יום רביעי, 5 בדצמבר 2012

אוסצילטור הרמוני - הקדמה ורקע כללי


בסדרת רשימות קצרה ויעודית אנסה לפתוח צוהר אל היופי המתמטי שבטיפול באוסצילטור ההרמוני החד-מימדי באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה והצגת המצבים הקוהרנטיים. הרשימות מיועדות למי שכבר ראה מכניקה קוונטית בפעולה פעם בחייו. רוב החומר אמנם סטנדרטי ומופיע במקומות רבים ובווריאציות שונות; עם זאת, הבחירה כאן תהיה תמציתית וממוקדת והיא מבטאת טעם אישי ומחשבה קדימה. הרשימה הנוכחית, הראשונה בסדרה, היא לא יותר מסקירת רקע קצרה ואורתודוקסית; החלקים המרתקים - בהמשך.

המערכת הקלאסית:

מבחינה קלאסית אוסצילטור הרמוני הוא מערכת מכנית אשר הדינאמיקה שלה מתוארת באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית \(\ddot{x}=-\omega^{2}x\); כאן \(\omega\) היא המהירות הזוויתית הקשורה במחזוריות של התנודה, והיא תלוייה בפרמטרים הפיזיקליים של המערכת. כך למשל מטוטלת מתמטית איננה אוסצילטור הרמוני, אלא בקירוב של זוויות קטנות, ואז \(\omega^{2}=g/\ell\). מסה הקשורה בקפיץ היא אוסצילטור הרמוני רק בקירוב בו מתקיים חוק הוק ואז \(\omega^{2}=K/m\), וכולי.

היות ומשוואת התנועה היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, מרחב הפתרונות הוא דו מימדי והוא נפרש ע"י הפונקציות \(x_{1}\left(t\right)=A\cos\left(\omega{t}\right)\) ו- \(x_{2}\left(t\right)=B\sin\left(\omega{t}\right)\) עם קבועי אינטגרציה שרירותיים \(A\), ו-\(B\). הפיתרון הכללי הוא וקטור כלשהו במרחב הזה, קומבינציה לינארית של שני הפתרונות, ואותו נוכל לרשום כ- \(x\left(t\right)=x_{0}\cos\left(\omega{t}\right)+\left(v_{0}/\omega\right)\sin\left(\omega{t}\right)\)  באשר \(x_{0}\) ו- \(v_{0}\) מייצגים תנאי התחלה, למשל מיקום התחלתי ומהירות התחלתית.

האנרגיה המכנית של המערכת (קינטית + פוטנציאלית) היא קבוע של התנועה, והיא ניתנת בביטוי
\begin{aligned}E\,=\,\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2},\end{aligned} 
באשר \(m\) מסת המתנד; לא זו בלבד שהאנרגיה אינה תלויה מפורשות בזמן, היא לא תלוייה בו גם בעקיפין; הוכחה אחת לכך הבאתי בעבר כאן, ראו הסעיף "תנועה הרמונית". האנרגיה המכנית דלעיל היא גם ההמילטוניאן \(\mathscr{H}\left(p,x\right)\) של המערכת. משוואות המילטון המתאימות הן \(\dot{x}=\partial\mathscr{H}/\partial{p}=p/m\) ו- \(\dot{p}=-\partial\mathscr{H}/\partial{x}=-m\omega^{2}x\) והן מתלכדות יחד למשוואה המקורית  \(\ddot{x}=-\omega^{2}x\). עד כאן מכניקה קלאסית סטנדרטית אלמנטרית.

