יום שלישי, 9 באוקטובר 2012

...ומהלגרנז'יאן לכוח לורנץ


גזירת הכוח מתוך הלגרנג'יאן היא אמנם נושא די סטנדרטי אבל כאשר מדובר באלקטרומגנטיות יש בו חן מיוחד (...) וממילא רשימתי האחרונה לא תהא שלמה מבלי להראות מפורשות כיצד מגיעים מכאן לכאן. הבה נגדיר מטרתנו במדויק: אנו מעוניינים לקבל את משוואת התנועה של חלקיק שמסתו \(m\), טעון במטען חשמלי \(q\), הנע תחת השפעת שדות חשמליים ומגנטיים חיצוניים התלויים במקום ובזמן.

ללגרנז'יאן המתאר את הפיזיקה של החלקיק בכללותה יש שתי חתיכות: החתיכה הקינמטית \(E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}\) אינה קשורה כלל באלקטרומגנטיות ומבטאת את העובדה שהחלקיק מסיבי, יש לו אינרציה, ומשום כך משוייכת לו אנרגיה קינטית. ובנוסף, והיות והוא נושא מטען חשמלי המבצע אינטראקציה עם השדות האלקטרומגנטיים החיצוניים, גם חתיכה אלקטרומגנטית המתקבלת מאינטגרציה מרחבית על הצפיפות הלגרנז'יאנית

 \begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{EM}}\,=\,\underbrace{\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}}_{\mathcal{L}_{\text{חפשי}}}+\underbrace{\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi}_{\mathcal{L}_{\text{'אינט}}}.\end{aligned}
בסיטואציה שבה השדות החיצוניים נכפים, החתיכה החופשית נופלת ואנו נשארים רק עם איבר האינטראקציה \(\mathcal{L}_{\text{'אינט}}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\). כאן \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) ו- \(\phi\) הם הפוטנציאלים המשוייכים לשדות החיצוניים (המגנטי והחשמלי, בהתאמה), ו- \(\boldsymbol{j}\) ו- \(\rho\) הם המקורות, היינו צפיפות הזרם וצפיפות המטען המשוייכים לחלקיק.

עבור חלקיק נקודתי טעון במטען חשמלי \(q\), צפיפות המטען היא אינסופית היכן שהחלקיק ממוקם (בכל זמן \(t\) נתון), אפס בכל מקום אחר, ומסתכמת ל-\(q\) באינטגרציה על כל המרחב. הילכך, \(\rho\left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)=q\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\) היכן ש- \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) הוא וקטור המקום המתאר את מסלול תנועתו של החלקיק (על פונקצייתה דלתא המרחבית של דיראק כתבתי בעבר כאן). מאידך, צפיפות הזרם מתקבלת ממכפלת צפיפות המטען בשדה המהירות שלו עצמו, ולכן
 \begin{aligned}\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)=\rho\left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right)=q\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right)\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right).\end{aligned}
הלגרנז'יאן מתקבל מאינטגרציה מרחבית על הצפיפות הלגרנז'יאנית אשר כאמור, במקרה של שדות חיצוניים, מכילה רק את איבר האינטראקציה; חשבון מיידי נותן:
\begin{aligned}L_{\text{'אינט}}\left(\boldsymbol{r}\left(t\right),\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\right)&\,=\,\int_{\Omega}\left[q\,\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{r}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\left(\boldsymbol{r}\right)-q\,\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\right]\delta^{3}\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}\left(t\right)\right)\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\\&\,=\,-q\left(\phi-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\end{aligned}
וכאן 'העלמתי' את התלויות המפורשות של השדות בוקטור המקום \(\boldsymbol{r}\left(t\right)\) רק לצורך נוחות הקריאה. מעתה והלאה כל שנותר לעשות הוא לחשב במפורש את משוואות אוילר לגראנז' עבור החלקיק עם הלגרנג'יאן
\begin{aligned}L_{\text{מלא}}\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{r}\right)\,=\,\frac{1}{2}mv^{2}-q\left(\phi-\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\right).\end{aligned}
במהלך החשבון אסתמך על זהות וקטורית מוכרת ועל הזהות האופרטורית \(\mathrm{d}/\mathrm{d}t=\partial/\partial{t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla\), המוכחות בנספח המופיע בסוף הרשומה. Let's dance:
\begin{aligned}\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{v}}&\,=\,m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{\mathcal{A}}\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{v}}&\,=\,m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}+q\left[\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}+\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{\mathcal{A}}\right]\\\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{r}}&\,=\,-q\bigg[\nabla\phi-\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\bigg]\,.\end{aligned}
באשר  \(\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\) הוא סימול וקטורי למרכיב \(v_{j}\partial_{i}\mathcal{A}_{j}\) כלומר הקונטרקציה היא בין \(\boldsymbol{v}\) ל- \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\). הצגת הביטויים במשוואת אויילר-לגרנז'
\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{v}}=\frac{\partial{L}}{\partial\boldsymbol{r}}\end{aligned}
תיתן עתה
\begin{aligned}m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}&\,=\,q\left(-\nabla\phi-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\right)+q\underbrace{\bigg[\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)-\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{\mathcal{A}}\bigg]}_{\displaystyle\equiv\;\boldsymbol{v}\times\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)}\\&\,=\,q\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\right).\end{aligned}

זהו. קיבלנו איפה את החוק השני של ניוטון עבור חלקיק טעון הנתון תחת השפעתו של הכוח \(\boldsymbol{F}=q\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\right)\), המוכר בכינויו כוח לורנץ.

במובן מסויים פתרנו בעיה מהסוג של "פרה עם סימטריה כדורית". לא שאין פרות שמרחוק נראות כמו בלון, אבל זה לא הדבר האמיתי עצמו. בפועל, השדות הנפרשים מהחלקיק הטעון מבצעים אינטראקציה עם השדות החיצוניים, משפיעים על הדינמיקה שלהם ומושפעים ממנה בהיזון חוזר; אזי אין להתעלם עוד מהאיבר "החופשי" והמשוואות המתארות את הדינמיקה של החלקיק שוב אינן 'מגולחות למשעי' כמו זו אליה הגענו. מבחינה מקרוסקופית, ובתנאי מעבדה, הקירוב שלנו מצויין; בהיבט המיקרוסקופי אין להתעלם עוד מהאינטראקציה של החלקיק עם השדות החיצוניים (ועם עצמו!) ואז התיקון מגיע בדמותה של QED. אולי אגיע לזה מתישהו, לא בעתיד הקרוב.

ויחד עם זאת, לכוח לורנץ יש שורשים עמוקים; ראשית הביטוי \(\mathbb{E}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}\) מכונה עוצמה חשמלית (electrical intensity); בדומה למשוואות מקסוול עצמן, זהו גודל אינווריאנטי תחת טרנספורמציות גליליי (כן, גליליי... גם ארבע משוואות מקסוול עצמן אינווריאנטיות תחת טרנספורמציית גליליי. מי שאיננו אינווריאנט תחת טרנספורמציות גליליי הם קשרי המבנה של הואקום). כוח לורנץ עצמו, \(\boldsymbol{F}=q\mathbb{E}\) הוא המרכיב המרחבי של ארבע-וקטור הכוח ביחסות פרטית אותו ניתן לגזור כקונטרקציה של הטנזור האלקטרומגנטי עם ארבע-וקטור הזרם. אבל טרם דיברתי בזאת ולכן על הסגולות האלו ארחיב בפעם אחרת (+ מילים ספורות בחלק השני של הנספח מטה).


תרגילים:
  1. הראו שהתנע הקנוני של החלקיק הטעון, הצמוד לקואורדינטת המקום, ניתן ע"י \(\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{\mathcal{A}}\), ולכן ההמילטוניאן של החלקיק הוא \begin{aligned}\mathscr{H}\,=\,\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-q\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)^{2}+q\phi\,.\end{aligned} קבלו עתה את משוואות התנועה בפורמליזם ההמילטוניאני.
  2. צאו מתוך הנחה שחלקיק טעון יכול לבצע אינטראקציה עם השדות המושרים מעצמו (למה לא, בעצם?), כך שבנוסף לאיבר האינטראקציה גם האיבר החפשי בצפיפות הלגרנז'יאנית \(\mathcal{L}_{\text{חפשי}}=\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}\) רלוונטי לצורך קבלת הלגרנז'יאן המלא של החלקיק. הראו שעבור חלקיק חופשי (כלומר בהיעדר שדות חיצוניים כלשהם) מתקבל הלגרנז'יאן \begin{aligned}{L}_{\text{מלא}}\left(\boldsymbol{v}\right)\,=\,\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^{2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\,\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\end{aligned} כלומר הסקטור האלקטרומגנטי כולו מצטמצם לכדי נגזרת מלאה לפי הזמן. מכאן שבתורה הקלאסית אין תגובות-עצמיות (self-interactions).


נספח:
  1. נחשב את הנגזרת המלאה לפי הזמן של שדה הזרימה הכללי \(\boldsymbol{X}\), נניח חלקות ונעבוד בקואורדינטות קרטזיות. היות ושדה הזרימה עשוי להיות תלוי בזמן גם באופן מפורש, וגם דרך "שדה המקום" המצביע לעבר כל אלמנט של \(\boldsymbol{X}\), דהיינו \(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{r}\left(t\right),t\right)\), נקבל: \begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{X}&\,=\,\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{t}}\mathrm{d}t+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{x}}\mathrm{d}x+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{y}}\mathrm{d}y+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{z}}\mathrm{d}z\\\Rightarrow\quad\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{X}}{\mathrm{d}t}&\,=\,\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{t}}+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{x}}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{y}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{z}}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\\&\,=\,\frac{\partial\boldsymbol{X}}{\partial{t}}+\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{X}\,.\end{aligned} ומכאן מתקבלת הזהות האופרטורית \(\mathrm{d}/\mathrm{d}t=\partial/\partial{t}+\boldsymbol{v}\cdot\nabla\).
  2. נוכיח את הזהות המופיעה בשלב האחרון בחישוב כוח לורנץ (כרגיל, נעשה שימוש בהסכם הסומציה): \begin{aligned}\big[\boldsymbol{v}\times\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\big]_{i}&\,=\,\epsilon_{ijk}v_{j}\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)_{k}\\&\,=\,\epsilon_{ijk}\epsilon_{k\ell{m}}v_{j}\partial_{\ell}\mathcal{A}_{m}\\&\,=\,\left(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}\right)v_{j}\partial_{\ell}\mathcal{A}_{m}\\&\,=\,v_{j}\partial_{i}\mathcal{A}_{j}-v_{j}\partial_{j}\mathcal{A}_{i}\\&\,=\,\boldsymbol{v}\cdot\left(\nabla\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)_{i}-\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\mathcal{A}_{i}\,.\end{aligned} ולאלו המתמצאים בניסוח הטנזורי של התורה (עליו אולי ארחיב ברשומות עתידיות), שימו לב ש- \begin{aligned}v_{j}\partial_{i}\mathcal{A}_{j}-v_{j}\partial_{j}\mathcal{A}_{i}\,=\,\underbrace{v_{j}\left(\partial_{i}\mathcal{A}_{j}-\partial_{j}\mathcal{A}_{i}\right)}_{\displaystyle\equiv\;\epsilon_{ijk}v_{j}B_{k}}\,=\,v_{j}f_{ij}\end{aligned} כלומר הענף המגנטי של כוח לורנץ מתקבל כקונטרקציה של וקטור הזרם התלת-מימדי \(\mathrm{j}_{j}\equiv{q}v_{j}\) עם המרכיב המרחבי \(f_{ij}\) של הטנזור האלקטרומגנטי \(F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}{A}_{\nu}-\partial_{\nu}{A}_{\mu}\) באשר \(A_{\mu}\equiv\left(\phi/c,-\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\). באופן דומה, ארבע-וקטור הכוח ביחסות פרטית מתקבל כקונטרקציה של ארבע-וקטור הזרם \(J^{\mu}=\left(qc,q\boldsymbol{v}\right)\) עם הטנזור האלקטרומגנטי \(F_{\mu\nu}\) והמרכיב המרחבי שלו הוא כוח לורנץ על שני ענפיו, המגנטי והחשמלי. 

לחלק השלישי בטרילוגיה