\) ו-\(\epsilon_{0}\) הם קבועים אוניברסליים הנשמרים תחת מעבר בין מערכות התמד, כך גם הקבוע \(c=1/\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}\). לכן השקילות המוחלטת של כל מערכות ההתמד כמוה כאינווריאנטיות של הקבוע \(c\) תחת מעברים בין מערכות התמד. מי היא חבורת הטרנספורמציות המשמרת את \(c\) תחת מעבר בין מערכות התמד? התשובה היא חבורת לורנץ כמובן; חבורת גליליי אמנם רחבה מספיק לשמר את משוואות מקסוול במעבר ממערכת התמד אחת לרעותה, אבל אין היא משמרת את קשרי המבנה של הואקום, וממילא לא את הקבוע \(c\) שיחידותיו הן אלו של מהירות.

באופן דומה (הראו זאת) נקבל משוואת גלים גם עבור השדה החשמלי,
\begin{aligned}
\nabla^{2}\boldsymbol{E}\,=\,\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{E}}{\partial{t}^{2}}
\end{aligned}
בדיוק עם אותו \(c\). משוואות הגלים הללו מנפקות פתרונות המתארים הפרעות מחזוריות בעוצמות השדה המתקדמות במהירות \(c\), אותה אנו *מזהים* כמהירות האור בריק. אבל שימו לב - בניגוד לכל מקרה אחר הקשור בהתקדמות מחזורית של הפרעות, כאן אין כל תווך להתקדם בו! הוואקום הוא אל-תווך ובניגוד לכל סוגי הגל האחרים המוכרים, האור מתקדם באין-תווך. באיזשהו מקום, אם נחפוץ לזהות את הואקום הקלאסי עם מרחב-זמן יחסותי ריק, הרי שהגלים הללו הם התגלמות הפן האלקטרומגנטי של אותו מרחב-זמן. 

נתבונן עתה במשוואת הגלים ההומוגנית עבור האינדוקציה המגנטית \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)\): קל להיווכח שכל גל מישורי המאופיין באמצעות הפרמטר הוקטורי \(\boldsymbol{k}\) והפרמטר הסקלרי \(\omega_{\boldsymbol{k}}\),
\begin{aligned}\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{r},t\right)\,=\,\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\end{aligned}
הוא פתרון של המשוואה הנ"ל, בכפוף לקשר הלינארי \(\omega_{\boldsymbol{k}}=c\left|\boldsymbol{k}\right|\), וכאן \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) הוא וקטור משרעת קבוע אותו ניתן לקבוע עד כדי הפרמטר הקבוע \(\boldsymbol{k}\). הבדיקה מאוד קלה מאחר והלפלסיאן הוא אופרטור ליניארי. הבה ניווכח בזאת מפורשות: מחד גיסא נקבל \(\nabla^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\,=\,-\boldsymbol{k}^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\) ומאידך גיסא,
\begin{aligned}\frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}}\left\{e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\right\}\,=\,-\omega_{\boldsymbol{k}}^{2}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\end{aligned}
ומכאן הטענה. 

מובן מאליו, אותם ארגומנטים עצמם תקפים גם עבור משוואת הגלים ההומוגנית במשתנה הוקטורי \(\boldsymbol{E}\) כך ש-
\begin{aligned}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}\left(\boldsymbol{r},t\right)\,=\,\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}e^{\pm{i}\left(\boldsymbol{k}'\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}'}{t}\right)}\end{aligned}
באשר \(\omega_{\boldsymbol{k}'}=c\left|\boldsymbol{k}'\right|\). מדוע השתמשנו עתה בסימון \(\boldsymbol{k}'\) עבור הפרמטריזציה של הגל המישורי במקום ב- \(\boldsymbol{k}\)? היות ולכאורה שתי משוואות הגלים עבור השדות \(\boldsymbol{B}\) ו-\(\boldsymbol{E}\) בלתי תלויות זו בזו, ולכן הפרמטריזציות של שני הפתרונות בלתי תלויות זו בזו. אבל רק לכאורה, כפי שנראה בהמשך.

ובכן, לכל מקום ספציפי \(\boldsymbol{r}^{\star}\) הפתרון מתנדנד בזמן \(t\), ולכל זמן ספציפי  \(t^{\star}\) הפתרון מחזורי במקום \(\boldsymbol{r}\). בפרט, כאשר הוקטורים \(\boldsymbol{k}\) ו-\(\boldsymbol{r}\) מקבילים זה לזה, הארגומנט שבאקספוננט מקבל את הצורה \(\left|\boldsymbol{k}\right|\left(r-ct\right)\) והוא מתאר התקדמות של חזית גל (פאזה בלע"ז) לאורך הרדיאל \(r\) במהירות \(c\). אגב, התלות של המהירות הזוויתית \(\omega_{\boldsymbol{k}}\) בוקטור הגל \(\boldsymbol{k}\) מכונה יחס הנפיצה מסיבות שאינן רלוונטיות לענייננו. אינטרוול הזמן \(T\) הנדרש להשלמת מחזור שלם מקיים את הקשר \(\omega_{\boldsymbol{k}}{T}=2\pi\); אורך הגל \(\lambda\) (כלומר אורך הגל במרחב המקום) מקיים את הקשר \(\lambda=cT\) ומשתי משוואות אלו מיד נובע שוקטור הגל ניתן לתיאור באמצעות אורך הגל, היינו \(\left|\boldsymbol{k}\right|=2\pi/\lambda\). היות ומשוואות מקסוול בואקום אינן מציבות כל מגבלה על וקטור הגל, כל אורכי הגל קבילים וכמובן גם כל התדירויות \(f=1/T=c/\lambda\).

עתה נציב את פתרונות הגל המישוריים שקיבלנו חזרה בארבעת משוואות מקסוול, ומה נקבל? ארבע משוואות אלגבריות, שתיים סקלריות ושתיים וקטוריות:

\begin{aligned}\boldsymbol{k}'\cdot\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&=0&&1-\text{st}\\c^{2}\left(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right)&=-\omega_{\boldsymbol{k}'}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&&2-\text{nd}\\\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}&=0&&3-\text{rd}\\\boldsymbol{k}'\times\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}&=\omega_{\boldsymbol{k}}\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}&&4-\text{th}\end{aligned}

מהמשוואות (1) ו-(3) למעלה נובע ש- \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}'}\) ו- \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) ניצבים לוקטורי הגל \(\boldsymbol{k}'\) ו-\(\boldsymbol{k}\) בהתאמה; מכאן גם נובע ששלשת המרכיבים של כל אחד מהשדות הוקטוריים הללו תלויים לינארית.  ממשוואות (2) ו-(4) למעלה נובע ש- \(\boldsymbol{k}'\equiv\boldsymbol{k}\) (תרגיל בית) ומהוודע זאת מייד אנו למדים שהשדות  \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\) ו- \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) ניצבים זה לזה בכל מקום ובכל זמן. לכן \(\left\{\boldsymbol{k},\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}},\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right\}\) מהווה שלשה אורתוגונלית. זאת ועוד, אם נעלה בריבוע את המשוואה השנייה או הרביעית (ראו השאלות מטה), ובהתבסס על יחס האורתוגונליות בין החברים בשלשה, נקבל את הקשר המעניין
\begin{aligned}\left|\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right|=c\left|\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right|\,;\end{aligned}

וכך ניראת מערכת הפתרונות שמצאנו בסימולציה אותה העלה ליוטיוב Daniel Mentrard:


היות ואין כל מגבלה על \(\boldsymbol{k}\), ומכיוון שמשוואת הגלים ההומגנית עצמה היא משוואה לינארית, הרי שאינטגרציה (תלת-מימדית) על הפרמטר הוקטורי \(\boldsymbol{k}\) עם האמפליטודות \(\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\) או \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\) גם היא פיתרון של משוואת הגלים ההומוגנית. יתרה מזאת, היות והדיוורגנס של שני השדות מתאפס, ישנן רק שתי קומפוננטות בלתי תלויות לכל שדה. לכן המבנה הכללי ביותר של האינדוקציה המגנטית והשדה החשמלי בואקום ינתן ע"י,
\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)&=\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\&=\sum_{\alpha=1}^{2}\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}B_{\alpha}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r},t\right)&=\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega{t}_{\boldsymbol{k}}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\\&=\sum_{\alpha=1}^{2}\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}E_{\alpha}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{i\left(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega_{\boldsymbol{k}}{t}\right)}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\end{aligned}
שני האופנים כמובן שקולים זה לזה, וקטורי היחידה שהצגנו בגרסא השנייה לכל שדה, היינו \(\boldsymbol{\epsilon}_{\alpha}\), מכונים וקטורי הקיטוב ונוח לאפיין באמצעותם את מישורי התנודה של השדות. אם האמפליטודות מרוכזות סביב ערך מסויים של וקטור הגל, נאמר \(\boldsymbol{k}^{\star}\), נקבל מה שמקובל לכנות חבילת גלים. ובפרט, אם הריכוז סביב ערך זה מתואר באמצעות פונקציית דלתא, נקבל חזרה את הגלים המישוריים עימם התחלנו.

ולבסוף, חבילות הגלים מלמעלה הן לא יותר מפיתוח פוריה לפונקציות הגל. זיכרו שהפרמטר \(\omega\) תלוי ב-\(\left|\boldsymbol{k}\right|\) ולכן הטרנספורם ההפוך המנפק את את פונקציות הגל במרחב וקטור-הגל ינתן ע"י
\begin{aligned}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r},t\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\\\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r},t\right)e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\end{aligned}



תרגילים:

  1. השתמשו באפסילון לוי-צ'יוויטה ובדלתא של קרוניקר כדי להוכיח את הזהות הוקטורית \(\nabla\times\left(\nabla\times{V}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot{V}\right)-\nabla^{2}V\), היכן ש-\(V\) מייצג שדה וקטורי חלק.
  2. הראו שהואקום האלקטרומגנטי אינווריאנטי תחת טרנספורמציית הדואליות\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{D}}\leftrightarrow\boldsymbol{B},\quad\boldsymbol{\mathcal{H}}\leftrightarrow-\boldsymbol{E},\quad\epsilon_{0}\leftrightarrow-\mu_{0}\end{aligned} בהתאם לכך אנו אומרים (ויש לכך סיבות עמוקות, ראו הרשימה השנייה על משוואות מקסוול) ששדה העירור החשמלי דואלי לאינדוקציה המגנטית, וששדה העירור המגנטי דואלי למינוס השדה החשמלי; החלפת הקבועים במשוואה הימנית היא לא יותר מהגדרה מחודשת של יחידות.
  3. סעיף א: השתמשו בגירסא האלגברית של משוואות מקסוול "במרחב \(\boldsymbol{k}\)" כדי להוכיח שהגל המגנטי והגל החשמלי חולקים את אותה הפרמטריזציה, כלומר הראו שבהכרח \(\boldsymbol{k}'\equiv\boldsymbol{k}\). סעיף ב: השתמשו בזהות הוקטורית המוכרת  \(\left(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\right)^{2}=\boldsymbol{a}^{2}\boldsymbol{b}^{2}-\left(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right)^{2}\) והראו ש- \begin{aligned}\left|\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right|=c\left|\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{k}}\right|\,\end{aligned} סעיף ג: הראו ששדה חשמלי \(\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) המתואר באמצעות גל מישורי המאופיין באמצעות וקטור הגל \(\boldsymbol{k}\) והמהירות הזוויתית \(\omega_{\boldsymbol{k}}\) מקיים את המשוואה \begin{aligned}\boldsymbol{k}\times\left(\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\right)=-\left(\omega_{\boldsymbol{k}}/c\right)^{2}\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{k}}\end{aligned}
  4. תהיה \(\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{r},t\right)\) פונקציה וקטורית חלקה כלשהי (האינדוקציה המגנטית או השדה החשמלי, למשל), ויהיה \(\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{k}\right)\) טרנספורם פוריה שלה. הוכיחו את שוויון פרסוול האומר ש-\begin{aligned}\left(2\pi\right)^{3}\int_{\boldsymbol{k}-\text{space}}\left|\boldsymbol{g}\right|^{2}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\;=\;\int_{\boldsymbol{r}-\text{space}}\left|\boldsymbol{G}\right|^{2}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\end{aligned}

פתרון תרגיל 4:

ברשותכם, לצורך נוחות הקריאה, אמנע מציון תחומי האינטגרציה (שהוא למעשה כל המרחב במשתנה הוקטורי המתאים); ועוד דבר אחד קטן בענייני נוטציה: קו מלמעלה יציין צימוד קומפלקסי.
\begin{aligned}\left(2\pi\right)^{3}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,g\left(\boldsymbol{k}\right)\,\overline{g\left(\boldsymbol{k}\right)}&=\left(2\pi\right)^{3}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,\left[g\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}\right]\left[\overline{g\left(\boldsymbol{k}\right)e^{-i\omega_{\boldsymbol{k}}{t}}}\right]\\&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\\&=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}\underbrace{\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{k}\,e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}}_{\left(2\pi\right)^{3}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)}\\&=\int\!\!\!\!\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}'\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r}',t\right)}\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'\right)\\&=\int\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,G\left(\boldsymbol{r},t\right)\,\overline{G\left(\boldsymbol{r},t\right)}\,.\end{aligned}
מסקנה: הטרנספורם הוא סוג של איזומטריה, כלומר טרנספורמציה משמרת "אורך" (באיזה מובן?...).