קוונטיזציה קנונית:

בקוונטיזציה קנונית אנו מחליפים את המשתנים \(x\) ו- \(p\) באופרטורים הרמיטיים המקיימים את יחס החילוף \(\left[x,p\right]=i\hbar\). הביטוי באגף ימין הוא מספר דמיוני טהור (אותו מקובל לכנות c-number) ובהצגה שבה שני האופרטורים מתוארים באמצעות מטריצות מספר זה פשוט מכפיל את מטריצת היחידה. מי שמעוניין יוכל לראות ביחס החילוף הנ"ל אנזץ המגדיר את המהות הקוונטית של התנע והמקום, אבל בזאת אין די; יש צורך להחליף את משוואת התנועה במשוואת שריידינגר,
\begin{aligned}i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial{t}}\,=\,\mathscr{H}\Psi\end{aligned}
שאמנם איננה הדירה עם היחסות הפרטית אבל בהחלט מספקת לצרכים פרקטיים. ל-\(\mathscr{H}\) יש בדיוק את אותו המבנה של ההמילטוניאן מלמעלה, אלא שעתה, את הקורדינטות המוכללות של המקום והתנע מחליפים האופרטורים המתאימים; הילכך, ההמילטוניאן עצמו הוא עתה אופרטור הרמיטי. הפונקציה \(\Psi\left(x,t\right)\) המופיעה במשוואה היא "פונקציית מצב" ובה גלומה כל האינפורמציה הפיזיקלית על המערכת כולל ההתפתחות בזמן.

היות וההמילטוניאן איננו תלוי מפורשות בזמן נוכל לבצע הפרדת משתנים. הבה נראה זאת: תחילה נרשום \(\Psi\left(x,t\right)=\chi\left(t\right)\psi\left(x\right)\). במונחים של המכפלה הזו משוואת שריידינגר מצטמצמת לכדי המשוואה האופרטורית \(\left(i\hbar\dot{\chi}\right)\psi=\left(\mathscr{H}\psi\right)\chi\). חלוקה ב-\(\chi(t)\psi(x)\) משאירה אותנו עם אגף שמאל התלוי אך ורק במשתנה \(t\) ועם אגף ימין התלוי אך ורק במשתנה \(x\). מכאן מתחייב ששני האגפים שווים למספר ממשי קבוע \(E\), ומתקבל צמד משוואות מהצורה \(i\hbar\dot{\chi}=E\chi\) ו- \(\mathscr{H}\psi=E\psi\). שימו לב: הממשיות של \(E\) מתחייבת מההרמיטיות של \(\mathscr{H}\).

החלק המרחבי אם כן מקיים משוואת ערכים עצמיים. למשוואה זו אינסוף פתרונות המנפקים מערכת שלימה של פונקציות \(\left\{\psi_{n}\right\}\) באשר \(n\in\mathbb{N}\), ולכל \(\psi_{n}\) מתאים \(E_{n}\) משלו; זוהי שלמות במובן "ההילברטאני" של המילה, דהיינו \(\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{n}^{\ast}\left(x\right)\psi_{m}\left(x\right)\mathrm{d}x=\delta_{nm}\); לשון אחרת, אוסף הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן פורש בסיס אורתונורמלי במרחב המצבים (מסוג מרחב הילברט). ומנגד, החתיכה הזמנית המשוייכת לכל פיתרון כזה ניתנת עתה ע"י \(\chi_{n}\left(t\right)=\exp\left(-iE_{n}t/\hbar\right)\) ולכן כל אחד ואחד מפיתרונות של משוואת שרידינגר מתפתח בזמן לפי
\begin{aligned}\Psi_{n}\left(x,t\right)=e^{\left(-iE_{n}t/\hbar\right)}\psi_{n}\left(x\right)\,.\end{aligned}
פונקציית המצב המתארת את המערכת המכנית בכללותה ניתנת לרישום כצירוף לינארי של אינסוף הפונקציות \(\left\{\Psi_{n}\left(x,t\right)\right\}\) עם מקדמים מתאימים, \(\Psi(x,t)=\sum_{n}a_{n}\Psi_{n}(x,t)\), זאת משום שאוסף הפתרונות של משוואת הערכים העצמיים פורש בסיס שלם במרחב הילברט של המצבים. במקרה זה קל מאוד לקבל ביטוי פורמלי סגור עבור המקדמים: נכפול את שני האגפים בצמוד הקומפלקסי \(\Psi_{m}^{\ast}\left(x,t\right)\), ניקח אינטגרציה ממינוס אינסוף עד אינסוף, ניעזר באורתונורמליות של המערכת \(\left\{\psi_{n}\right\}\) ונקבל: \(a_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi\left(x,t\right)\Psi^{\ast}_{n}(x,t)\,\mathrm{d}x\). עד כאן מכניקה קוונטית סטנדרטית על קצה המזלג.

יחסי החילוף:

את יחס החילוף בין אופרטור המקום לאופרטור התנע נוכל להגשים על-נקלה בהצגת הקואורדינטות (המכונה מטעמים מובנים גם "הצגת המקום") באמצעות ההשמות:
\begin{aligned}x\mapsto{x}\quad\text{and}\quad{p}\mapsto-{i}\hbar\frac{\partial}{\partial{x}}\;;\end{aligned} 
במערכת חד מימדית אפשר להשתמש בנגזרת מלאה אבל אנו נסגל לעצמנו שימוש בנגזרות חלקיות משני טעמים: ראשית, פונקציית הגל תלויה בשני משתנים בלתי תלויים, מקום וזמן. שנית, השימוש בנגזרות חלקיות פותח את הדלת להכללה למימדים נוספים. הבה ניווכח עתה בנכונותה של הבחירה שלנו: תהא \(\psi\) פונקציה שרירותית אך גזירה של המקום. אזי,
\begin{aligned}\left(xp-px\right)\psi&\,=\,-i\hbar\,{x}\frac{\partial\psi}{\partial{x}}+i\hbar\frac{\partial}{\partial{x}}\left(x\psi\right)\\&\,=\,-i\hbar\,{x}\frac{\partial\psi}{\partial{x}}+i\hbar\,\psi+i\hbar\,x\frac{\partial\psi}{\partial{x}}\,=\,i\hbar\,\psi\end{aligned}
ומאחר ו-\(\psi\) שרירותית, \(\left[x,p\right]=i\hbar\). בהצגת התנע שתי הקואורדינטות של מרחב הפאזה מחליפות תפקידים, ואז יחס החילוף כופה עלינו את ההשמות \(p\mapsto{p}\) וכן \(x\mapsto{i}\hbar\,\partial/\partial{p}\) (שימו לב להיעדרו של סימן המינוס עבור אופרטור המקום). הבה נראה: תהא \(\psi\) פונקציה שרירותית אך גזירה של התנע. אזי,
\begin{aligned}\left(xp-px\right)\psi&\,=\,i\hbar\frac{\partial\left(p\psi\right)}{\partial{p}}-i\hbar\,p\frac{\partial\psi}{\partial{p}}\\&\,=\,i\hbar\psi+i\hbar\,{p}\frac{\partial\psi}{\partial{p}}-i\hbar\,p\frac{\partial\psi}{\partial{p}}\,=\,i\hbar\,\psi\end{aligned}
ושוב מקבלים \(\left[x,p\right]=i\hbar\). בהמשך (רשומה הבאה) אציג את התנע ואת המקום באמצעות אופרטורי יצירה והשמדה, ומרגע שאעשה זאת הדרך תיפתח לנפלאות. אבל עוד לפני כן אתמקד בתכונה מאוד מעניינת של יחס החילוף;

פונקציות של אופרטורים:

פונקציה חלקה \(f\) של אופרטור \(\mathcal{O}\), כלומר  \(f\left(\mathcal{O}\right)\), מוגדרת באמצעות הפיתוח לטור חזקות של הפונקציה \(f\left(x\right)\) (אם הוא קיים) סביב נקודה \(x_{0}\) הנמצאת בתוך רדיוס ההתכנסות של \(f\). במכניקה הקוונטית נוח וגם הגיוני לפתח סביב \(x_{0}=0\) במידה והדבר מתאפשר (כלומר במידה והראשית נמצאת בתוך רדיוס ההתכנסות של \(f\)). במקרה זה נקבל
\begin{aligned}f\left(\mathcal{O}\right)\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\mathcal{O}^{n}\quad\,\text{where}\quad\,a_{n}\,=\,\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\end{aligned}
באשר \(f^{\left(n\right)}\left(0\right)\) היא הנגזרת מסדר \(n\) של \(f\) בנקודה \(x_{0}=0\). מכאן שכל המקדמים בפיתוח הם לא יותר ממספרים קומפלקסים (אם \(f\) קומפלקסית). זאת ועוד, מתוך ההגדרה דלעיל ברור ש- \(f'\left(\mathcal{O}\right)=\sum_{n}na_{n}\mathcal{O}^{n-1}\).

היות ודיוננו נסוב סביב מערכת פיזיקאלית, והיות ובמערכת כזו אופרטורים ההרמיטיים מייצגים גדלים מדידים, לא נוכל להשתמש בם כארגומנט לפונקציה לפני שנסלק את היחידות. וכך למשל, אם בפונקציה של אופרטור התנע חפצנו, נגדיר תחילה \(\widehat{p}:=p/p_{0}\), באשר \(p_{0}\) פרמטר בעל יחידות של תנע, ורק אז ראוי לנו לשאול את השאלה המעניינת: בהינתן יחס החילוף \(\left[x,\widehat{p}\right]=i\hbar/{p_{0}}\), מהו יחס החילוף \(\left[x,f\left(\widehat{p}\right)\right]\)? ובכן, הבה נבדוק זאת. נשתמש בעובדה שה- \(a_{n}\)-ים כולם הם מספרים קומפלקסיים השקופים ליחסי חילוף ונקבל:
\begin{aligned}\left[x,f\left(\widehat{p}\right)\right]\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\left[x,\widehat{p}^{n}\right]\end{aligned}
לכן חישוב יחס החילוף דלעיל מצטמצם לכדי חישוב יחס החילוף של אופרטור המקום \(x\) עם חזקה של \(\widehat{p}\). כמובן שהאופרטור \(\widehat{p}\) זהה לעצמו ומתחלף עם עצמו אבל כדי לראות מה בדיוק קורה במהלך החשבון נתייג באופן מלאכותי כל איבר במכפלה ונרשום: \(\widehat{p}^{n}=\widehat{p}_{(1)}\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\); זהו כאמור תיוג מלאכותי לחלוטין ותוכלו להחליף את המיקומים של האיברים במכפלה כאוות נפשכם. הבה ניגש עתה לחשבון:
\begin{aligned}x\widehat{p}^{n}&\,=\,x\,\widehat{p}_{(1)}\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\,=\,\left(\left[x,\widehat{p}_{(1)}\right]+\widehat{p}_{(1)}x\right)\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\,=\,\left(i\hbar/{p_{0}}\right)\,\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\,+\:\widehat{p}_{(1)}\left(\left[x,\widehat{p}_{(2)}\right]+\widehat{p}_{(2)}x\right)\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\,=\,\left(i\hbar/{p_{0}}\right)\,\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\,+\:\left(i\hbar/{p_{0}}\right)\,\widehat{p}_{(1)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\phantom{\,=\,i\hbar\,\widehat{p}_{(2)}\widehat{p}_{(3)}\cdots\widehat{p}_{(n)}}\,+\:\widehat{p}_{(1)}\widehat{p}_{(2)}\left(\left[x,\widehat{p}_{(3)}\right]+\widehat{p}_{(3)}x\right)\cdots\widehat{p}_{(n)}\\&\;\vdots\,\end{aligned}
את התהליך הזה נוכל להמשיך עד המכפיל האחרון (סך הכל \(n\) פעמים) ובסיכומו נקבל את הקשר \(x\widehat{p}^{n}\,=\,n\left({i\hbar}/{p_{0}}\right)\widehat{p}^{n-1}+\widehat{p}^{n}x\), כלומר \(\left[x,\widehat{p}^{n}\right]\,=\,n\left(i\hbar/{p_{0}}\right)\widehat{p}^{n-1}\). נציג זאת עתה ביחס החילוף עימו התחלנו ונקבל לבסוף
\begin{aligned}\left[x,f\left(\widehat{p}\right)\right]&\,=\,\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\left[x,\widehat{p}^{n}\right]\,=\,\left({i\hbar}/{p_{0}}\right)\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}\widehat{p}^{n-1}\\&\,=\,\left({i\hbar}/{p_{0}}\right)f'\left(\widehat{p}\right)\,.\end{aligned}
שימו לב: לכאורה הגזירה באגף ימין מתבצעת לפי המשתנה האופרטורי \(\widehat{p}\) אך בפועל אין פה כל מיסטיקה, זו פשוט הפונקציה \(f'\) של האופרטור \(\widehat{p}\) (אם זה לא ברור, עיברו שוב על הגדרת המושג "פונקציה של אופרטור" מלמעלה). לבסוף, ובהקבלה מלאה למה שעשינו עד כה, \(\left[p,g(\widehat{x})\right]=\left(-i\hbar/x_{0}\right){g}'(\widehat{x})\).

ולסיכום ההקדמה, הזזות:

מדוע פיתוחים אלו עשויים לעניין אותנו? בואו נתבונן ביחס החילוף של אופרטור המקום \(x\) עם האופרטור היוניטרי  \(\exp\left(-i\lambda{p}/\hbar\right)\) היכן ש- \(\lambda\) פרמטר ממשי בעל יחידות של אורך. שימו לב שהארגומנט של האקספוננט חסר יחידות, וכאן \(p_{0}=i\hbar/\lambda\) (ודאו כל זאת!). חשבון מיידי מנפק:
\begin{aligned}&&\left[x\,,e^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}\right]&\,=\,\lambda\,e^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}\\\Longleftrightarrow&&xe^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}-e^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}x&\,=\,\lambda\,e^{-{i\lambda{p}}/{\hbar}}\end{aligned}
הבה נרשום \(T\left(\lambda\right):=e^{-i\lambda{p}/\hbar}\) (הסימול \(T\) מלשון טרנסלציה). קל מאוד לראות ש- \(T^{\dagger}\left(\lambda\right)=T\left(-\lambda\right)\) ובפרט \(T^{\dagger}T={I}\) כך ש- \(T^{\dagger}=T^{-1}\) כמתחייב מהיוניטריות של \(T\). נכפיל עתה משמאל את המשוואה מעלה ב- \(T^{\dagger}\left(\lambda\right)\) ונקבל
\begin{aligned}T^{\dagger}\left(\lambda\right)\,x\,T\left(\lambda\right)\,=\,x+\lambda\end{aligned}
הווה אומר, \(T(\lambda)\) הוא אופרטור הזזה בשיעור \(\lambda\). ועתה, ללא כל חישוב, ובאנלוגיה מלאה לכל מה שנאמר עד כה, \(G^{\dagger}\left(\zeta\right)\,p\,G\left(\zeta\right)=p+\zeta\). ומיהו כאן  \(G\)?


תרגילים:
  1. יהיה \(A\) אופרטור הרמיטי ויהא \(\left|\alpha\right>\) מצב עצמי של \(A\) עם הערך העצמי \(\alpha\) כלומר \(A\left|\alpha\right>=\alpha\left|\alpha\right>\). הראו ש- \begin{aligned}f\left(A\right)\left|\alpha\right>\,=\,f\left(\alpha\right)\left|\alpha\right>\end{aligned}כלומר \(\left|\alpha\right>\) הוא גם מצב עצמי של \(f(A)\) עם הערך העצמי \(f(\alpha)\).



אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה