יום ראשון, 30 בספטמבר 2012

הלגרנGיאן של התורה האלקטרומגנטית


ברשומה הזו אכיל את הפורמליזם הלגרנז'יאני על התורה האלקטרומגנטית מנקודת מבט תלת-מימדית ובגישה לא כל כך שגרתית... עוד לא נגעתי בבלוג בתאור האינווריאנטי ה- \(n\)-מימדי, וגם לא בתאור האינווריאנטי האין-מימדי של התורה. זה האחרון (כמעט פסגת היופי של הניסוח המדעי לטעמי) יגיע בתורו רק לאחר שאטפל בחוקי הטרנספורמציה והוא מצריך שפה מתמטית משוכללת בהרבה. אבל ראשית, הנה רשימה של השדות הרלוונטיים:

  • \(\rho\left(\boldsymbol{r}\right)\) - צפיפות המטען החשמלי;
  • \(\boldsymbol{j}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - צפיפות הזרם החשמלי;
  • \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - שדה העירור החשמלי;
  • \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - שדה העירור המגנטי;
  • \(\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - השדה החשמלי;
  • \(\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - ההשראה המגנטית;
  • \(\phi\left(\boldsymbol{r}\right)\) - הפוטנציאל החשמלי;
  • \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\left(\boldsymbol{r}\right)\) - הפוטנציאל המגנטי;

על יחסי הגומלין בין ששת הראשונים הרחבתי ברשומה קודמת על הארבעון האלקטרומגנטי.

טענה: הזוג הראשון של משוואות מקסוול נגזר מהצפיפות הלגרנז'יאנית

\begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{EM}}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi,\partial\boldsymbol{\mathcal{A}},\partial\phi\right)&=\,\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}+\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\end{aligned}

באשר שדות הפוטנציאל \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) ו- \(\phi\) ממלאים את תפקיד הקוארדינטות המוכללות של התורה, הם ורק הם. ומנגד, שדות העירור \(\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{H}}\) הם מעין "שדות-רקע" אשר הדינמיקה שלהם תיקבע באמצעות עיקרון הוריאציה אותו ניישם על שדות הפוטנציאל.

מתמטית, שדות העירור הם סוג של כופלי לגרנג', המאלצים על התורה את הפיתרון הפורמלי המתקבל מהצמד השני של משוואות מקסוול, המתאר כזכור את האילוץ להיעדר מטענים מגנטיים. משמעות הדבר היא שאת השדות \(\boldsymbol{E}\) ו-\(\boldsymbol{B}\) יש לראות ככינויים מקוצרים לגדלים \(\left(-\nabla\phi-\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}/\partial{t}\right)\) ו- \(\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\) בהתאמה. 

הערת-אגב: על פי הטענה דלעיל רק הפוטנציאלים צמודים למקורות (שימו לב להנחת הלינאריות); לכן החתיכה \(\mathcal{L}_{\text{חפשי}}=\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}\) מכונה הצפיפות הלגרנג'יאנית החפשית (זהו האיבר הקינטי הקשור בשדה האלקטרומגנטי) ואילו החתיכה \(\mathcal{L}_{\text{'אינט}}=\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\) מכונה איבר האינטראקציה.

הבה ניגש עתה להוכחת הטענה: נציג את התלות המפורשת של השדות החשמליים והמגנטיים בפוטנציאלים, נשתמש בשתי הזהויות האופרטוריות הוקטוריות (השנייה מוכחת כאן ישירות בכתיב רכיבי עם הסכם הסומציה),

  • \(\nabla\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)=\left(\nabla\phi\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\)
  • \(\nabla\cdot\!\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)=\partial_{i}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)_{i}=\)\begin{aligned}[t]&=\epsilon_{ijk}\partial_{i}\left(\mathcal{A}_{j}\mathcal{H}_{k}\right)=\epsilon_{ijk}\big[\left(\partial_{i}\mathcal{A}_{j}\right)\mathcal{H}_{k}+\mathcal{A}_{j}\left(\partial_{i}\mathcal{H}_{k}\right)\big]\\&\,=\,\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}-\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\end{aligned} 
ונקבל עבור הצפיפות הלגרנז'יאנית:

\begin{aligned}\mathcal{L}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi,\ldots\right)&\,=\,-\;\nabla\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)-\nabla\cdot\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)-\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\\&\phantom{\,=\,}-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\:\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\,+\,\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\,-\,\rho\phi\,.\end{aligned}

נארגן מחוברים מחדש ונציג את הצפיפות הלגרנז'יאנית שהתקבלה בפונקציונל הפעולה:

\begin{aligned}S\left[\boldsymbol{\mathcal{A}},\partial\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi,\partial\phi\right]&\,=\,\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\int_{\Omega}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\Big[-\nabla\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)+\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\\&\phantom{\,=\,}-\,\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}+\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\Big].\end{aligned}

כאן \(\Omega\) מייצגת את התחום עליו מתבצעת האינטגרציה המרחבית, וכן \(t_{1}<t_{2}\). עיקרון הווריאציה בנוי כך שמשוואות התנועה מתקבלות מהמינימיזציה של פונקציונל הפעולה תחת שינוי אינפיניטסימלי \(\tilde{\delta}\) במסלול של הקואורדינטות המוכללות עם אותן נקודות התחלה וסיום; במקרה של תורת שדות קלסית, כמו זו המצוייה תחת ידנו, "מסלול התנועה" הוא נפחי, כלומר הוריאציה מתבצעת על שדות הפוטנציאל בכל נקודה ונקודה בנפח, למעט על השפה \(\partial\Omega\) של אותו הנפח. שימו לב שהיות ושדות העירור עצמם אינם נלקחים כמשתנים דינאמיים, הם לא משחקים כל תפקיד במהלך הווריאציה.

האיבר עם הדיברגנס אינו תורם לווריאציה משום שניתן לתרגמו באמצעות משפט הדיברגנס לאיבר שפה, היכן שהווריאציה על השדות ממילא מתאפסת:

\begin{aligned}S_{\text{גבול}}&\,=\,-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\int_{\Omega}\mathrm{d}^{3}\boldsymbol{r}\;\nabla\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\\&\,=\,-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\int_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\\\Rightarrow\quad\tilde{\delta}{S}_{\text{גבול}}&\,=\,\frac{\partial{S}}{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}+\frac{\partial{S}}{\partial\phi}\tilde{\delta}\phi\\&\,=\,-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\int_{\partial\Omega}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\,\cdot\left[\left(\tilde{\delta}\phi\right)\boldsymbol{\mathcal{D}}+\left(\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}\right)\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right]\,=\,0\,.\end{aligned}

כיצד חישבתי את האיבר הנגזר לפי הוקטור \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\)? הבה נראה:

\begin{aligned}\frac{\partial{S}}{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}&\,=\,\tilde{\delta}\mathcal{A}_{i}\frac{\partial}{\partial\mathcal{A}_{i}}\left(\epsilon_{k\ell{m}}\mathrm{d}S_{k}\mathcal{A}_{\ell}\mathcal{H}_{m}\right)=\tilde{\delta}\mathcal{A}_{i}\delta_{i\ell}\epsilon_{k\ell{m}}\mathrm{d}S_{k}\mathcal{H}_{m}\\&\,=\,\epsilon_{kim}\mathrm{d}S_{k}\left(\tilde{\delta}\mathcal{A}_{i}\right)\mathcal{H}_{m}=\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot\left(\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right).\end{aligned}

טוב, נסלק עתה את איבר השפה שבפעולה, שכאמור אינו תורם למציאת משוואות התנועה, ונשאר עם הצפיפות הלגרנז'יאנית

\begin{aligned}\mathcal{L}^{\ast}\,=\,\phi\left(\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}+\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}-\rho\phi\end{aligned}

אמנם מבחינה מתמטית \(S^{\ast}\left(\mathcal{L}^{\ast}\right)\neq{S}\left(\mathcal{L}\right)\), והרי שתי הפעולות נבדלות זו מזו באיבר שפה, אבל התוכן הפיזיקלי שלהן זהה לחלוטין מאחר והפעלת הווריאציה על שתיהן מתלכדת,  \(\tilde{\delta}{S}^{\ast}\left(\mathcal{L}^{\ast}\right)=\tilde{\delta}{S}\left(\mathcal{L}\right)\). הילכך נוכל להשתמש במשוואות לגרנג' המתקבלות מהצפיפות לגרנג'יאנית \(\mathcal{L}^{\ast}\) כדי לקבל את משוואות התנועה הרלוונטיות עבורנו. משוואות לגרנז' שלנו תהינה אם כן

\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}^{\ast}}{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}\,=\,\frac{\partial}{\partial{t}}\left[\frac{\partial\mathcal{L}^{\ast}}{\partial\left(\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\right)}\right]\;,\quad\displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}^{\ast}}{\partial\phi}\,=\,\frac{\partial}{\partial{t}}\left[\frac{\partial\mathcal{L}^{\ast}}{\partial\left(\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial{t}}\right)}\right]\end{aligned} 
והצבה של \(\mathcal{L}^{\ast}\) מלמעלה נותנת מיד (רואים זאת בעיניים, ממש אין צורך לחשב):

\begin{aligned}0&\,=\,\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}-\rho\,,\\-\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{D}}}{\partial{t}}&\,=\,-\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}+\boldsymbol{j}\end{aligned}

קיבלנו איפה את הצמד הראשון של משוואות מקסוול :)  שימו לב שנקודת המוצא מצריכה היכרות עם הזוג השני של משוואות מקסוול שפתרונו הפורמלי מנפק את התלות המלאה והמפורשת של הלגרנג'יאן בשדות הפוטנציאל. בסופו של יום את הלגרנז'יאן של התורה בנינו אד-הוק: חיפשנו פונקציה שהפעלת עיקרון הוריאציה עליה תייצר את הזוג הראשון תוך שאנו מאלצים את קיומו של הזוג השני...

על פניו ניראת גישה זו פחות טבעית ואולי גם פחות אלגנטית מהגישה שקידמנו כאן וכאן, וחשיבותה נעוצה לכאורה רק בלינקייג' שהיא מייצרת עם עקרון הווריאציה המרכזי כל כך בפיזיקה. אבל לדעתי אין זה באמת כך: בשתי הגישות הזוג השני הוא אילוץ הכרחי שמקורו בעובדות החיים (אין מטענים מגנטיים). בגישה של עיקרון הפעולה הפוטנציאלים משחקים תפקיד מרכזי כיאה וכראוי ואולם אופן הצימוד שלהם למקורות נקבע כאנזץ. זאת ועוד, הגישה הלגרנג'יאנית מנפקת ישירות את כוח לורנץ (מבלי להניח הנחות נוספות), ועל כך אולי ברשומה נפרדת.

אם נציג עתה את הזוג הראשון של משוואות מקסוול חזרה בפונקציונאל הפעולה המקורי (זה שמכיל גם את איברי השפה) נקבל את ערך המינימום של הפעולה, המיוחס ללגרנז'יאן איתו התחלנו, \(\mathcal{L}_{\text{EM}}\):

\begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{EM}}^{פעולה  מינימלית}\,=\,-\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)-\nabla\cdot\left(\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\end{aligned}  
מתוך תהליך הבנייה שביצענו ברור שמתקיים \(\tilde{\delta}\mathcal{L}_{EM}^{מינימום}=0\). היות וכל הנגזרות החלקיות מתחלפות עם הווריאציה נקבל במקרה זה

\begin{aligned}0\,=\,-\frac{\partial}{\partial{t}}\left(\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)-\nabla\cdot\left(\tilde{\delta}\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\tilde{\delta}\boldsymbol{\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\right)\end{aligned}  
כלומר  "צפיפות המטען" האפקטיבית \(\tilde{\rho}\,=\,\boldsymbol{\delta\mathcal{A}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\) ו"צפיפות הזרם" האפקטיבית \(\tilde{\boldsymbol{j}}\,=\,\delta\phi\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{\delta\mathcal{A}}\times\boldsymbol{\mathcal{H}}\)  מקיימות את משוואת הרציפות! מהי המשמעות של הדבר איני יודע ואשמח אם מישהו יאיר את עיני.

ולבסוף, איך אפשר לדבר גבוהה-גבוהה בשפה הלגרנז'יאנית בלי להזכיר בכמה משפטים את הפורמליזם ההמילטוניאני? ובכן, אפשר אבל לא רצוי... קבלו-נא הצגה המילטוניאנית בחמש מערכות:

  1. הראו שהתנעים הקנונים המתאימים למשתנים המוכללים \(\phi\) ו- \(\boldsymbol{\mathcal{A}}\) ניתנים בהתאמה על-ידי \(\boldsymbol{\pi}_{\phi}=0\) ו- \(\boldsymbol{\pi}_{\boldsymbol{\mathcal{A}}}=-\boldsymbol{\mathcal{D}}\). כלומר שדה ההעתק הוא התנע הקנוני הצמוד לפוטנציאל המגנטי, ואילו התנע הקנוני הצמוד לפוטנציאל החשמלי מתאפס...
  2. בצעו טרנספורמציית לז'נדר מתאימה על הצפיפות הלגרנז'יאנית \(\mathcal{L}_{\text{EM}}\) וקבלו את הצפיפות ההמילטוניאנית \begin{aligned}\mathscr{H}_{\text{EM}}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi,\boldsymbol{\pi}_{\boldsymbol{\mathcal{A}}}\right)\,=\,\nabla\phi\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}+\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\mathcal{H}}-\boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}+\rho\phi\end{aligned} וכרגיל, ההשראה המגנטית נגזרת מהפוטנציאל המגנטי באמצעות הרוטור, \(\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{A}}\).
  3. הראו שלמעט אברי שפה כלשהם (שאינם רלוונטים במינימיזציה של הפעולה) ההמילטוניאן הנ"ל שקול לחלוטין להמילטוניאן \begin{aligned}\mathscr{H}^{\ast}\left(\boldsymbol{\mathcal{A}},\phi\right)\,=\,\left(\rho-\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{D}}\right)\phi+\left(\nabla\times\boldsymbol{\mathcal{H}}-\boldsymbol{j}\right)\cdot\boldsymbol{\mathcal{A}}\end{aligned}
  4. השתמשו עתה במשוואות המילטון \begin{aligned}&\frac{\partial\boldsymbol{\pi}_{\boldsymbol{\mathcal{A}}}}{\partial{t}}\,=\,-\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}+\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial{x}_{i}}\left[\displaystyle\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\left(\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{x}_{i}}\right)}\right]\\&\frac{\partial\boldsymbol{\pi}_{\phi}}{\partial{t}}\,=\,-\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\phi}+\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial{x}_{i}}\left[\displaystyle\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\left(\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial{x}_{i}}\right)}\right]\end{aligned} כדי לקבל במיידית את הזוג הראשון של משוואות מקסוול.
  5. ולבסוף, כיתבו את ההמילטוניאן כפונקציה של השדות והתנעים הצמודים להם והראו שמתקבלות משוואות המילטון בגירסתן המוכרת, \begin{aligned}\frac{\partial\mathscr{H}^{\ast}}{\partial\left(\boldsymbol{\pi}_{\boldsymbol{\mathcal{A}}}\right)}=\frac{\partial\boldsymbol{\mathcal{A}}}{\partial{t}}\,,\quad0=\frac{\partial\phi}{\partial{t}}\,.\end{aligned}


אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה