יום שישי, 2 בנובמבר 2012

אחרון בטרילוגיה הלגרנז'יאנית: על חופש הכיול


דבר גלוי וידוע הוא שהפתרונות הפורמליים של הזוג השני של משוואות מקסוול, כלומר הפתרונות המנפקים את הפוטנציאלים, אינם יחידים ומוגדרים עד כדי מה שמכונה "חופש הכיול". הבה נראה במה מדובר: כזכור, הזוג השני נתון ע"י 
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{B}&\,=\,0\\\nabla\times\boldsymbol{E}&\,=\,-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}}\end{aligned}  ופתרונותיו הפורמליים הם
\begin{aligned}\boldsymbol{E}\,=\,-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\quad\text{וכן}\quad\boldsymbol{B}\,=\,\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\end{aligned}
באשר \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) הוא הפוטנציאל המגנטי (שדה וקטורי) ו-\(\phi\) הוא הפוטנציאל החשמלי (שדה סקלרי). עיניכם הרואות, אם נוסיף לפוטנציאל המגנטי גרדיאנט של פונקציה סקלרית חלקה כלשהי, ובה בעת נחסיר מהפוטנציאל החשמלי את הנגזרת החלקית לפי הזמן של אותה פונקציה סקלרית, נקבל בדיוק את אותן פיתרונות עבור \(\boldsymbol{E}\) ו- \(\boldsymbol{B}\). החופש לבצע את המהלך הזה מכונה חופש הכיול (gauge freedom).

מה יש לנו כאן? ובכן, מהאמור מעלה נובע שהפוטנציאלים \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) ו- \(\phi\) - שהם דרגות החופש הבסיסיות של התורה האלקטרומגנטית - מוגדרים עד כדי הטרנספורמציה הסימולטנית
\begin{aligned}\boldsymbol{\mathcal{A}}&\;\mapsto\;\boldsymbol{\mathcal{A}}+\nabla\chi\\\phi\;&\mapsto\;\phi-\frac{\partial\chi}{\partial{t}}\end{aligned} באשר \(\chi=\chi\left(\boldsymbol{r},t\right)\) מייצגת פונקציה סקלרית חלקה כלשהי של המקום והזמן. הטרנספורמציה הנ"ל מכונה "טרנספורמציית כיול" ואף על פי שהיא מנפקת צמד פוטנציאלים חדש לחלוטין, הרי שהשדה החשמלי \(\boldsymbol{E}\) וההשראה המגנטית \(\boldsymbol{B}\) הנגזרים מהצמד הזה זהים לחלוטין לשדות הנגזרים מהצמד הקודם...

היות ואיננו מוגבלים בבחירת פונקציית הכיול \(\chi\), יוצא שלזוג השני של משוואות מקסוול יש אינסוף פתרונות פורמליים שקולים פיזיקלית. המציאות האלקטרומגנטית הניתנת (באופן קלאסי) באמצעות השדות האלקטרומגנטיים מוגדרת איפה עד כדי מחלקת שקילות: לכל קונפיגורציה נתונה של מקורות שדה א"מ משוייכת מחלקה של פוטנציאלים (המכילה אינסוף איברים) וטרנספורמציית הכיול מעבירה אותנו מאיבר אחד למישנהו בתוך המחלקה. 

הטרילוגיה שלנו נסובה סביב הפורמליזם הלגרנג'יאני של התורה האלקטרומגנטית (מנקודת מבט תלת מימדית) ואנו מחוייבים עתה לודא שהצפיפות הלגרנז'יאנית הרלוונטית אכן מכבדת את עיקרון הכיול. כלומר יש לודא שהפיזיקה הנגזרת מהלגרנז'יאן נשמרת במלואה תחת טרנספורמצית כיול; שאם לא כן, ניסוחינו לוקים בחוסר עקביות אינהרנטי ושוב אין הם יכולים להיחשב לתורה פיזיקלית. הנה לכם כלל ברזל: הצפיפות הלגרנז'יאנית של כל תורה פיזיקלית שיש בה חופש כיול חייבת לכבד את עיקרון הכיול; אחרת משוואות לגראנז' עצמן תהינה תלויות בכיול הספציפי ממנו החילונו.

תזכורת: הצפיפות הלגרנז'יאנית של התורה האלקטרומגנטית נתונה ע"י
\begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{EM}}\,=\,\underbrace{\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}}_{\mathcal{L}_{\text{חפשי}}}+\underbrace{\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi}_{\mathcal{L}_{\text{'אינט}}}\end{aligned}

מובן שרק איבר האינטראקציה לוקח חלק בטרנספורמציית הכיול שהרי רק הוא מכיל את הפוטנציאלים "באופן חפשי" (אמנם גם \(\boldsymbol{E}\) ו- \(\boldsymbol{B}\) נגזרים מהפוטנציאלים אבל אלו, כאמור, אינווריאנטים מתוך ההגדרה של חופש הכיול). ובכן, נבדוק עתה האם החתיכה \(\mathcal{L}_{\text{'אינט}}\,=\,\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\) אכן מכבדת את עיקרון הכיול כפי שנדרש מתנאי העקביות. הבה נבצע טרנספורמציה כיול מפורשת:
\begin{aligned}&\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\,\mapsto\,\boldsymbol{j}\cdot\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}+\nabla\chi\right)-\rho\left(\phi-\frac{\partial\chi}{\partial{t}}\right)\\&\,=\,\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi+\underbrace{\nabla\cdot\left(\boldsymbol{j}\chi\right)-\chi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{j}\right)}_{=\;\boldsymbol{j}\cdot\nabla\chi}+\underbrace{\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\rho\chi\right)-\chi\frac{\partial\rho}{\partial{t}}}_{=\;\rho\frac{\partial\chi}{\partial{t}}}\\&\,=\,\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\;+\;\underbrace{\nabla\cdot\left(\boldsymbol{j}\chi\right)+\frac{\partial\left(\rho\chi\right)}{\partial{t}}}_{\displaystyle(\text{אברי שפה})}\;-\chi\,\underbrace{\left(\nabla\cdot\boldsymbol{j}+\frac{\partial\rho}{\partial{t}}\right)}_{\displaystyle=\;0\atop{\displaystyle\text{ממשוואת}\atop\displaystyle\text{הרציפות}}}\end{aligned}
כפי שהודגש ברשימה הראשונה בטרילוגיה, כל צפיפות לגרנז'יאנית מוגדרת עד כדי אברי שפה שממילא נופלים בתהליך הווריאציה; הילכך איבר הרציפות עבור "צפיפות המטען" \(\rho^{\ast}=\chi\rho\) ו"צפיפות הזרם" \(\boldsymbol{j}^{\ast}=\chi\boldsymbol{j}\) אינו מעלה ואינו מוריד, כך שבסיכומו של דבר הפן הפיזיקלי של הלגרנז'יאן אכן נשמר בטרנספורמציה.

ככלל, כשבונים תורה פיזיקלית "מלמעלה למטה", היינו מתחילים מעיקרון הפעולה ומסיימים במשוואות תנועה, חובה עלינו לוודא שהחתיכה הפיזיקלית של הצפיפות הלגרנז'יאנית היא אינווריאנט של טרנספורמציות כיול. וזו מהותה של כל תורת כיול: הפיזיקה מוגדרת עד כדי מחלקות שקילות של פוטנציאלים הקשורים זה בזה בקשר של כיול. לשם מה ה"מיותרות" הזו? מסיבה חשובה ביותר: תורת הכיול הלוקאלית ממדלת מציאות שבה הכוחות נגזרים מתוך הגיאומטריה המושרית מסמטריה המתקיימת ברמה המקומית. מה יכול להיות יותר חזק מזה?... ובכן, יש יותר חזק מזה :) אבל עוד חזון למועד;

חופש הכיול מאפשר לנו לבחור פונקציות פוטנציאל שמקיימות תכונות הנוחות לנו בעבודה ומשרתות את מטרותינו (קוראים לזה gauge fixing). למשל, ברצוננו, נוכל לבחור פוטנציאל מגנטי שאין לו דיברגנס. שהרי אם התחלנו עם אחד שיש לו כזה, נקרא לו \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\), נוכל תמיד לבצע טרנספורמציית כיול ל-\(\boldsymbol{\mathcal{A}}'\) שאין לו כזה בעזרת פונקציית כיול המקיימת תנאי מתאים. הבה נראה זאת מפורשות: תחת טרנספורמציית הכיול מתקיים
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}'\;=\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}+\nabla\cdot\left(\nabla\chi\right);\end{aligned}
אם נבחר עתה פונקציית כיול חלקה \(\chi\) המקיימת \(\nabla^{2}\chi\,=\,-\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\) נקבל מייד\(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}'\,=\,0\) בהתאם לדרישתנו.

מעצם ההגדרה ברור ששני הפוטנציאלים הנ"ל, גם זה המתוייג וגם זה שאינו מתוייג, מנפיקים את אותם שדות אלקטרומגנטיים. הכיול הספציפי הזה, המאפס את הדיברגנס של הפוטנציאל המגנטי, מכונה כיול קולון והוא חביב במיוחד בחישובים באלקטרוסטטיקה. כיול שימושי נוסף הוא כיול לורנץ היכן שהפוטנציאל המגנטי והפוטנציאל החשמלי קשורים זה בזה בהתאם למשוואה
\begin{aligned}\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}'\,=\,-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\phi}{\partial{t}}\,.\end{aligned}
מן הסתם יש אינסוף כיולים אפשריים; אבל יש רק מחלקת שקילות אחת שאיננה לגיטמית במשחק הזה: זהו מה שמקובל לכנות כיול טהור ופירושו: אנו מתחילים עם פונקצית פוטנציאל כזו שניתן לאיינה באמצעות טרנספורמציית כיול. ומשום כך לעולם לא נוכל להיתקל בקונפיגורציה ממשית של שדות מגנטיים הנגזרת מפוטנציאל וקטורי שהוא גרדיאנט טהור, או קונפיגורציה ממשית של שדות חשמליים הנגזרת מפוטנציאל חשמלי שניתן לרושמו כנגזרת חלקית לפי הזמן.

תרגיל: הוכיחו ששדה חשמלי בחלל ריק שנגזר אך ורק מפוטנציאל מגנטי המשתנה בזמן לעולם לא יוכל להיחשב כשדה שהושרה מהתפלגות מטען ממשית.

פיתרון: ממשוואת מקסוול הראשונה נקבל:
\begin{aligned}\rho\,=\,\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\,=\,\epsilon_{0}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{E}\right)\,=\,-\epsilon_{0}\left(\nabla\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\right)\,=\,-\epsilon_{0}\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right).\end{aligned} 
היות ותמיד נוכל לבחור כיול שבו הדיברגנס של הפוטנציאל המגנטי מתאפס, והיות ובחירת הכיול אינה משפיעה על התוכן הפיזיקלי של המערכת, הרי שאם צפיפות המטען מתאפסת בכיול בו בחרנו (כיול קולון במקרה זה), היא בהכרח מתאפסת במציאות.

תרגיל: הלגרנז'יאן של חלקיק שמסתו \(m\) ומטענו \(q\) המשובץ בשדה אלקטרומגנטי הנגזר מהפטנציאל הוקטורי \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) והפוטנציאל החשמלי \(\phi\), נתון ע"י
\begin{aligned}\mathcal{L}\,=\,\frac{1}{2}mv^{2}-q\left(\phi-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\end{aligned}
(ראו הרשומה הקודמת בטרילוגיה). הראו שטרנספורמציית כיול בסקטור הפוטנציאלים מייצרת תוספת שהיא נגזרת שלמה לפי הזמן (וממילא אין לתוספת כזו משמעות פיזיקלית).


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה